精品解析：广西南宁市第十三中学2026-2027学年上学期开学质量检测 九年级数学试卷

2024级2026年秋季学期开学质量检测 九年级数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，7，8 C. 2，3，4 D. 3. 下列函数中，一次函数的式子是（ ） A. B. C. D. 4. 某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地上围一个四边形花坛．已知点E，F分别是边，的中点，测量得米，则的长是（ ） A. 8米 B. 10米 C. 16米 D. 32米 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 南宁某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天小时的气温变化情况．下列说法正确的是（ ） A. 上午点时，该地气温最低 B. 这一天早上点之后，该地气温一直在升高 C. 该地这天的最高与最低气温差大约是 D. 该地这天只有一个时刻的气温达到摄氏度 7. 如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某班选拔学生参加学校的运动会，如图是测量的每位学生心率的箱线图，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 48 10. 相关数据显示，近年来高科技制造业日新月异，呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年9月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 11. … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的开口向下 B. 二次函数图象的对称轴为直线 C. 若点在该函数图象上，则 D. 当时，随的增大而增大 12. 如图，在中，，以的三条边为边作三个正方形，得到正方形，正方形，正方形，且点N恰好是边的中点．若图中阴影部分的面积为8，则边的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 14. 一个正五边形的外角和为________． 15. 关于x的一元二次方程的两个根分别是m，n，则______． 16. 如图，矩形中，为的中点，点、为上两个动点，连接、，若，当______时，四边形的周长最小． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、解方程 （1）计算：； （2）用适当的方法解方程：． 18. 在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆． （1）在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为______，______． （2）对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形，______是正方形；（请将添加的条件填在横线上） （3）通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明． 已知：如图，、是正方形的对角线所在直线上的两点，且．求证：四边形是菱形． 19. 某校为培养学生的数学思维，激发学生学习数学的兴趣，开展了学生说题比赛，分别从八年级和九年级学生中各随机选出10位选手参赛，成绩（单位：分）如下： 八年级：，，，，，，，，，； 九年级：，，，，，，，，，． 数据整理如下表： 平均数 中位数 众数 方差 八年级 九年级 根据以上统计信息，回答下列问题： （1）表中______，______； （2）若该校八年级名学生都参加了本次比赛，估计该校八年级学生本次比赛成绩在分及以上的学生人数； （3）你认为此次说题比赛中，哪个年级的成绩更好？请说出一条理由． 20. 小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ （1）如果设金色纸边的宽度为分米，则挂画的长可表示为______分米，挂画的宽可表示为______分米，列出的方程为______． （2）根据你所列的方程求出的值． 21. 阅读材料 小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，，，均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，当，，，均为整数时，得：______，______；（均用含，的代数式表示） （2）若，当，，均为正整数时，求，，的值； 【拓展延伸】 （3）化简：______．（直接写结果） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点．已知点的横坐标为6，点的坐标为． （1）则点的坐标是______，直线的解析式是______． （2）若是直线上的点，且的面积为12，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，且当点在第一象限时，设是射线上的点，当为等腰三角形时，请求出点的坐标． 23. 综合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【问题背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． （1）【初步感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为______． （2）【综合探究】 ①如图2，说“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”？请说明理由． ②如图3，点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于．则（1）中结论是否仍然成立？回答并说明理由． （3）【拓展应用】取出如图2所示的菱形纸片，测得，在边上取一点，连接，在菱形内部作交于点，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级2026年秋季学期开学质量检测 九年级数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：二次根式需满足根指数为2且被开方数为非负数， A、不含二次根号，不符合； B、根指数为2，被开方数，符合定义； C、根指数为3，不符合； D、不含二次根号，不符合． 2. 以下各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，7，8 C. 2，3，4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形， B、，，，不能构成直角三角形， C、，，不能构成直角三角形， D、，，，不能构成直角三角形． 3. 下列函数中，一次函数的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项与D选项的分母均含自变量，不符合一次函数是含自变量的整式的要求； B选项中自变量的最高次数为2，不符合一次函数定义； C选项符合一次函数（为常数，）的形式． 4. 某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地上围一个四边形花坛．已知点E，F分别是边，的中点，测量得米，则的长是（ ） A. 8米 B. 10米 C. 16米 D. 32米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位线．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质，平行于底边且等于底边的一半．由题意知，是的中位线，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，是的中位线， ∴米， 故选：A． 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：D． 6. 南宁某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天小时的气温变化情况．下列说法正确的是（ ） A. 上午点时，该地气温最低 B. 这一天早上点之后，该地气温一直在升高 C. 该地这天的最高与最低气温差大约是 D. 该地这天只有一个时刻的气温达到摄氏度 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象观察最高气温、最低气温、气温变化趋势及特定气温对应的时刻进行判断即可． 【详解】解：对于，时气温约为，时气温约为，时不是气温最低时刻，故错误． 对于，时至时气温随时间增加而降低，点之后气温不是一直在升高，故错误． 对于，最高气温约为，最低气温约为，温差约为，故正确． 对于，气温为的时刻有时以及时至时之间、时至时之间，不止一个时刻，故错误． 7. 如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再利用等边对等角求解即可． 【详解】解:，点为的中点， ， ，  ， ． 8. 某班选拔学生参加学校的运动会，如图是测量的每位学生心率的箱线图，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】箱线图中箱体的左边界表示第一四分位数． 【详解】解：由图可知，箱体的左边界对应的数值为， 这组数据的第一四分位数是． 9. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质求出的长，进而得到的长，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，， ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 10. 相关数据显示，近年来高科技制造业日新月异，呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年9月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为． 11. … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的开口向下 B. 二次函数图象的对称轴为直线 C. 若点在该函数图象上，则 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 12. 如图，在中，，以的三条边为边作三个正方形，得到正方形，正方形，正方形，且点N恰好是边的中点．若图中阴影部分的面积为8，则边的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点H，交于点L，由及正方形的性质得，，，推导出，，可证明，得，再证明，得，推导出，求得，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点H，交于点L， ∵，四边形、四边形、四边形都是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 14. 一个正五边形的外角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】任意多边形的外角和为． 【详解】解：正五边形的外角和为． 15. 关于x的一元二次方程的两个根分别是m，n，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，， ， ∴． 16. 如图，矩形中，为的中点，点、为上两个动点，连接、，若，当______时，四边形的周长最小． 【答案】 【解析】 【分析】四边形的周长为，其中，为定值，因此当最小时四边形的周长最小；通过在上截取，将平移为，再在的延长线上截取线段，利用两点之间线段最短确定点的位置，然后以点为原点，建立平面直角坐标系，利用待定系数法求得的解析式，从而得到此时点的坐标，进而求得的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形，为的中点， ∴，，，，， 在中，， ∵四边形的周长为， ∴当最小时，四边形的周长最小； 如图，在边上截取线段，在的延长线上截取线段，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，，点在上， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， 即当、、三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小； 如图，、、三点共线，以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入， 得 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴此时点的坐标为， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、解方程 （1）计算：； （2）用适当的方法解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质化简，二次根式的乘除运算法则计算，再合并同类二次根式即可； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，． 18. 在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆． （1）在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为______，______． （2）对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形，______是正方形；（请将添加的条件填在横线上） （3）通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明． 已知：如图，、是正方形的对角线所在直线上的两点，且．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）相等，相等且互相垂直； （2）邻边相等且有一个角为直角的平行四边形； （3）证明：设与相交于点O，如图所示： ∵四边形是正方形， ，， ∵点E、F是对角线所在直线上的两点，且， ， ， ∴与互相垂直平分， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）①由与对角线相等的平行四边形是矩形，因此可得答案为相等； ②由于对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，因此可得答案为相等且互相垂直； （2）选择平行四边形时，由于邻边相等且有一个角为直角的平行四边形是正方形，因此可得答案为邻边相等且有一个角为直角的平行四边形；选择矩形时，由于邻边相等的矩形是正方形，因此可得答案为邻边相等的矩形；选择菱形时，有一个角是直角的菱形是正方形，因此可得答案为有一个角是直角的菱形，综上所述即可得出答案； （3）设与相交于点O，由正方形性质得，，再根据得，进而得与互相垂直平分，据此可得四边形是菱形． 【小问1详解】 解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形， ∴横线①②上需要补充的条件依次为相等，相等且互相垂直； 【小问2详解】 解：选择平行四边形时，则邻边相等且有一个角为直角的平行四边形是正方形，理由如下：∵邻边相等的平行四边形是菱形， 又∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件为：邻边相等且有一个角为直角的平行四边形； 选择矩形时，邻边相等的矩形是正方形， ∴添加的条件为：邻边相等的矩形， 选择菱形时，则有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件为：有一个角是直角的菱形； 【小问3详解】 略． 19. 某校为培养学生的数学思维，激发学生学习数学的兴趣，开展了学生说题比赛，分别从八年级和九年级学生中各随机选出10位选手参赛，成绩（单位：分）如下： 八年级：，，，，，，，，，； 九年级：，，，，，，，，，． 数据整理如下表： 平均数 中位数 众数 方差 八年级 九年级 根据以上统计信息，回答下列问题： （1）表中______，______； （2）若该校八年级名学生都参加了本次比赛，估计该校八年级学生本次比赛成绩在分及以上的学生人数； （3）你认为此次说题比赛中，哪个年级的成绩更好？请说出一条理由． 【答案】（1）； （2）人 （3）八年级的成绩更好，理由如下： ①从中位数看，八年级的中位数高于九年级的中位数，说明八年级的成绩整体更靠前；②八年级的方差小于九年级的方差，说明八年级的成绩更稳定．（言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数与众数的定义进行计算即可； （2）计算样本中分及以上的学生占比，再乘以八年级学生总数即可； （3）从中位数、众数和方差的角度评价两个年级的成绩即可． 【小问1详解】 解：将八年级的成绩从低到高重新排列得：，，，，，，，， ，， 其中第个数为，第个数为， ∴八年级的中位数， 九年级的成绩中，分出现次，出现的次数最多， ∴九年级的众数； 【小问2详解】 解：由题意可知，八年级的样本中，分及以上的学生有人， （人）， ∴该校八年级学生本次比赛成绩在分及以上的学生人数约有人； 【小问3详解】 略 20. 小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ （1）如果设金色纸边的宽度为分米，则挂画的长可表示为______分米，挂画的宽可表示为______分米，列出的方程为______． （2）根据你所列的方程求出的值． 【答案】（1）；； （2）1 【解析】 【分析】（1）先根据四周都加宽，得到挂画新的长和宽，再利用总面积列出一元二次方程． （2）把一元二次方程展开整理后，因式分解解方程，最后舍去负数解，结合实际意义，得到纸边的宽度． 【小问1详解】 设金色纸边的宽度为分米， 由于纸边在图片四周， 因此挂画的长为原图片的长加上两侧纸边的宽度，即分米； 挂画的宽为原图片的宽加上两侧纸边的宽度，即分米； 根据“挂图面积=长宽”，且挂图面积为80平方分米，可列出方程：． 【小问2详解】 由题意得方程：， 整理得，即， 两边同时除以4，得， 因式分解得， 解得， 因为纸边的宽度不能为负数，所以舍去， 即， 答：金色纸边的宽应是1分米． 21. 阅读材料 小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，，，均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，当，，，均为整数时，得：______，______；（均用含，的代数式表示） （2）若，当，，均为正整数时，求，，的值； 【拓展延伸】 （3）化简：______．（直接写结果） 【答案】（1）； （2），，或，， （3） 【解析】 【分析】（1）将完全平方公式展开，再结合无理数与有理数的运算法则，对比等式两边即可得到与； （2）类比（1）的解法进行展开，可得，结合正整数的性质求出与，再求出即可； （3）设，，均为有理数，展开后可得关于与的等式，利用完全平方公式变形求出，再求出与． 【小问1详解】 解：， ∵，，，均为整数， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴，，即， ∵，均为正整数， ∴，或，， ∴，，或，，； 【小问3详解】 解：设，，均为有理数， ∴， ∵，均为有理数， ∴，， ∴， ∴， ∴，或，， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点．已知点的横坐标为6，点的坐标为． （1）则点的坐标是______，直线的解析式是______． （2）若是直线上的点，且的面积为12，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，且当点在第一象限时，设是射线上的点，当为等腰三角形时，请求出点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）在射线上，当为等腰三角形时，的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）把点的横坐标代入，解出即可得的坐标，根据待定系数法，把，，代入，列方程组，解出即可得直线的解析式． （2）设，过作于，根据的坐标，求出，再根据的面积求出，即为，分别把的两个值代入解析式可求出，即可得的坐标． （3）设射线的解析式为，根据待定系数法求出射线的解析式，设，进一步求出，，，分别根据当、 、时，为等腰三角形，即可列方程解出的坐标，综合即可得答案． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为6，点在直线上， ∴， ∴， ∵直线:经过，， ∴，解得： ∴， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图， 设，过作于， ∵点的坐标为， ∴， ∵的面积为12， ∴，即：，解得：， ∴， ∴， ∵是直线上的点， ∴①当时，，此时， ②当时，，此时， ∴或． 【小问3详解】 解：如图， 设射线的解析式为， ∵射线经过点、， ∴，解得： ∴， ∴射线的解析式为， ∵是射线上的点， ∴可设， ∴， ∵， ∴，， ①当时，为等腰三角形，即： ，解得：或（舍）， ∴， ∴． ②当时，为等腰三角形，即: ，解得：或（舍）， ∴， ∴． ③当时，为等腰三角形，即: ，解得：或（舍）， ∴， ∴． 综上所述，在射线上，当为等腰三角形时，的坐标为或或． 23. 综合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【问题背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． （1）【初步感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为______． （2）【综合探究】 ①如图2，说“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”？请说明理由． ②如图3，点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于．则（1）中结论是否仍然成立？回答并说明理由． （3）【拓展应用】取出如图2所示的菱形纸片，测得，在边上取一点，连接，在菱形内部作交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）解：①当点为上任意一点时，仍然成立．理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②当点为射线上任意一点时，仍然成立．理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）5或3 【解析】 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）①利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； ②利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，分别讨论即可． 【小问1详解】 解：线段与之间的数量关系：，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵点是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 ①略；②略； 【小问3详解】 解：如图，过点作于，连接，则， ∵四边形是菱形，， ∴，, ∴是等边三角形， ， ∴， 在中，，， ， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧（图中处）时，， ∴或， 由（2）知：， ∴， ∴或3， ∴线段的长为5或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $