2.2 数轴，苏科版(2024)(七上)易错专题资料包

苏科版2024 · 数轴 · 第2章 有理数 2.2数轴 苏科版（2024）七上易错专题 苏科版2024 第2章 有理数 第1课时 班级：________________ 姓名：________________ 本专题按错因重新聚合精选的51道数轴易错题，打破原题顺序。每个易错点下设精讲例题搭配即时巩固，逐层拆解审题陷阱与概念误区；末尾另设综合检测题组，供全部模块学完后整体检验掌握情况。 目录 易错点1：到定点等距的点有两个 易错点2：读图取数与区间整数计数 易错点3：由数轴位置误判运算符号 易错点4：数轴三要素遗漏或错画 易错点5：混淆距离与有向坐标 易错点6：动点往返方向弄反 易错点7：圆滚动与折叠对称出错 易错点8：动点综合与新定义题 易错点9：位移与路程混淆算耗油 易错点1：到定点等距的点有两个 学习目标 · 能说出等距点有两个并分类求 · 会用a±d表示两侧解 纠错指引 设点P到点a距离为d，则P=a+d或a-d，必须两解都写；平移同样分左右。 精讲例题 例题1．（2024秋•太平区期末）·【基础】M点在数轴上表示﹣4，N点离M的距离是3，那么N点表示的数为（　　） A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．﹣1或1 易错倾向标签：易漏解｜易想错 【本题核心易错点】 · 只取一侧忽略另一侧解 · 忘分左右两种情况 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2025秋•松滋市期中）·【基础】点A为数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动3个单位长度可到点B，则点B所表示的数为（　　） A．1 B．1或﹣5 C．5或﹣1 D．﹣5 即时巩固2．（2024秋•高青县期末）·【基础】已知数轴上有一点A，A表示的数为﹣7.5．则数轴上与A距离为10的点B表示的数为（　　） A．2.5 B．﹣17.5 C．﹣2.5或17.5 D．2.5或﹣17.5 即时巩固3．（2024秋•威海期末）·【基础】点A在数轴上距原点3个单位长度，若一个点从点A处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度得到点B．则点B表示的数是 　 　 ． 即时巩固4．（2025秋•蕲春县期中）·【基础】数轴上点A对应的数为1，则与点A相距3个单位长度的点所对应的有理数为　 　 ． 即时巩固5．（2024秋•衡阳县期末）·【基础】数轴上到数﹣5的点的距离等于2个单位长度的点所对应的数是　 　 ． 即时巩固6．（2024秋•江北区校级月考）·【基础】若数轴上的点A表示的数是﹣2024，点B与点A的距离为3，则点B所表示的数是 　 　 ． 即时巩固7．（新教材同步题）·【基础】在数轴上，点A表示的数是﹣3，点B表示x，且A与B的距离是6，那么x表示的数是 　 　 ． 即时巩固8．（2025秋•余姚市期中）·【提升】数轴上点A对应的数为﹣2，与点A相距5个单位长度的点所对应的数为　 　 ． 易错点2：读图取数与区间整数计数 学习目标 · 能准确读取数轴上点的数 · 会数区间连续整数个数 纠错指引 读图先定端点刻度；区间整数个数=最大整数-最小整数+1，端点都要算。 精讲例题 例题2．（2025秋•郑州期末）·【基础】如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 易错倾向标签：易看错｜易算错 【本题核心易错点】 · 整数个数忘加1 · 端点边界数漏数 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固9．（2026•阳谷县三模）·【基础】如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.1 B．﹣0.5 C．﹣1 D．﹣2 即时巩固10．（2025秋•富锦市月考）·【基础】如图所示，数轴上点A表示的数是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 即时巩固11．（2024秋•七台河期末）·【基础】如图，A、B、C、D、E为某未标出原点的数轴上的五个点，且AB＝BC＝CD＝DE，则点D所表示的数是（　　） A．10 B．9 C．6 D．0 即时巩固12．（2026•河东区校级模拟）·【基础】如图，则有理数a在数轴上对应的数据可能是（　　） A． B． C． D． 易错点3：由数轴位置误判运算符号 学习目标 · 能由图判断a、b符号范围 · 会判定四则运算结果符号 纠错指引 先由图确定a、b正负与绝对值大小，再按有理数运算法则逐项判断符号。 精讲例题 例题3．（2025秋•都江堰市期末）·【提升】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a+b＜0 B．b﹣a＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b| 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 混淆a、b绝对值大小 · 异号相乘符号判错 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固13．（2025秋•兴城市期末）·【基础】如图所示，若数轴上的两点A，B表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．0 C．ab＞0 D．b﹣a＞0 即时巩固14．（2026•海淀区校级二模）·【基础】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣2 B．ab＞0 C．﹣a＜b D．|a|＞|b| 即时巩固15．（2024•七里河区三模）·【基础】有理数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论（　　） A．a＞﹣3 B．b＜﹣2 C．c＞0 D．bd＜0 即时巩固16．（2025秋•如皋市校级月考）·【提升】如图所示，数轴上点A，M，B分别表示数a+b，a，2a，若AM＞BM，则下列运算结果一定是正数的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|+b 即时巩固17．（2024•镇平县模拟）·【提升】已知点A、B在数轴上表示的数如图所示，则x的取值范围是 　 　 ． 易错点4：数轴三要素遗漏或错画 学习目标 · 能说出数轴三要素 · 会判断所给数轴是否正确 纠错指引 画数轴必须同时具备原点、正方向、单位长度且单位长度一致，缺一则错。 精讲例题 例题4．（2024秋•南宁期中）·【基础】下列各图中，所画数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 漏判单位长度一致 · 忽略原点或正方向 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固18．（2025秋•鼓楼区校级同步）·【基础】下列说法正确的是（　　） A．数轴上离原点越远的点所表示的数越大 B．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，数轴上的每一个点都表示一个有理数 C．数轴上离原点最近的点所表示的数是±1 D．到原点的距离是4个单位长度的点所表示的数是±4 即时巩固19．（新教材同步题）·【基础】如图是一个不完整的数轴，数轴上点A表示的数是，则点B表示的数是 　 　 ． 易错点5：混淆距离与有向坐标 学习目标 · 能区分距离与坐标 · 会用绝对值求两点间距离 纠错指引 距离是长度恒为非负数，用绝对值|a-b|求两点间距离，勿带负号。 精讲例题 例题5．（2024秋•东莞市校级期中）·【基础】在数轴上表示﹣2的点与原点的距离为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．0 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把距离写成负数 · 混淆距离与坐标 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固20．（2025•驻马店三模）·【基础】用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　） A．﹣2 B．0.5 C．﹣1 D．2 即时巩固21．（2025秋•封开县期末）·【基础】如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB＝BC＝3CD．若A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，则线段BD的中点所表示的数是（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 易错点6：动点往返方向弄反 学习目标 · 能表述左减右加规则 · 会找往返移动的周期规律 纠错指引 数轴上点右移加、左移减；往返移动每两轮分组找净位移规律再算。 精讲例题 例题6．（2024秋•安定区期中）·【基础】在数轴上点A表示的数是﹣5，点M从点A出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，…依次操作4054次后，此时点M表示的数是（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 往返方向左右颠倒 · 未分组找周期规律 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固22．（2024秋•裕华区校级期中）·【基础】数轴上一点A向右移动4个单位长度到达点B，将点B再向左移动2个单位长度到达点C．若点C表示的数是﹣3，则点A表示的数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣5 D．2 即时巩固23．（新教材同步题）·【基础】如图，A，B，C为数轴上的三点，请解答下面的问题： （1）将点A向右移动3个单位长度，点C向左移动6个单位长度，它们各自表示的新数是什么？ （2）移动A，B，C中的两个点，使得三个点表示的数相同，写出其中一种移动方法． 易错点7：圆滚动与折叠对称出错 学习目标 · 能求圆滚动对应数 · 会求折叠对称点 纠错指引 圆滚动一周长度=周长且方向未定，必分双向；折叠对称先求折痕中点。 精讲例题 例题7．（2025春•武冈市期末）·【基础】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A'处，则点A'表示的数为（　　） A．π﹣1 B．﹣π﹣1 C．﹣π+1 D．π﹣1或﹣π﹣1 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 圆滚动忘双向考虑 · 折叠对称点取错 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固24．（2025秋•九台区期中）·【基础】如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是0，9，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A的对应点A′落在射线CB上，且A′B＝3，则点C表示的数是 　 　 ． 即时巩固25．（2024秋•东港区校级月考）·【基础】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若﹣1表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 　 　 表示的点重合． 即时巩固26．（2025秋•原州区校级期中）·【提升】如图，半径为1个单位长度的圆，从数轴上的A点处沿数轴向右滚动一周后到达B点处，若点A表示的数为﹣1，则点B对应的数是 　 　 ． 即时巩固27．（2025秋•济南期中）·【提升】等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转26次后，点B所对应的数是 　 　 ． 易错点8：动点综合与新定义题 学习目标 · 能表示动点坐标含t式 · 理解新定义并分情况讨论 纠错指引 用t表示各点坐标，代入含t式后令t的系数为0；新定义先举例理解。 精讲例题 例题8．（2025秋•石家庄校级期中）·【提升】定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　 ． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 未令t系数为0 · 新定义理解偏差 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固28．（2024秋•宜兴市期中）·【提升】如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝9，且OA＝2OB，点P从点O开始以每秒5个单位的速度向左运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒4个单位和每秒2个单位的速度同时向左运动，设运动时间为t秒，若3AP+2BP﹣mOP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A． B．或 C．或 D．或 即时巩固29．（2024秋•凤县期中）·【基础】如图，数轴上A、B两点所对应的数分别是a、b，其中a＝（﹣3）+18÷（﹣3），b＝（﹣2）2（﹣6）． （1）求a、b的值； （2）求A，B两点之间的距离； （3）一动点C从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，另一动点D从点B出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动若点C、点D同时出发，在数轴上点N相遇，求N点所对应的有理数． 即时巩固30．（2024秋•江都区期末）·【提升】如图，数轴上点A表示数a，点B表示数﹣a，点C表示数1﹣a． （1）请在数轴上用圆规作出点B、点C（不写作法，保留作图痕迹）； （2）线段BC的中点为M，若AM＝4，求a的值． 易错点9：位移与路程混淆算耗油 学习目标 · 能区分位移与路程 · 会用绝对值和算总路程 纠错指引 耗油看总路程(各段绝对值之和)，位移看代数和；最远距离逐段累加比较。 精讲例题 例题9．（2025秋•白塔区校级期末）·【基础】出租司机沿东西向公路送旅客，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米） +17，﹣9，+7，+11，﹣15，﹣3． （1）出租司机最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）出租司机最远处离出发点有多远？ （3）若汽车耗油量为0.08升/千米，则这天共耗油多少升？ 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 耗油路程用代数和 · 最远距离未逐段算 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固31．（2024秋•尧都区期末）·【提升】出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：km）如下： ﹣3，+5，﹣1，+1，﹣6，+2． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）若汽车耗油量为0.2L/km（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ （3）若出租车起步价为8元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.5元，问小李这天上午共得车费多少元？ 本专题错因自查清单 ☐ 到定点等距漏掉另一侧解 ☐ 区间整数个数忘加1 ☐ 由图判符号混淆绝对值 ☐ 数轴三要素遗漏或单位长度不一 ☐ 把距离写成带负号 ☐ 动点往返方向左右颠倒 ☐ 圆滚动忽略双向与π ☐ 新定义题未分情况讨论 ☐ 耗油路程误用代数和 过关测试（综合检测） 1．（2025秋•江阴市期中）·【基础】数轴上表示﹣2的点和表示1的点之间的距离是 　 　 ． 2．（2024秋•涟水县期中）·【基础】如图所示，李想在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，知墨迹盖住的整数共有　 　 个． 3．（2025秋•武安市期中）·【基础】数轴上到表示数﹣4点距离为3的点所表示的数为　 　 ． 4．（2025秋•魏都区校级期中）·【基础】如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2025的点是 　 　 ． 5．（2024秋•鞍山校级月考）·【基础】如图中，如果点C表示的数是1，那么点B表示的数是 　 　 ；如果点C表示的数是3，那么点A表示的数是 　 　 ． 6．（2024秋•江北区校级月考）·【基础】某同学在写作业时不小心将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住的整数之和为 　 　 ． 7．（2025秋•四川期末）·【提升】如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数，是　 　 ，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是　 　 ． 8．（2024秋•澄城县期中）·【提升】点M、N、P和原点O在数轴上的位置如图所示，有理数a、b、c各自对应着M、N、P三个点中的某一点，且ab＜0，a+b＞0，a＞b，c＞0那么表示数b的点为 　 　 ． 9．（2024秋•广陵区期中）·【提升】如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝　 　 ． 10．（2025秋•重庆校级期中）·【基础】滴滴快车司机小张某天下午运营时是从轨道龙头寺公园站出发，沿着东西走向的新溉大道进行．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午所接送的八位乘客行车里程（单位：km）如下： ﹣3，+6，﹣11，﹣9，﹣5，+13，+9，﹣6． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小张离轨道龙头寺公园距离多远？ （2）将第几位乘客送到目的地时，小张距离轨道龙头寺公园站最远？ （3）若小张驾驶的新能源汽车每千米消耗天然气0.3升，天然气的单价为每升5元，则小张这天下午的花费共需多少元？ 11．（2024•峰峰矿区三模）·【提升】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 　 　 的点重合； （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数 　 　 的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值． 苏科版2024 · 数轴 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2024 · 数轴 · 第2章 有理数 2.2数轴 苏科版（2024）七上易错专题 苏科版2024 第2章 有理数 第1课时 本专题按错因重新聚合精选的51道数轴易错题，打破原题顺序。每个易错点下设精讲例题搭配即时巩固，逐层拆解审题陷阱与概念误区；末尾另设综合检测题组，供全部模块学完后整体检验掌握情况。 目录 易错点1：到定点等距的点有两个 易错点2：读图取数与区间整数计数 易错点3：由数轴位置误判运算符号 易错点4：数轴三要素遗漏或错画 易错点5：混淆距离与有向坐标 易错点6：动点往返方向弄反 易错点7：圆滚动与折叠对称出错 易错点8：动点综合与新定义题 易错点9：位移与路程混淆算耗油 易错点1：到定点等距的点有两个 学习目标 · 能说出等距点有两个并分类求 · 会用a±d表示两侧解 纠错指引 设点P到点a距离为d，则P=a+d或a-d，必须两解都写；平移同样分左右。 精讲例题 例题1．（2024秋•太平区期末）·【基础】M点在数轴上表示﹣4，N点离M的距离是3，那么N点表示的数为（　　） A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．﹣1或1 【分析】数轴上与﹣4 距离为3的点有两个，一个在左，一个在右，可得N点表示的数． 【解答】解：﹣4+3＝﹣1， ﹣4﹣3＝﹣7， 故C正确． 故选：C． 教学提示：强调『距离为3』在数轴上对应左右两点，列-4±3两式，勿只写一侧。 易错倾向标签：易漏解｜易想错 【本题核心易错点】 · 只取一侧忽略另一侧解 · 忘分左右两种情况 即时巩固 即时巩固1．（2025秋•松滋市期中）·【基础】点A为数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动3个单位长度可到点B，则点B所表示的数为（　　） A．1 B．1或﹣5 C．5或﹣1 D．﹣5 【分析】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以求出点B表示的数． 【解答】解：当点A向右移3个单位长度时，得﹣2+3＝1， ∴点B表示的数是1， 当点A向左移3个单位长度时，得﹣2﹣3＝﹣5， ∴点B表示的数是﹣5， 故选：B． 教学提示：点明『移动3单位』含左右两种，用数轴比划-2右移与左移两种结果。 即时巩固2．（2024秋•高青县期末）·【基础】已知数轴上有一点A，A表示的数为﹣7.5．则数轴上与A距离为10的点B表示的数为（　　） A．2.5 B．﹣17.5 C．﹣2.5或17.5 D．2.5或﹣17.5 【分析】根据题意可分点A在点B左侧和右侧，分两种情况求解即可． 【解答】解：依题意，点B表示的数可分两种情况求解： ①当该点在点A的右边时，点B表示的数为：﹣7.5+10＝2.5， ②当该点在点A的左边时，点B表示的数为：﹣7.5﹣10＝﹣17.5， 综上可得，点B表示的数为：2.5或﹣17.5． 故选：D． 教学提示：类比第15题，分点B在A左右两侧列式-7.5±10，强化两解意识。 即时巩固3．（2024秋•威海期末）·【基础】点A在数轴上距原点3个单位长度，若一个点从点A处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度得到点B．则点B表示的数是 　 　 ． 【分析】根据数轴上的点距离原点3个单位长度，可得点A表示的数，从而求出点B表示的数即可． 【解答】解：∵点A在数轴上距原点3个单位长度， ∴点A表示的数是﹣3或3， 当点A表示的数是﹣3时： ∵一个点从点A处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度得到点B， ∴点B表示的数是﹣3+4﹣1＝0， 当点A表示的数是3时： ∵一个点从点A处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度得到点B， ∴点B表示的数是3+4﹣1＝6， ∴点B表示的数是0或6． 故答案为：0或6． 教学提示：点A距原点3本身有两解(±3)，再各平移，提醒双重分类讨论。 即时巩固4．（2025秋•蕲春县期中）·【基础】数轴上点A对应的数为1，则与点A相距3个单位长度的点所对应的有理数为　 　 ． 【分析】分两种情况，与点A相距3个单位长度的点可以在A的左边或右边，即1﹣3＝﹣2或1+3＝4． 【解答】解：当该点在A的左边，则该点表示的数为：1﹣3＝﹣2； 若该点在A的右边，则该点表示的数为1+3＝4． 故答案为：4或﹣2． 教学提示：分A左右两侧列式1±3，强调『相距3』必有两解。 即时巩固5．（2024秋•衡阳县期末）·【基础】数轴上到数﹣5的点的距离等于2个单位长度的点所对应的数是　 　 ． 【分析】依据题意，由到数﹣5的点的距离等于2个单位长度的点可能在﹣5的左边或右边，从而所对应的数是：﹣5+2＝﹣3或﹣5﹣2＝﹣7，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵到数﹣5的点的距离等于2个单位长度的点可能在﹣5的左边或右边， ∴所对应的数是：﹣5+2＝﹣3或﹣5﹣2＝﹣7． 故答案为：﹣3或﹣7． 教学提示：到-5距离2的点在-5两侧，列-5±2，巩固『等距两点』模型。 即时巩固6．（2024秋•江北区校级月考）·【基础】若数轴上的点A表示的数是﹣2024，点B与点A的距离为3，则点B所表示的数是 　 　 ． 【分析】依据题意，由点A表示的数是﹣2024，点B与点A的距离为3，从而B在A的左边或右边3个单位，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵点A表示的数是﹣2024，点B与点A的距离为3， ∴B在A的左边或右边3个单位． ∴点B所表示的数是：﹣2024+3＝﹣2021或﹣2024﹣3＝﹣2027． 故答案为：﹣2021或﹣2027． 教学提示：到-2024距离3为-2024±3，大数也适用同模型，勿被大数吓住。 即时巩固7．（新教材同步题）·【基础】在数轴上，点A表示的数是﹣3，点B表示x，且A与B的距离是6，那么x表示的数是 　 　 ． 【分析】根据数轴上的点到一点的距离相等的点有两个，可得B点有两个，根据AB的距离等于6，可得x的值． 【解答】解：∵AB＝6， 6， x＝﹣9，或x＝3， 故答案为：﹣9，3． 教学提示：|x+3|=6得x=-9或3，直接套『等距两点』模型快速作答。 即时巩固8．（2025秋•余姚市期中）·【提升】数轴上点A对应的数为﹣2，与点A相距5个单位长度的点所对应的数为　 　 ． 【分析】设在数轴上与点A相距5个单位长度的点所表示的数是x，再根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可． 【解答】解：设在数轴上与点A相距5个单位长度的点所表示的数是x， 则|x﹣（﹣2）|＝5， 解得x＝﹣7或x＝3． 故答案为：﹣7或3 教学提示：用|x+2|=5解绝对值方程得到两解，衔接后续绝对值知识。 易错点2：读图取数与区间整数计数 学习目标 · 能准确读取数轴上点的数 · 会数区间连续整数个数 纠错指引 读图先定端点刻度；区间整数个数=最大整数-最小整数+1，端点都要算。 精讲例题 例题2．（2025秋•郑州期末）·【基础】如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【分析】根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【解答】解：根据数轴的特点，﹣6.3到﹣1之间的整数有﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2共5个， 0到4.1之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有5+4＝9个． 故选：C． 教学提示：点拨区间整数个数公式『末-初+1』，用-6到-1共5个、-1到4共4个示范。 易错倾向标签：易看错｜易算错 【本题核心易错点】 · 整数个数忘加1 · 端点边界数漏数 即时巩固 即时巩固9．（2026•阳谷县三模）·【基础】如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.1 B．﹣0.5 C．﹣1 D．﹣2 【分析】由图片可知，被挡住部分处于﹣1和0之间，由此得出答案． 【解答】解：由图可知，被挡住部分处于﹣1和0之间，由选项可知被遮挡住的点表示的数可能是﹣0.5， 故选：B． 教学提示：引导观察遮挡段落在-1与0之间，用排除法比对四个选项的数值范围。 即时巩固10．（2025秋•富锦市月考）·【基础】如图所示，数轴上点A表示的数是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 【分析】根据数轴上的点可得点A表示的数． 【解答】解：如图所示，数轴上点A表示的数是﹣3． 故选：B． 教学提示：强调数轴上的点表示的数是坐标而非长度，提醒读刻度而非数格子。 即时巩固11．（2024秋•七台河期末）·【基础】如图，A、B、C、D、E为某未标出原点的数轴上的五个点，且AB＝BC＝CD＝DE，则点D所表示的数是（　　） A．10 B．9 C．6 D．0 【分析】A与E之间的距离已知，根据AB＝BC＝CD＝DE，即可得到DE之间的距离，从而确定点D所表示的数． 【解答】解：∵AE＝14﹣（﹣6）＝20， 又∵AB＝BC＝CD＝DE，AB+BC+CD+DE＝AE， ∴DEAE＝5， ∴D表示的数是14﹣5＝9． 故选：B． 教学提示：先求AE总长再四等分，注意点D在点E左侧，用14减一份定位。 即时巩固12．（2026•河东区校级模拟）·【基础】如图，则有理数a在数轴上对应的数据可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接观察数轴可知，点a处于﹣2和﹣1之间且离﹣1较近，因此可以判断出答案． 【解答】解：由数轴可知，点a处于﹣2和﹣1之间且离﹣1较近，因此A选项合适， 故选A． 教学提示：让学生先标出被遮挡区间端点，再数连续整数，强调端点是否包含。 易错点3：由数轴位置误判运算符号 学习目标 · 能由图判断a、b符号范围 · 会判定四则运算结果符号 纠错指引 先由图确定a、b正负与绝对值大小，再按有理数运算法则逐项判断符号。 精讲例题 例题3．（2025秋•都江堰市期末）·【提升】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a+b＜0 B．b﹣a＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b| 【分析】依题意，根据数轴得到b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据有理数四则运算法则求解即可． 【解答】解：观察数轴可得：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，b﹣a＜0，ab＜0，|b|＞|a|， ∴四个选项中A选项正确，B，C，D选项错误． 故选：A． 教学提示：先由图得b<0<a且|b|>|a|，再逐项判定四则运算符号，避免凭感觉。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 混淆a、b绝对值大小 · 异号相乘符号判错 即时巩固 即时巩固13．（2025秋•兴城市期末）·【基础】如图所示，若数轴上的两点A，B表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．0 C．ab＞0 D．b﹣a＞0 【分析】此题考查的是有理数的四则运算．异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去较小的数的绝对值．异号相减，可以看作加上减数的相反数．两个数相乘或者相除（除数不为0），同号为正，异号为负． 【解答】解：因为A在﹣1的左边，B 在0和1之间，所以a＜﹣1，0＜b＜1； a的绝对值大于b的绝对值，则a+b＜0；0；ab＜0；b﹣a＞0． 故选：D． 教学提示：对比异号相加取绝对值大者的符号，板演a+b、b-a、ab、|a|四式。 即时巩固14．（2026•海淀区校级二模）·【基础】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣2 B．ab＞0 C．﹣a＜b D．|a|＞|b| 【分析】根据有理数a、b在数轴上对应点的位置进行判断即可． 【解答】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2， ∴ab＜0，﹣a＞b，|a|＞|b|， ∴选项ABC是错误的，只有选项D是正确的． 故选：D． 教学提示：让学生口述a、b所在区间，重点练『-a与b谁大』这类相反数比较。 即时巩固15．（2024•七里河区三模）·【基础】有理数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论（　　） A．a＞﹣3 B．b＜﹣2 C．c＞0 D．bd＜0 【分析】由题意判断出a，b，c，d的符号和范围，然后进行逐一辨别、判断． 【解答】解：由题意得，a＜﹣3＜﹣2＜b＜﹣1＜c＜0，d＝3＞0， ∴bd＜0， ∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 教学提示：由图读a<-3<-2<b<-1<c<0<d，逐项判断符号，训练读图精度。 即时巩固16．（2025秋•如皋市校级月考）·【提升】如图所示，数轴上点A，M，B分别表示数a+b，a，2a，若AM＞BM，则下列运算结果一定是正数的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|+b 【分析】根据A，M，B分别表示的数及它们在数轴上的位置，分别表示出AM、BM，再根据AM＞BM判断a、b的大小关系，从而根据不等式的基本性质逐项判断正误即可． 【解答】解：AM＝a﹣（a+b）＝﹣b＞0， BM＝2a﹣a＝a＞0， ∵AM＞BM， ∴﹣b＞a， ∴﹣b﹣a＞0，即﹣（a+b）＞0， ∴a+b＜0， ∴A不符合题意； ∵﹣b＞a， ∴a﹣b＞2a， ∵a＞0， ∴a﹣b＞0， ∴B正确，符合题意； ∵﹣b＞0， ∴b＜0， ∵a＞0， ∴ab＜0， ∴C不符合题意； ∵a＞0， ∴|a|+b＝a+b， ∵a+b＜0， ∴|a|+b＜0， ∴D不符合题意． 故选：B． 教学提示：由AM>BM推出-b>a，再结合a>0判断各式的正负，培养不等式直觉。 即时巩固17．（2024•镇平县模拟）·【提升】已知点A、B在数轴上表示的数如图所示，则x的取值范围是 　 　 ． 【分析】根据数轴上点A和B表示的数列关于x的一元一次不等式组并求解即可． 【解答】解：根据数轴可知，得， 解得x＜﹣1． 故答案为：x＜﹣1． 教学提示：由数轴空心/实心圈读出a、b范围，列一元一次不等式组求解。 易错点4：数轴三要素遗漏或错画 学习目标 · 能说出数轴三要素 · 会判断所给数轴是否正确 纠错指引 画数轴必须同时具备原点、正方向、单位长度且单位长度一致，缺一则错。 精讲例题 例题4．（2024秋•南宁期中）·【基础】下列各图中，所画数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，结合图形判断即可． 【解答】解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度 选项A：没有正方向，故A不合题意； 选项B：没有单位长度，故B不合题意； 选项C：单位长度不一致，故C不合题意； 选项D，具备数轴的三要素，且画图标准，故D符合题意． 故选：D． 教学提示：对照三要素逐一排查选项，重点看单位长度是否一致、有无正方向。 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 漏判单位长度一致 · 忽略原点或正方向 即时巩固 即时巩固18．（2025秋•鼓楼区校级同步）·【基础】下列说法正确的是（　　） A．数轴上离原点越远的点所表示的数越大 B．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，数轴上的每一个点都表示一个有理数 C．数轴上离原点最近的点所表示的数是±1 D．到原点的距离是4个单位长度的点所表示的数是±4 【分析】根据有理数的性质及数轴知识可对每个语句进行判断． 【解答】解：A、负数离原点越远表示的数越小，故错误； B、数轴上的数还可以表示无理数，故错误； C、数轴上还有比±1距离更近的点，如0.1，故错误； D、到原点的距离是4个单位长度的点所表示的数是±4，正确． 故选：D． 教学提示：逐条辨析三要素，用反例(如无理数点)说明『数轴点不都表有理数』。 即时巩固19．（新教材同步题）·【基础】如图是一个不完整的数轴，数轴上点A表示的数是，则点B表示的数是 　 　 ． 【分析】由题意确定数轴的原点与单位长度，就可求得此题结果． 【解答】解：由题意得，该数轴中1个格表示的单位长度为： 2， ∴点B表示的有理数为： 16＝1， 故答案为：． 教学提示：先由已知点A确定原点与单位长度，再推点B坐标。 易错点5：混淆距离与有向坐标 学习目标 · 能区分距离与坐标 · 会用绝对值求两点间距离 纠错指引 距离是长度恒为非负数，用绝对值|a-b|求两点间距离，勿带负号。 精讲例题 例题5．（2024秋•东莞市校级期中）·【基础】在数轴上表示﹣2的点与原点的距离为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．0 【分析】根据数轴的三要素，即可解答． 【解答】解：在数轴上表示﹣2的点与原点的距离为2， 故选：A． 教学提示：距离是长度恒非负，明确『-2到原点距离=2』，纠正写±2的错。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 把距离写成负数 · 混淆距离与坐标 即时巩固 即时巩固20．（2025•驻马店三模）·【基础】用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　） A．﹣2 B．0.5 C．﹣1 D．2 【分析】求出各个数的绝对值并比较大小即可． 【解答】解：|﹣2|＝2，|0.5|＝0.5，|﹣1|＝1，|2|＝2， ∵0.5＜1＜2， ∴选项中各数对应的点与原点距离最近的是0.5． 故选：B． 教学提示：提醒『距离最近』比的是绝对值大小，先算各数绝对值再排序。 即时巩固21．（2025秋•封开县期末）·【基础】如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB＝BC＝3CD．若A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，则线段BD的中点所表示的数是（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 【分析】首先设出BC，根据2AB＝BC＝3CD表示出AB、CD，求出线段AD的长度，即可得出答案． 【解答】解：设BC＝6x， ∵2AB＝BC＝3CD， ∴AB＝3x，CD＝2x， ∴AD＝AB+BC+CD＝11x， ∵A，D两点所表示的数分别是﹣5和6， ∴11x＝11， 解得：x＝1， ∴AB＝3，CD＝2， ∴B，D两点所表示的数分别是﹣2和6， ∴线段BD的中点表示的数是2． 故选：D． 教学提示：设BC=6x统一表示AB、CD，借线段总长列方程，强调比例分配逻辑。 易错点6：动点往返方向弄反 学习目标 · 能表述左减右加规则 · 会找往返移动的周期规律 纠错指引 数轴上点右移加、左移减；往返移动每两轮分组找净位移规律再算。 精讲例题 例题6．（2024秋•安定区期中）·【基础】在数轴上点A表示的数是﹣5，点M从点A出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，…依次操作4054次后，此时点M表示的数是（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【分析】先根据点M的移动规律，每移动两次是：向右移动了1个单位，所以操作4054次后相当于向右移动了2027个单位，列式计算可得结论． 【解答】解：将点M先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，看作移动一次，是向右移动一次；向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，看作移动一次，也是向右移动一次； ∴4054÷2＝2027， ∴﹣5+2027＝2022， 即此时点M表示的数是2022． 故选：D． 教学提示：引导发现『每两次右移1单位』的规律，用4054÷2再算-5+2027。 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 往返方向左右颠倒 · 未分组找周期规律 即时巩固 即时巩固22．（2024秋•裕华区校级期中）·【基础】数轴上一点A向右移动4个单位长度到达点B，将点B再向左移动2个单位长度到达点C．若点C表示的数是﹣3，则点A表示的数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣5 D．2 【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 【解答】解：﹣3+2﹣4＝﹣5，即点A表示的数是﹣5． 故选：C． 教学提示：逆向还原——由C右移2、左移4回推A，强调逆运算方向相反。 即时巩固23．（新教材同步题）·【基础】如图，A，B，C为数轴上的三点，请解答下面的问题： （1）将点A向右移动3个单位长度，点C向左移动6个单位长度，它们各自表示的新数是什么？ （2）移动A，B，C中的两个点，使得三个点表示的数相同，写出其中一种移动方法． 【分析】依据题意，数的大小变化和数轴上表示这个数的点在数轴上移动的关系：左减右加． 【解答】解：根据题意得：（1）点A向右移动3个单位长度后，变为﹣3+3＝0，点C向左移动6个单位长度后，变为4﹣6＝﹣2， ∴A表示的新数是0，C表示的新数是﹣2． （2）点C向左移动7个单位长度后，变为4﹣7＝﹣3，点B向左移动2个单位长度后，变为﹣1﹣2＝﹣3． 教学提示：巩固『左减右加』，让学生动手移动A、B、C三点并口述新数。 易错点7：圆滚动与折叠对称出错 学习目标 · 能求圆滚动对应数 · 会求折叠对称点 纠错指引 圆滚动一周长度=周长且方向未定，必分双向；折叠对称先求折痕中点。 精讲例题 例题7．（2025春•武冈市期末）·【基础】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A'处，则点A'表示的数为（　　） A．π﹣1 B．﹣π﹣1 C．﹣π+1 D．π﹣1或﹣π﹣1 【分析】该圆沿数轴滚动一周，并没有说明方向，要考虑全面，排除AC，根据圆的周长公式得出圆的周长是π，所以有﹣1+π，由此可得结论． 【解答】解：圆的周长C＝πd＝π， 圆向右滚动时，A′表示的数为﹣1+π，即π﹣1， 圆向左滚动时，A′表示的数为﹣1﹣π，即﹣π﹣1， 故选：D． 教学提示：圆滚动一周长为π且方向未定，必须分右滚(-1+π)与左滚(-1-π)两解。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 圆滚动忘双向考虑 · 折叠对称点取错 即时巩固 即时巩固24．（2025秋•九台区期中）·【基础】如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是0，9，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A的对应点A′落在射线CB上，且A′B＝3，则点C表示的数是 　 　 ． 【分析】设点C表示的数是x，根据题意可得：AC＝A′C，AB＝9，然后分两种情况：当点A′落在点B的左侧时；当点A′落在点B的右侧时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：设点C表示的数是x， 由题意得：AC＝A′C，AB＝9， 分两种情况： 当点A′落在点B的左侧时，如图： ∵A′B＝3， ∴AA′＝AB﹣A′B＝9﹣3＝6， 由题意得：AA′＝2AC， ∴6＝2x， 解得：x＝3， ∴点C表示的数是3； 当点A′落在点B的右侧时，如图： 由题意得：AC＝A′C， ∴AC＝BC+A′B， ∵A′B＝3， ∴x＝9﹣x+3， 解得：x＝6， ∴点C表示的数是6； 综上所述：点C表示的数是6或3； 故答案为：6或3． 教学提示：设C=x，利用AC=A′C分A′在B左、右两种情形列方程。 即时巩固25．（2024秋•东港区校级月考）·【基础】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若﹣1表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 　 　 表示的点重合． 【分析】首先找出对称点，然后根据对应点到对称点的距离相等进行解答即可． 【解答】解：∵﹣1表示的点与3表示的点重合，故此折痕经过的点表示的数是1； ∴5表示的点与数﹣3表示的点重合； 故答案为：﹣3． 教学提示：先求折痕中点(对称点平均数)，再用对称距离相等求5的对称点。 即时巩固26．（2025秋•原州区校级期中）·【提升】如图，半径为1个单位长度的圆，从数轴上的A点处沿数轴向右滚动一周后到达B点处，若点A表示的数为﹣1，则点B对应的数是 　 　 ． 【分析】首先利用圆的周长公式求得AB的长度，然后再由点A表示的数字可得到点B表示的数字． 【解答】解：∵圆的半径为1， ∴AB＝2πr＝2π×1＝2π． 又∵点A对应的数是﹣1， ∴点B对应的数是2π﹣1． 故答案为：2π﹣1． 教学提示：圆向右滚动周长2π，点B=-1+2π，注意π是周长而非半径。 即时巩固27．（2025秋•济南期中）·【提升】等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转26次后，点B所对应的数是 　 　 ． 【分析】结合数轴发现根据翻折的次数，发现对应的数字依次是：第1次和第2次对应的数都是1，第3次点B不在数轴上，在数轴的上方，第4次和第5次对应的数都是4，第6次点B不在数轴上，在数轴的上方，第7次和第8次对应的数都是7，第9次点B不在数轴上，在数轴的上方；…．根据这一规律：因为26＝8×3+2＝24+2，所以翻转26次后，点B所对应的数是25． 【解答】解：因为26＝8×3+2＝24+2， 所以翻转26次后，点B所对应的数是25． 故答案为：25． 教学提示：找等边三角形翻转的周期(每3次一循环)，用26÷3余2定位。 易错点8：动点综合与新定义题 学习目标 · 能表示动点坐标含t式 · 理解新定义并分情况讨论 纠错指引 用t表示各点坐标，代入含t式后令t的系数为0；新定义先举例理解。 精讲例题 例题8．（2025秋•石家庄校级期中）·【提升】定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　 ． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考查点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【解答】解：（1）根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，只有点G符合条件， 故答案为：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定﹣4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是﹣16． 故答案为：﹣4或﹣16． （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2﹣3＝﹣1，因此t＝1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2﹣6＝﹣4，因此t＝3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2﹣18＝﹣16，因此t＝9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2﹣27＝﹣25，因此t＝13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2﹣13.5＝﹣11.5，因此t＝6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图6， 当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧， 当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒， 第八种情况， N为【M，P】的美好点，点P在M右侧， 当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 教学提示：先讲清『美好点』定义，再分6种位置情况讨论P、M、N关系。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 未令t系数为0 · 新定义理解偏差 即时巩固 即时巩固28．（2024秋•宜兴市期中）·【提升】如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝9，且OA＝2OB，点P从点O开始以每秒5个单位的速度向左运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒4个单位和每秒2个单位的速度同时向左运动，设运动时间为t秒，若3AP+2BP﹣mOP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【分析】根据AB＝9，且OA＝2OB分别求出OA、OB，从而得到点A、B分别表示的数；根据路程＝速度×时间分别求出点A、B、O、P在t秒时表示的数，并将AP、BP、OP用含t的代数式分别表示出来并代入3AP+2BP﹣mOP合并同类项，当t的系数为0时求出对应m的值即可． 【解答】解：∵AB＝9，且OA＝2OB， ∴OA＝96，OB＝9﹣6＝3， ∴点A表示的数是﹣6，点B表示的数是3． 根据题意，t秒时点A表示的数是﹣6﹣4t，点B表示的数是3﹣2t，点P表示的数是﹣5t， ∴AP＝|﹣6﹣4t﹣（﹣5t）|＝|t﹣6|，BP＝3﹣2t﹣（﹣5t）＝3t+3，OP＝|﹣5t|＝5t， ∴3AP+2BP﹣mOP ＝3|t﹣6|+2（3t+3）﹣5mt ＝3|t﹣6|+（6﹣5m）t+6． 当0≤t＜6时： 3|t﹣6|+（6﹣5m）t+6 ＝﹣3（t﹣6）+（6﹣5m）t+6 ＝（3﹣5m）t+24， 若（3﹣5m）t+24不随着t的变化而变化，则3﹣5m＝0， 解得m； 当t≥6时： 3|t﹣6|+（6﹣5m）t+6 ＝3（t﹣6）+（6﹣5m）t+6 ＝（9﹣5m）t﹣12 若（9﹣5m）t﹣12不随着t的变化而变化，则9﹣5m＝0， 解得m． 综上，m的值为或． 故选：C． 教学提示：用t表示各点坐标，写出AP、BP、OP代入后令t系数为0求m。 即时巩固29．（2024秋•凤县期中）·【基础】如图，数轴上A、B两点所对应的数分别是a、b，其中a＝（﹣3）+18÷（﹣3），b＝（﹣2）2（﹣6）． （1）求a、b的值； （2）求A，B两点之间的距离； （3）一动点C从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，另一动点D从点B出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动若点C、点D同时出发，在数轴上点N相遇，求N点所对应的有理数． 【分析】（1）根据有理数混合运算法则分别求出a和b的值即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （3）根据时间＝路程÷速度求出C、D两点相遇时运动的时间，再求出N点所对应的有理数即可． 【解答】解：（1）a＝（﹣3）+18÷（﹣3） ＝（﹣3）+（﹣6） ＝（﹣3）+（﹣2） ＝﹣5， b＝（﹣2）2（﹣6） ＝4﹣（﹣3） ＝7． （2）|a﹣b|＝|﹣5﹣7|＝12， ∴A，B两点之间的距离为12． （3）C、D两点相遇时运动的时间为12÷（2+1）＝4（秒）， ﹣5+2×4＝3， ∴N点所对应的有理数为3． 教学提示：先算a、b值，再用相遇问题『路程和÷速度和』求相遇时间与位置。 即时巩固30．（2024秋•江都区期末）·【提升】如图，数轴上点A表示数a，点B表示数﹣a，点C表示数1﹣a． （1）请在数轴上用圆规作出点B、点C（不写作法，保留作图痕迹）； （2）线段BC的中点为M，若AM＝4，求a的值． 【分析】（1）以原点为圆心，以|a|为半径画圆与数轴相交，原点右侧的交点为点B；以点B为圆心，以单位长度为半径画圆与数轴相交，点B右侧的交点为点C； （2）分别用含a的代数式表示出AB、BC，根据AM＝AB+BM列关于a的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：（1）点B、点C如图所示： （2）BC＝﹣a+1﹣（﹣a）＝1， ∴BMBC， ∵AB＝﹣a﹣a＝﹣2a，AM＝AB+BM， ∴﹣a﹣a4， ∴a． 教学提示：尺规作B、C后，用含a代数式表示BC中点，列AM=AB+BM求a。 易错点9：位移与路程混淆算耗油 学习目标 · 能区分位移与路程 · 会用绝对值和算总路程 纠错指引 耗油看总路程(各段绝对值之和)，位移看代数和；最远距离逐段累加比较。 精讲例题 例题9．（2025秋•白塔区校级期末）·【基础】出租司机沿东西向公路送旅客，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米） +17，﹣9，+7，+11，﹣15，﹣3． （1）出租司机最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）出租司机最远处离出发点有多远？ （3）若汽车耗油量为0.08升/千米，则这天共耗油多少升？ 【分析】（1）由正数、负数、0在数轴上的应用求出出租司机最后到达的地方在出发点的东边，距出发点8km； （2）有理数加法，绝对值求出出租司机最远处离出发点有26km； （3）由路程、数的绝对值和，耗油量求出这天共耗油4.96升． 【解答】解：（1）∵约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录为 +17，﹣9，+7，+11，﹣15，﹣3， ∴出租司机最后到达的地方为 （+17）+（﹣9）+）（+7）+（+11）+（﹣15）+（﹣3）＝8＞0， ∴在出发点的东边，距离8km； （2）∵第1次送旅客位置出发点的距离为|+17|＝17， 第2次送旅客位置出发点的距离为|+17+（﹣9）|＝8， 第3次送旅客位置出发点的距离为|（+17）+（﹣9）+）（+7）|＝15， 第4次送旅客位置出发点的距离为|（+17）+（﹣9）+）（+7）+（+11）|＝26， 第5次送旅客位置出发点的距离为|（+17）+（﹣9）+）（+7）+（+11）+（﹣15）|＝11， 第6次送旅客位置出发点的距离为|（+17）+（﹣9）+）（+7）+（+11）+（﹣15）+（﹣3）|＝8， ∴出租司机最远处离出发点最远的距离为26； （3）∴出租司机实际行驶的路程为： |+17|+|﹣9|+|+7|+|+11|+|﹣15|+|﹣3|＝62， ∴这天共耗油量为：62×0.08＝4.96（升） 教学提示：强调耗油看总路程(绝对值和)、位移看代数和，最远逐段累计。 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 耗油路程用代数和 · 最远距离未逐段算 即时巩固 即时巩固31．（2024秋•尧都区期末）·【提升】出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：km）如下： ﹣3，+5，﹣1，+1，﹣6，+2． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）若汽车耗油量为0.2L/km（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ （3）若出租车起步价为8元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.5元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【分析】（1）求出这些数的和，计算结果的符号表示方向，绝对值表示距离； （2）求出这些数的绝对值之和，再乘以每千米的耗油量即可； （3）将每名乘客的费用加起来即可． 【解答】解：（1）﹣3+5﹣1+1﹣6+2＝﹣2． 答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在鼓楼以北2km处． （2）|﹣3|+|+5|+|﹣1|+|+1|+|﹣6|+|+2|＝18（km）， 0.2×18＝3.6（L）． 答：出租车共耗油3.6L． （3）8×6+1.5×（5﹣3）+1.5×（6﹣3）＝55.5（元）． 答：小李这天上午共得车费55.5元． 教学提示：区分位移与路程，车费按起步价+超出里程分段计，别漏乘客。 过关测试（综合检测） 1．（2025秋•江阴市期中）·【基础】数轴上表示﹣2的点和表示1的点之间的距离是 　 　 ． 【分析】数轴上表示﹣2的点和表示1的点之间的距离是1﹣（﹣2），计算即可． 【解答】解：1﹣（﹣2）＝1+2＝3． 故答案为：3． 教学提示：两点距离=大数减小数=1-(-2)=3，强调顺序不影响结果。 2．（2024秋•涟水县期中）·【基础】如图所示，李想在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，知墨迹盖住的整数共有　 　 个． 【分析】在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，由示意图可知，﹣6.3＜﹣6，﹣1.2＞﹣2，0＜1，4.1＞4，﹣6、﹣2及它们之间的数被覆盖了，1、4及它们之间的数也被覆盖了． 【解答】解：由示意图，得， ﹣6、﹣2及它们之间的数被覆盖了； 1、4及它们之间的数也被覆盖了， ∴[（﹣2）﹣（﹣6）+1]+（4﹣1+1）＝9（个）， ∴墨水覆盖住的数共有9个． 故答案为：9． 教学提示：同第3题，先定每块墨迹覆盖的整数端点，再用『末-初+1』计数。 3．（2025秋•武安市期中）·【基础】数轴上到表示数﹣4点距离为3的点所表示的数为　 　 ． 【分析】到数轴上一点距离相等的点有两个，要分类讨论． 【解答】解：距离点数﹣4为3个单位长度的点有两个，它们分别是﹣43，﹣43，故答案为或． 教学提示：与第28题同模型，到-4距离3为-4±3，提醒两解勿漏。 4．（2025秋•魏都区校级期中）·【基础】如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2025的点是 　 　 ． 【分析】由于圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合． 【解答】解：由图形可知，旋转一周，点B对应的数是1，点C对应的数是0，点D对应的数是﹣1，点E对应的数是﹣2，点F对应的点为﹣3，点A对应的点为﹣4， 继续旋转，点B对应的点为﹣5，点C对应的点为﹣6． ∵2025÷6＝337…3， ∴数轴上表示﹣2025的点与圆周上点F重合． 故答案为：点F． 教学提示：圆周长6，六等分点每滚一周对应一个数，用2025÷6余3定位。 5．（2024秋•鞍山校级月考）·【基础】如图中，如果点C表示的数是1，那么点B表示的数是 　 　 ；如果点C表示的数是3，那么点A表示的数是 　 　 ． 【分析】根据数轴的三要素，即可解答． 【解答】解：如图中，如果点C表示的数是1，那么点B表示的数是；如果点C表示的数是3，那么点A表示的数是﹣2， 故答案为：；﹣2． 教学提示：由点C定位反推单位长度，再求点B、点A，训练三要素逆向运用。 6．（2024秋•江北区校级月考）·【基础】某同学在写作业时不小心将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住的整数之和为 　 　 ． 【分析】依据题意，根据数轴上的点的特征，首先找出满足题意的所有整数，然后求出和，即可得解． 【解答】解：由题意，由数轴上的点的特征， ∴墨迹盖住的整数为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，2，3，4． ∴墨迹盖住的整数之和为：﹣4﹣3﹣2﹣1+0+2+3+4＝﹣1． 故答案为：﹣1． 教学提示：先列出墨迹下所有整数再求和，注意0也计入、符号别算错。 7．（2025秋•四川期末）·【提升】如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数，是　 　 ，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是　 　 ． 【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A12表示的数为16+3＝19，则可判断点An与原点的距离不小于20时，n的最小值是13． 【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2； 第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4； 第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5； 第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7； 第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8； … 则A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20， A6表示的数为7+3＝10，A8表示的数为10+3＝13，A10表示的数为13+3＝16，A12表示的数为16+3＝19， 所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13． 故答案为7，13． 教学提示：引导学生分离奇偶次移动方向，列出A_n通项找『不小于20』的最小n。 8．（2024秋•澄城县期中）·【提升】点M、N、P和原点O在数轴上的位置如图所示，有理数a、b、c各自对应着M、N、P三个点中的某一点，且ab＜0，a+b＞0，a＞b，c＞0那么表示数b的点为 　 　 ． 【分析】由ab＜0可知a和b异号，由a＞b可知a＞0＞b，故表示数b的点为M． 【解答】解：∵ab＜0，a+b＞0，a＞b， ∴a＞0＞b， ∴表示数b的点为M． 故答案为：M． 教学提示：由ab<0且a>b推a>0>b，结合图确定b对应M点。 9．（2024秋•广陵区期中）·【提升】如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝　 　 ． 【分析】设经过t秒，可得AP＝15﹣t，OP＝5+4t，BP＝3t，得出3AP+OP﹣mBP，根据3AP+OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，令t的系数为0，即可求解． 【解答】解：∵AB＝15，OA＝2OB， ∴，， ∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5， 设经过t秒，则，OP＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+3t）＝t， 当t≤15时， 3AP+OP﹣mBP ＝45﹣3t+5+4t﹣mt ＝（1﹣m）t+50， ∴当1﹣m＝0，即m＝1时，3AP+OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化， 当t＞15时， 3AP+OP﹣mBP ＝3t﹣45+5+4t﹣mt ＝（7﹣m）t﹣40， ∴当7﹣m＝0，即m＝7时，3AP+OP﹣mBP不随t发生改变， 故m为1或7． 故答案为：1或7． 教学提示：仿第21题用t表示坐标，分t≤15与t>15两段令t系数为0。 10．（2025秋•重庆校级期中）·【基础】滴滴快车司机小张某天下午运营时是从轨道龙头寺公园站出发，沿着东西走向的新溉大道进行．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午所接送的八位乘客行车里程（单位：km）如下： ﹣3，+6，﹣11，﹣9，﹣5，+13，+9，﹣6． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小张离轨道龙头寺公园距离多远？ （2）将第几位乘客送到目的地时，小张距离轨道龙头寺公园站最远？ （3）若小张驾驶的新能源汽车每千米消耗天然气0.3升，天然气的单价为每升5元，则小张这天下午的花费共需多少元？ 【分析】（1）可通过求和，结合符合和绝对值判断小张离轨道龙头寺公园距离； （2）分别计算送每一名顾客后距离起点的距离，可得出答案； （3）消耗天然气的总量可利用所行驶路程的总和求出，路程总和即所行里程绝对值的和；并根据天然气的单价为每升5元，即可求出总车费． 【解答】解：（1）﹣3+6﹣11﹣9﹣5+13+9﹣6＝﹣6， 答：将最后一位乘客送到目的地时，小张离轨道龙头寺公园距离6km处； （2）|﹣3|＝3， |﹣3+6|＝3， |﹣3+6﹣11|＝8， |﹣3+6﹣11﹣9|＝17， |﹣3+6﹣11﹣9﹣5|＝22， |﹣3+6﹣11﹣9﹣5+13|＝9， |﹣3+6﹣11﹣9﹣5+13+9|＝0， |﹣3+6﹣11﹣9﹣5+13+9﹣6|＝6， 答：将第5位乘客送到目的地时，小张距离轨道龙头寺公园站最远． （3）（|﹣3|+|6|+|﹣11|+|﹣9|+|﹣5|+|+13|+|+9|+|﹣6|）×0.3×5＝93（元）， 答：小张这天下午的花费共需93元． 教学提示：同第45题，耗油用绝对值和，最远距逐段比较绝对值累加。 11．（2024•峰峰矿区三模）·【提升】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 　 　 的点重合； （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数 　 　 的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值． 【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数为原点，由此可得结论； （2）先根据中点坐标公式得折叠点对应的数为2； ①设9表示的点所对应点表示的数为y，根据中点坐标公式列方程可得y的值，可得结论； ②根据折叠的性质可得结论； ③根据PA+PB＝12列出方程，求解方程可得出x的值． 【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为0， 则表示4的点与表示﹣4的点重合； 故答案为：﹣4； （2）折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，折叠点对应的数为2， ①设表示9的点与表示y的点重合，于是有2，解得y＝﹣5， 即表示9的点与表示﹣5的点重合； 故答案为：﹣5； ②点A表示的数为23， 点B表示的数为27， 答：A点表示的数是﹣3，B点表示的数是7； ③∵PA+PB＝12， ∴|x+3|+|x﹣7|＝12， 当﹣3≤x≤7时，x+3﹣x+7＝10≠12，不符合题意； 当x＜﹣3时，﹣x﹣3﹣x+7＝12， 解得x＝﹣4； 当x＞7时，x+3+x﹣7＝12， 解得x＝8， 综上所述，x的值为﹣4或8． 教学提示：折叠对称先求折痕中点，再用中点公式求对称点，分①问逐步引导。 苏科版2024 · 数轴 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $