二次函数的图象与性质巩固训练卷(七) 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，通过六类题型系统整合系数关系、图象变换等核心考点，提炼性质法、距离法等解题策略，培养几何直观与推理能力，形成从概念到应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |系数关系|2题（第2题综合结论判断）|开口方向/对称轴/与轴交点综合判断|系数特征决定图象位置，建立代数与几何关联| |与一次函数综合|2题（第4题顶点在线段上）|顶点坐标代入直线解析式|多函数图象交点与参数范围的推理| |图象变换|5题（第7题平移后交点问题）|平移“左加右减”/对称点坐标变换|从点变换到函数图象变换的迁移| |比较大小|2题（第11题四种解法）|性质法/距离法/代入法|利用对称轴与增减性分析函数值| |方程不等式|4题（第15题图象应用）|图象法解不等式/方程根范围|函数图象与方程、不等式的转化| |探究题|1题（第17题新函数探究）|函数性质探究步骤|从特殊到一般的数学思维应用|

二次函数的图象与性质巩固训练卷(七) 题型一二次函数的图象与系数的关系 1.已知二次函数 bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为 ( ) 2. (a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc<0;②2a+b=0;③m为任意实数时,a+b≤m(am+b);④a-b+c>0;⑤若 且 则 其中正确的是 ( ) A.①②③④ B.②③④ C.②③④⑤ D.①②③④⑤ 题型二二次函数与一次函数图象的综合 3.在同一坐标系中，一次函数y=bx-a和二次函数 的图象可能为 ( ) 4.如图，在平面直角坐标系中，一条直线与x轴、y轴分别交于A(4,0),B(0,2)两点,二次函数 2mx+n(m，n是常数)的图象的顶点P 在线段AB上，则n的最小值为 ( ) A.0 B. C. D. 题型三二次函数图象的平移、旋转、轴对称变换 5.在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 ( ) A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中，将抛物线 绕点(1,0)旋转 在旋转后所得的抛物线中，当x>-5时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是( ) A.k≤-5 B. k>-5 C.k≤-15 D. k>-15 7.把二次函数 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个交点，那么m应满足条件 . 8.将抛物线 向左平移2个单位长度，得到抛物线C₂，抛物线C₂与抛物线C₃关于x轴对称，则抛物线C₃的表达式为 . 9.如图,将抛物线 向右平移1个单位长度得到抛物线y₂，回答下列问题： (1)抛物线y₂的表达式是 ，顶点坐标是 (2)阴影部分的面积S= . (3)若将抛物线y₂绕原点O旋转180°得到抛物线y₃，求抛物线y₃的表达式. 10.知识再现： (Ⅰ)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)； (Ⅱ)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为.P'(-x,-y). 小颖在学习完“二次函数”后，从点的对称角度思考函数图象的对称，发现一次函数、二次函数图象上也可以应用点的对称特点. (1)根据上面知识，求与已知直线y=2x+3关于y轴对称的直线的解析式. 解：设与直线y=2x+3关于y轴对称的直线上任意一点的坐标为(x,y), ∵点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),且点(-x,y)必在直线y=2x+3上， ∴与已知直线y=2x+3关于y轴对称的直线的解析式为y=-2x+3. 理解上面的解题过程，并填空： 与已知直线y=2x+3关于x轴对称的直线的解析式为 (2)已知二次函数 的图象与抛物线 8x-7关于原点对称，求a，b，c的值. (3)以下每对函数的图象： ①y=2x+1与y=-2x-1; 与 与 与 其中一定关于原点对称的是 (填序号). 学科网（北京）股份有限公司 题型四用二次函数的图象与性质比较大小 11. 已知 是抛物线 上的三点，则 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 12.已知二次函数 的图象如图所示，点 在该二次函数图象上，则() A. B. C. D. 题型五用二次函数的图象求解方程(组)、不等式(组) 13.已知二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程 的其中一个解的范围是 ( ) A.-4<x<-3 B.-3<x<-2 C.-2<x<-1 D.-1<x<0 14.二次函数 (a,b,c是常数，a≠0)和一次函数y= kx+m(k,m是常数,k≠0)的图象如图所示,两交点分别为M(- ,2),N(2,-2),则关于x的不等式 m<0的解集是 . 交 15.如图所示的为二次函数 的图象，试观察图象回答问题： (1)方程 的解为 (2)当y>0时，直接写出x的取值范围： . (3)若方程 有实数根，则t的取值范围是 (4)当-3<x<3时,求y的取值范围. 16.已知抛物线的表达式为 (1)求抛物线的顶点坐标.(用含 a的式子表示) (2)若该抛物线与直线y=2x的交点的横坐标分别为x₁，x₂,证明: (3)求不等式 的解集.(用含a的式子表示) 题型六二次函数的图象与性质探究题 17.如何在数学拓展课上，九(1)班同学根据学习函数的经验，对新函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下： 【初步尝试】求二次函数 的图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标.函数图象与性质探究题 【类比探究】函数 的自变量x的取值范围是全体实数，下表为y与x的几组对应值. x -3 -1 0 1 2 3 y 3 0 -1 0 -1 0 3 ①根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分. ②根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质. 【深入探究】若点 M(m，y₀)在图象上，且 求m的取值范围. 1. C ∵c>0,∴-c<0,故A，D选项不符合题意；当a>0时，∵b>0,∴ ∴对称轴在y轴左侧，故B选项不符合题意;当a<0时,∵b>0, ∴对称轴在y轴右侧，故C选项符合题意.故选 C. 2. C ①由抛物线开口向上得a>0, 由抛物线对称轴为直线x=1,得 ∴b=-2a,∴b<0,由抛物线与y轴交于负半轴，得c<0， ∴abc>0,故①错误; ②由b=-2a得2a+b=0,故②正确; ③∵抛物线对称轴为直线x=1，开口向上， ∴当x=1时,函数取得最小值,为a+b+c, ∴m为任意实数时， 即a+b≤m(am+b),故③正确； ④∵抛物线与x轴一个交点在点(3，0)左侧，对称轴为直线x=1, ∴抛物线与x轴另一个交点在点(-1，0)右侧， ∴当x=-1时,y=a-b+c>0,i故④正确； ∴当x=x₁和x=x₂时，函数值相等， ∵x₁≠x₂,∴抛物线对称轴为直线 故⑤正确. 故选 C. 3. B选项A，由二次函数图象开口向下，得a<0，由一次函数的图象与y轴交点在负半轴上，得a>0，两者矛盾，故A不符合题意；选项B，由二次函数图象开口向上，得a>0，由对称轴在y轴右侧，得b<0，由一次函数的图象过第二、三、四象限，得b<0，a>0，故B符合题意；选项C，由二次函数图象开口向上，得a>0，由对称轴在y轴右侧，得b<0，由一次函数的图象过第一、二、三象限，得b>0，a<0，两者矛盾，故C不符合题意；选项D，由二次函数图象开口向上，得a>0，由对称轴在y轴左侧，得b>0，由一次函数的图象过第二、三、四象限，得b<0，a>0，两者矛盾，故D不符合题意.故选B. 4. B 设直线AB的函数表达式为y= kx+b, 则 解得 所以直线AB的函数表达式为 因为二次函数的表达式为 所以顶点P的坐标可表示为( 因为点P 在线段AB上，所以 整理得 所以 因为0≤m≤4, 所以当 时，n取得最小值，为 故选 B. 5. B根据平移规律“左加右减，上加下减”可得新抛物线对应的函数表达式为 即 故选B. 6. C由条件可知原抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴旋转后的抛物线对称轴为直线 开口向下，∵当x>-5时，y随x的增大而减小， ∴k≤-15.故选 C. 7.答案 m>3 解析 把二次函数 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，所得抛物线的表达式为 ∴平移后的抛物线的表达式为 ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个交点， ∴平移后所得抛物线与x轴无交点， ∴△=4-4(m-2)<0,∴m>3. 8.答案 解析 ∵抛物线 ∴抛物线C₁的顶点坐标为(2，1)， ∵将抛物线C₁向左平移2个单位长度，得到抛物线C₂， ∴抛物线 顶点坐标为(0,1), ∵抛物线C₂与抛物线C₃关于x轴对称， ∴抛物线C₃的开口方向与C₂相反，顶点坐标为(0，-1)， ∴抛物线C₃的表达式为 9.解析 (1)∵抛物线 向右平移1个单位长度得到抛物线y₂， ∴抛物线y₂的表达式是 顶点坐标为(1,2). (2)阴影部分的面积S=1×2=2. (3)∵将抛物线y₂绕原点O 旋转180°后得到抛物线y₃， ∴抛物线y₃的顶点坐标为(-1，-2)，开口向上， ∴抛物线y₃的表达式为 10.解析 (1)设与直线y=2x+3关于x轴对称的直线上任意一点的坐标为(x，y)， ∵点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),且点(x,-y)必在直线y=2x+3上, ∴-y=2x+3,即y=-2x-3. ∴与已知直线y=2x+3关于x轴对称的直线的解析式为y=-2x-3.故答案为y=-2x-3. (2)设与抛物线 关于原点对称的抛物线上任意一点的坐标为(x，y)， ∵点(x，y)关于原点对称的点的坐标为(-x，-y)，且点(-x,-y)必在抛物线 上， 即 ∴二次函数 中，,a=2,b=8,c=7. (3)③. 11. A 【解法一】性质法: ∴抛物线的对称轴为直线x=-1，开口向下,∴x>-1时,y随x的增大而减小，∵A(-2，y₁)是抛物线 上的点,∴A(-2,y₁)关于直线x=-1的对称点(0,y₁)也是抛物线上的点,∵-1<0<1<2, 【解法二】代入求值法：∵A(-2,y₁),B(1,y₂),C(2,y₃)是抛物线 上的三点， 【解法三】距离法： ∴抛物线的对称轴是直线x=-1，开口向下，∴抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值越小,∵A(-2,y₁),B(1,y₂),C(2,y₃)三点到对称轴的距离分别是1,2,3,∴y₁>y₂>y₃. 【解法四】图象法：画出二次函数图象的草图，标出三个点的大致位置，根据图象判定函数值的大小. ∴抛物线顶点坐标为(-1，3)，开口向下，对称轴是直线x=-1，可以画出抛物线的草图，如图，标出A(-2,y₁),B(1,y₂),C(2,y₃)的大致位置，由图象知y₁> 12. C由题图可知，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，∴当x<1时,y随x的增大而增大,∵点(1.5,y₃)关于直线x=1的对称点是点(0.5,y₃),且-1<0<0.5<1, 故选 C. 13. B依题意得二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线x=-1, ∵对称轴右侧图象与x轴交点横坐标在0与1之间，即0<x<1, ∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标在-3与-2之间，即一元二次方程 的其中一个解的范围是-3<x<-2. 故选 B. 14.答案 解析观察图象可知，当 时， 所以不等式 的解集为 15.解析 (1)整理 得(x+3)(x-1)=0,解得x=-3或1. 故答案为-3;1(或1;-3). (2)-3<x<1. ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为(-1，4)， ∴若方程 有实数根，则t的取值范围是t≤4.故答案为t≤4. (4)当x=3时, 当x=-3时, 由函数图象可知，当x=-1时，y取得最大值，为4，∴当-3<x<3时,y的取值范围是-12<y≤4. 16.解析 ∴抛物线的顶点坐标为(a，2a). (2)证明:令 整理得 ∵该抛物线与直线y=2x的交点的横坐标分别为x₁,x₂, (3)整理 得 不等式的解集为抛物线 在x轴下方部分的自变量的取值范围， 令.y=0,则 ∴(x-a)(x-a-2)=0,∴x=a或x=a+2, ∴抛物线 与x轴交点的坐标为(a，0),(a+2,0), ∴不等式 的解集为a<x<a+2,即不等式 的解集为a<x<a+2. 17.解析 【初步尝试】∵ ∴此抛物线的顶点坐标为(1，-1)， 令y=0,则 解得 ∴此抛物线与x轴的交点坐标为(0,0),(2,0). 【类比探究】①如图所示： ②(答案不唯一，合理即可)图象关于y轴对称；当x取1或-1时，函数有最小值，为-1. 【深入探究】令y=8，则 设t=|x|(t≥0),则方程变为 解得t=4或t=-2(舍),∴|x|=4,∴x=4或-4. 结合图象可知，当 时，m的取值范围是m≤-4或m≥4. $