周周练13 5.1-5.2.4认识二次函数与y=ax²、y=ax²+k、y=a(x−h)²、y=a(x−h)²+k的图象与性质（数学新教材北师大版九年级上册）

**基本信息** 聚焦二次函数概念与图像变换，通过基础辨析、实际建模及创新定义题，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配九年级周测学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|二次函数性质、图像对称、实际应用|围栏问题（第2题）体现模型意识，“不动点”定义（第10题）考查创新思维| |填空题|6/18|图像平移、面积计算、函数值比较|正方形中函数图像面积（第12题）融合几何直观，平移变换（第11题）巩固基础| |解答题|8/64|函数关系式、图像绘制、综合应用|函数图像探究（第24题）培养抽象能力，抛物线与矩形交点（第7题）提升推理能力|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测13 5.1-5.2.4认识二次函数与y=ax²、y=ax²+k、y=a(x−h)²、y=a(x−h)²+k 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵二次函数，， ∴当时，有最大值为7，故A选项说法错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线，故B选项说法正确，符合题意；C选项说法错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D选项说法错误，不符合题意． 2．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 3．在同一坐标系中，图象与的图象关于x轴对称的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知直角坐标系中关于轴对称的点的坐标的关系是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特征求得即可． 【详解】解：函数的图象关于轴对称的函数为，即． 故选：． 4．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 5．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 6．在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，二次函数图象的性质， 先根据一次函数图象的性质可知，可知抛物线的开口向下，再根据二次函数图象的性质可知其对称轴是，可得答案 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴抛物线的开口向下. ∵二次函数的对称轴是， ∴B符合题意. 故选：B 7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合的能力；抛物线的顶点为，所以c的变化会使得抛物线沿着y轴上下移动，结合图象找到临界状态即可确定c的范围． 【详解】解：如图所示，由题意得，， 当抛物线经过C点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得， 当抛物线经过A点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得，解得， 由图象得：当时，抛物线与矩形边界会有两个公共点， 故选：D． 8．已知二次函数，则以下结论： ①当时，随的增大而增大；②不论为任何负数，该二次函数的最大值总是3； ③当时，抛物线必过原点；④该抛物线和轴总有两个公共点． 其中正确结论是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据解析式可以得到函数的顶点坐标是，对称轴是直线，进而可判断①②，当时，函数的解析式是，将代入判断是否为即可判断③，根据顶点坐标及开口方向即可判断④． 【详解】解：根据解析式可以得到函数的顶点坐标是，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小，故①错误； 顶点坐标是，开口向下，则函数的最大值是3，则②正确； 当时，函数的解析式是，将代入得，即函数不经过原点，故③错误； 顶点坐标是，开口向下，则该抛物线和x轴总有两个公共点，故④正确． 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴， 故选：C． 10．定义：当时，其对应的函数值为，若成立，则称a为函数y的不动点.例如：函数，当时，，因为成立，所以2为函数y的不动点.对于函数，下列说法中正确的是（   ） ①当时，为该函数的不动点； ②当时，函数y没有不动点； ③若函数有且只有一个不动点，此时t的值为4； ④将函数图象向下平移个单位长度，当时，平移后函数有两个不动点． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】①读懂不动点的定义，算出进行判断即可；②当时，函数，令，方程无解即可判断；③当时，函数，由②知函数y没有不动点，当时，根据不动点的定义可知，判断函数有几个不动点可以转化为与的交点的个数，联立，消去得：，根据根的判别式进行求解，即可判断；④将函数图像向下平移个单位长度，得，联立，消去得：，利用跟的判别式来判断不动点的个数，注意的取值范围． 【详解】解：①当时，， ， 成立， ∴为函数y的不动点，故①正确； ②当时，函数， 令， 方程无解，则函数y没有不动点，故②正确； ③当时，函数， 由②知函数y没有不动点， 当时，根据不动点的定义可知，判断函数有几个不动点可以转化为与的交点的个数， 联立， 消去得：， 整理得到：， 要使函数有且只有一个不动点，则方程只有一个实数根， 则，即， 解得：（舍去），，故③错误； ④将函数图像向下平移个单位长度，得， 联立， 消去得：， 整理得到：， 则， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴当时，平移后函数不动点的个数为2个，故④正确； 则正确的结论有①②④． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 12．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 13．已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14．如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】根据，可知点C是线段的中点，设，可得代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴点C是线段的中点， ∵是抛物线与的公共顶点， 当时，， ∴， 设点C的坐标为， ∴点B的坐标为， 把代入得，， ∴． 15．抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 16．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）将代入，得． 18．已知一个形如的二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … m 2 3 2 … (1)______． (2)该二次函数的表达式______． (3)在给定的坐标系中画出该二次函数的图象． (4)当，则y的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3) 作图如下． (4) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）由抛物线为，可得对称轴是y轴，从而当时的函数值与当时的函数值相等，又当时，，进而可得当时，，即可得解； （2）依据题意，根据表格数据可得图象过，，则，从而可得，，进而可以判断得解； （3）依据题意，由二次函数为，从而可以作图得解； （4）依据题意，由，从而当时，y取最大值为3；当时，；当时，，进而结合图象，可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，抛物线为， 对称轴是y轴． 当时的函数值与当时的函数值相等． 当时，， 当时，， 故答案为：； （2）解：根据表格数据可得图象过，， ， ， 该二次函数的表达式为， 故答案为：； （3）略 （4）解：由题意，， 当时，y取最大值为3； 当时，；当时，； 结合图象，可得当时， ， 故答案为：． 19．把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 【答案】(1)，2， (2)函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的性质，可得答案； （3）计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到， ∵二次函数与是同一函数， ∴，，， 解得． 故答案为：，2，； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； （3）解：∵， ∴的最小值为； ∴时，， ∵时，， ∴当时，． 20．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入抛物线解析式进行求解即可； （2）由（1）可得点的坐标，然后代入得出点的坐标，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， 当时，则有， ∴， ∴． 21．已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中． 若抛物线的对称轴为， ①m的值为_ ﹔ ②当时，有 （填“”，“”或“”） ． 当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围． 【答案】（1）1；②=；（2） 【分析】（1）①把抛物线化为一般式，得，由对称轴公式，得； ②把分别代入和，即可比较与大小； （2）联立、的解析式得方程，△，题中，即抛物线与直线相交，有2个交点，当时和时代入方程，即得的值，可求出的范围． 【详解】解：（1）①由， 则对称轴， ， ②把分别代入与得， ，， ； （2）联立、的解析式可得，， 整理得，， 则△， ， ， 即就是没有直线与抛物线相切的情况． 当时，代入方程， 得， （负值舍去）， ， 当时，代入方程， 得， ， 又， 的取值为：． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数，解本题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴公式，代入法求值、一元二次方程的判别式等． 22．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧． (1)请直接写出抛物线C的对称轴 ，并写出a的值 ； (2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)，8 (2)线段的长度为， 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令，转化为方程求出即可； （2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论． 【详解】（1）解：原解析式变形为顶点式得， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为，此时取得最大值5． 把代入得 ，（舍去）． ； 故答案为：，8； （2）解：变形为顶点式得，，顶点坐标为， 根据平移规律可知，抛物线向左平移了3个单位，向下平移了5个单位． 点坐标为， 的坐标为，即， 线段的长度为， 线段的长度为． 23．探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)；；（答案不唯一） (3) 【分析】（1）①根据二次函数的顶点式，即可得到顶点坐标． ②同①解答即可． （2）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，根据在轴上和轴上的坐标特征，得到此时的顶点坐标，即可得出答案，当顶点在轴上时根据写出满足条件的解析式即可． （3）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，对称轴和开口方向，根据已知条件得出当时，此时，继而得到当时，的取值范围． 【详解】（1）解：①∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； ②∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； 故答案为：①；②； （2）解：∵二次函数，因为，此二次函数的顶点坐标为， ∴当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 此时二次函数的解析式为， 当时，此时二次函数的解析式为，（答案不唯一） 当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 故答案为：；；（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为， ∵与轴平行的直线与交于，两点， ∴该直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，到对称轴的距离相等， 当时，到对称轴的距离为， ∵点在左侧， ∴点的横坐标为， ∴当时，点到对称轴的距离不超过，且点在对称轴左侧， ∴的取值范围为. 24．九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是____________； (2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． (4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 【答案】(1)全体实数 (2)①，； ②所描点，如图所示； ③所作函数图象如图所示： (3)或 (4) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据函数解析式可直接进行求解； （2）把或代入函数解析式进行求解即可；②根据描点可进行作图；③根据描点、连线可进行作图； （3）根据函数图象可直接进行求解； （4）由图象易得点A、B在之间的函数图象上，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由可知：自变量为全体实数； 故答案为全体实数； （2）解：①当时，则有； 当时，则有； 故答案为，； ②略 ③略 （3）解：由（2）中函数图象可知：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或； 故答案为或； （4）解：∵点，均在该函数图象上，且， ∴根据（2）中函数图象可知：点A、B在之间的函数图象上， 由图象可知在之间的函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大， ∴当时，p与q的大小关系是； 故答案为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测13 5.1-5.2.4认识二次函数与y=ax²、y=ax²+k、y=a(x−h)²、y=a(x−h)²+k 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 2．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 3．在同一坐标系中，图象与的图象关于x轴对称的函数为（   ） A． B． C． D． 4．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 5．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 8．已知二次函数，则以下结论： ①当时，随的增大而增大；②不论为任何负数，该二次函数的最大值总是3； ③当时，抛物线必过原点；④该抛物线和轴总有两个公共点． 其中正确结论是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 10．定义：当时，其对应的函数值为，若成立，则称a为函数y的不动点.例如：函数，当时，，因为成立，所以2为函数y的不动点.对于函数，下列说法中正确的是（   ） ①当时，为该函数的不动点； ②当时，函数y没有不动点； ③若函数有且只有一个不动点，此时t的值为4； ④将函数图象向下平移个单位长度，当时，平移后函数有两个不动点． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 12．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 13．已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 14．如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 15．抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 16．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 18．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧． (1)请直接写出抛物线C的对称轴 ，并写出a的值 ； (2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测13 5.1-5.2.4认识二次函数与y=ax²、y=ax²+k、y=a(x−h)²、y=a(x−h)²+k 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵二次函数，， ∴当时，有最大值为7，故A选项说法错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线，故B选项说法正确，符合题意；C选项说法错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D选项说法错误，不符合题意． 2．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 3．在同一坐标系中，图象与的图象关于x轴对称的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知直角坐标系中关于轴对称的点的坐标的关系是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特征求得即可． 【详解】解：函数的图象关于轴对称的函数为，即． 故选：． 4．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 5．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 6．在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，二次函数图象的性质， 先根据一次函数图象的性质可知，可知抛物线的开口向下，再根据二次函数图象的性质可知其对称轴是，可得答案 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴抛物线的开口向下. ∵二次函数的对称轴是， ∴B符合题意. 故选：B 7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合的能力；抛物线的顶点为，所以c的变化会使得抛物线沿着y轴上下移动，结合图象找到临界状态即可确定c的范围． 【详解】解：如图所示，由题意得，， 当抛物线经过C点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得， 当抛物线经过A点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得，解得， 由图象得：当时，抛物线与矩形边界会有两个公共点， 故选：D． 8．已知二次函数，则以下结论： ①当时，随的增大而增大；②不论为任何负数，该二次函数的最大值总是3； ③当时，抛物线必过原点；④该抛物线和轴总有两个公共点． 其中正确结论是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据解析式可以得到函数的顶点坐标是，对称轴是直线，进而可判断①②，当时，函数的解析式是，将代入判断是否为即可判断③，根据顶点坐标及开口方向即可判断④． 【详解】解：根据解析式可以得到函数的顶点坐标是，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小，故①错误； 顶点坐标是，开口向下，则函数的最大值是3，则②正确； 当时，函数的解析式是，将代入得，即函数不经过原点，故③错误； 顶点坐标是，开口向下，则该抛物线和x轴总有两个公共点，故④正确． 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴， 故选：C． 10．定义：当时，其对应的函数值为，若成立，则称a为函数y的不动点.例如：函数，当时，，因为成立，所以2为函数y的不动点.对于函数，下列说法中正确的是（   ） ①当时，为该函数的不动点； ②当时，函数y没有不动点； ③若函数有且只有一个不动点，此时t的值为4； ④将函数图象向下平移个单位长度，当时，平移后函数有两个不动点． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】①读懂不动点的定义，算出进行判断即可；②当时，函数，令，方程无解即可判断；③当时，函数，由②知函数y没有不动点，当时，根据不动点的定义可知，判断函数有几个不动点可以转化为与的交点的个数，联立，消去得：，根据根的判别式进行求解，即可判断；④将函数图像向下平移个单位长度，得，联立，消去得：，利用跟的判别式来判断不动点的个数，注意的取值范围． 【详解】解：①当时，， ， 成立， ∴为函数y的不动点，故①正确； ②当时，函数， 令， 方程无解，则函数y没有不动点，故②正确； ③当时，函数， 由②知函数y没有不动点， 当时，根据不动点的定义可知，判断函数有几个不动点可以转化为与的交点的个数， 联立， 消去得：， 整理得到：， 要使函数有且只有一个不动点，则方程只有一个实数根， 则，即， 解得：（舍去），，故③错误； ④将函数图像向下平移个单位长度，得， 联立， 消去得：， 整理得到：， 则， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴当时，平移后函数不动点的个数为2个，故④正确； 则正确的结论有①②④． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 12．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 13．已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14．如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】根据，可知点C是线段的中点，设，可得代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴点C是线段的中点， ∵是抛物线与的公共顶点， 当时，， ∴， 设点C的坐标为， ∴点B的坐标为， 把代入得，， ∴． 15．抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 16．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）将代入，得． 18．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧． (1)请直接写出抛物线C的对称轴 ，并写出a的值 ； (2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)，8 (2)线段的长度为， 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令，转化为方程求出即可； （2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论． 【详解】（1）解：原解析式变形为顶点式得， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为，此时取得最大值5． 把代入得 ，（舍去）． ； 故答案为：，8； （2）解：变形为顶点式得，，顶点坐标为， 根据平移规律可知，抛物线向左平移了3个单位，向下平移了5个单位． 点坐标为， 的坐标为，即， 线段的长度为， 线段的长度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测13 5.1-5.2.4认识二次函数与y=ax²、y=ax²+k、y=a(x−h)²、y=a(x−h)²+k 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 2．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 3．在同一坐标系中，图象与的图象关于x轴对称的函数为（   ） A． B． C． D． 4．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 5．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 8．已知二次函数，则以下结论： ①当时，随的增大而增大；②不论为任何负数，该二次函数的最大值总是3； ③当时，抛物线必过原点；④该抛物线和轴总有两个公共点． 其中正确结论是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 10．定义：当时，其对应的函数值为，若成立，则称a为函数y的不动点.例如：函数，当时，，因为成立，所以2为函数y的不动点.对于函数，下列说法中正确的是（   ） ①当时，为该函数的不动点； ②当时，函数y没有不动点； ③若函数有且只有一个不动点，此时t的值为4； ④将函数图象向下平移个单位长度，当时，平移后函数有两个不动点． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 12．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 13．已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 14．如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 15．抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 16．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 18．已知一个形如的二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … m 2 3 2 … (1)______． (2)该二次函数的表达式______． (3)在给定的坐标系中画出该二次函数的图象． (4)当，则y的取值范围______． 19．把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 20．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 21．已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中． 若抛物线的对称轴为， ①m的值为_ ﹔ ②当时，有 （填“”，“”或“”） ． 当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围． 22．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧． (1)请直接写出抛物线C的对称轴 ，并写出a的值 ； (2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标． 23．探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 24．九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是____________； (2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． (4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $