精品解析：四川眉山市东坡区实验初级中学2025-2026学年九年级上学期第二阶段考试 数 学 试 卷

四川省眉山市东坡区实验初中2026届第五学期第二阶段考试 数学试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 2、选择题每小题选出答案后请填写在答题卡上． 3、非选择题必须填写在答题卡规定的位置上． 4、考生必须保持答题卡的整洁． 第Ⅰ卷：选择题（共48分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分． 1. 若有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 5. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线沿轴向左平移2个单位后，再沿轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（　　） A. B. 1 C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点间的距离为3 D. 当时，的值随值的增大而增大 11. 已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A. 1或﹣5 B. ﹣1或5 C. 1或﹣3 D. 1或3 12. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，BF与CE相交于点H，直线EN交CB的延长线于点N，作CM⊥EN于点M，交BF于点G，且CM=CD，有以下结论：①BF⊥CE；②ED=EM；③tan∠ENC=；④S四边形DEHF=4S△CHF，其中正确结论的个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 若，则______． 14. 已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为______（用“”连接）． 15. 若，分别是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 16. 如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是_____． 18. 如图，在矩形中，，，的顶点E在边上，且，，，则的长为______________________． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分． 19. 计算： 20. 解方程：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点O都在单位长度为1的正方形网格的格点上． （1）以点O为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点A、B、C的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点O的右侧； （2）点的坐标为_______． （3）的面积是 平方单位． 22. 如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． （1）求证：． （2）若，点E是边的中点，求的长． 23. 在一座小山山顶建有与地平线垂直的电视发射塔．为测量该小山的铅直高度，某数学兴趣小组在地平线上的处测得电视发射塔顶的仰角为，后沿地平线向山脚方向行走米到达处，在处测得电视发射塔的底部的仰角为，若电视发射塔的高度为米，测角仪的高度忽略不计，求小山的铅直高度．（结果保留根号） 24. 某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 25. 如图1，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，．与相交于点G，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图2，连接，求证：． 26. 已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． （3）如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省眉山市东坡区实验初中2026届第五学期第二阶段考试 数学试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 2、选择题每小题选出答案后请填写在答题卡上． 3、非选择题必须填写在答题卡规定的位置上． 4、考生必须保持答题卡的整洁． 第Ⅰ卷：选择题（共48分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分． 1. 若有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义中关于被开方数非负的要求，求的取值范围. 【详解】二次根式必须满足：被开方数是非负数，所以，解得，故选A． 【点睛】本题考查二次根式的定义. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，分别根据二次根式的运算法则计算各选项即可得解． 【详解】解：A. ，原选项运算错误，不符合题意； B. ，原选项计算正确，符合题意； C. ，原选项运算错误，不符合题意； D. ，原选项运算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 4. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即的取值范围为且． 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 5. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以原价25元为初始基数，每次降价后售价为前一次的倍． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 原来的每件25元，第一次降价后的售价为元，第二次降价后的售价为元， 由最终售价为16元，得． 6. 把抛物线沿轴向左平移2个单位后，再沿轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进而得出平移后的解析式即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得到， 再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是：，即． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比为：， 故选：D． 8. 如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦值、勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识点，在网格中构造直角三角形是解题的关键． 如图：根据网格以及勾股定理及其逆定理确定格点D，使得是直角三角形，根据勾股定理得出的长，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：确定格点D，使得是直角三角形， 根据勾股定理得：， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出AB的值，由D是AB中点求出CD的值，再由题意可得出EF是△ACD的中位线即可求出. 【详解】∠ACB=90°，∠A=30°， BC=AB. BC=2, AB=2BC=22=4, D是AB的中点, CD=AB= 4=2. E,F分别为AC,AD的中点, EF是△ACD的中位线. EF=CD= 2=1. 故答案选B. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理. 10. 如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点间的距离为3 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴，解得， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故A、B错误，D正确； ∵，对称轴为直线，点， ∴， ∴，故C错误． 故选：D． 11. 已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A. 1或﹣5 B. ﹣1或5 C. 1或﹣3 D. 1或3 【答案】B 【解析】 【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果． 【详解】∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1=5， 解得：h=﹣1或h=3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h的值为﹣1或5， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可． 12. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，BF与CE相交于点H，直线EN交CB的延长线于点N，作CM⊥EN于点M，交BF于点G，且CM=CD，有以下结论：①BF⊥CE；②ED=EM；③tan∠ENC=；④S四边形DEHF=4S△CHF，其中正确结论的个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①正确．由△CDE≌△BCF，推出∠CBF=∠ECD，由∠ECD+∠ECB=90°，推出∠CBF+∠BCE=90°，推出∠BHC=90°，推出BF⊥CE； ②正确．只要证明Rt△CEM≌Rt△CED即可； ③正确．首先证明NE=NC，设NE=CN=x，EM=DE=AE=a，则CM=CD=2a，在Rt△CNM中，可得（x-a）2+（2a）2=x2，推出由计算即可； ④正确．易知△CHF∽△CDE，可得 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴ ∵ ∴DE=CF, ∴△CDE≌△BCF， ∴∠CBF=∠ECD， ∵ ∴ ∴ ∴BF⊥CE，故①正确， ∵ ∴Rt△CEM≌Rt△CED， ∴EM=DE，故②正确， ∴∠CED=∠CEM=∠ECN， ∴NE=NC，设NE=CN=x，EM=DE=AE=a，则CM=CD=2a， 在Rt△CNM中, 解得 tan∠ENC 故③正确， 易知△CHF∽△CDE， ∴ ∴S四边形DEHF=4S△CHF，故④正确， 故选:D. 【点睛】考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，综合性比较强，对学生要求较高. 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】已知和比值，用未知量分别表示出和．代入原式中即可得出结果． 【详解】解：根据题意，设，， 则原式， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，掌握表示出x，y是解题关键． 14. 已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为______（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．由二次函数可知对称轴为，图象开口向上，在对称轴两侧时，则的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此可判断，，的大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为，开口向上， 到坐标轴的距离为， 到坐标轴的距离为， 到坐标轴的距离为， ， ， 故答案为：． 15. 若，分别是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系:，， 求出两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系，可得：，． ∴． 16. 如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 【答案】米 【解析】 【分析】根据坡度定义求出水平宽度，再利用勾股定理计算斜边的长． 【详解】解：由题意可知，在中，，． 斜坡的坡度， ， 在中，由勾股定理得：， 故斜坡的长度是米． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是_____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可． 【详解】解：由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5， ∴∠EFC+∠AFB=90°， ∵∠B=90°， ∴∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠EFC=∠BAF，cos∠BAF=， ∴cos∠EFC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，余弦的概念． 18. 如图，在矩形中，，，的顶点E在边上，且，，，则的长为______________________． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作延长线于点，证明，再结合角的正切值，得出，则，，再在中，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，过点作延长线于点，则， 在矩形中，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ，， ，即， 在中，， ， ， ， ， ． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值、零指数幂、三角函数、负指数幂、二次根式的运算法则计算即可． 【详解】 = 【点睛】本题考查绝对值、零指数幂、三角函数、负指数幂、二次根式的混合运算,关键在于牢记运算法则． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用因式分解法求出的值即可． 【详解】解： 移项得： 提取公因式得 即 得或 解得：， 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点O都在单位长度为1的正方形网格的格点上． （1）以点O为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点A、B、C的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点O的右侧； （2）点的坐标为_______． （3）的面积是 平方单位． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2） （3）14 【解析】 【分析】（1）连接并延长至，使得，连接并延长至，使得，连接并延长至，使得，顺次连接、和即可； （2）根据（1）中作图可直接得出答案； （3）利用割补法求出的面积，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，点的坐标为； 【小问3详解】 解：， 与的相似比为， 与的面积比为， ． 22. 如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． （1）求证：． （2）若，点E是边的中点，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质、直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）由矩形的性质得，，根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 23. 在一座小山山顶建有与地平线垂直的电视发射塔．为测量该小山的铅直高度，某数学兴趣小组在地平线上的处测得电视发射塔顶的仰角为，后沿地平线向山脚方向行走米到达处，在处测得电视发射塔的底部的仰角为，若电视发射塔的高度为米，测角仪的高度忽略不计，求小山的铅直高度．（结果保留根号） 【答案】小山的铅直高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设米，由正切函数得，可求出，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米，，，， 设米，则米， 在中，， 解得：， 米， 在中，， ， ， 解得． 小山的铅直高度为米． 24. 某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式． （2）根据总利润每千克的利润销量，列一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意可知，将和代入中得， 解得： y与x之间的函数关系式为 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得：， 解得：， 又要让顾客获得更大实惠， ． 答：这种干果每千克应降价元． 25. 如图1，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，．与相交于点G，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图2，连接，求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，点在的延长线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 故； （2） （3）证明：如图，在线段上取点，使得， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可得到，则； （2）先证明，得到，设，则，即可得到，解方程得到． （3）在线段上取点，使得，证明，得到，即可得到为等腰直角三角形，最后得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 设，则， ∴， 化简得， 解得或（舍去）， ∴． 【小问3详解】 略 26. 已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． （3）如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积最大值为，此时点M的坐标为 （3）存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $