2.3 绝对值与相反数 易错专题讲义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

本讲义聚焦苏科版七上“2.3绝对值与相反数”核心知识点，系统梳理相反数概念辨析（与倒数区分、“只有符号不同”、0的相反数）、多重符号化简规则、绝对值代数化简（先判号再脱绝对值、非负性应用）、几何意义与最值（距离表示、最小值求法）及|a|/a型分类讨论等易错点，以分点突破的学习支架帮助学生构建知识脉络。 资料特色在于以高频易错点为导向，每个易错点配备学习目标、纠错指引、精讲例题及即时巩固题，结合中考模拟题强化应用。通过概念辨析培养抽象能力，分类讨论提升推理意识，几何意义理解发展空间观念，课中辅助教师精准教学，课后助力学生自查错因、查漏补缺，有效提升学习效果。

苏科版（2024） · 绝对值与相反数 2.3绝对值与相反数 苏科版（2024）七上易错专题 苏科版（2024） 班级：________________ 姓名：________________ 本专题聚焦《2.3 绝对值与相反数》的高频易错点：相反数与倒数混淆、多重符号化简出错、去绝对值符号前不判号、非负性用错、几何意义与最值漏解等。请先自测每道例题，再对照纠错指引复盘。 目录 易错点1：相反数的概念辨析（≠倒数、「只有符号不同」、0 的相反数） 易错点2：多重符号化简与「求某数的相反数」 易错点3：绝对值的代数化简（先判号·再脱绝对值·非负性） 易错点4：绝对值的几何意义、最值与基础求值 易错点5：|a|/a 型与多变量分类讨论 易错点1：相反数的概念辨析（≠倒数、「只有符号不同」、0 的相反数） 学习目标 · 准确说出相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数 · 区分相反数与倒数，知道 0 的相反数是 0 纠错指引 判别两个数是否互为相反数，只看「数值相同、符号相反」。若带分数或小数，先把它们化成同一形式再比；遇到「绝对值相等」要警惕——绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数，不能直接说「一定相等」或「一定相反」。 精讲例题 例题1．（2026•阳谷县校级模拟）·【基础】下列说法中错误的是（　　） A．在一个数前面添加一个“﹣”号，就变成原数的相反数 B．与2.2互为相反数 C．的相反数是﹣0.3 D．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 易错倾向标签：概念混淆·相反数≠倒数｜表述不严谨·「符号不同」≠「只有符号不同」 【本题核心易错点】 · 相反数强调「只有符号不同」，正数与负数不一定互为相反数（如 2 与 −3） · 相反数不是倒数：−1/3 的相反数是 1/3，不是 −0.3 · 0 的相反数是它本身 0 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2026•莘县校级模拟）·【基础】下列说法中，错误的是（　　） A．0.2与互为相反数 B．﹣2与互为相反数 C．﹣7的相反数是7 D．10的相反数是﹣10 即时巩固2．（2025秋•大连期末）·【基础】下列说法中正确的是（　　） A．﹣6是相反数 B．+6是相反数 C．正数与负数互为相反数 D．任何一个数都有相反数 即时巩固3．（2025秋•长汀县校级月考）·【基础】下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．4和 B．﹣6和 C．2和 D．﹣5和5 即时巩固4．（2025秋•桐城市期中）·【基础】下面两个数互为相反数的是（　　） A．﹣（+2015）与+（﹣2015） B．﹣0.8和﹣（+0.8） C．和 D．+（﹣0.02）与 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点2：多重符号化简与「求某数的相反数」 学习目标 · 掌握多重符号化简规则：与「+」个数无关，奇数个「−」结果为负，偶数个「−」为正 · 会对一个代数式整体取相反数（变号） 纠错指引 化简多重符号：只数负号个数，奇负偶正。求「某数的相反数」＝在该数整体前加「−」并化简。遇到含绝对值的，先去绝对值再加「−」取反，两步不能省。 精讲例题 例题2．（2025秋•渠县校级期末）·【基础】﹣||的相反数是　 　 ． 易错倾向标签：漏步·忘取相反数｜负号奇偶数错 【本题核心易错点】 · −(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数 · 求 −|−7/9| 的相反数，要先算 −|−7/9|=−7/9，再取相反数得 7/9，易漏第二步 · 若 a 与 −6 互为相反数，则 a=6；若 −a 的相反数是 −3，则 −a=3，a=−3 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固5．（2026•鲁山县模拟）·【基础】﹣（﹣3）化简后是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．以上都不对 即时巩固6．（2026•临泉县校级一模）·【基础】﹣20的相反数是（　　） A．20 B．﹣20 C． D． 即时巩固7．（2025秋•拜泉县期末）·【基础】﹣2.5的相反数是（　　） A．﹣2.5 B．2.5 C．﹣（） D． 即时巩固8．（2025•重庆校级三模）·【基础】的相反数为（　　） A． B．±7 C． D．7 即时巩固9．（2025秋•东莞市期中）·【基础】下列各式中，化简正确的是（　　） A．﹣（﹣1）＝﹣1 B．﹣（+1）＝+1 C．+（﹣1）＝﹣1 D．﹣[+（﹣1）]＝﹣1 即时巩固10．（2025秋•富源县校级期中）·【基础】化简﹣（﹣5）结果正确的是（　　） A．﹣5 B．5 C． D． 即时巩固11．（2025•市中区校级三模）·【基础】若a与﹣6互为相反数，则1﹣a的值为（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6 即时巩固12．（2025秋•市中区期末）·【基础】的相反数是 　 　 ． 即时巩固13．（2025秋•青云谱区校级月考）·【基础】﹣a的相反数是﹣3，则a＝　 　 ． 即时巩固14．（2025秋•江阴市期中）·【基础】化简：﹣|﹣6|＝　 　 ． 即时巩固15．（2024秋•明水县期末）·【基础】如果a的相反数是2，那么（a+1）2022的值为 　 　 ． 即时巩固16．（2024秋•青岛同步）·【基础】化简： （1）﹣（）； （2）﹣（﹣25）； （3）+|﹣17|； （4）﹣|+6.1|． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点3：绝对值的代数化简（先判号·再脱绝对值·非负性） 学习目标 · 去绝对值前先判断内部整体的正负 · 利用 |A|+|B|=0 ⇒ A=0 且 B=0 求值 纠错指引 脱绝对值前必须定号：先看已知条件或数轴，判断绝对值「肚子」里的式子是正还是负。遇到几个绝对值相加等于 0，立刻用「非负性」——每一项都为 0，从而列方程求字母。 精讲例题 例题3．（2025秋•宁阳县期末）·【提升】如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（　　） A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b 易错倾向标签：不判号直接去绝对值｜非负性不会用 【本题核心易错点】 · 去绝对值：|X|=X (X≥0)，|X|=−X (X<0)；判号是关键，不能凭感觉 · |a+2|+|b−3|=0 说明 a+2=0 且 b−3=0（非负数和为 0） · |x|=−x（x≠0）⇒ x<0；|a|+a=0 ⇒ a≤0 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固17．（2026春•锡山区校级期末）·【基础】如果a＞2，那么|﹣1.5|+|a﹣2|等于（　　） A．1.5﹣a B．a﹣3.5 C．a﹣0.5 D．3.5﹣a 即时巩固18．（2024秋•定西期末）·【基础】如果|a+2|+|b﹣3|＝0，那么ab的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．8 D．﹣8 即时巩固19．（2025秋•游仙区期中）·【基础】若|a﹣1|+|b﹣2|＝0，则a+b的相反数是（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣2 即时巩固20．（2025秋•苏州校级期末）·【基础】若|m+3|与|n﹣7|互为相反数，求m+n的值为　 　 ． 即时巩固21．（2024秋•仓山区校级期末）·【基础】已知a、b、c的大致位置如图所示．化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|的结果是 　 　 ． 即时巩固22．（2024秋•博山区校级期中）·【基础】已知|a﹣2|+|3﹣b|＝0，则a+b＝　 　 ． 即时巩固23．（2025秋•瑶海区校级期末）·【基础】如图，在数轴上A、B、C、O四点对应的数分别表示为a、b、c、0． （1）化简：|a﹣b|﹣|b+c|； （2）若点M，N分别是线段AB，OC的中点，在数轴上对应的数分别为m，n，且m＝﹣3，n＝1.5，b＝﹣1，求AC的长． 即时巩固24．（2025秋•婺城区校级月考）·【基础】已知|a﹣2|+|3﹣b|+|c﹣4|＝0，求下面各式的值： （1）a+b﹣c； （2）|﹣a|+|c|﹣|﹣b|． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点4：绝对值的几何意义、最值与基础求值 学习目标 · 理解 |x−a| 表示数轴上点到 a 的距离 · 会求多个绝对值之和的最小值，会解 |x|=a 型方程 纠错指引 把绝对值翻译成「距离」：|x−a| 是 x 到 a 的距离。多个距离之和最小，让 x 落在「中间」那个点（或中间一段）。解 |X|=k（k>0）要写出 X=±k 两个解，别漏负号。 精讲例题 例题4．（2025秋•长安区校级月考）·【基础】若x为有理数，则|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x+6|的最小值为 　 　 ． 易错倾向标签：漏负解·|x|=a 只写正｜几何意义不敏感 【本题核心易错点】 · |x−1|+|x+a| 最小值是两点 1 与 −a 之间的距离 · 求 |x|=9 得 x=±9；|x−3|=3 得 x−3=±3 ⇒ x=0 或 6；易漏负解 · 多个绝对值之和最小：奇数个「中位点」、偶数个「中间段」；带系数看加权中位 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固25．（2025春•肇源县期中）·【基础】式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 即时巩固26．（2025秋•玄武区校级期末）·【基础】|x﹣1|+|x+a|的最小值为3，则a的值为（　　） A．﹣1 B．2或﹣4 C．3或﹣1 D．2 即时巩固27．（2026•汕尾一模）·【基础】下列四个数中，最小的是（　　） A．﹣2 B．|﹣4| C．﹣（﹣1） D．0 即时巩固28．（2025秋•成都校级期末）·【基础】比较大小： 　 　 ．（填上“＞”、“＝”或“＜”） 即时巩固29．（2024秋•青岛同步）·【基础】填空： （1）绝对值是12的数为 　 　 ； （2）绝对值是8.5的负数为 　 　 ． 即时巩固30．（2024•海州区校级开学）·【基础】|x|＝9，则x＝ 　 　 ；|x﹣3|＝3，则x＝ 　 　 ；|3x﹣6|＝12，则x＝ 　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点5：|a|/a 型与多变量分类讨论 学习目标 · 知道 a/|a|（a≠0）只取 1 或 −1 · 对多字母符号进行不重不漏的分类讨论 纠错指引 见到 a/|a| 先判断符号：正得 1、负得 −1。多字母就按各字母正负全部列出（四分类），逐个代入。由 |m|=k 得 m=±k 后，务必结合 m<n 等附加条件筛选，别把不合条件的解留下。 精讲例题 例题5．（2024秋•秀屿区校级期末）·【提升】分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，求的值． （2）当a＝﹣2时，求的值． （3）若有理数a、b均不等于零，试求的值． 易错倾向标签：分类不全·漏情况｜忘用附加条件筛选 【本题核心易错点】 · a/|a|=1(a>0)，−1(a<0)；出现 ab/|ab| 时按 a、b 符号四分类 · 分类要不重不漏：同正、同负、一正一负（两种）共四类 · |m|=5,|n|=3 且 m<n ⇒ m=−5，n=±3，结果有两个 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固31．（2024秋•曲阳县期末）·【基础】若非零有理数a、b同号，求的值为 　 　 ． 即时巩固32．（2024秋•龙马潭区期末）·【基础】如果x、y都是不为0的有理数，则代数的最大值和最小值的和是 　 　 ． 即时巩固33．（2025秋•上杭县期中）·【提升】已知a、b均为不等于0的有理数，则的值为 　 　 ． 即时巩固34．（2024秋•临汾月考）·【提升】综合与实践 我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题． （1）　 　 ，　 　 ． （2）　 　 （a≠0），　 　 （其中a＞0，b≠0）． （3）若abc≠0，试求的所有可能的值． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 本专题错因自查清单 ☐ 说相反数时，先确认是「只有符号不同」（不是「符号不同」），且别和倒数搞混 ☐ 求一个数的相反数，是对整体变号；化简 −|−a| 要分「先绝对值、再取相反数」两步 ☐ 去绝对值符号前，必须先判断里面整体的正负（借助数轴或已知条件） ☐ |A|+|B|=0 时，立刻得到 A=0 且 B=0（非负性） ☐ |x−a| 是数轴上点到 a 的距离，多个绝对值之和的最小值看「中位点」 ☐ a/|a|（a≠0）只可能是 1 或 −1，多字母分类要不重不漏 过关测试（综合检测） 1．（2025秋•东莞市校级期末）·【基础】下列说法错误的是（　　） A．任何正数都大于它们的相反数 B．0既不是正数，也不是负数 C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等 D．绝对值小于3的所有整数的和为0 2．（2025秋•淄川区期末）·【基础】若|m|＝5，|n|＝3，且m＜n，则m﹣2n的值为　 　 ． 3．（2024春•宝山区校级期末）·【基础】已知a＝﹣1，|b|＝﹣a，则b＝　 　 ． 4．（2025秋•荣成市期末）·【基础】某有理数满足|x|＝﹣x（x≠0），写出一个符合该条件的数　 　 ． 5．（2025秋•利州区校级月考）·【基础】已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则3a+2b+c的值是　 　 ． 6．（2025秋•新昌县期中）·【基础】已知|m|＝1，|n|＝4． （1）当m、n异号时，求m+n的值； （2）求m﹣n的最大值． 7．（2025秋•武安市期中）·【基础】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0．例如，若x和y互为相反数，则必有x+y＝0． （1）已知|a|+a＝0，求a的取值范围． （2）已知|a﹣1|+（a﹣1）＝0，求a的取值范围． 8．（2024秋•青岛同步）·【基础】下列说法正确吗？如果不正确，请举例说明： （1）有理数的绝对值都是正数； （2）符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数； （3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； （4）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等． 9．（2024秋•上海期中）·【提升】求|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|99x﹣1|的最小值． 苏科版（2024） · 绝对值与相反数 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版（2024） · 绝对值与相反数 2.3绝对值与相反数 苏科版（2024）七上易错专题 苏科版（2024） 本专题聚焦《2.3 绝对值与相反数》的高频易错点：相反数与倒数混淆、多重符号化简出错、去绝对值符号前不判号、非负性用错、几何意义与最值漏解等。请先自测每道例题，再对照纠错指引复盘。 目录 易错点1：相反数的概念辨析（≠倒数、「只有符号不同」、0 的相反数） 易错点2：多重符号化简与「求某数的相反数」 易错点3：绝对值的代数化简（先判号·再脱绝对值·非负性） 易错点4：绝对值的几何意义、最值与基础求值 易错点5：|a|/a 型与多变量分类讨论 易错点1：相反数的概念辨析（≠倒数、「只有符号不同」、0 的相反数） 学习目标 · 准确说出相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数 · 区分相反数与倒数，知道 0 的相反数是 0 纠错指引 判别两个数是否互为相反数，只看「数值相同、符号相反」。若带分数或小数，先把它们化成同一形式再比；遇到「绝对值相等」要警惕——绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数，不能直接说「一定相等」或「一定相反」。 精讲例题 例题1．（2026•阳谷县校级模拟）·【基础】下列说法中错误的是（　　） A．在一个数前面添加一个“﹣”号，就变成原数的相反数 B．与2.2互为相反数 C．的相反数是﹣0.3 D．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【解答】解：A．在一个数前面添加一个“﹣”号，就变成原数的相反数，说法正确，故本选项不合题意； B.与2.2互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； C.的相反数是，所以原说法错误，故本选项符合题意； D．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，说法正确，故本选项不合题意． 故选：C． 教学提示：用 −1/3 的反例点破「相反数≠倒数」，让学生口述「只有符号不同」四字定义。 易错倾向标签：概念混淆·相反数≠倒数｜表述不严谨·「符号不同」≠「只有符号不同」 【本题核心易错点】 · 相反数强调「只有符号不同」，正数与负数不一定互为相反数（如 2 与 −3） · 相反数不是倒数：−1/3 的相反数是 1/3，不是 −0.3 · 0 的相反数是它本身 0 即时巩固 即时巩固1．（2026•莘县校级模拟）·【基础】下列说法中，错误的是（　　） A．0.2与互为相反数 B．﹣2与互为相反数 C．﹣7的相反数是7 D．10的相反数是﹣10 【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此判断即可． 【解答】解：A．0.2与互为相反数，说法正确，故本选项不符合题意； B．﹣2与2互为相反数，原说法错误，故本选项符合题意； C．﹣7的相反数是7，说法正确，故本选项不符合题意； D．10的相反数是﹣10，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 教学提示：围绕「相反数强调「只有符号不同」，正数与负数不一定互为相反数（如 2 与 −3）」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固2．（2025秋•大连期末）·【基础】下列说法中正确的是（　　） A．﹣6是相反数 B．+6是相反数 C．正数与负数互为相反数 D．任何一个数都有相反数 【分析】根据有正数和负数，相反数的概念，逐一判断即可解答． 【解答】解：A．﹣6和6互为相反数，原说法错误，故A不符合题意； B．+6和﹣6互为相反数，原说法错误，故B不符合题意； C．正数与负数不一定互为相反数，故C不符合题意； D．任何一个数都有它的相反数，故D符合题意； 故选：D． 教学提示：围绕「相反数强调「只有符号不同」，正数与负数不一定互为相反数（如 2 与 −3）」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固3．（2025秋•长汀县校级月考）·【基础】下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．4和 B．﹣6和 C．2和 D．﹣5和5 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A．4和互为倒数，不是互为相反数； B．﹣6和不是互为相反数； C．2和不是互为相反数； D．﹣5和5符合互为相反数的定义，是互为相反数，故本选项符合题意； 故选：D． 教学提示：围绕「相反数强调「只有符号不同」，正数与负数不一定互为相反数（如 2 与 −3）」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固4．（2025秋•桐城市期中）·【基础】下面两个数互为相反数的是（　　） A．﹣（+2015）与+（﹣2015） B．﹣0.8和﹣（+0.8） C．和 D．+（﹣0.02）与 【分析】根据相反数的定义直接判断即可． 【解答】解：A．﹣（+2015）＝+（﹣2015）＝﹣2015，故本选项不符合题意； B．﹣0.8和﹣（+0.8）＝﹣0.8，故本选项不符合题意； C．，故﹣1和不是互为相反数，故本选项不符合题意； D．+（﹣0.02）与﹣（）互为相反数，故本选项符合题意． 故选：D． 教学提示：围绕「相反数强调「只有符号不同」，正数与负数不一定互为相反数（如 2 与 −3）」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点2：多重符号化简与「求某数的相反数」 学习目标 · 掌握多重符号化简规则：与「+」个数无关，奇数个「−」结果为负，偶数个「−」为正 · 会对一个代数式整体取相反数（变号） 纠错指引 化简多重符号：只数负号个数，奇负偶正。求「某数的相反数」＝在该数整体前加「−」并化简。遇到含绝对值的，先去绝对值再加「−」取反，两步不能省。 精讲例题 例题2．（2025秋•渠县校级期末）·【基础】﹣||的相反数是　 　 ． 【分析】先化简﹣||，再写出﹣||的相反数． 【解答】解：因为||， 所以﹣|， 因为的相反数是 所以﹣||的相反数是． 故答案为：． 教学提示：让学生先写出 −|−7/9|=−7/9，再追问「它的相反数是谁」，强化两步意识。 易错倾向标签：漏步·忘取相反数｜负号奇偶数错 【本题核心易错点】 · −(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数 · 求 −|−7/9| 的相反数，要先算 −|−7/9|=−7/9，再取相反数得 7/9，易漏第二步 · 若 a 与 −6 互为相反数，则 a=6；若 −a 的相反数是 −3，则 −a=3，a=−3 即时巩固 即时巩固5．（2026•鲁山县模拟）·【基础】﹣（﹣3）化简后是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．以上都不对 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：﹣（﹣3）＝3， 故选：B． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固6．（2026•临泉县校级一模）·【基础】﹣20的相反数是（　　） A．20 B．﹣20 C． D． 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【解答】解：﹣20的相反数是﹣（﹣20）＝20， 故选：A． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固7．（2025秋•拜泉县期末）·【基础】﹣2.5的相反数是（　　） A．﹣2.5 B．2.5 C．﹣（） D． 【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此判断即可． 【解答】解：﹣2.5的相反数是2.5． 故选：B． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固8．（2025•重庆校级三模）·【基础】的相反数为（　　） A． B．±7 C． D．7 【分析】根据相反数的定义解答即可．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【解答】解：的相反数为． 故选：C． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固9．（2025秋•东莞市期中）·【基础】下列各式中，化简正确的是（　　） A．﹣（﹣1）＝﹣1 B．﹣（+1）＝+1 C．+（﹣1）＝﹣1 D．﹣[+（﹣1）]＝﹣1 【分析】根据相反数的定义解答即可．多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． 【解答】解：A．﹣（﹣1）＝﹣1，故本选项不符合题意； B．﹣（+1）＝﹣1，故本选项不符合题意； C．+（﹣1）＝﹣1，故本选项符合题意； D．﹣[+（﹣1）]＝1，故本选项不符合题意． 故选：C． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固10．（2025秋•富源县校级期中）·【基础】化简﹣（﹣5）结果正确的是（　　） A．﹣5 B．5 C． D． 【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【解答】解：﹣（﹣5）＝5． 故选：B． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固11．（2025•市中区校级三模）·【基础】若a与﹣6互为相反数，则1﹣a的值为（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【解答】解：因为a与﹣6互为相反数， 所以a＝6， 所以1﹣a＝1﹣6＝﹣5， 故选：B． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固12．（2025秋•市中区期末）·【基础】的相反数是 　 　 ． 【分析】根据相反数的定义解答． 【解答】解：2的相反数是2． 故答案为：2． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固13．（2025秋•青云谱区校级月考）·【基础】﹣a的相反数是﹣3，则a＝　 　 ． 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：因为﹣a的相反数是﹣3， 所以﹣a＝3， 所以a＝﹣3． 故答案为：﹣3． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固14．（2025秋•江阴市期中）·【基础】化简：﹣|﹣6|＝　 　 ． 【分析】根据绝对值的性质和相反数的定义，可得答案． 【解答】解：﹣|﹣6|＝﹣6． 故答案为：﹣6． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固15．（2024秋•明水县期末）·【基础】如果a的相反数是2，那么（a+1）2022的值为 　 　 ． 【分析】直接利用相反数的定义，结合有理数的乘方运算法则得出答案． 【解答】解：∵a的相反数是2， ∴a＝﹣2， ∴（a+1）2022＝（﹣2+1）2022＝1． 故答案为：1． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固16．（2024秋•青岛同步）·【基础】化简： （1）﹣（）； （2）﹣（﹣25）； （3）+|﹣17|； （4）﹣|+6.1|． 【分析】（1）运用相反数的知识进行求解； （2）运用相反数的知识进行求解； （3）运用绝对值的知识进行求解； （4）运用相反数和绝对值的知识进行求解． 【解答】解：（1）﹣（）； （2）﹣（﹣25）＝25； （3）+|﹣17|＝17； （4）﹣|+6.1|＝﹣6.1． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点3：绝对值的代数化简（先判号·再脱绝对值·非负性） 学习目标 · 去绝对值前先判断内部整体的正负 · 利用 |A|+|B|=0 ⇒ A=0 且 B=0 求值 纠错指引 脱绝对值前必须定号：先看已知条件或数轴，判断绝对值「肚子」里的式子是正还是负。遇到几个绝对值相加等于 0，立刻用「非负性」——每一项都为 0，从而列方程求字母。 精讲例题 例题3．（2025秋•宁阳县期末）·【提升】如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（　　） A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b 【分析】先根据数轴判断﹣3﹣a和b+1的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：由数轴可知，﹣1＜a＜0，b＞1， ∴﹣3＜﹣3﹣a＜﹣2，b+1＞0， ∴|﹣3﹣a|﹣|b+1| ＝（3+a）﹣（b+1） ＝3+a﹣b﹣1 ＝2+a﹣b． 故选：B． 教学提示：结合数轴读出 −1<a<0、b>1，先判 −3−a<0、b+1>0，再脱绝对值。 易错倾向标签：不判号直接去绝对值｜非负性不会用 【本题核心易错点】 · 去绝对值：|X|=X (X≥0)，|X|=−X (X<0)；判号是关键，不能凭感觉 · |a+2|+|b−3|=0 说明 a+2=0 且 b−3=0（非负数和为 0） · |x|=−x（x≠0）⇒ x<0；|a|+a=0 ⇒ a≤0 即时巩固 即时巩固17．（2026春•锡山区校级期末）·【基础】如果a＞2，那么|﹣1.5|+|a﹣2|等于（　　） A．1.5﹣a B．a﹣3.5 C．a﹣0.5 D．3.5﹣a 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：因为a＞2， 所以a﹣2＞0， 所以|﹣1.5|+|a﹣2|＝1.5+a﹣2＝a﹣0.5． 故选：C． 教学提示：围绕「去绝对值：|X|=X (X≥0)，|X|=−X (X<0)；判号是关键，不能凭感觉」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固18．（2024秋•定西期末）·【基础】如果|a+2|+|b﹣3|＝0，那么ab的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．8 D．﹣8 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，a+2＝0，b﹣3＝0， 解得a＝﹣2，b＝3， 所以，ab＝（﹣2）3＝﹣8． 故选：D． 教学提示：围绕「去绝对值：|X|=X (X≥0)，|X|=−X (X<0)；判号是关键，不能凭感觉」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固19．（2025秋•游仙区期中）·【基础】若|a﹣1|+|b﹣2|＝0，则a+b的相反数是（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣2 【分析】利用绝对值的性质得出a，b的值，再利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：∵|a﹣1|+|b﹣2|＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴a+b＝1+2＝3， ∴a+b的相反数是﹣3． 故选：C． 教学提示：围绕「去绝对值：|X|=X (X≥0)，|X|=−X (X<0)；判号是关键，不能凭感觉」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固20．（2025秋•苏州校级期末）·【基础】若|m+3|与|n﹣7|互为相反数，求m+n的值为　 　 ． 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵|m+3|与|n﹣7|互为相反数， ∴|m+3|+|n﹣7|＝0， ∴m+3＝0，n﹣7＝0， ∴m＝﹣3，n＝7， ∴m+n＝﹣3+7＝4． 故答案为：4． 教学提示：围绕「去绝对值：|X|=X (X≥0)，|X|=−X (X<0)；判号是关键，不能凭感觉」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固21．（2024秋•仓山区校级期末）·【基础】已知a、b、c的大致位置如图所示．化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|的结果是 　 　 ． 【分析】依据题意，先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的大小关系，再根据有理数的加减法法则，判断a+c、b﹣c、a﹣b的正负，利用绝对值的意义去绝对值符号，加减得结论． 【解答】解：由数轴知：b＜a＜0＜c，c＞|a|， ∴a+c＞0，b﹣c＜0，a﹣b＞0， ∴|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b| ＝a+c﹣（b﹣c）﹣（a﹣b） ＝a+c﹣b+c﹣a+b ＝2c， 故答案为：2c． 教学提示：围绕「去绝对值：|X|=X (X≥0)，|X|=−X (X<0)；判号是关键，不能凭感觉」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固22．（2024秋•博山区校级期中）·【基础】已知|a﹣2|+|3﹣b|＝0，则a+b＝　 　 ． 【分析】根据绝对值具有非负性可得a﹣2＝0，3﹣b＝0，解出a、b的值，进而可得答案． 【解答】解：由题意得：a﹣2＝0，3﹣b＝0， 解得：a＝2，b＝3， 则a+b＝2+3＝5， 故答案为：5． 教学提示：围绕「去绝对值：|X|=X (X≥0)，|X|=−X (X<0)；判号是关键，不能凭感觉」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固23．（2025秋•瑶海区校级期末）·【基础】如图，在数轴上A、B、C、O四点对应的数分别表示为a、b、c、0． （1）化简：|a﹣b|﹣|b+c|； （2）若点M，N分别是线段AB，OC的中点，在数轴上对应的数分别为m，n，且m＝﹣3，n＝1.5，b＝﹣1，求AC的长． 【分析】（1）根据数轴判断a，b，c的正负，再判断|a|与|b|，|c|与|b|的大小，最后再判断a﹣b，b+c的正负，根据绝对值的性质即可； （2）根据中点的性质可得AM＝BM、ON＝NC，再根据m＝﹣3，n＝1.5，b＝﹣1即可求出点A、C在数轴上所代表的数，即可求出AC的长． 【解答】解：（1）由数轴可知a＜0，b＜0，c＞0，|a|＞|b|，|c|＞|b|， ∴a﹣b＝a+（﹣b）＜0，b+c＞0， ∴|a﹣b|﹣|b+c|＝b﹣a﹣（b+c）＝﹣a﹣c； （2）∵点M，N分别是线段AB，OC的中点，在数轴上对应的数分别为m，n， ∴AM＝BM、ON＝NC， ∵m＝﹣3，n＝1.5，b＝﹣1， ∴AM＝|﹣3﹣（﹣1）|＝2，ON＝NC＝1.5， ∴a＝﹣3﹣2＝﹣5，c＝1.5+1.5＝3， ∴AC＝|﹣5﹣3|＝8． 教学提示：围绕「去绝对值：|X|=X (X≥0)，|X|=−X (X<0)；判号是关键，不能凭感觉」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固24．（2025秋•婺城区校级月考）·【基础】已知|a﹣2|+|3﹣b|+|c﹣4|＝0，求下面各式的值： （1）a+b﹣c； （2）|﹣a|+|c|﹣|﹣b|． 【分析】（1）根据非负数的性质“几个非负数相加和为0，这几个非负数的值都为0”解出a、b、c的值，再代入计算即可； （2）根据绝对值的性质计算即可． 【解答】解：（1）依题意得a﹣2＝0，3﹣b＝0，c﹣4＝0， 解得a＝2，b＝3，c＝4． 将a＝2，b＝3，c＝4代入a+b﹣c得： a+b﹣c＝2+3﹣4＝1； （2）将a＝2，b＝3，c＝4代入|﹣a|+|c|﹣|﹣b|得： |﹣a|+|c|﹣|﹣b| ＝|﹣2|+|4|﹣|﹣3| ＝2+4﹣3 ＝3． 教学提示：围绕「去绝对值：|X|=X (X≥0)，|X|=−X (X<0)；判号是关键，不能凭感觉」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点4：绝对值的几何意义、最值与基础求值 学习目标 · 理解 |x−a| 表示数轴上点到 a 的距离 · 会求多个绝对值之和的最小值，会解 |x|=a 型方程 纠错指引 把绝对值翻译成「距离」：|x−a| 是 x 到 a 的距离。多个距离之和最小，让 x 落在「中间」那个点（或中间一段）。解 |X|=k（k>0）要写出 X=±k 两个解，别漏负号。 精讲例题 例题4．（2025秋•长安区校级月考）·【基础】若x为有理数，则|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x+6|的最小值为 　 　 ． 【分析】根据绝对值的几何意义分情况讨论求解即可． 【解答】解：∵|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x+6|表示在数轴上表示数x的点与表示数3，﹣4，2，﹣6的距离之和， 当x≤﹣6时， |x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x+6| ＝3﹣x﹣x﹣4+2﹣x﹣x﹣6 ＝﹣4x﹣5， 此时最小值为：﹣4×（﹣6）﹣5＝24﹣5＝19； 当﹣6＜x≤﹣4时， |x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x+6| ＝3﹣x﹣x﹣4+2﹣x+x+6 ＝﹣2x+7， 此时最小值为﹣2×（﹣4）+7＝15， 当﹣4＜x≤2时， |x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x+6| ＝3﹣x+x+4+2﹣x+x+6 ＝15， 当2＜x＜3时， |x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x+6| ＝3﹣x+x+4+x﹣2+x+6 ＝2x+11， 此时最小值大于2×2+11＝15， 当3≤x时， |x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x+6| ＝x﹣3+x+4+x﹣2+x+6 ＝4x+5， 此时最小值4×3+5＝17， 综上：|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x+6|的最小值为15， 故答案为：15． 教学提示：把四个绝对值看成 x 到 3、−4、2、−6 的距离之和，分段讨论或取中间段得最小 15。 易错倾向标签：漏负解·|x|=a 只写正｜几何意义不敏感 【本题核心易错点】 · |x−1|+|x+a| 最小值是两点 1 与 −a 之间的距离 · 求 |x|=9 得 x=±9；|x−3|=3 得 x−3=±3 ⇒ x=0 或 6；易漏负解 · 多个绝对值之和最小：奇数个「中位点」、偶数个「中间段」；带系数看加权中位 即时巩固 即时巩固25．（2025春•肇源县期中）·【基础】式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【分析】直接利用绝对值的性质得出x的值． 【解答】解：∵|x+1|≥0， ∴当x+1＝0时，式子|x+1|+2取最小值， 解得：x＝﹣1． 故选：D． 教学提示：围绕「|x−1|+|x+a| 最小值是两点 1 与 −a 之间的距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固26．（2025秋•玄武区校级期末）·【基础】|x﹣1|+|x+a|的最小值为3，则a的值为（　　） A．﹣1 B．2或﹣4 C．3或﹣1 D．2 【分析】根据绝对值的几何意义，将|x﹣1|+|x+a|理解为数轴上点x到点1和到点﹣a的距离之和，再分别讨论点﹣a在点1的左侧、右侧、重合的情况． 【解答】解：由绝对值的几何意义可知|x﹣1|+|x+a|即为点x到点1和到点﹣a的距离之和， ∴当点﹣a在点1的左侧时，即，a＞﹣1，此时它们的距离之和为1﹣（﹣a）＝3，解得a＝2， 当点﹣a在点1的右侧时，即a＜﹣1，此时它们的距离之和为﹣a﹣1＝3，解得a＝﹣4， 当点﹣a与点1重合时，即a＝﹣1，此时|x﹣1|+|x+a|＝2|x﹣1|，最小值为0，不满足最小值为3，故舍去， 综上所述，a的值为2或﹣4， 故选：B． 教学提示：围绕「|x−1|+|x+a| 最小值是两点 1 与 −a 之间的距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固27．（2026•汕尾一模）·【基础】下列四个数中，最小的是（　　） A．﹣2 B．|﹣4| C．﹣（﹣1） D．0 【分析】首先根据绝对值、相反数的含义和求法，求出|﹣4|、﹣（﹣1）的值各是多少；然后根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，判断出四个数中，最小的数是哪个即可． 【解答】解：|﹣4|＝4，﹣（﹣1）＝1， ∵﹣2＜0＜1＜4， ∴﹣2＜0＜﹣（﹣1）＜|﹣4|， ∴四个数中，最小的数是﹣2． 故选：A． （2）此题还考查了绝对值、相反数的含义和运用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零． 教学提示：围绕「|x−1|+|x+a| 最小值是两点 1 与 −a 之间的距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固28．（2025秋•成都校级期末）·【基础】比较大小： 　 　 ．（填上“＞”、“＝”或“＜”） 【分析】根据两个负数比较，绝对值小的反而大，即可解答． 【解答】解：∵||，||， ∴， ∴， 故答案为：＞． 教学提示：围绕「|x−1|+|x+a| 最小值是两点 1 与 −a 之间的距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固29．（2024秋•青岛同步）·【基础】填空： （1）绝对值是12的数为 　 　 ； （2）绝对值是8.5的负数为 　 　 ． 【分析】（1）运用绝对值的知识进行求解； （2）运用绝对值和负数知识进行求解． 【解答】解：（1）∵|±12|＝12， ∴绝对值是12的数为±12， 故答案为：±12； （2）∵|±8.5|＝8.5， ∴绝对值是8.5的负数为﹣8.5， 故答案为：﹣8.5． 教学提示：围绕「|x−1|+|x+a| 最小值是两点 1 与 −a 之间的距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固30．（2024•海州区校级开学）·【基础】|x|＝9，则x＝ 　 　 ；|x﹣3|＝3，则x＝ 　 　 ；|3x﹣6|＝12，则x＝ 　 　 ． 【分析】运用绝对值的知识分别进行讨论、求解． 【解答】解：∵|x|＝9， ∴x＝±9； ∵|x﹣3|＝3， ∴x﹣3＝±3， 解得x＝0或6； ∵|3x﹣6|＝12， ∴3x﹣6＝±12， 解得x＝﹣2或6， 故答案为：±9；0或6；﹣2或6． 教学提示：围绕「|x−1|+|x+a| 最小值是两点 1 与 −a 之间的距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点5：|a|/a 型与多变量分类讨论 学习目标 · 知道 a/|a|（a≠0）只取 1 或 −1 · 对多字母符号进行不重不漏的分类讨论 纠错指引 见到 a/|a| 先判断符号：正得 1、负得 −1。多字母就按各字母正负全部列出（四分类），逐个代入。由 |m|=k 得 m=±k 后，务必结合 m<n 等附加条件筛选，别把不合条件的解留下。 精讲例题 例题5．（2024秋•秀屿区校级期末）·【提升】分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，求的值． （2）当a＝﹣2时，求的值． （3）若有理数a、b均不等于零，试求的值． 【分析】（1）（2）根据a的正负去绝对值符号并计算即可； （3）讨论a、b的正负，去绝对值符号并计算即可． 【解答】解：（1）当a＝5时，1． （2）当a＝﹣2时，1． （3）当a＞0，b＞0时，1+1＝2； 当a＞0，b＜0时，1﹣1＝0； 当a＜0，b＞0时，1+1＝0； 当a＜0，b＜0时，1﹣1＝﹣2． 综上，的值为﹣2或0或2． 教学提示：先让学生填 a/|a|、b/|b| 各自只可能是 ±1，再枚举四种符号组合，体会「不重不漏」。 易错倾向标签：分类不全·漏情况｜忘用附加条件筛选 【本题核心易错点】 · a/|a|=1(a>0)，−1(a<0)；出现 ab/|ab| 时按 a、b 符号四分类 · 分类要不重不漏：同正、同负、一正一负（两种）共四类 · |m|=5,|n|=3 且 m<n ⇒ m=−5，n=±3，结果有两个 即时巩固 即时巩固31．（2024秋•曲阳县期末）·【基础】若非零有理数a、b同号，求的值为 　 　 ． 【分析】分a＞0，b＞0或a＜0，b＜0两种情况讨论即可． 【解答】解：当a＞0，b＞0时，2， 当a＜0，b＜0时，2， ∴±2． 故答案为：±2． 教学提示：围绕「a/|a|=1(a>0)，−1(a<0)；出现 ab/|ab| 时按 a、b 符号四分类」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固32．（2024秋•龙马潭区期末）·【基础】如果x、y都是不为0的有理数，则代数的最大值和最小值的和是 　 　 ． 【分析】此题要分三种情况进行讨论：①当x，y中有二正；②当x，y中有一负一正；③当x，y中有二负；分别进行计算． 【解答】解：①当x、y中有二正， 1+1﹣1＝1； ②当x、y中有一负一正， 1﹣1+1＝1； ③当x、y中有二负， 1﹣1﹣1＝﹣3． 故代数式的最大值是1，最小值是﹣3，最大值和最小值的和是﹣2． 故答案为：﹣2． 教学提示：围绕「a/|a|=1(a>0)，−1(a<0)；出现 ab/|ab| 时按 a、b 符号四分类」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固33．（2025秋•上杭县期中）·【提升】已知a、b均为不等于0的有理数，则的值为 　 　 ． 【分析】运用绝对值知识，分a＞0，b＞0、a＞0，b＜0、a＜0，b＞0和a＜0，b＜0进行讨论、求解． 【解答】解：当a＞0，b＞0时， ＝1+1+1 ＝3； 当a＞0，b＜0时， ＝1﹣1﹣1 ＝﹣1； 当a＜0，b＞0时， ＝1﹣1﹣1 ＝﹣1； 当a＜0，b＜0时， ＝﹣1﹣1+1 ＝﹣1， 故答案为：﹣1或3． 教学提示：围绕「a/|a|=1(a>0)，−1(a<0)；出现 ab/|ab| 时按 a、b 符号四分类」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固34．（2024秋•临汾月考）·【提升】综合与实践 我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题． （1）　 　 ，　 　 ． （2）　 　 （a≠0），　 　 （其中a＞0，b≠0）． （3）若abc≠0，试求的所有可能的值． 【分析】（1）根据绝对值的化简方法，即得答案； （2）对a＞0和a＜0分别计算，即得的结果；对b＞0和b＜0分别计算，即得的结果； （3）分四种情况讨论：①a＞0，，c＞0；②a，b，c三个字母中有一个小于0，其它两个大于0；③a，b，c三个字母中有一个大于0，其它两个小于0；④当a，b，c三个字母都小于0．根据绝对值的化简方法，即可分别求出结果． 【解答】解：（1）由题意得，，； 故答案为：1；﹣1． （2）由题意，∵当a＞0时，；当a＜0时，， ∴1或﹣1． ∵当a＞0，b＞0时，；当a＞0，b＜0时，， ∴当a＞0，且b≠0时，2或0． 故答案为：1或﹣1；2或0． （3）分以下四种情况： ①当a＞0，b＞0，c＞0时，； ②当a，b，c三个字母中有一个小于0，其它两个大于0时， ； ③当a，b，c三个字母中有一个大于0，其它两个小于0时， ； ④当a，b，c三个字母都小于0时， ； 综上所述，的所有可能的值为﹣4，0，4． 教学提示：围绕「a/|a|=1(a>0)，−1(a<0)；出现 ab/|ab| 时按 a、b 符号四分类」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 【附录‑备用题库】 5．（2026•龙海区校级模拟）·【基础】2026的绝对值是（　　） A．﹣2026 B．2026 C．0 D．1 18．（2025•东河区二模）·【基础】质检员抽查4袋方便面，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的产品是（　　） A．﹣3.5 B．+0.7 C．﹣2.5 D．﹣0.6 2．（2026•绥中县二模）·【基础】在检测排球质量时，将质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面是检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（　　） A． B． C． D． 15．（2024秋•黔东南州期末）·【基础】若3a+b＝0（a≠0），则2的值为（　　） A．0或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．﹣2 38．（2025•苏州模拟）·【基础】已知a与b的和为2，b与c互为相反数，若|c|＝1，则a＝　 　 ． 42．（2024秋•平潭县期中）·【基础】已知a、b互为相反数，那么a﹣5+b＝　 　 ． 37．（2025秋•鼓楼区月考）·【提升】若有理数x满足|x|+2024＝|x﹣2024|，则x的取值范围是 　 　 ． 过关测试（综合检测） 1．（2025秋•东莞市校级期末）·【基础】下列说法错误的是（　　） A．任何正数都大于它们的相反数 B．0既不是正数，也不是负数 C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等 D．绝对值小于3的所有整数的和为0 【分析】根据相反数的定义、有理数的分类、绝对值的性质、有理数的加法法则判断即可． 【解答】解：A、任何正数的相反数都是一个负数，由正数大于负数可知，原说法正确，故此选项不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，原说法正确，故此选项不符合题意； C、若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等，可能相反，原说法错误，故此选项符合题意； D、绝对值小于3的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2它们的和为0，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 教学提示：围绕「相反数强调「只有符号不同」，正数与负数不一定互为相反数（如 2 与 −3）」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 2．（2025秋•淄川区期末）·【基础】若|m|＝5，|n|＝3，且m＜n，则m﹣2n的值为　 　 ． 【分析】根据绝对值的意义可得出，m＝±5，n＝±3，再根据m＜n分类讨论出m、n的值，分别代入即可． 【解答】解：∵|m|＝5，|n|＝3， ∴m＝±5，n＝±3， ∵m＜n， ∴m＝﹣5，n＝±3， ∴当n＝3时，m﹣2n＝﹣5﹣2×3＝﹣11， 当n＝﹣3时，m﹣2n＝﹣5﹣2×（﹣3）＝1， 故答案为：﹣11或1． 教学提示：围绕「a/|a|=1(a>0)，−1(a<0)；出现 ab/|ab| 时按 a、b 符号四分类」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 3．（2024春•宝山区校级期末）·【基础】已知a＝﹣1，|b|＝﹣a，则b＝　 　 ． 【分析】利用相反数的意义先求出|b|，再根据绝对值的意义求出b的值． 【解答】解：∵a＝﹣1， ∵|b|＝﹣a＝1， ∴b＝±1． 故答案为：±1． 教学提示：围绕「a/|a|=1(a>0)，−1(a<0)；出现 ab/|ab| 时按 a、b 符号四分类」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 4．（2025秋•荣成市期末）·【基础】某有理数满足|x|＝﹣x（x≠0），写出一个符合该条件的数　 　 ． 【分析】运用绝对值的知识进行求解． 【解答】解：∵|a|， ∴某有理数满足|x|＝﹣x（x≠0）时x＜0， ∴x＝﹣1就是一个符合该条件的数， 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 教学提示：围绕「去绝对值：|X|=X (X≥0)，|X|=−X (X<0)；判号是关键，不能凭感觉」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 5．（2025秋•利州区校级月考）·【基础】已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则3a+2b+c的值是　 　 ． 【分析】根据正整数、相反数的概念求出a，b，c的值，代入3a+2b+c即可得到结果． 【解答】解：因为a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，所以a＝5； 因为最小的正整数是1，且 b 比最小的正整数大 4，所以 b＝5； 因为相反数等于它本身的数是0，所以 c＝0， 所以 3a+2b+c＝3×5+2×5+0＝25． 故答案为：25． 教学提示：围绕「−(−a)=a、−(+a)=−a；−[−(−5)] 从内往外数负号个数」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 6．（2025秋•新昌县期中）·【基础】已知|m|＝1，|n|＝4． （1）当m、n异号时，求m+n的值； （2）求m﹣n的最大值． 【分析】（1）根据绝对值的性质得m＝±1，n＝±4，再根据m、n异号，分两种情况求出m+n的值； （2）在（1）的基础上分四种情况求m﹣n的值，比较后确定最大值． 【解答】解：（1）∵|m|＝1，|n|＝4， ∴m＝±1，n＝±4， ∵m、n异号， ①m＝1，n＝﹣4，m+n＝﹣3， ②m＝﹣1，n＝4，m+n＝3， ∴m+n的值﹣3或3； （2）①m＝1，n＝﹣4，m﹣n＝5， ②m＝﹣1，n＝4，m﹣n＝﹣5， ③m＝1，n＝4，m﹣n＝﹣3， ④m＝﹣1，n＝﹣4，m﹣n＝3， ∵5＞3＞﹣3＞﹣5， ∴m﹣n的最大值为5． 教学提示：围绕「|x−1|+|x+a| 最小值是两点 1 与 −a 之间的距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 7．（2025秋•武安市期中）·【基础】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0．例如，若x和y互为相反数，则必有x+y＝0． （1）已知|a|+a＝0，求a的取值范围． （2）已知|a﹣1|+（a﹣1）＝0，求a的取值范围． 【分析】（1）根据绝对值的性质可得出|a|≥0，再由相反数的定义即可得出结论； （2）根据绝对值的性质可得出|a﹣1|≥0，再由相反数的定义即可得出结论． 【解答】解：（1）∵|a|≥0，|a|+a＝0， ∴a≤0； （2）∵|a﹣1|≥0， ∴a﹣1≤0， 解得a≤1． 教学提示：围绕「去绝对值：|X|=X (X≥0)，|X|=−X (X<0)；判号是关键，不能凭感觉」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 8．（2024秋•青岛同步）·【基础】下列说法正确吗？如果不正确，请举例说明： （1）有理数的绝对值都是正数； （2）符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数； （3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； （4）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等． 【分析】（1）根据有理数的绝对值是正数或0进行求解； （2）根据绝对值和互为相反数知识进行求解； （3）运用绝对值的知识进行辨别、求解； （4）运用绝对值和互为相反数知识进行求解． 【解答】解：（1）有理数的绝对值都是正数不正确， 比如0的绝对值是0； （2）符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数正确； （3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等不正确， 比如|﹣5|＝|5|，但是﹣5≠5； （4）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等正确． 教学提示：围绕「相反数强调「只有符号不同」，正数与负数不一定互为相反数（如 2 与 −3）」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 9．（2024秋•上海期中）·【提升】求|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|99x﹣1|的最小值． 【分析】原式整理得，即表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，…，99倍x到的距离之和，求得在取得最小值，据此求解即可． 【解答】解：由题意得，|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|99x﹣1|＝|x﹣1|+2|x|+3|x|+4|x|+5|x|+…+99|x|， 又结合绝对值的意义，|x﹣a|+|x﹣b|取最小值时，x在a、b之间，即可得最小值． ∵1+2+3+…+994950， ∴当x为第2475、2476项所对应的数时， |x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|99x﹣1|有最小值． 经计算：1+2+3+…+69＝2415＜2475且1+2+3+…+70＝2485＞2476， ∴当取得最小值， 原式＝（1）+（1）+（1）+…+（1）+（1）+（1）+…+（1） 0 ＝34 ＝34 ＝40． 教学提示：围绕「|x−1|+|x+a| 最小值是两点 1 与 −a 之间的距离」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 苏科版（2024） · 绝对值与相反数 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $