专项训练07 反比例函数与几何图形的综合问题（巩固培优）新九年级数学新教材人教版

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练07反比例函数与几何图形的综合问题 知识复盘卡 【知识点1反比例函数与三角形的综合问题】 解题方法总结 1.坐标化转化：设反比例函数上关键点坐标（如y=k/x上点为(x,kx)),将三角形边长、顶点转化为坐 标关系。 2.用面积列等式：利用三角形面积公式（底×高/2)，结合坐标表示底和高，建立关于k的方程求解。 3.结合函数性质：利用反比例函数k的几何意义（过双曲线上点作坐标轴垂线，形成的矩形/三角形面积为 k/2)快速关联。 解题技巧总结 1.优先用k的几何意义：遇到与坐标轴垂直的三角形，直接用面积与k的关系，省去复杂计算。 2.巧设动点坐标：设横坐标为α，纵坐标用k/a表示，简化含参运算，聚焦面积或边长关系。 3.数形结合找关系：通过图象确定三角形顶点位置，明确底、高对应的横纵坐标差，避免坐标符号错误。 【知识点2 反比例函数与平行四边形的综合问题】 解题方法总结 1.坐标化建模：设反比例函数) 二上顶点坐标为(x, ,结合平行四边形顶点坐标关系（如对边平行、中 点重合)列等式。 2.用性质建方程：利用平行四边形对边相等、对角线互相平分等性质，转化为坐标运算，结合反比例函数 关系求k或顶点坐标。 3.结合面积关联：通过平行四边形面积公式（底×高），关联反比例函数k的几何意义，建立方程求解关 键参数。 解题技巧总结 1.巧用中点公式：平行四边形对角线中点相同，快速建立不同顶点坐标间的等式，简化计算。 2.定边定高简化：固定一边为底，利用坐标轴转化高为横/纵坐标差，结合反比例函数坐标特征解题。 3.分类讨论项点：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，避免漏解，结合图象验证坐标合理性。 【知识点3反比例函数与矩形的综合问题】 解题方法总结 1坐标化顶点：设反比例函数，《上的矩形顶点为女，其余顶点结合矩形边垂直坐标轴“特征确定坐标。 2.用性质建等式：利用矩形对边相等、四角为直角的性质，结合坐标表示边长，或通过面积公式（长× 宽)建立方程求k。 3.关联k的几何意义：矩形一边平行坐标轴时，面积等于(（由双曲线几何意义推导），直接关联面积与k 值。 解题技巧总结 1.优先用k的几何意义：矩形顶点在双曲线且边平行坐标轴时，直接用面积日（秒求k,省去复杂运算。 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2巧设单变量坐标：设一个顶点横坐标为a,纵坐标为 其余顶点坐标顺势推导，简化含参计算。 a 3.结合边长验符号：根据矩形顶点所在象限，判断x、二的正负，确保k值符号与图象一致，避免错解。 【知识点4反比例函数与菱形的综合问题】 解题方法总结 1.坐标化顶点与函数关联：设反比例函数y=二上的菱形顶点为(x, X ，其余顶点结合菱形性质（四边相等、 X 对角线垂直平分)确定坐标。 2.用性质建方程求解：利用对角线互相垂直平分、边长相等的性质，结合距离公式列等式，或通过面积 (对角线乘积的一半)关联k值。 3.结合函数特征验证：利用反比例函数对称性，匹配菱形的中心对称特性，校验顶点坐标与k值合理性。 解题技巧总结 1.巧用对角线中点一致：菱形对角线中点相同，快速建立顶点坐标关系，简化参数计算。 2.优先用面积搭桥：通过菱形面积公式结合反比例函数k的几何意义，快速建立等式求k,减少复杂运算。 3.分类讨论顶点位置：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，结合菱形边长非负性，避免漏解或符号错误。 【知识点5反比例函数与正方形的综合问题】 解题方法总结 1.坐标化建模：设反比例函数X 上正方形顶点为(x, ,其余项点结合正方形“边垂直且相等、 相等平分”特征定坐标。 2.用性质建方程：利用边长相等（距离公式）或对角线关系列等式，或通过面积（边长2、对角线乘积 /2)关联k值。 3.结合函数特性验证：借助反比例函数中心对称性，匹配正方形对称特征，校验k值与坐标合理性。 解题技巧总结 1.优先用边长/面积速算：若边平行坐标轴，正方形面积=k|,直接求k;不平行则用坐标差表边长，简化 运算。 2巧设单变量简化：设一个顶点横坐标为a,纵坐标为。利用正方形边的垂直/相等关系推导其他顶点， 减少参数。 3锁定符号与象限：根据正方形顶点所在象限，确定x与x正负，确保k值符号符合图象，避免错解。 培优拓展训川练 ★巩固提升练 【题型1反比例函数与三角形的综合问题】 1.如图，在△ABC中，AC=BC,ABLx轴，垂足为A反比例函数=x>0的图象经过点C,交4B 2/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点D.已知AB=8,BC=5. B (1)若OA=8,求k的值： (2)连接OC,若BD=BC,求OC的长 2.(2425九年级上广东珠海期末)已知等边△OAB,边长为4，点A在第一象限，点B在x轴上，反比 例面数y-(x>0)经过B的中点M与O1边相交于点N M (1)求k的值： (2)连接OM、MN,求△OMN的面积. 【题型2反比例函数与平行四边形的综合问题】 3.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点D在反比例函数 y=k≠0，x>0)的图象上，已知点C的坐标为(5,4)，平行四边形ABCD的面积为12 D (1)求反比例函数的解析式 ②莲接BD点E为边C与反比例函数yk≠0X>0图象的交点，点p为，釉上一动点，若点E为 3/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 BC的中点，SPa=SAD,求p点的坐标. 4.如图1，已知A(-1,0),B(0,-2),平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F,且 点E(0,2)为AD中点，双曲线y=x(k为常数，k≠0)经过C、D两点. 图1 图2 图3 (1)求k值： (②如图2，点G是y抽正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例两数专(4为希数。 3 k≠0)图像于点M,交反比例函数)=2K<0)的图像于点N,当FM=FN时，求G点坐标： (3)点p在双曲线y=x上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满 足要求的所有点Q的坐标_. 【题型3反比例函数与矩形的综合问题】 5、如图，矩形04BC的顶点A,C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(4,7列，反比例函数y=心(x>0)的 图象经过BC的中点D,且与AB交于点E. V角 D B E (1)求反比例函数的解析式及点E的坐标： (②)若点F是OC边上的一点，且△BCF为等腰三角形，求直线FB的解析式. 6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC和OA分别在坐标轴上，且OA=3,OC=6,反比例 4/13 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 函数-(x>0)的图像与BBC分别交于点DE·连接DE 个y 个y 图1 图2 (1)如图1，连接OD、OE,当△OAD的面积为2时， ①k=: ②求aODE的面积： (2)如图2，连接OB交DE于点P,求证：点P是线段DE的中点. 【题型4反比例函数与菱形的综合问题】 7.如图，菱形OABC的顶点O为原点，点4在反比例函数y=r>0)的图象上，点B的坐标为(4,8)，点 C在y轴正半轴上，点M为OA的中点. B M (1)求反比例函数的解析式： (2)尺规作图：过点M作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点N(保留作图痕迹，不写作法)； (3)求点N的坐标. 8如图，在平面直角坐标系中，直线ym+1与双曲线=(>0)相交于点4，点C在轴的正半轴上， 点B(2,-3),连接AO,OB,BC,CA,四边形AOBC是菱形. 5/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求和k的值： (②)设点P是x轴上的点，且S△AOP=S菱形4O8C,求点P的坐标. 【题型5反比例函数与正方形的综合问题】 9.如图，已知点A(a,0)是x轴上的动点，点B的坐标为(04V2),以AB为边在AB右侧作正方形ABCD A 时，反比例函数y=的图象经过点D,求反比例函数 2V2 ②当正方形ABCD的边与反比例函数y=的图象有4个交点时，直接写出a的取值范围。 3 10.已知直线y=一2x+3与x轴交于点4'与y轴交于点B,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD: 双曲线为=x经过点C,连接OC交AB于点E,连接ED 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (1)求双曲线的函数关系式； (2)双曲线与正方形是否存在除点C外的公共点，若存在，请直接写出另一交点坐标，若不存在，直接填 “不存在”结论： (3)四边形OEDA的面积为 (直接填答案). ★能力培优练 1.如图，菱形OMBC的顶点B在x轴的正半轴上，点4在第一象限，反比例函数y(x>0)的图象经过 菱形OABC的顶点A.若菱形OABC的面积为6，则k的值为() B A.-6 B.-3 C.3 D.6 2.如图，四边形OABC是正方形，四边形ODEF是矩形，点A,D在x轴正半轴上，点C,F在y轴正半轴 16 上，反比例函数y=(x>O)的图象经过点B,E,BC与DE交于点G:若四边形cGEF的面积为4，则EG 的长为() 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 0 DA 16 A.3 B.3 C.4 D.3 3.如图，四边形ABC0是平行四边形，点C的坐标为(8,0)，将口ABC0绕点A逆时针旋转得到口ADEF, k AD经过点O,点F恰好落在x轴的正半轴上.若点A、D在反比例函数y=的图象上，则k的值为 () B A.4 B.4v2 C.4V5 D.8 4.在平面直角坐标系中，反比例函数y=a与矩形AOBC的AC边交于点D,与BC边交于点E,若D为 AC中点，且△DCE的面积为5，则k的值为一 B AD一C 5.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B都在x轴上，AD边与y轴交于点F,对角 、BD的交点B落在反比例函数yx>0图象上，平行四边形的面积是16，且AFDF: 0 值为 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA D 6如图，在平面直角坐标系O中，点A点B都在双周线y x上，点D点E都在x轴上，并且四边 形OADC和四边形OBEF都是菱形.若两个影阴部分的面积和为8，则k的值为 7.如图，己知平行四边形OABC的顶点么C都在反比例函数y=x的图象上，已知点c的坐标为(2,3)， 点B的纵坐标为4， A B (1)求A点坐标： (2)连接AC,求平行四边形OABC的面积. 8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=m+1与双曲线y(x>0)相交于点4，点C在x轴的正半精上， 点B(2,-3),连接A0,OB,BC,CA,四边形AOBC是菱形. 9/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且S△4oP=S菱形0c,求点P的坐标. 9.如图，矩形ABCD的两边AD,AB的长分别为3,8.边BC落在x轴上，E是AB的中点，连接DE,反 比例函数y= x的图象经过点B,与CD交于点P. B C ()若B(3,0),求F点坐标； (2)若DF=DE,求反比例函数的解析式. 10.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的底边BC在x轴上，点B,C的坐标分别为(-2,0)，(6,0)， 反比例丽数y-(x>0)的图象交AC于点4，D, D C (1)求k的值： ②将AMBC沿x轴向左平移1(0)个单位长度，当反比例函数y=(x>0)的图象与三角形至少有一个 公共点时，求t的取值范围. ★7创新拓展练 1.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A(0,4)D(3,0). 10113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AY A O D B (1)求经过点C的反比例函数的解析式： (2)设P是(1)中所求函数图象上一点，若△POA的面积是△COB的面积2倍，求点P的坐标. 2.如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为(-3,0)、(1,0)、(0,4)，顶点C 在第一象限，反比例函数y-的图象经过点C: (1)求反比例函数的解析式， (②)连接OC,若点p是反比例函数y=x的图象上的一点，且以点p、OD为顶点的三角形面积与 △OBC的面积相等，求点P的坐标. 3.已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴 上，已知点B的坐标为2,4，反比例函数y=(>0)的图象经过AB的中点D,且与BC交于点卫、顺次 连接O,D,E. 11/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求m的值和E的坐标： 3 (②)在线段OD上存在一点M,当aMOE的面积等于4时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N,使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标： 若不存在，请说明理由. 4.如图中，平面直角坐标系中，已知反比例函数(x>0)的图像，在平面直角坐标系中有一矩形O6CD 如图所示，在x轴与y轴上点坐标D(2,0),BO,4).图像并与反比例函数yx>0)图像相交于点C:将矩 形OBCD翻转，使CD与x轴平行并重合且平移图像使点D与原点O重合，翻转后的矩形OEFG图像与反 比例函数y=x>0)图像相交于点F,连接CF并将CF两端同时延长交于x轴，y轴于点V和点M, VA M DG N (I)求直线CF和反比例函数图像的表达式： (2)求M,N两点的坐标. 12 5.己知，直线OA与反比例函数y=元交于点A'且点4的横坐标为4，过x轴上一点B(8,O)作BC垂直于 OB交OA于C点，如图. B 备用图 (I)若点P是线段OC上一动点，过点P作PE⊥OB,PF⊥BC,垂足分别于E、F,求线段EF长度的最 小值。 (2)在(I)的EF取得最小值的前提下，将△PEF沿射线OA平移，记平移后的三角形为△PE'F',当 OP=2OA时，在平面内存在点Q,使得A、E'、F'、Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接 12/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 写出点Q的坐标. 13/13 专项训练07 反比例函数与几何图形的综合问题 【知识点1 反比例函数与三角形的综合问题】 解题方法总结 1.坐标化转化：设反比例函数上关键点坐标（如y=k/x上点为(x, k/x)），将三角形边长、顶点转化为坐标关系。 2.用面积列等式：利用三角形面积公式（底×高/2），结合坐标表示底和高，建立关于k的方程求解。 3.结合函数性质：利用反比例函数k的几何意义（过双曲线上点作坐标轴垂线，形成的矩形/三角形面积为|k|/2）快速关联。 解题技巧总结 1.优先用k的几何意义：遇到与坐标轴垂直的三角形，直接用面积与k的关系，省去复杂计算。 2.巧设动点坐标：设横坐标为a，纵坐标用k/a表示，简化含参运算，聚焦面积或边长关系。 3.数形结合找关系：通过图象确定三角形顶点位置，明确底、高对应的横纵坐标差，避免坐标符号错误。 【知识点2 反比例函数与平行四边形的综合问题】 解题方法总结 1.坐标化建模：设反比例函数y=上顶点坐标为(x, )，结合平行四边形顶点坐标关系（如对边平行、中点重合）列等式。 2.用性质建方程：利用平行四边形对边相等、对角线互相平分等性质，转化为坐标运算，结合反比例函数关系求k或顶点坐标。 3.结合面积关联：通过平行四边形面积公式（底×高），关联反比例函数k的几何意义，建立方程求解关键参数。 解题技巧总结 1.巧用中点公式：平行四边形对角线中点相同，快速建立不同顶点坐标间的等式，简化计算。 2.定边定高简化：固定一边为底，利用坐标轴转化高为横/纵坐标差，结合反比例函数坐标特征解题。 3.分类讨论顶点：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，避免漏解，结合图象验证坐标合理性。 【知识点3 反比例函数与矩形的综合问题】 解题方法总结 1. 坐标化顶点：设反比例函数y=上的矩形顶点为(x,)，其余顶点结合矩形“边垂直坐标轴”特征确定坐标。 2. 用性质建等式：利用矩形对边相等、四角为直角的性质，结合坐标表示边长，或通过面积公式（长×宽）建立方程求k。 3. 关联k的几何意义：矩形一边平行坐标轴时，面积等于|k|（由双曲线几何意义推导），直接关联面积与k值。 解题技巧总结 1. 优先用k的几何意义：矩形顶点在双曲线且边平行坐标轴时，直接用面积=|k|秒求k，省去复杂运算。 2. 巧设单变量坐标：设一个顶点横坐标为a，纵坐标为，其余顶点坐标顺势推导，简化含参计算。 3. 结合边长验符号：根据矩形顶点所在象限，判断x、的正负，确保k值符号与图象一致，避免错解。 【知识点4 反比例函数与菱形的综合问题】 解题方法总结 1.坐标化顶点与函数关联：设反比例函数y=上的菱形顶点为(x, )，其余顶点结合菱形性质（四边相等、对角线垂直平分）确定坐标。 2.用性质建方程求解：利用对角线互相垂直平分、边长相等的性质，结合距离公式列等式，或通过面积（对角线乘积的一半）关联k值。 3.结合函数特征验证：利用反比例函数对称性，匹配菱形的中心对称特性，校验顶点坐标与k值合理性。 解题技巧总结 1.巧用对角线中点一致：菱形对角线中点相同，快速建立顶点坐标关系，简化参数计算。 2.优先用面积搭桥：通过菱形面积公式结合反比例函数k的几何意义，快速建立等式求k，减少复杂运算。 3.分类讨论顶点位置：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，结合菱形边长非负性，避免漏解或符号错误。 【知识点5 反比例函数与正方形的综合问题】 解题方法总结 1.坐标化建模：设反比例函数y=上正方形顶点为(x, )，其余顶点结合正方形“边垂直且相等、对角线相等平分”特征定坐标。 2.用性质建方程：利用边长相等（距离公式）或对角线关系列等式，或通过面积（边长²、对角线乘积/2）关联k值。 3.结合函数特性验证：借助反比例函数中心对称性，匹配正方形对称特征，校验k值与坐标合理性。 解题技巧总结 1.优先用边长/面积速算：若边平行坐标轴，正方形面积=|k|，直接求k；不平行则用坐标差表边长，简化运算。 2.巧设单变量简化：设一个顶点横坐标为a，纵坐标为，利用正方形边的垂直/相等关系推导其他顶点，减少参数。 3.锁定符号与象限：根据正方形顶点所在象限，确定x与正负，确保k值符号符合图象，避免错解。 【题型1 反比例函数与三角形的综合问题】 1．如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，．    (1)若，求的值： (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)20 (2) 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象的性质，正确得出方程，解一元一次方程是解题关键． （1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解：作，垂足为， ，， ． 在中，，， ， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， （2）解：如图， 设点的坐标为， ，， ， ，两点的坐标分别为：，． 点，都在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为：， ． 2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）已知等边，边长为4，点A在第一象限，点B在x轴上，反比例函数经过的中点M，与边相交于点N． (1)求k的值； (2)连接、，求△OMN的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是： （1）过A作轴于C，根据三角形的性质得出，根据三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，则可求出A、B的坐标，然后根据中点坐标公式求出M的坐标，最后把M的坐标代入求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，与反比例函数解析式联立方程组求出N的坐标，根据待定系数法求出直线的坐标，则可求出点D的坐标，最后根据求解即可． 【详解】（1）解∶过A作轴于C， ∵等边，边长为4， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，， ∵M是的中点， ∴，即， ∵经过点M， ∴， 解得； （2）解∶如图，设的延长线与y轴相交于D， 由（1）知：反比例函数解析式为， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴ ． 【题型2 反比例函数与平行四边形的综合问题】 3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式 (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，待定系数法求解析式； （1）过点作轴垂足为，即可求得，根据平行四边形的面积为，可得，从而可得，即可求得点的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）根据中点坐标公式先求得点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进而求得的坐标．设，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴垂足为， 平行四边形的边在轴上，点的坐标为， ， 平行四边形的面积为．    ， ， ， ； （2）解：∵点为的中点，点的坐标为， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴． ∴． ∴ 设， ∵平行四边形的面积为． ∴． ∴． 解得：或． ∴点的坐标为或． 4．如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点． (1)求值； (2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、平行四边形的性质，一次函数与反比例交点问题； （1）根据中点坐标可得代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据平行四边形的性质求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式为，当时，，得到，设点的坐标为，得到，，，，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论； （3）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标． 【详解】（1）解：，且点为中点， ∴， ∵在双曲线上， ； （2）由（1）可得反比例函数解析式为 ∵在上， 设 ∵四边形是平行四边形，，， ∴ ∴ ∴， ， 设直线的解析式为， 代入， ∴ 解得： 直线的解析式为， 当时，， ， ， 设点的坐标为， 轴， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为； （3）由（1）知， 反比例函数的解析式为， 点在双曲线上，点在轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形，    则， 解得， 此时，； 如图2，若为平行四边形，    则， 解得， 此时，； ②如图3，当为对角线时，   ，且； ， 解得， ，； 故点的坐标为或或． 【题型3 反比例函数与矩形的综合问题】 5．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E． (1)求反比例函数的解析式及点E的坐标； (2)若点F是边上的一点，且为等腰三角形，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先根据点B的坐标为求出D点坐标，代入反比例函数即可求出m的值，进而得出解析式，再把代入求出y的值即可得出E点坐标； （2）根据为等腰三角形得出的长，进而得出F点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、一次函数的性质等知识是解答此题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点B的坐标为，点D是的中点， ∴点，． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． ∵点E在上， ∴点E的横坐标为4， 把代入， 得， ∴点E的坐标为． （2）解：∵点F在上，为等腰三角形，， ∴，点F的横坐标为0． 由（1）得点， ∴， ∴点． 设直线的解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边和分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图像与、分别交于点、，连接．     (1)如图1，连接、，当的面积为2时， ① ； ②求的面积； (2)如图2，连接交于点，求证：点是线段的中点． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件得到，，，结合的面积为2求出点的坐标．①将点的坐标代入可求解，②由反比例函数求得，，，利用矩形和三角形的面积公式求解； （2）设直线的解析式为，将点代入求得解析式，设直线的解析式为，将和的坐标代入求得解析式，将两条直线的解析式联立组成方程组求出交点的坐标，再用两点间距离公式求出和即可求解． 【详解】（1）解：矩形的边和分别在坐标轴上，且，， ，，． 当的面积为2时， ， ， ， ． ①将点点的坐标代入中 ， ． ②由①得反比例函数解析式为， 是矩形边与反比例函数的交点， ， ，， ． （2）解：设直线的解析式为， 将点代入得， ， 直线的解析式为． 设直线的解析式为， 将和的坐标代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 由两条直线解析式组成方程组为， 解得， 直线和直线的交点． ，， ， ， ， 点是线段的中点． 【题型4 反比例函数与菱形的综合问题】 7．如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点． (1)求反比例函数的解析式； (2)尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、作一个角等于已知角，反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，延长交轴于点，由，即轴，可得轴，又四边形是菱形，从而可设，结合，则，，，利用勾股定理，可得的值，故可判断得解； （2）依据题意，根据作一个角等于已知角得，结合同位角相等，两直线平行，即可作图得解； （3）依据题意，由是的中点，，则，根据轴，可得的纵坐标为，结合在反比例函数，进而代入计算可以得解． 【详解】（1）解：如图，延长交轴于点， ，四边形为菱形， ，即轴，， 轴． 可设． ， ，，． 在中，， ． ． ． ． 反比例函数的解析式为； （2）解：由题意，根据作一个角等于已知角，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下． （3）解：由题意，是的中点，， ． 轴， 的纵坐标为． 在反比例函数， 的横坐标为． ． ． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，菱形的性质熟练掌握该知识点是关键 （1）连接交与点E，根据对称性质求出点A的坐标，再代入两个函数解析式求出m、k值即可； （2）先求出，再设点P坐标为，建立方程求出必值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：连接交与点E， ∵点C在x轴的正半轴上，点，四边形是菱形， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵点A为直线与双曲线的交点， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点P坐标为， ∴， 解得：， ∴或． 【题型5 反比例函数与正方形的综合问题】 9．如图，已知点是x轴上的动点，点B的坐标为，以为边在右侧作正方形． (1)当时，反比例函数的图象经过点D，求反比例函数的表达式； (2)当正方形的边与反比例函数的图象有4个交点时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求反比例函数表达式，关键要求出D点坐标，就要先证出，得出求出长，则可求出D点坐标，根据反比例函数图象上的点坐标即可求出表达式． （2）分、两种情况，探讨正方形的边与反比例函数图象交点的情况，进而求解． 【详解】（1）解：如图1，过点D作轴于E， ， ， ， 点B的坐标为， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 把代入，得解得， 反比例函数的表达式为． （2）①当时，如图2， ，， 由点A、B的坐标得，直线的表达式为， 当线段与双曲线有一个交点时， 联立表达式与反比例函数表达式得：， 整理得：， ，解得：， 故当时，正方形与反比例函数的图象有4个交点； ②当时，如图3， （i）当边与双曲线有一个交点时， 过点D作轴于点E， ，， ， ，          由点A、D的坐标可得，直线的表达式为：， 联立与反比例函数表达式并整理得： ，解得：（不合题意值已舍去）； （ii）当边与双曲线有一个交点时， 同理可得：， 所以当正方形的边与反比例函数的图象有4个交点时，a的取值范围为：； 综上所述，a的取值范围是或． 10．已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为边在第一象限内作正方形，双曲线经过点，连接交于点，连接． (1)求双曲线的函数关系式； (2)双曲线与正方形是否存在除点外的公共点，若存在，请直接写出另一交点坐标，若不存在，直接填“不存在”结论：______； (3)四边形的面积为______（直接填答案）． 【答案】(1) (2)存在， (3)5 【分析】本题主要考查了反比例函数和正方形的结合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用待定系数法求函数解析式，图象交点坐标和一元二次方程的解的关系，求图形的面积等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据正方形的性质得出，然后得出，最后利用待定系数法即可求解； （2）联立函数解析式，列出一元二次方程求解即可得出点的坐标； （3）根据平行线得出，得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：过作于，如图： 令，则，令，则， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 在上， ， ， ； （2）解：由反比例函数图象性质可知，若还有交点，交点一定在上， ， 设直线的解析式为：， 将代入得，， 解得， 直线的解析式为：， 联立直线与双曲线解析式得， 解得：或， 另一个交点为：； 故答案为：； （3）解：如图所示，连接， ， ， ． 故答案为：． 1．如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质，反比例函数k的几何意义． 连接交于点D，由菱形的面积为6，求出，然后由反比例函数k的几何意义可得答案．． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，菱形的面积为6 ∴， ∴， 故选C． 2．如图，四边形是正方形，四边形是矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点与交于点．若四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，理解反比例函数系数与几何图形面积的关系是关键． 根据正方形的性质得到，设，由正方形的面积得到，设，则，得，由此得到点的坐标，则，代入计算得到的值，由即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设， ∴， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵四边形是矩形，点在反比例函数的图象上， ∴设，则， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 3．如图，四边形是平行四边形，点C的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．若点A、D在反比例函数的图象上，则k的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数与几何综合、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，，证明为等边三角形，可得，作轴于，由题意可得点A、D关于原点对称，即可得出，由等边三角形的性质可得，，即，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，点C的坐标为， ∴，， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 如图，作轴于， ， ∵点A、D在反比例函数的图象上， ∴点A、D关于原点对称， ∴， ∴， ∵轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的边交于点D，与边交于点E，若D为中点，且的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，设，则由矩形的性质和中点坐标公式可得，由待定系数法可得反比例函数解析式为，则可求出，根据三角形面积计算公式可得，可求出，即． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，即轴，轴， ∵D为中点， ∴； ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B都在x轴上，边与y轴交于点F，对角线的交点E落在反比例函数图象上，平行四边形的面积是16，且，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形的性质得到点E为的中点，则为的中位线，可证明，得到，进一步可证明；根据三角形中线平分三角形面积得到，由平行四边形的性质得到，则，再由反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形，且交于点E， ∴点E为的中点， ∵，即点F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵点F为的中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵点E在反比例函数图象上，且反比例函数图象经过第一象限， ∴， ∴， 故答案为：4． 6．如图，在平面直角坐标系中，点、点都在双曲线上，点、点都在轴上，并且四边形和四边形都是菱形．若两个影阴部分的面积和为8，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，根据题意得出两个菱形的面积为，根据反比例函数的意义得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵两个影阴部分的面积和为8， ∴两个菱形的面积和为， ∴ 又， ∴； 故答案为：． 7．如图，已知平行四边形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，点的纵坐标为4， (1)求A点坐标； (2)连接，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点C的坐标代入反比例函数解析式求出，根据平行四边形的性质结合点的纵坐标为4，可得点A的纵坐标为1，代入反比例函数解析式即可解答； （2）作轴于D，轴于E，轴于F，则，利用即可求得． 【详解】（1）解：根据题意：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵平行四边形中，点的纵坐标为4， ∴点A的纵坐标为1， ∴， ∴； （2）解：作轴于D，轴于E，轴于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，菱形的性质熟练掌握该知识点是关键 （1）连接交与点E，根据对称性质求出点A的坐标，再代入两个函数解析式求出m、k值即可； （2）先求出，再设点P坐标为，建立方程求出必值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：连接交与点E， ∵点C在x轴的正半轴上，点，四边形是菱形， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵点A为直线与双曲线的交点， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点P坐标为， ∴， 解得：， ∴或． 9．如图，矩形的两边的长分别为3，8．边落在x轴上，E是的中点，连接，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． (1)若，求F点坐标； (2)若，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）求出,由反比例函数的图象经过点E即可求出答案； （2）求出F点坐标为，由反比例函数的图象与交于点F即可求出答案． 【详解】（1）解：∵E是的中点， 的长分别为8． ∴， ∵, ∴, ∵反比例函数的图象经过点E， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， 把代入得到， ∴F点坐标为； （2）在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴F点坐标为； ∵反比例函数的图象与交于点F． ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 10．如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，点B，C的坐标分别为，反比例函数的图象交于点A，D． (1)求k的值； (2)将沿x轴向左平移t（）个单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质、待定系数法求表达式及等腰三角形性质， （1）过点A作轴于点E，先证明，求出，进而求出，即可求出结论； （2）先求出直线的解析式为，设直线向左平移后的解析式为，先求出当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时t的值，进而求出结论即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点E， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线向左平移后的解析式为， 联立，整理得，， 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，则有两个相等的实数根， 即， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，t的取值范围是． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，且． (1)求经过点C的反比例函数的解析式； (2)设P是（1）中所求函数图象上一点，若的面积是的面积2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为， 【分析】本题考查勾股定理，反比例函数，菱形的性质等． （1）用勾股定理解求出菱形的边长，进而求出点C的坐标，即可求出反比例函数解析式； （2）设）则，的面积为，计算出的面积，进而求出m的值，代入（1）中解析式即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 在中， ， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴． 设经过点C的反比例函数的解析式为， 则， 解得：． 故所求的反比例函数的解析式为； （2）解：设） ∵， ∴，， ∵的面积是的面积2倍， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 故点P的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （2）先求出的面积，根据与的面积相等，先求出点的横坐标，再代入反比例函数解析式即可求出纵坐标． 【详解】（1）解：，、，四边形是平行四边形， ， ， 把点代入得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）设点， ，， ，， ， ， ， 或． 3．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 4．如图中，平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像，在平面直角坐标系中有一矩形如图所示，在x轴与y轴上点坐标．图像并与反比例函数图像相交于点C；将矩形翻转，使与x轴平行并重合且平移图像使点D与原点O重合，翻转后的矩形图像与反比例函数图像相交于点F，连接并将两端同时延长交于x轴，y轴于点N和点M． (1)求直线和反比例函数图像的表达式； (2)求M，N两点的坐标． 【答案】(1)反比例函数图像的表达式为；直线的表达式为 (2) 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，交点坐标的计算等知识是解题的关键． （1）根据题意易得，把点代入反比例函数，即可求出的值；再根据旋转的性质易求，进而得到，再利用待定系数法即可求出直线的表达式； （2）由（1）知直线的表达式为，分别令，即可解答． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴，则， 解得：， ∴反比例函数图像的表达式为； 由旋转的性质得，四边形是矩形， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由（1）知直线的表达式为， 令，则， 令，则，解得：， ∴． 5．已知，直线与反比例函数交于点，且点的横坐标为4，过轴上一点作垂直于交于点，如图． (1)若点是线段上一动点，过点作，，垂足分别于、，求线段长度的最小值． (2)在（1）的取得最小值的前提下，将沿射线平移，记平移后的三角形为，当时，在平面内存在点Q，使得A、、、Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)最小值为； (2)这样的点有3个，，，． 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的坐标为，则，，利用勾股定理可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求出的最小值，进而可得出段长度的最小值； （2）由点，横坐标间的关系可得出，由（1）的结论结合平移的性质，可得出平移后点，，的坐标，分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标，此题得解． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入，，解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则，， ，即． ， 当时，取得最小值，此时最小值，最小值为， 线段长度的最小值为． （2）解：由（1）可知，当最小时，点的坐标为． 点的横坐标为8，点的横坐标为4， ， 平移后点与点重合， 平移后点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为，分三种情况考虑，如图所示： ①当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为； ②当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为； ③当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：符合题意的点有3个，点的坐标为，，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $