周周练14 5.2.5二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（数学新教材北师大版九年级上册）

2026-2027学年八年级上学期数学周周测14 5.2.5 y=ax²+bx+c的图象和性质 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 2．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 3．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．如图，点和点是抛物线上关于抛物线的对称轴对称的两个点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②③；④为实数）；⑤．其中错误结论的个数有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点．若直线．交直线于点，且为线段的中点，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D． 10．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．抛物线经过点，则________． 12．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 13．已知，为抛物线上不重合的两点，则______． 14．已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 15．若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 16．已知直线经过点和点，若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向上，则的取值范围为______． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式． 18．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 19．已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 20．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 21．已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 22．已知二次函数的图像与x轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)若，求的值． (2)点，，是二次函数图像上三个不同的点． ①当时，求的值； ②当时，求的取值范围． 23．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求点的纵坐标的最小值． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接，． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测14 5.2.5 y=ax²+bx+c的图象和性质 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 2．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 3．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能根据图形读出正确信息是解此题的关键． 由题意得，二次函数的对称轴为直线，可求出的值，把点代入解析式，得，由此可求出这个二次函数的表达式． 【详解】解：由题意得，该二次函数的对称轴为：直线， 则， 解得：， 把点代入解析式，得， 故这个二次函数的表达式为， 故选：B． 4．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二次函数图象得出的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限． 【详解】解：抛物线开口向下得到， 对称轴在轴右侧，则，解得， 抛物线与轴交点在正半轴，则， ∴， ∴一次函数的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求． 5．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 6．如图，点和点是抛物线上关于抛物线的对称轴对称的两个点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线的轴对称性，熟练掌握抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标到对称轴的距离相等、纵坐标相等是解题的关键． 利用抛物线的轴对称性，已知点的坐标和对称轴方程，计算点到对称轴的水平距离，再根据对称关系求出点的横坐标，纵坐标保持不变． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点与点关于该对称轴对称， ∴点到对称轴的水平距离为， ∴点的横坐标为， ∵对称点的纵坐标相等， ∴点的坐标为， 故选：C． 7．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了根据对称点求抛物线对称轴．根据B和C到的距离，求出中点到的距离，然后求出一个抛物线的宽度，最后根据墙的长度即可求解． 【详解】解：∵抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的的距离分别为，， ∴中点到的距离为， ∴每个抛物线宽， ∵， ∴可以连续绘制6个这样的图案， 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②③；④为实数）；⑤．其中错误结论的个数有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，a＞0，抛物线与y轴交点在x轴下方，c＜0， 对称轴x＝﹣＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②由对称轴可知：﹣＝﹣1， ∴b＝2a， ∵x＝1时，y＝a+b+c＝0， ∴c+3a＝0， ∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确； ③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0）， ∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③不正确； ④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c， ∴x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a-b+c， 即a﹣b≤m（am+b），故④错误； ⑤抛物线与x轴有两个交点， ∴△＞0， 即b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确； 错误的个数只有2个， 故选B． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及数形结合的思想． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点．若直线．交直线于点，且为线段的中点，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出抛物线对称轴为直线，易得，则，进而求出，用待定系数法求出直线的表达式为， 则，把代入，即可求出a的值． 【详解】解：∵抛物线表达式为， ∴对称轴为直线， 把代入得：， ∴， ∵轴， ∴点A和点M关于直线对称， ∴， ∵为线段的中点， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入的：， ∴， 把代入得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性，以及用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． 10．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．抛物线经过点，则________． 【答案】/ 【分析】将已知点的坐标代入抛物线解析式，通过整理变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得， 移项得， 等式两边同时除以，得． 12．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 13．已知，为抛物线上不重合的两点，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质，由于点，的纵坐标相同，它们关于抛物线的对称轴对称．利用对称轴公式即可求出 m． 【详解】解：因为点，的纵坐标相等， 所以点，关于对称轴对称， 所以， 解得． 故答案为：3． 14．已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 【答案】 【分析】先把函数解析式化为顶点式，计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴当时有最小值是； 当时，， 当时，， ∴当 时，函数值y的取值范围为． 15．若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 16．已知直线经过点和点，若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向上，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】求出直线l的解析式，得到，设抛物线解析式为，把代入得，，，当时，，矛盾；当时，，根据抛物线开口向上，得，得，得，故m的取值范围是且． 【详解】解：∵直线经过点和点， ∴， 解得， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵以为顶点的抛物线过点， ∴设抛物线解析式为， 把代入。得， ∴， 当时，， 矛盾； 当时，， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故m的取值范围是且． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据配方法即可得解； （2）根据二次函数的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后所得抛物线的解析式为。 【点睛】本题主要考查二次函数的平移与二次函数顶点式，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．熟知二次函数图象平移时，上加下减，左加右减．即上下平移时，纵坐标加减，左右平移时，横坐标加减． 18．已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 【答案】(1)是， (2)0或 【分析】（1）根据二次函数的函数表达式求得该函数的顶点坐标P (，)，利用代换法即可求得顶点坐标所在的函数表达式； （2）因为直线经过二次函数图象的顶点P，所以顶点坐标也满足直线方程，故而将其代入直线方程，求解即可； 【详解】（1）解：P是在某条抛物线上， ∵二次函数，m是常数， ∴ ， ∴顶点坐标是． 设 ， 则， ∴ ， ∴所在轨迹的函数表达式是； （2）解：∵直线经过该二次函数的顶点， ∴ ， ∴， ∴或， ∴若直线经过该二次函数的顶点， m的值是−2或0； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测14 5.2.5 y=ax²+bx+c的图象和性质 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 2．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 3．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能根据图形读出正确信息是解此题的关键． 由题意得，二次函数的对称轴为直线，可求出的值，把点代入解析式，得，由此可求出这个二次函数的表达式． 【详解】解：由题意得，该二次函数的对称轴为：直线， 则， 解得：， 把点代入解析式，得， 故这个二次函数的表达式为， 故选：B． 4．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二次函数图象得出的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限． 【详解】解：抛物线开口向下得到， 对称轴在轴右侧，则，解得， 抛物线与轴交点在正半轴，则， ∴， ∴一次函数的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求． 5．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 6．如图，点和点是抛物线上关于抛物线的对称轴对称的两个点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线的轴对称性，熟练掌握抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标到对称轴的距离相等、纵坐标相等是解题的关键． 利用抛物线的轴对称性，已知点的坐标和对称轴方程，计算点到对称轴的水平距离，再根据对称关系求出点的横坐标，纵坐标保持不变． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点与点关于该对称轴对称， ∴点到对称轴的水平距离为， ∴点的横坐标为， ∵对称点的纵坐标相等， ∴点的坐标为， 故选：C． 7．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了根据对称点求抛物线对称轴．根据B和C到的距离，求出中点到的距离，然后求出一个抛物线的宽度，最后根据墙的长度即可求解． 【详解】解：∵抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的的距离分别为，， ∴中点到的距离为， ∴每个抛物线宽， ∵， ∴可以连续绘制6个这样的图案， 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②③；④为实数）；⑤．其中错误结论的个数有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，a＞0，抛物线与y轴交点在x轴下方，c＜0， 对称轴x＝﹣＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②由对称轴可知：﹣＝﹣1， ∴b＝2a， ∵x＝1时，y＝a+b+c＝0， ∴c+3a＝0， ∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确； ③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0）， ∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③不正确； ④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c， ∴x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a-b+c， 即a﹣b≤m（am+b），故④错误； ⑤抛物线与x轴有两个交点， ∴△＞0， 即b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确； 错误的个数只有2个， 故选B． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及数形结合的思想． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点．若直线．交直线于点，且为线段的中点，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出抛物线对称轴为直线，易得，则，进而求出，用待定系数法求出直线的表达式为， 则，把代入，即可求出a的值． 【详解】解：∵抛物线表达式为， ∴对称轴为直线， 把代入得：， ∴， ∵轴， ∴点A和点M关于直线对称， ∴， ∵为线段的中点， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入的：， ∴， 把代入得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性，以及用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． 10．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．抛物线经过点，则________． 【答案】/ 【分析】将已知点的坐标代入抛物线解析式，通过整理变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得， 移项得， 等式两边同时除以，得． 12．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 13．已知，为抛物线上不重合的两点，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质，由于点，的纵坐标相同，它们关于抛物线的对称轴对称．利用对称轴公式即可求出 m． 【详解】解：因为点，的纵坐标相等， 所以点，关于对称轴对称， 所以， 解得． 故答案为：3． 14．已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 【答案】 【分析】先把函数解析式化为顶点式，计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴当时有最小值是； 当时，， 当时，， ∴当 时，函数值y的取值范围为． 15．若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 16．已知直线经过点和点，若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向上，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】求出直线l的解析式，得到，设抛物线解析式为，把代入得，，，当时，，矛盾；当时，，根据抛物线开口向上，得，得，得，故m的取值范围是且． 【详解】解：∵直线经过点和点， ∴， 解得， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵以为顶点的抛物线过点， ∴设抛物线解析式为， 把代入。得， ∴， 当时，， 矛盾； 当时，， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故m的取值范围是且． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据配方法即可得解； （2）根据二次函数的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后所得抛物线的解析式为。 【点睛】本题主要考查二次函数的平移与二次函数顶点式，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．熟知二次函数图象平移时，上加下减，左加右减．即上下平移时，纵坐标加减，左右平移时，横坐标加减． 18．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 【答案】(1)填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） (2) 如图所示 (3) 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． 19．已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 【答案】(1)是， (2)0或 【分析】（1）根据二次函数的函数表达式求得该函数的顶点坐标P (，)，利用代换法即可求得顶点坐标所在的函数表达式； （2）因为直线经过二次函数图象的顶点P，所以顶点坐标也满足直线方程，故而将其代入直线方程，求解即可； 【详解】（1）解：P是在某条抛物线上， ∵二次函数，m是常数， ∴ ， ∴顶点坐标是． 设 ， 则， ∴ ， ∴所在轨迹的函数表达式是； （2）解：∵直线经过该二次函数的顶点， ∴ ， ∴， ∴或， ∴若直线经过该二次函数的顶点， m的值是−2或0； 20．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式，再化为顶点式即可解答； （2）作轴交于，作轴交于，由抛物线的对称性得，则，结合（1）得抛物线关于对称，则，求得，即，根据求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得 解得 ∴顶点坐标： （2）解：作轴交于，作轴交于， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线关于对称，令交于D， ∴， 又为中点 ， 由题意得， 由抛物线的对称性得， ， ∴ 解得： ∴，， 代入 把代入，得 ． 21．已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）①将，代入抛物线，将其改写为顶点式，进而得到顶点坐标； ②先根据平移规律得到新抛物线的表达式，再将点代入，得到h关于n的表达式，最后根据n的取值范围求出h的取值范围； （2）先确定抛物线的对称轴，再结合已知条件分情况讨论，根据二次函数的单调性求出b、c的值，进而得到抛物线的表达式． 【详解】（1）①解：当，时，抛物线， 则抛物线的顶点坐标为； ②解：由①知抛物线， 将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线为：， 将点代入新抛物线得：，即， 由于， 则当时，有最小值，最小值为1， 当时，， 当时，， 因此，h的取值范围为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2， 则 即当时，；时，， 代入抛物线得， 解得或（舍去）， 则该抛物线的表达式为． 22．已知二次函数的图像与x轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)若，求的值． (2)点，，是二次函数图像上三个不同的点． ①当时，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①．② 【分析】（1）令，求出，两点的坐标，根据，再求出点的坐标代入函数解析式，即可求出的值； （2）①根据题意先求出抛物线的对称轴，点，关于直线对称，即可求出的值；②先求出的对称点，结合图像得出点在对称轴右侧，根据增减性得出，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：令，解得，， 又点在点的左边， 点，点， ，且， 点的坐标为， 当时，，解得． （2）①由题意，可知抛物线的对称轴为直线， ， 点，关于直线对称， ，解得， ②点关于对称轴直线对称的点为， 结合函数图像， ， ， ，且， 点在对称轴右侧， 又，且在对称轴右侧，随的增大而增大， ，即， 综上所述，当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，与坐标轴的交点，对称性及增减性，求出对称轴，灵活利用二次函数图像的对称性求解是解答本题的关键． 23．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求点的纵坐标的最小值． 【答案】(1)； (2) (3)的最小值为 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标； （2）根据，点在抛物线上，求出点的坐标，求出二次函数的解析式，点在抛物线上且在轴上，即，求出点的坐标；则，根据三角形的面积公式，即可； （3）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点， ∴点，； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴， ∴． （3）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：，在取值范围内； ∴当时，有最小值，最小值为：． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接，． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标是，面积的最大值是8 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，铅锤法求三角形面积是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①设，根据，列出方程求的值即可求点坐标； ②设，过点作轴交于点，则，由此可得，当时，面积的最大值是8，此时点的坐标是． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，把，两点代入， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）①当时，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：或（舍）， ∴点的坐标为； ②设直线的解析式为：，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为第一象限内抛物线上一动点， ∴设，连接，，过点作轴交于点，如图： ， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是8． 把代入，， ∴此时点的坐标是； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测14 5.2.5 y=ax²+bx+c的图象和性质 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 2．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 3．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．如图，点和点是抛物线上关于抛物线的对称轴对称的两个点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②③；④为实数）；⑤．其中错误结论的个数有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点．若直线．交直线于点，且为线段的中点，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D． 10．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．抛物线经过点，则________． 12．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 13．已知，为抛物线上不重合的两点，则______． 14．已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 15．若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 16．已知直线经过点和点，若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向上，则的取值范围为______． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式． 18．已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $