26.2.1 二次函数的图象和性质（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过篮球运动路线的生活情境导入，结合二次函数定义回顾旧知，搭建从概念到图象性质的学习支架，引导学生逐步探究。 其亮点在于采用数形结合与任务驱动，通过画y=x²图象、对比a>0和a<0时的函数图象，培养几何直观和推理意识，分层作业设计帮助学生巩固拓展，教师可高效教学，提升学生数学思维与应用能力。

第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.1 二次函数 y = ax2 的图象和性质 1 导入新课 问题 1: 如图, 你知道篮球运动员投篮时篮球运动的路线是什么吗? 观察投篮时篮球的运动路线, 思考分析篮球的运动路线有何规律, 怎样用数学规律来描述? 2 导入新课 问题 2: 回忆二次函数的定义. 一般地, 形如 y = ax2 + bx + c (a, b, c 是常数, a ≠ 0) 的函数, 叫作二次函数. 与学习一次函数一样, 在学习了二次函数的概念之后, 我们来研究它的图象和性质. 先从简单的二次函数 y = ax2 开始, 逐步深入到一般的二次函数. 在这个过程中, 数形结合即解析式与图象结合是重要的研究方法. 3 任务一：画二次函数 y ＝ x2 的图象 问题 1: 如何画二次函数 y ＝ x2 的图象呢? 高效课堂 画函数图象的一般步骤: 列表 描点 连线 4 对于 y ＝ x2, 自变量 x 可以是任意实数, 列表表示几组对应值. 高效课堂 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y ＝ x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 根据表中 x, y 的值在平面直角坐标系中描点 (x, y). 再用平滑曲线顺次连接各点, 就得到 y ＝ x2 的图象. 3 6 9 y -3 3 x O y = x2 5 观察 y = x2 的图象, 它是什么形状的? 你能说一说实际中遇到的类似情况吗? 高效课堂 二次函数的图象是一条曲线, 它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线, 只是这条曲线开口向上. 实际上, 二次函数的图象都是类似的曲线, 它们的开口或者向上或者向下, 我们把二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象叫作抛物线 y = ax2 + bx + c. 6 高效课堂 问题 2: 观察二次函数 y = x2 的图象, 你能说一说该抛物线的开口方向、对称轴、顶点吗? 二次函数 y = x2 的图象开口向上, 对称轴为 y 轴, 顶点为原点. 实际上, 每条抛物线都有对称轴, 抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点, 顶点是抛物线的最低点或最高点. 7 高效课堂 问题 3: 在抛物线 y = x2 上任取一点(m, m2), 求它关于 y 轴的对称点, 你发现了什么? 在抛物线 y = x2 上任取一点(m, m2), 它关于 y 轴的对称点是点(-m, m2), 将其坐标代入 y = x2, 满足解析式, 所以(-m, m2)在抛物线 y = x2 上. 此问题的解决进一步说明了抛物线 y = x2 关于 y 轴对称. 8 高效课堂 问题 4: 我们知道直线 y = x 从左到右上升, y 随 x 的增大而增大, 那么二次函数 y = x2 的图象是否有类似的性质? 从二次函数的图象可以看出, 在对称轴的左侧, 抛物线从左到右下降;在对称轴的右侧, 抛物线从左到右上升. 3 6 9 y -3 3 x O y = x2 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而减小; 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而增大. 9 任务二：探究异同，总结规律 高效课堂 解: 分别列表, 画出它们的图象, 如图. 例 在同一平面直角坐标系中, 画出函数 y = x2, y = 2x2 的图象. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y = x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 4 2 6 8 2 4 O -4 -2 x y y= x2 x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y = 2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … y=2x2 10 高效课堂 思考: (1) 函数 y = x2, y = 2x2 的图象与 y = x2 的图象(图中的虚线图形)相比, 有什么共同点和不同点? 4 2 6 8 2 4 O -4 -2 x y y= x2 y=2x2 11 高效课堂 (2) 利用信息技术工具画二次函数 y = ax2 (a > 0)的图象, 改变 a 的值, 函数 y = ax2 的图象也发生了改变(如图). 随着 a 的变化, 二次函数 y = ax2 的图象有什么变化? 相同点: 抛物线开口向上, 对称轴是 y 轴, 顶点是原点, 顶点是抛物线的最低点. 不同点: 抛物线开口大小不同, 抛物线 y = x2 的开口大于抛物线 y = x2, 抛物线 y = x2 的开口大于抛物线 y = 2x2. 当 a 越来越大时, 抛物线开口变小. 12 高效课堂 再次观察函数 y = ax2 (a > 0)的图象, 在对称轴两侧图象有何特点? 一般地, 当 a > 0 时, 抛物线 y = ax2 的开口向上,对称轴是 y 轴, 顶点是原点, 顶点是抛物线的最低点, a 越大, 抛物线的开口越小. 在对称轴左侧, y 随 x 的增大而减小, 在对称轴右侧, y 随 x 的增大而增大. 从二次函数 y = ax2 (a > 0)的图象可以看出: 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而减小; 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而增大. 13 高效课堂 探究: 回顾上面探究二次函数 y = ax2 (a > 0)的图象和性质的过程, 你能用类似的方法探究二次函数 y = ax2 (a < 0)的图象和性质吗? -4 -2 2 4 -2 -4 -6 -8 y=- x2 y=-2x2 y=-x2 y x 一般地, 当 a < 0 时, 抛物线开口向下, 对称轴是 y 轴, 顶点是原点, 顶点是抛物线的最高点, a 越小, 抛物线的开口越小. 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而增大; 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而减小. 在同一平面直角坐标系中画出函数 y = -x2, y = - x2, y = -2x2 的图象, 如图, 观察三个函数图象, 并比较异同, 总结规律. 14 高效课堂 提问: 你能将上述两种情况都归纳到一起吗? 从二次函数 y = ax2 的图象可以看出: 一般地, 抛物线 y = ax2 的对称轴是 y 轴, 顶点是原点. 当 a > 0 时, 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点; 当 a < 0 时, 抛物线的开口向下, 顶点是抛物线的最高点. a > 0 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而减小; 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而增大; a < 0 当 x < 0 时, y 随 x 的增大而增大; 当 x > 0 时, y 随 x 的增大而减小. |a| 越大 抛物线的开口越小 15 课堂评价 1. 下列抛物线中, 开口向下的有 ( ) ① y = - x2; ② y = x2; ③ y = 10x2; ④ y = x2. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 2. 二次函数 y = 3x2 的图象一定经过 ( ) A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 A 16 课堂评价 3. 在同一平面直角坐标系中, 二次函数 y1 = a1x2, y2 = a2x2, y3= a3x2 的图象如图所示, 则 a1, a2, a3 的大小关系为___________(用“>”连接). a3 >a2 > a1 y1 = a1x2 y2 = a2x2 y3 = a3x2 y x O 17 课堂总结 1. 回顾二次函数 y = ax2 的图象和性质. 2. 二次函数 y = ax2 中的 a 对函数图象有什么影响? 18 作业设计 基础性作业: 教材练习第 1, 2 题. 提高性作业: 教材习题 26.2 第 1 题. 拓展性作业: 已知二次函数 y = 2x2. 如图, 此二次函数的图象经过点 (0, 0), 长方形 ABCD 的顶点 A, B 在 x 轴上, C, D 恰好在二次函数的图象上, 点 B 的横坐标为 2, 求图中阴影部分的面积之和. A B O x y C D y=2x2 19 感 谢 观 看 $