26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，通过复习一次函数与一元一次方程的关系，从函数值和图象角度搭建学习支架，引导学生迁移旧知探究新知脉络。 其亮点在于结合实例列表对比函数图象与x轴交点、方程根及判别式的关系，培养数学眼光（抽象联系）和数学思维（逻辑推理），通过小球飞行等实际问题体现数学语言（模型应用）。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

26.3 二次函数与一元二次方程 第26章 二次函数 第1课时 二次函数与一元二次方程 人教版 九年级（上） 1 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联 系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解. （重点） 素养目标 函数的观点 对应函数 从函数值角度 从函数图象角度 函数y=ax+b (a≠0) 函数值为___ 时，求______的值 确定直线y=ax+b与___的交点的＿坐标 解关于x 的________ 方程ax+b=0 (a≠0) 一元一次 一次 0 ax+b=0 x 轴 横 已学对象 重新分析 那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？ 复习导入 如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y = x² + x - 2； (2) y = x² - 8x + 16； (3) y = x² - x + 1. 由此，你能说说方程 x² + x - 2 = 0，x² - 8x + 16 = 0，x² - x + 1 = 0 的根的情况吗？ 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 (2) y = x² - 8x + 16； (1) y = x² + x - 2； (3) y = x² - x + 1. 解析式 抛物线与 x 轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y=x²+x-2 y=x²-8x+16 y=x²-x+1 0 个 1 个 2 个 x²-x+1=0,无解 4 x²-8x+16=0,x1=x2=4 -2 和 1 x²+x-2=0,x1=-2,x2=1 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 由上述问题，你可以得到什么结论呢？ 方程角度 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解 抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数角度 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 x y O -2 2 1 3 -1 2 3 1 -3 -1 y = ax2 + bx + c y = 0 是否有解 ax2 + bx + c = 0 判断 Δ 的情况 思考：当 a＜0 时，是否同样存在公共点？动手画一画！ 想一想：抛物线 y = ax2 + bx + c (a＞0)与 x 轴是否存在公共点取决于什么？ 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的 公共点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴公共点 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 Δ = b2 - 4ac 有两个公共点 有两个不相等的实数根 Δ＞0 有一个公共点 有两个相等的实数根 Δ = 0 没有公共点 没有实数根 Δ ＜0 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0). (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有公共点； 证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0(m ≠ 0)， ∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0， ∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有两个根. ∴ 抛物线 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0) 与 x 轴总有公共点. 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 解：令 y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0， ∴ x－1＝0 或 mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当正整数 m = 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x 轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数. ∴ 正整数 m 的值为 1. 例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0). (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 【链接中考】 1. 若二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为_______________. a≥-1 且 a≠0 分析：二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点， Δ = 4 + 4a≥0 a≠0 a≥-1且 a≠0 总结 若抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴有交点，则 b2-4ac≥0. 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 例1 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)的关系近似为 h = 20t - 5t2.小球的飞行高度能否达到 20 m? 如果能，需要多长时间？ 分析： 二次函数h = 20t - 5t2的函数值能否取20 二次方程 20 = 20t - 5t2的根的问题 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 解： 当 h = 20 时， 由函数关系 h = 20t - 5t2， 列得方程 20 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t + 4 = 0， 解方程，得 t1 = t2 = 2. 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？ O h/m t/s 20 2 这说明，当自变量 t = 2 时，二次函数h = 20t - 5t2 的函数值为 20，即当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m. h = 20t - 5t2 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 关于例1，回答下列问题： (1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？ h = 20t - 5t2 O h/m t/s 15 1 3 故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m. 解：令 15 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1，t2 = 3. 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 解：令 20.5 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t + 4.1 = 0， 因为 (-4)2 - 4×4.1＜0， 所以方程无解. 即小球的飞行高度达不到 20.5 m. (2)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？ O h/m t/s 你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗? 20.5 h = 20t - 5t2 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 (3) 小球从飞出到落地要用多少时间？ O h/m t/s 令 0 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t = 0， 解得 t1 = 0，t2 = 4. 故当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m. ∴ 小球从飞出到落地要用 4 s 时间. h = 20t - 5t2 解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m， 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 2.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系 y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m． （1）足球的飞行时间是多少？ 【练一练】 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 解：(1) 由题意，得 函数 y = at2 + 5t + c 的图象经过 (0， 0.5)，(0.8，3.5)， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 ， 故足球的飞行时间为 令 解得 （舍） 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 （2）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ 解：∵抛物线的解析式为 ∴当 t = 时，y最大 = 4.5； 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 （3）若足球飞行的水平距离 x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系 x =10 t，已知球门的高度为 2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为 28 m，他能否将球直接射入球门？ 解：把 x = 28 代入 x = 10t 得 t = 2.8， ∴当 t = 2.8 时， ∴他能将球直接射入球门． 探究点：二次函数与一元二次方程 新知探究 Δ = b2-4ac 二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) 的根 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 x1，x2 没有实数根 x1 = x2 = 课堂小结 1. 已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点的坐标为(m，0)，则代数式m2－m＋2026的值为(　C　) A. 2024 B. 2026 C. 2027 D. 2029 C 2. 抛物线y＝x2－2x－3与x轴的公共点个数是(C　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 当堂反馈 3. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列结论错误的是(　D　) A. 2a＋b＝0 B. b2－4ac＞0 C. 方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝3， x2＝－1 D. a＋b＋c＝0 D 当堂反馈 4. 已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公 共点； (1)证明：Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m2＋3)＝4m2－ 4m2－12＝－12＜0. ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点. (1)证明：Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m2＋3) ＝4m2－4m2－12＝－12＜0. ∴不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点. 当堂反馈 4. 已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2＋3 ( m 是常数). (2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度 后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点？ 若m＞0，画出平移前后草图 草图通关 平移前顶点坐标： ⁠， 平移后顶点坐标： ⁠. (m，3)　 (m，0)　 当堂反馈 (2)解：∵y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3， ∴二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象的顶点坐标 为(m，3). ∴该函数的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后， 得到的图象与 x 轴只有一个公共点 (m，0). 4. 已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2＋3 ( m 是常数). (2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度 后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点？ 当堂反馈 5.如图，某学生推铅球，铅球出手 (点 A 处) 的高度是0.6 m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离 x = 4 m． (1)求这个二次函数的解析式； (2)该同学把铅球推出去多远？ 解：(1)设二次函数的解析式为 y = a(x - 4)2 + 3，把 (0，0.6) 代入得 0.6 = a(0 - 4)2 + 3，解得 当堂反馈 (2)当 y=0时， 答：该男同学把铅球推出去(4+2 )m远． 解得 （舍） 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $