精品解析：四川省眉山市东坡区苏洵初级中学2024—2025学年上学期11月检测九年级数学试题

眉山市东坡区苏洵初级中学九年级上册11月检测试题 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 5. 下列四组图形中一定相似的是（ ） A. 正方形与矩形 B. 正方形与菱形 C. 等边三角形与等边三角形 D. 矩形与矩形 6. 在中，，那么的值等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，E为上一点，连接，交于点F，，则为（　） A. B. C. D. 8. 顺次连接菱形各边中点得到一个四边形，该四边形一定是（ ） A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 9. 如图，与位似，点为位似中心，且点在边上．若，，则的长为（   ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 10. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数（，，为常数，）的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③若点 在该二次函数的图象上，则； ④若方程的两根为，，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 已知二次函数，当时，y随x的增大而___________（填“增大”或“减小”）． 14. 在中，，点、、分别是边、、的中点，若，，则的值为________． 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 16. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则_____________． 17. 已知实数，满足，则代数式的最小值是________． 18. 如图，在边长为4的正方形中，E在边上，连接AE，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，连接，若，则的长是______． 三、解答题（共78分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知，． （1）求的值； （2）若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 21. “道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个． （1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率； （2）若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元? 22. 如图在平行四边形中，对角线与相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 已知一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）若的两边、的长是原方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求该三角形的周长． 24. 如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： （1）当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？ （2）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 25. 某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 26. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断的形状并说明理由； （3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一个动点．是否存在以点N、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 眉山市东坡区苏洵初级中学九年级上册11月检测试题 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据定义进行化简判断即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； 是最简二次根式，故选项B符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选B． 3. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．该方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出，代入计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选C． 5. 下列四组图形中一定相似的是（ ） A. 正方形与矩形 B. 正方形与菱形 C. 等边三角形与等边三角形 D. 矩形与矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的相似，根据相似的定义是图形形状相同，对应边成比例，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、正方形与矩形的形状不相同，故该选项是不符合题意； B、正方形与菱形的形状不相同，故该选项是不符合题意； C、等边三角形与等边三角形的形状相同，对应边成比例，故该选项是符合题意； D、矩形与矩形的形状相同，对应边不一定成比例，故该选项是不符合题意； 故选：C 6. 在中，，那么的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，根据即可求解； 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， 故选：C 7. 如图，在中，E为上一点，连接，交于点F，，则为（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质和相似三角形判定与性质，根据平行四边形得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8. 顺次连接菱形各边中点得到一个四边形，该四边形一定是（ ） A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理，连接、，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，，，根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：连接、， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，，，是中点， ∴，， ∴， 同理：，，， ∴四边形是矩形． 故选：B． 9. 如图，与位似，点为位似中心，且点在边上．若，，则的长为（   ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了位似图形性质，相似三角形的判定和性质．根据位似图形性质，相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的性质求解，即可解题． 【详解】解： 与位似，点为位似中心， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 10. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．首先根据二次函数的解析式得到抛物线的对称轴为且开口向上，其中点和在对称轴左侧，在对称轴右侧，找到点关于对称轴的对称点，然后再根据二次函数的性质得到． 【详解】解：二次函数的对称轴为，且开口向上， 在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 和在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点是， ， 故选：B． 11. 以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点分别作轴的垂线，，继而得到，即可求解坐标． 【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足为点，则 ∵， ∴ 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴ 故选：A． 12. 二次函数（，，为常数，）的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③若点 在该二次函数的图象上，则； ④若方程的两根为，，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线对称轴为，故，再结合抛物线与轴交于正半轴，可得，进而可以判断①；时，，又，从而可以判断②；由，，为对称轴，∴到对称轴直线的距离，比到对称轴直线的距离近，结合图象可以判断③；由图象可得为对称轴，，由于方程的两根为，，，，可得，故可以判断④． 【详解】解：由题意，∵抛物线开口向下， ∴． 又∵抛物线对称轴为． ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴． ∴，故①正确． 由图象可得当时， 又∵， ∴，故②正确． ∵，，为对称轴， ∴到对称轴直线的距离，比到对称轴直线的距离近， 结合图象可得：，故③正确． 由图象可得为对称轴，， ∵方程的两根为，，，， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的有：①②③④． 故选：D． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 已知二次函数，当时，y随x的增大而___________（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，利用二次函数的解析式画出示意图，根据图象解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中画出二次函数的示意图如下： 抛物线的对称轴为直线，由图象可以看出： 当时，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 故答案为：增大． 14. 在中，，点、、分别是边、、的中点，若，，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，再根据，进而求得，再由勾股定理求出长，即可求解． 【详解】解：∵，点是边的中点， ∴， ∵、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是边的中点， ∴， 故答案为：2． 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．一元二次方程根的判别式：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程整理得， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 16. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，先根据题意得到，代入原式整理，再结合根与系数的关系得到，即可求出． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根 ∴ ∴ ∵、是一元二次方程的两个实数根 ∴ ∴， 故答案为：． 17. 已知实数，满足，则代数式的最小值是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了代数式的知识，根据得出，代入代数式中，然后结合二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 原式 ， ， ， ∴， 当时，原式取最小值为10， 故答案为：10． 18. 如图，在边长为4的正方形中，E在边上，连接AE，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，连接，若，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，过作于，交延长线于，由旋转和正方形可证明，得到，，再证明四边形是正方形， 设，则，，最后证明，得到，代入列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作于，交延长线于，则， ∵边长为4的正方形， ∴，， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解法主要包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得，即， 开方得， 解得； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 于是得， 解得． 20. 已知，． （1）求的值； （2）若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）由，得，，把变形为，再整体代入计算即可； （2）先判断，，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，； ∴； 【小问2详解】 ∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 21. “道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个． （1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率； （2）若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元? 【答案】（1）该商店安全头盔销售量的月平均增长率为 （2）该头盔的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为元/个，“月销售利润达到元”列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意可得：， 解得：，（舍去）， 答：该商店安全头盔销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为元/个， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价为元/个． 22. 如图在平行四边形中，对角线与相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定得到，可证明是菱形，得到，继而得到，得出，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，得出，计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知是菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ． 23. 已知一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）若的两边、的长是原方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求该三角形的周长． 【答案】（1） 证明：∵一元二次方程 ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）该三角形的周长为或 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的定义及三角形三边关系，对于一元二次方程，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题关键． （1）先计算判别式，得出即可得答案； （2）首先用表示出方程的两个实数根，然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系，结合分类讨论的数学思想逐一计算即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ 解得：，， ∵的两边、的长是原方程的两个实数根， ∴的两边长为，， ∵是等腰三角形，第三边的长为5，且， ∴或， 当时，三边长为、、，符合三角形三边关系，周长为， 当时，三边长为、、，符合三角形三边关系，周长为， ∴该三角形的周长为或． 24. 如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： （1）当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？ （2）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27 （2）的值为秒或3秒 【解析】 【分析】（1）当，四边形是梯形，此时易证，根据三角形相似得到，即，即可得到t，利用梯形的面积的面积的面积求面积； （2）讨论：当，即，此时，由（1）得；当，则，，即可得到t． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ， 当，四边形是梯形， ， ∴，即， ∴， ∴， ∴梯形的面积的面积的面积 ， 当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27； 【小问2详解】 解：， 当，则， ， 由（1）得； 当，则， ∴，即， ∴， 当的值为秒或3秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了坐标与图形，梯形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握分类讨论思想的运用以及三角形的相似的判定定理是解题的关键． 25. 某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 【答案】36米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，，， ， 由平面镜反射可知，， ， ∴ ， ，，8， ， 解得：， ， ， ，， ， ， ， ∴ ， 即， 解得：， 凌霄塔的高度为36米． 26. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断的形状并说明理由； （3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一个动点．是否存在以点N、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形，理由： 如图，连接，，， 由（1）可得，， ∴， 当时，， ∴，又， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）如图，连接，，，先求得，，利用两点坐标距离公式证得，根据勾股定理的逆定理可得结论； （3）设，根据等腰三角形的定义和性质分类讨论：当时；当时；当时；由此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，理由如下， ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点， ∴设， 当时，是等腰三角形， 由得， 解得，， ∴或； 当时，是等腰三角形， 由 得， 解得：（舍去），， ∴； 当时，是等腰三角形， 由得， 解得，， ∴； 综上所述，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与特殊三角形的综合运用，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握二次函数的性质以及分类讨论求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $