第16章 数学活动(九)和为定值的两数积的规律-【勤径学升】2026-2027学年八年级上册数学同步练测教师用书Word(人教版)

本讲义聚焦“和为定值的两数积的规律”核心知识点，通过观察1×59到30×30等算式发现规律，类比和为80的两数积进行代数证明，再应用于用10m绳子围长方形求最大面积问题，构建“观察-发现-证明-应用”的学习支架。 该资料以具体实例为载体，观察算式培养数学眼光（抽象能力），代数证明（如(40-a)(40+a)=1600-a²）发展数学思维（推理能力），围长方形问题强化数学语言（模型意识）。课中助力教师引导探究，课后学生可借实例回顾规律，提升应用能力。

数学活动(九)　和为定值的两数积的规律 [答案P24] 【观察】 1×59＝59, 2×58＝116, 3×57＝171，……， 28×32＝896, 29×31＝899, 30×30＝900, 31×29＝899, 32×28＝896，……， 57×3＝171, 58×2＝116, 59×1＝59. 【发现】 根据以上材料，回答下列问题： (1)两数的和一定时，两数的差的绝对值越小，则它们的积就越大；当两数的差的绝对值为0(即两数相等)时，它们的积最大；(填“大”或“小”) 【类比】 观察下列两数的积(和为80)：1×79, 2×78, 3×77, 4×76，…， m·n，…， 76×4, 77×3, 78×2, 79×1. (2)设m＝40－a，n＝40＋a，a≥0，猜想mn的最大值为1 600，并用你学过的知识加以证明． 解：(2)证明如下： 根据题意，得m＋n＝80. mn＝(40－a)(40＋a)＝1 600－a2. ∵a≥0，∴a越小，a2越小，mn的值越大， ∴当a＝0时，mn有最大值，为1 600，此时m＝40，n＝40. (湖北襄阳期末)用10 m长的绳子围成长方形，试改变长方形一边的长，观察长方形的面积变化．设长方形一边的长为x m，面积为S m2. (1)补全下表： 一边的长x(单位：m) 4 3 2.5 2 x 相邻的一边长(单位：m) 1 2 2.5 3 5－x 面积S(单位：m2) 4 6 6.25 6 x(5－x) (2)试用含x的式子表示S，并写出x的取值范围； (3)由(1)可知，当x＝2.5时，S最大，为6.25； (4)当长方形的周长一定时，请直接写出怎样围长方形才能使它的面积最大？ 解：(2)S＝x(5－x)＝－x2＋5x，其中0<x<5. (4)当长方形的周长一定时，围成正方形才能使它的面积最大． 学科网（北京）股份有限公司 $