培优07 反比例函数几何综合（6大题型）数学新教材人教版九年级上册

培优07 反比例函数几何综合 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.函数基础：反比例函数定义、图象与性质（双曲线、象限分布、增减性——必须强调“在每个象限内”）；的几何意义（垂线矩形面积＝，三角形面积＝）；一次函数图象与性质；待定系数法求解析式。 2.函数综合：一次函数与反比例函数联立求交点（化为一元二次方程）；不等式解集与图象上下位置关系；直线平移后解析式（截距）的变化。 3.几何知识：矩形、正方形、菱形、平行四边形的边角与对角线性质；等腰三角形三线合一、等腰直角三角形、等边三角形、含30°直角三角形；勾股定理；线段垂直平分线性质；中点坐标公式、两点间距离公式。 4.全等与相似：ASA/AAS全等（一线三等角、一线三垂直），相似三角形的判定与比例性质。 5.变换：关于原点中心对称、关于坐标轴轴对称、坐标系内平移的坐标变化规则。 6.代数工具：因式分解法、公式法解一元二次方程；分式方程（需验根）。 二 解题模型 1.的几何意义面积模型： 作垂线→面积＝→面积与互化求值 2.图形定坐标模型： 设顶点坐标→用矩形、菱形、三角形性质表示其余点→代入解析 3.双交点综合模型： 待定系数求两解析式→联立求交点→由图象写不等式解集→割补法求三角形面积 4.全等构造模型： 过点作坐标轴垂线，构造“一线三垂直”“一线三等角”，用全等转化线段 5.存在性问题模型： 设点坐标→分类讨论（等腰三情形、直角顶点、平行四边形对角线）→列方程→验证 6.变换与最值模型： 对称点转化折线段，平移前后坐标对应 题型分析 题型1：的几何意义与面积问题 【例1】 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据其比例系数求出的面积即可． 【详解】解：∵反比例函数过点， ∴ 解得， ∴， ∵点P是函数图象上任意一点，且轴， ∴． 变式1-1 （2022·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ，解得（负数舍去）． 变式1-2 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【答案】的面积为5 【分析】过点作轴于点，则四边形为矩形，根据反比例函数值的几何意义，得到矩形的面积等于，再根据的面积是矩形面积的一半即可得解． 【详解】解：过点作轴于点， ∵轴，， ， ∴四边形为矩形， 设与轴的交点为，则四边形和四边形均为矩形， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， ∵为矩形的对角线， ∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于5． 题型2：正方形、矩形问题 【例2】 （26-27九年级上·四川内江·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】延长，交轴于点，设，则，先求出，，，，的长，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图，延长，交轴于点， ∵， ∴设，则， ∵轴，轴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 变式2-1 （25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据待定系数法得到，过点作轴于点，通过证明，得到，过点作轴于点，同理可证，继而得到，从而根据待定系数法得到． 【详解】解：将点代入反比例函数表达式， ，故①正确； 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得，故②，③正确； ，，，， 如图，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， ， 将点代入反比例函数表达式， ，故④正确． 变式2-2 （2026·陕西·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 题型3： 平行四边形、菱形问题 【例3】 （25-26八年级下·重庆万州·期末）在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（     ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点，先求出平行四边形得面积，再求出的面积，根据反比例函数的几何意义即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点， ∵、两点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴． 变式3-1 （2022·山东威海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，双曲线经过点D，交边于点E，且，则E的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，求得点和点坐标，从而求得直线和反比例函数的解析式，联立即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 在菱形中，，，， ， ， 设，则， 由图可得，，即， 由勾股定理得解得或（舍去）， ，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ， 将代入得，解得，即， 又为的中点， ， 设直线解析式为， 代入、得，，解得， ∴， 联立和得， 解得或（舍）， 检验：将代入分母得，结果不为0， ∴是分式方程的解， 将代入得，， ∴． 变式3-2 （26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1)；；(2) 【分析】（1）根据题意分别确定点，点的坐标，用待定系数法即可求反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点P作x轴的平行线交于Q，先确定直线的关系式，设，则，分别求出和的面积，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：，， 在中，，， 把代入，得， ， 一次函数的解析式为． 四边形是菱形， ． 轴， ， 把代入反比例函数， 得， 反比例函数的解析式为； （2）解：将联立，解得或， ． 过点P作x轴的平行线交于Q， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为， 设，则， ， ， 由题意， ，解得， 点P为线段上的一个动点， ， 不合题意（舍去）， ， ． 题型4：特殊三角形问题 【例4】 （21-22九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰三角形的性质可得，根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标是，从而可得，根据三角形的面积公式即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 设点的坐标是，则点的坐标是， ，， 是等腰三角形， ， 轴 点的横坐标是，纵坐标是， 轴交双曲线于点， 点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， ， ， ． 变式4-1 （2022·浙江台州·模拟预测）如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点、分别作 轴的垂线，构造直角三角形，利用等边三角形性质表示出、坐标，代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 设，则． 为边长为5的等边三角形， ，． 在中，，， ，． 点在第三象限， ． 在中，，， ，． ，点在第三象限， ． 点、在反比例函数图象上， ． ． ， ． ，解得． ． 变式4-2 （25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解． 【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作交的延长线于点， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中，，∴， ∴， ∴点的横纵坐标的绝对值相等， 又∵点在第一象限， ∴点的横纵坐标相等， 设点，，且点在反比例函数上， ∴，解得， ∴点的坐标为． 题型5：一次函数与双曲线交点问题 【例5】 （25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ，解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 变式5-1 （25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，坐标为或 【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式． （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点， ∴将代入一次函数得，即， ∴将代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数解析式为． （2）∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D， ∴令，得，即点，；令，得，即点，． ∵，即B到y轴距离为1， ∴， ∴． 设点在反比例函数图象上，以为底，则高为， ∴，即或． 当时，由得，此时；当时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 变式5-2 （26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，y1=－2x＋2；(2)3；(3)或 【分析】（1）根据待定系数法即可确定反比例函数解析式，然后确定，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）过点A作交的延长线于点D，结合图形，求三角形面积即可； （3）结合图形得出当或时直线在双曲线的下方即可求解． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点， ∴， ∴， ∵直线的图象经过点，， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）过点A作交的延长线于点D， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， 由函数图象可知，当或时直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 题型6：其他图形变换问题 【例6】 （2026·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)，；(2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则，解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 变式6-1 （2026·安徽蚌埠·三模）如图，在中，轴于点B，点B关于直线的对称点为点C，连接，．若，反比例函数的图象经过的中点D． （1）当时，则点C的坐标为______； （2）若，则______． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接，过点C作轴于点M．利用等边三角形的判定和性质，正切函数求解即可． （2）连接，交于点E，连接，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G．根据三角形相似的判定和性质，勾股定理，求解即可； 【详解】（1）解：如图1，连接，过点C作轴于点M． ∵点B关于直线的对称点为点C，， ∴，． ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴点C的坐标为． （2）解：如图2，连接，交于点E，连接，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G． ∵点B关于直线的对称点为点C， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴在中，． ∵点D是的中点，E是的中点， ∴． ∵轴，轴． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴． ∴点D的坐标为． ∴． 变式6-2 （25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1)，；(2)，；(3) 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入直线得，，解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得，解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得，解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴，解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 解题技巧 1.设而不求、消元：设点坐标带字母，利用横纵坐标乘积等于消参，是贯穿全卷的第一技巧。 2.作垂线构造直角三角形：凡求坐标必过点作轴（或轴）垂线，把几何量转化为横纵坐标。 3.面积转化三板斧：割补法、面积和差、等底等高。 4.善用对称性：过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，坐标互为相反数。 5.全等、相似定坐标：一线三垂直出全等直接得线段相等；相似用比例式列方程。 6.交点问题统一套路：联立→化一元二次方程→求根（验根）→得坐标；不等式解集直接看图象高低。 7.存在性问题：先设坐标→用两点距离公式或中点公式列方程→分类完整→回代验证范围（象限、分母、题目条件）。 8.中点与平移：中点坐标取两端点坐标的平均值；平移只改变横或纵坐标的一个分量。 归纳总结 一、重点 1.的几何意义与面积互化：几乎每题都以面积为核心，是反比例函数几何综合的“题眼”。 2.待定系数法求解析式：解答题第（1）问标配，必须熟练。 3.双曲线与直线交点→不等式解集→三角形面积三位一体的主干流程。 4.矩形、等腰直角三角形、菱形的坐标表示：把平面几何问题翻译成代数方程。 二、难点 1.多条件叠加：同一题同时用全等＋相似＋勾股＋面积，步骤链长、易断。 2.含参坐标运算：设字母坐标后的大代数运算与消元，计算量大。 3.存在性问题分类讨论：等腰三角形三种情况、直角三角形两种直角顶点、平行四边形对角线三种取法，易漏情形。 4.多结论判断题：需逐项验证、构造反例。 5.动点与分段讨论：动点在不同线段运动时的取值范围需分段。 三、易错点 1. 增减性表述：反比例函数增减性必须强调“在每个象限内”，跨象限不可直接比较大小。 2.的符号：图象在二、四象限时，面积取，漏负号必错。 3. 面积公式：三角形面积＝而非；矩形面积＝，勿混淆。 4. 分式方程验根：联立所得根必须检验分母与题目范围。 5. 二次方程取舍：勾股或面积列出的方程常出现负根、超范围根，必须舍去并说明。 6. 坐标与象限：由线段长写坐标时易漏负号（负半轴、第二象限）。 7. 分类讨论遗漏：等腰三角形未分三边两两相等的三种情况；平行四边形对角线只取一种。 8. 不等式解集端点：开闭区间与“或”的连接关系，需与交点横坐标对应。 四、数学思想 1. 数形结合（最核心）：图象与解析式互译——面积看几何意义、解集看图象高低、交点看联立方程。 2. 方程思想：设坐标→列方程→解方程，是坐标系几何问题的通用引擎。 3. 转化思想：几何量（线段、面积）与代数量（坐标、）双向转化；陌生图形割补成熟悉图形。 4. 分类讨论思想：存在性、动点运动分段、等腰/直角三角形顶点讨论。 5. 建模思想：把矩形、等腰直角三角形等几何结构提炼为“定坐标模型”反复套用。 6. 对称与变换思想：中心对称、轴对称、平移的不变性简化计算（将军饮马、对称点坐标）。 7. 函数与运动观点：动点变化中研究的范围与图象经过次数。 同步测评 1．（2026·宁夏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点H，由点B的坐标结合矩形的性质可得点D的坐标，点E的横坐标，得到的长，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，将点E的横坐标代入，可得点E的坐标，从而求出的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和． 【详解】解：设，其中，， 点在反比例函数上， ， 直线过原点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，进而求出，再说明，然后根据勾股定理得，即可求出，最后根据的周长为得出答案． 【详解】解：∵点A在双曲线上， ∴， ∴，则． ∵线段的垂直平分线交于点B， ∴． 在中，， ， 则， 即， 解得（负值舍去）， ∴的周长为． 4．（24-25九年级下·山西·阶段检测）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先求出C，B坐标，从而求出OC，OB长度，由得，据此可求A点横坐标，代入即可求出A点纵坐标，将A点坐标代入即可得到k的值． 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，代入得． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象性质可知点关于点O对称，由的面积是4，说明，再根据反比例函数比例系数的几何意义结合图象位置即可求解． 【详解】解：是反比例函数图象上的两点，且过原点O， 根据反比例函数的对称性得：点关于点O对称， ， 的边上的高与的边上的高相同，的面积是4， ， 轴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 该反比例函数的图象在第二、四象限， ． 6．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设点的横坐标为，根据函数图像上点的坐标特征可得，继而得到，，得出，，再根据，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点， ∴轴，轴， 设点的横坐标为， ∵点在函数的图像上， 当时，得， ∴， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵顶点、均在函数的图像上， 当时，得；当时，得； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 8．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得 9．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 【答案】C 【分析】由题意易得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，然后根据一次函数及反比例函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由题意可把代入一次函数得：，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在一次函数上， ∴， ∴点的坐标为，故A正确； 由图象可知：若，则的取值范围是或，故B正确； ∵， ∴一次函数随的增大而增大，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，故C错误； 由一次函数可知：其函数图象与轴的交点坐标为， ∴，故D正确． 10．（2022·四川绵阳·模拟预测）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，则，，作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点，易得四边形为矩形，分割法求出阴影部分的面积即可. 【详解】解：∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，设， ∴，， 作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点， ∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形为矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为. 11．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 12．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】9 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据菱形的面积求出，再根据勾股定理求出，得到点的坐标从而求出． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ， 由菱形的性质知， 菱形的面积为， ， ， 由勾股定理得， 结合点在第四象限得， 由点在反比例函数上得． 14．（2026·山东东营·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，其中点的坐标为．为双曲线上的一点，横坐标为，轴，交直线于点，连接，． (1)求直线和双曲线的表达式； (2)求与的面积比； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)；；(2)；(3)或 【分析】（1）直线的解析式是，利用待定系数法求出直线的解析式；利用待定系数法求出双曲线的解析式； （2）求出点、的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出、的长度，根据与的面积比等于线段、的长度比即可求出结果； （3）由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立，根据点、的坐标即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式为； 把点的坐标为代入， 可得：， 双曲线的表达式为； （2）解：由函数图象可知点、关于原点对称， 点的坐标是， 点横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， ，， ； （3）解：由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立， 不等式的解集是或． 15．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； 【答案】(1)8；(2)，24；(3)或 【分析】（1）把代入可求出a的值，然后把A的坐标代入求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式，然后联立直线解析式与反比例函数解析式，求出方程组的解，即可求出点C的坐标，根据求解即可； 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∴， 把代入，得，解得； （2）解：设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立方程组，解得（舍去）或， ∴， 对于，当时，，解得， ∴， ∴； 16．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 17．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)或；(3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得或， ∴点的坐标为或． 18．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)的值为；(2)或；(3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线交轴于点，先求出，设，则，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； （3）解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或，解得或， 则或． 19．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；(2)或；(3)或. 【分析】（1）把代入和解方程即可得到结论； （2）把代入得，，得到，于是得到不等式的解集； （3）设，先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式构建关于m的方程求解即可. 【详解】（1）的图象与一次函数的图象交于． ∴，， ∴，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：把代入得， ∴， ∴不等式的解集为或； （3）解：对于，当时，，解得， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴，解得， 当时，，则； 当时，，则； 综上，点P的坐标为或. 20．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为y．一次函数的表达式为y；(2)点坐标为或 【分析】（1）先把代入反比例函数求出，得到反比例解析式，再将代入反比例函数求出；最后把、两点坐标代入，解方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点，设为；设，以为公共底边，利用列式计算，解出． 【详解】（1）解：把代入反比例函数， ，解得， 反比例函数解析式：． 将代入： ， ． 把，代入得方程组： ，解得， 一次函数解析式：． （2）解：设直线与轴交于点，如图所示， 令，解得， ． 设点坐标，则． 的高为点纵坐标6，的高为点纵坐标的绝对值． ， 解得或， 点坐标为或． 21．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1)；(2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ，解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 22．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在轴上，连接，，若，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数表达式为一次函数的表达式为；(2)或；(3)或 【分析】（1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将、代入即可求解； （2）由得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得： ，解得， ， 将点的坐标代入反比例函数关系式得∶ ，解得：， ， 将、代入得， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图， ， ， ，解得：， 对于一次函数，当时， ，解得：， ， ， ，解得：或1， 的坐标为或； （3）解：由图象得或． 23．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，；(2)；(3)或 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式； （2）直线交轴于点，用割补法求出的面积； （3）根据函数图象找到不等式的解集． 【详解】（1）解：反比例函数过， 可得：，解得：， 反比例解析式为， 将代入， 可得：，解得：， 点的坐标为， 一次函数过、， 可得：，解得， 一次函数解析式：； （2）解：当时，, 直线交轴于点， ， 答：的面积为； （3）解：由函数图象可知，当或时，变形为， 不等式的解集为或． 24．（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)；(3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得，解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ，解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 25．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①点P的坐标为或；②见详解 【分析】（1）先把代入求出m，再把点B坐标代入反比例函数解析式，即可得到结论； （2）①解方程得到，在中，令，进而求得，设，由，根据三角形的面积公式列方程求解； ②设，根据平行四边形的对角线中点交于一点列方程组求解，再验证明求得的E点是否在反比例函数上，即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入中得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①解得或， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； ②存在，或或． 理由如下： ∵点P为y轴上一点，反比例函数的图象是否存在一点E， ∴设，， ∵，，以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； ∴存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，或或． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优07 反比例函数几何综合 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.函数基础：反比例函数定义、图象与性质（双曲线、象限分布、增减性——必须强调“在每个象限内”）；的几何意义（垂线矩形面积＝，三角形面积＝）；一次函数图象与性质；待定系数法求解析式。 2.函数综合：一次函数与反比例函数联立求交点（化为一元二次方程）；不等式解集与图象上下位置关系；直线平移后解析式（截距）的变化。 3.几何知识：矩形、正方形、菱形、平行四边形的边角与对角线性质；等腰三角形三线合一、等腰直角三角形、等边三角形、含30°直角三角形；勾股定理；线段垂直平分线性质；中点坐标公式、两点间距离公式。 4.全等与相似：ASA/AAS全等（一线三等角、一线三垂直），相似三角形的判定与比例性质。 5.变换：关于原点中心对称、关于坐标轴轴对称、坐标系内平移的坐标变化规则。 6.代数工具：因式分解法、公式法解一元二次方程；分式方程（需验根）。 二 解题模型 1.的几何意义面积模型： 作垂线→面积＝→面积与互化求值 2.图形定坐标模型： 设顶点坐标→用矩形、菱形、三角形性质表示其余点→代入解析 3.双交点综合模型： 待定系数求两解析式→联立求交点→由图象写不等式解集→割补法求三角形面积 4.全等构造模型： 过点作坐标轴垂线，构造“一线三垂直”“一线三等角”，用全等转化线段 5.存在性问题模型： 设点坐标→分类讨论（等腰三情形、直角顶点、平行四边形对角线）→列方程→验证 6.变换与最值模型： 对称点转化折线段，平移前后坐标对应 题型分析 题型1：的几何意义与面积问题 【例1】 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 变式1-1 （2022·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 变式1-2 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 题型2：正方形、矩形问题 【例2】 （26-27九年级上·四川内江·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 变式2-1 （25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 变式2-2 （2026·陕西·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 题型3： 平行四边形、菱形问题 【例3】 （25-26八年级下·重庆万州·期末）在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（     ） A．10 B．20 C． D． 变式3-1 （2022·山东威海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，双曲线经过点D，交边于点E，且，则E的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式3-2 （26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 题型4：特殊三角形问题 【例4】 （21-22九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 变式4-1 （2022·浙江台州·模拟预测）如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式4-2 （25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型5：一次函数与双曲线交点问题 【例5】 （25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-1 （25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 变式5-2 （26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 题型6：其他图形变换问题 【例6】 （2026·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 变式6-1 （2026·安徽蚌埠·三模）如图，在中，轴于点B，点B关于直线的对称点为点C，连接，．若，反比例函数的图象经过的中点D． （1）当时，则点C的坐标为______； （2）若，则______． 变式6-2 （25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 解题技巧 1.设而不求、消元：设点坐标带字母，利用横纵坐标乘积等于消参，是贯穿全卷的第一技巧。 2.作垂线构造直角三角形：凡求坐标必过点作轴（或轴）垂线，把几何量转化为横纵坐标。 3.面积转化三板斧：割补法、面积和差、等底等高。 4.善用对称性：过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，坐标互为相反数。 5.全等、相似定坐标：一线三垂直出全等直接得线段相等；相似用比例式列方程。 6.交点问题统一套路：联立→化一元二次方程→求根（验根）→得坐标；不等式解集直接看图象高低。 7.存在性问题：先设坐标→用两点距离公式或中点公式列方程→分类完整→回代验证范围（象限、分母、题目条件）。 8.中点与平移：中点坐标取两端点坐标的平均值；平移只改变横或纵坐标的一个分量。 归纳总结 一、重点 1.的几何意义与面积互化：几乎每题都以面积为核心，是反比例函数几何综合的“题眼”。 2.待定系数法求解析式：解答题第（1）问标配，必须熟练。 3.双曲线与直线交点→不等式解集→三角形面积三位一体的主干流程。 4.矩形、等腰直角三角形、菱形的坐标表示：把平面几何问题翻译成代数方程。 二、难点 1.多条件叠加：同一题同时用全等＋相似＋勾股＋面积，步骤链长、易断。 2.含参坐标运算：设字母坐标后的大代数运算与消元，计算量大。 3.存在性问题分类讨论：等腰三角形三种情况、直角三角形两种直角顶点、平行四边形对角线三种取法，易漏情形。 4.多结论判断题：需逐项验证、构造反例。 5.动点与分段讨论：动点在不同线段运动时的取值范围需分段。 三、易错点 1. 增减性表述：反比例函数增减性必须强调“在每个象限内”，跨象限不可直接比较大小。 2.的符号：图象在二、四象限时，面积取，漏负号必错。 3. 面积公式：三角形面积＝而非；矩形面积＝，勿混淆。 4. 分式方程验根：联立所得根必须检验分母与题目范围。 5. 二次方程取舍：勾股或面积列出的方程常出现负根、超范围根，必须舍去并说明。 6. 坐标与象限：由线段长写坐标时易漏负号（负半轴、第二象限）。 7. 分类讨论遗漏：等腰三角形未分三边两两相等的三种情况；平行四边形对角线只取一种。 8. 不等式解集端点：开闭区间与“或”的连接关系，需与交点横坐标对应。 四、数学思想 1. 数形结合（最核心）：图象与解析式互译——面积看几何意义、解集看图象高低、交点看联立方程。 2. 方程思想：设坐标→列方程→解方程，是坐标系几何问题的通用引擎。 3. 转化思想：几何量（线段、面积）与代数量（坐标、）双向转化；陌生图形割补成熟悉图形。 4. 分类讨论思想：存在性、动点运动分段、等腰/直角三角形顶点讨论。 5. 建模思想：把矩形、等腰直角三角形等几何结构提炼为“定坐标模型”反复套用。 6. 对称与变换思想：中心对称、轴对称、平移的不变性简化计算（将军饮马、对称点坐标）。 7. 函数与运动观点：动点变化中研究的范围与图象经过次数。 同步测评 1．（2026·宁夏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（     ） A．4 B． C． D． 4．（24-25九年级下·山西·阶段检测）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 6．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．2 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 8．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 10．（2022·四川绵阳·模拟预测）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 12．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 13．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 14．（2026·山东东营·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，其中点的坐标为．为双曲线上的一点，横坐标为，轴，交直线于点，连接，． (1)求直线和双曲线的表达式； (2)求与的面积比； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 15．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； 16．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 17．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 18．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 19．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 20．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 21．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 22．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在轴上，连接，，若，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 23．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 24．（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $