四川自贡市第二十二中学校2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

**基本信息** 本试卷以文化传承（云纹青铜大铙、赵州桥）、科技前沿（机器人搬运、人工智能）为情境，通过基础题（如因式分解、科学记数法）、综合题（动态几何、函数与几何综合）、创新应用题（光的反射测量高度）构建能力梯度，适配九年级月考对知识掌握与应用的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|图形性质（轴对称与中心对称）、代数运算（科学记数法）|结合博物馆标志、文物示意图考查几何直观| |填空题|5/20|因式分解、圆锥侧面积、规律探究|以扇形做帽子、正三角形中点连线体现空间观念| |解答题|9/40|方程应用（机器人搬运）、统计分析（课程喜好）、动态几何（旋转与函数）|23题通过光的反射测量高度，发展应用意识与推理能力|

2026年九年级数学学校第二次测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．春风不语，文物有声．春日里的博物馆，藏着时光的沉淀，也藏着文明的回响．趁着春假暖阳，很多同学走进博物馆，赴一场与历史的温柔相遇，下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．地球绕太阳公转的速度约是，110000用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 5．某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（   ） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 6．关于的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 7．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，点、分别是正方形的边、上的动点，且，过原点作，垂足为，连接、，则面积的最大值为（    ） A． B．12 C． D． 二、填空题 11．因式分解________． 12．计算：_________． 13．如图，丁丁用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面周长为，那么这张扇形纸板的面积是______． 13题图 14题图 14．如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形，算出了正的面积，然后分别取三边的中点，作出了第二个正三角形，算出第2个正的面积，用同样的方法作出了第3个正，算出第3个正的而积，依此方法作下去，由此可得第个作出的正的面积是___________ 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为__________． 三、解答题 16．计算： 17．如图，是△ABC的角平分线，在上取点，使． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 18．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 19．某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，学校随机抽取部分学生进行了你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）的问卷调查．并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：    (1)参加问卷调查的学生人数是__________人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为__________；补全条形统计图。 (2)若该校共有学生1500名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有 人； (3)现从喜好编导表演的甲，乙，丙、丁四名学生中任选两人搭档彩排双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的，并写出点 的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 21．已知，在中，，以为直径的交于点D，过圆心O作的平行线，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径； （3）若，求AB的长． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．   (1)求m的值和一次函数的表达式； (2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标． (3)若点Q是双曲线在第一象限上的一个动点，连结，将绕点O逆时针旋转90度得到，点M在第二象限，随着点Q的运动，点M的位置也不断变化，但始终在某函数图象上运动，请直接写出这个函数解析式． 23．【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图1，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度． 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图2）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 【应用拓展】 （3）小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔的高度．他们给出了如下测量步骤（如图3）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔的高度（结果保留整数）． 24．如图1，直线与抛物线交于，两点，抛物线与轴的另一个交点为B，顶点为D． (1)求抛物线的解析式． (2)点M是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M作于N，作于F，交于点E，当时，求点M的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为，设平移时间为t秒，当为等腰三角形时，求t的值． 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A B A A B B D 11． 12． 13． 14． 15． 16．解：原式 ……………………5分 ……………………………………………………8分 17．解：（1）平分， ．……………………1分 ， ，……………………2分 ，……………………3分 ．……………………4分 （2），， ．……………………5分 ． ．……………………6分 平分， ， 即．……………………8分 18．解： 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料……………1分 根据题意得：……………………3分 解得：，……………………5分 经检验，为原方程的解，且符合题意，……………………6分 则，……………………7分 ∴种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料．…………………8分 19．(1)240，36，图略……………………4分【每空1分，补全条形图2分若未标数据扣1分】 (2)450……………………6分 (3)……………………10分【列表或者树状图2分，写出总的等可能结果12种，其中该事件2种再得1分，最后写出概率为再得1分，共4分】 20．解：（1）如图所示：即为所求，………………2分 ；………………3分 （2）如图所示：即为所求，………………5分 ；………………6分 （3）由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧， ∵，………………7分 ∴点A旋转到点所经过的路径长为 ………………9分 ………………10分 21．证明：（1）如图，连接， ， ， ， ，， ，………………1分 在和中，， ，………………2分 ，即， 又是的半径， 是的切线；………………3 （2）设的半径为，则， ， ，………………4分 由（1）已证：， 在中，， ，即，………………5分 解得， 即的半径为4；………………6分 （3）， 是△ABC的中位线， ，………………7分 由（1）已证：， ， ，………………8分 又， ， 是等边三角形，………………9分 ， ， 在中，………………10分 22．（1）点在反比例函数的图象上， ，，………………1分 ，                           又点，都在一次函数的图象上， ，解得，                             一次函数的解析式为………………3分 （2）对于，当时，， ∴，， ∵，     ………………4分                             过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．   ， ．………………5分 ， 解得．                         ………………6分 点P的纵坐标为2或． 将代入得， 将代入得， ∴点或………………8分 （3）这个函数解析式是………………10分 ∵点Q是双曲线在第一象限上的一个动点， ∴将绕点O逆时针旋转90度后，点Q的对应点M也在反比例函数图象上运动， 如图，设的对应点为，作于点E，作于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴ 设点M所在的反比例函数解析式为， ∴， ∵点M在第二象限， ∴这个函数解析式是． 23．（1）解：由题意得：，，， ．………………1分 ， ， 即， ，………………2分 ，即， ． 答：建筑物的高度为．………………3分 （2）解：如图1，过点作，过点作． ∴，，………………4分 同（1）可得，，， ，，………………5分 ，，………………6分 ． 答：这个广告牌的高度为；………………7分 （3）解：如图3，过点作于点，过点作于点． ∵， ∴ ∴ ∴ ∴………………8分 ∴设， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴，………………9分 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴设， ∴ ∵，， ∴， ∴………………10分 同（1）得：， ∴， ∴， 解得：，………………11分 ∴． 答：信号塔的高度约为．………………12分 24．（1）解：把代入得， 解得，抛物线的解析式，………………3分 （2）把代入得 ， 解得， 直线的解析式为，………………4分 ，， ， 设， ，………………5分 ， ， ， ， 解得：（舍），，………………6分 ， ；………………7分 （3）， 顶点，………………8分 ，………………9分 将抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移， t秒时向右，向上平移t个单位， ，………………10分 ，，，………………11分 ∵是等腰三角形， 当时，，解得………………12分 当时，，解得………………13分 当时，，解得（舍去）或 综上，或或；………………14分 学科网（北京）股份有限公司 $