江苏省通州高级中学2026-2027学年高三上学期数学周练一0706

**基本信息** 聚焦高三数学核心知识，通过单选、多选、填空梯度设计，考查集合关系、立体几何判定、函数导数应用等，融合数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配周测限时训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、二项式定理、立体几何、正态分布等|第8题函数恒成立问题，通过分离参数结合导数考查逻辑推理| |多选题|3/24|二项式系数、三次函数性质、正方体动点轨迹|第11题正方体表面动点轨迹，综合空间观念与几何直观| |填空题|3/36|正四棱台体积、切线方程、三人游戏期望|第14题“剪刀石头布”游戏期望计算，体现数据分析与数学建模|

通州高级中学2027届高三（上）数学 限时训练（一）20260706 一、单选题 本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．已知随机变量，，若，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 5．已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为， 3 4 6 7 20 40 60 那么当时的残差为（     ） A． B． C． D． 6．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 7．已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 8．若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 本题共3小题，每小题8分，共24分。 9．已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 10．设函数，则（    ） A．当时，是的极大值点 B．当时，有三个零点 C．存在a，使得点为曲线的对称中心 D．存在a，b，使得为曲线的对称轴 11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（    ）    A．存在点使得 B．若点满足，则动点的轨迹长度为 C．若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D．当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2 三、填空题 本题共3小题，每小题12分，共36分。 12．正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的体积为______． 13．曲线在点处的切线l的方程为________，若直线l与二次函数的图象只有一个公共点，则实数的值为_____________． 14．甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得2分，赢2个人得5分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为_____________． 通州高级中学2027届高三（上）数学 限时训练（一）20260706 一、单选题 1．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 2．若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的展开式的通项，令的次数等于，求出对应的值，再代入系数结合题意即可求得实数的值. 【详解】二项式的展开式的通项为, 令，解得， 所以，解得 故选：D. 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【详解】选项A：若，，，则可取的方向向量分别是平面的法向量， 两个垂直平面的法向量互相垂直，因此，即，A命题正确； 选项B：两个平面垂直时，分别在两个平面内的直线可以平行、斜交或异面，不一定垂直， 举例：墙面垂直地面，墙面内平行于墙脚交线的直线，与地面内平行于交线的直线互相平行， 并不垂直，因此B命题错误； 选项C：若，，可得，又，因此，C命题正确； 选项D：根据线面平行判定定理：n平行于平面α内的直线m，且，因此，D命题正确. 4．已知随机变量，，若，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】结合正态分布与二项分布性质计算即可得. 【详解】由，，则，， 由，则，， 由，则，故， 则，故. 5．已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为， 3 4 6 7 20 40 60 那么当时的残差为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 因经过点，则，解得， 当时，， 故所求残差为. 6．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 7．已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】B 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及“1”的代换，可判定A错误、C错误；B正确；由 ，得到 ，化简得到 ，可判定D不正确. 【详解】因为正数 ，满足 ， 对于A，由 ，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为 ，所以A错误； 对于B，由， 因为 且 ，所以 ， 即，所以，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，因为 ，可得 ， 则， 当且仅当时，取得最小值 ，所以D不正确. 8．若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分离参数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】对任意恒成立等价于对任意恒成立， 令，则，故等价于对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，为. 要使对任意恒成立，只需. 实数的取值范围为. 二、多选题 9．已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 【答案】ABC 【详解】令，得，再令，得， ，A选项正确. 根据二项式系数和的性质，对于二项式，所有二项式系数和为， 且奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，都为， 的展开式中，对于所有含的偶数次项的二项式系数和， 即为展开式中奇数项的二项式系数和，为，B选项正确. 而. 可得除了最后一项外，其余各项均能被8整除，故被8除所得的余数是，C选项正确. 对两边分别求导， 可得. 令，得，D选项错误. 10．设函数，则（    ） A．当时，是的极大值点 B．当时，有三个零点 C．存在a，使得点为曲线的对称中心 D．存在a，b，使得为曲线的对称轴 【答案】BC 【分析】A选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；B选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；C选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断； 【详解】A选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，A选项错误； B选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，B选项正确； C选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，C选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，C选项正确. D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，D选项错误； 故选：BC 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心. 11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（    ）    A．存在点使得 B．若点满足，则动点的轨迹长度为 C．若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D．当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2 【答案】ACD 【分析】根据各选项的条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，并借助线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理的应用进行判断即可. 【详解】设正方体棱长为，为中点， 对A：如图：    在正方体中，对角线 平面， 若取动点落在的边上，则平面， 由线面垂直性质得： ，所以存在满足条件的点，故A正确； 对B：如图   建立空间直角坐标系：， ， 设，， ，所以，即， 在正方体表面，满足该式的动点轨迹为矩形（分别为中点）， 矩形邻边长：， 轨迹周长，故B错误； 对C：如图：    依次取：为中点，为中点，为中点，为中点，为中点， 顺次连接，得六边形， 由中位线定理：， 所以平面，平面， 又是平面内的两条相交直线， 所以平面平面， 若在六边形边上，则平面，所以平面， 即动点的轨迹为六边形， 因为正方体棱长为，所以， 该六边形六条边长全部相等，每个内角均为， 六边形是正六边形， 所以动点的轨迹是正六边形，故C正确； 对D：如图：    由以上坐标系知，且正方体棱长为，侧面内所有点横坐标恒为， 设，其中 设，代入距离公式： ，即， 在侧面矩形内，该方程表示以为圆心、半径的一段圆弧， 因为，，平面， 所以平面， 又因为平面平面，平面，平面， 根据二面角平面角定义，即为二面角的平面角， 在矩形内，过作延长线，垂足为， 中，， 越大，二面角越大，即最大化， 因为，则当取圆弧上切点时， ，， 所以， 即二面角最大角的正切值为，故D正确. 三、填空题 12．正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的体积为______． 【答案】/ 【详解】如图，设正四棱台的上下底面中心分别为，则平面， 因平面，则，过作于点，则， 故平面.又正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为， 则，， 则，则正四棱台的高， 所以正四棱台的体积. 13．曲线在点处的切线l的方程为________，若直线l与二次函数的图象只有一个公共点，则实数的值为_____________． 【答案】；1 【详解】可知，当时，， 所以曲线在点处的切线为，即， 则有且仅有一个解，消去得， 化简得，所以，解得. 14．甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得2分，赢2个人得5分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为_____________． 【答案】 【分析】考虑所有可能的取值，然后计算出每种取值对应的概率，进而由分布列求得期望． 【详解】当三人手势完全相同时，三人均得0分，此时，， 当三人手势均不相同时，三人均得2分，此时，， 当两人手势相同，第三人不同时，有以下两种情况： 若手势相同的两人赢第三人，则手势相同的两人各得2分，第三人得0分，此时，， 若手势相同的两人输第三人，则第三人得5分，手势相同的两人得0分，此时，． 因此的分布列为 0 4 5 6 故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $