专题2.3 绝对值与相反数（10题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦绝对值与相反数核心知识点，涵盖绝对值的代数几何意义、性质及非负性，有理数大小比较的数轴法与绝对值法，相反数的概念及符号化简，承接数轴知识为有理数运算构建基础学习支架。 资料通过分层知识点、典例变式及实际应用题型设计，突出数形结合与逻辑推理。如绝对值几何意义结合数轴距离问题培养几何直观，零件误差分析提升应用意识，助力课堂教学与课后查漏补缺。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.3绝对值与相反数 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01绝对值 知识点02利用绝对值比较大小 2.知识清单 知识点03相反数 题型01求一个数的绝对值 题型02绝对值的非负性 题型03绝对值的应用 绝对值与相反数 题型04绝对值的几何意义 题型05利用数轴比较数大小 3.题型精讲 题型06利用绝对值比较大小 题型07求一个数的相反数 题型08判断是否互为相反数 题型09化简多重符号 题型10相反数的应用 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解相反数的概念，能求一个数的相反数，并掌握互为相反数的两个数在数轴上的 位置特征。 教学目标 2.理解绝对值的代数与几何意义，能正确求有理数的绝对值。 3.能运用绝对值比较两个负数的大小，并解决与绝对值相关的简单问题。 教学重难点 重点： 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.相反数与绝对值概念的理解及求法。 2.运用绝对值比较两个负数的大小。 教学难点： 1.理解绝对值的双重意义（代数意义与几何意义），特别是当a为负数时ll的含 义。 2.比较两个负数大小时，理解“绝对值大的反而小”的规律，避免混淆。 知识清单 知识点01绝对值 1.概念：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|叫=|b,则=b或=-b)；②负数的绝对值是它的相反数： ③0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a>0,|al=a,反之，la=a,则a20,la=-a,则a≤0；②a=0,|al=0;③a<0,| a =-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a(a>0)的数有2个，他们互为相反数.即ta 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故 若|a十b1=0,则a=0,b=0: 【即学即练】 2 1.3的绝对值是 绝对值是、的数是 2.如果=2025，则x=一，如果=2025，则x=一.化简：3-= 知识点02有理数的大小比较 1.利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边 的数小王右边的数. 2.利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大 的反而小 3.作差法：若两数分别为a,b,a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b;若a-b=0,则a=b. 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练】 1.比较下列每组中两个有理数的大小. 25 2 (06.26与4： (2)-2.8和 +2 3 知识点03相反数 1概念：只有符号不同，数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数特别的0的相反数是Q. 2.性质：若a与b互为相反数，则a十b=0,即b;反之，若a十b=0,则a与b互为相反数 3多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数②多个符号：三个或三个以上的符号的化 简，看负号的个数 (注意：当“一”号的个数是偶数个时，结果取正号当“一”号的个数是奇数个时，结果取负号) 【即学即练】 1.下列各对数中互为相反数的是() A.5与-5 B.-5和+5列 c.-5和5 D.5和-(-5) 9 2.写出4的相反数： 3.化简下列各数： (1)-(+12) 2)+7) 3)-25) ④（-16) s[别 6)-[+(-2)] 题型精讲 题型01求一个数的绝对值 【典例1】-3的绝对值是： 【变式1】计算：3到= 【变式2】-9的绝对值是 【变式3】4的绝对值是一：2的绝对值是一； 绝对值是，的数是一；绝对值最小的数是， 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02绝对值的非负性 【典例1】若|3-a+|b-1=0,则a= b= 【变式1】若r-+y-=0,那么x= ,y= 【变式2】a是最大的负整数，且a、b、c满足la++c-5=0.那么a=一， b= 【凌式3】已知，c满足b-+司=0，则6+e的伯是 题型03绝对值的应用 【典例1】有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件.零件质量要求是：零 件直径比标准直径可以有0.5mm的误差.其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示. 现将5名学生的加工结果（单位：mm)记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 +0.35 -0.46 -0.29 +0.38 +0.52 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【变式1】为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从A出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行 治安巡逻，若规定向南为正，向北为负， 一天中七次行驶记录如下.（单位：km) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -4 +7 -9 +8 +6 -5 -2 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地A地什么方向？距A地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油0.3升，问七次巡逻行驶共耗油多少升？ 【变式2】时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有0.2cm的误差，现抽查5个零件， 检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：cm): 零件号 数 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数据 +0.13 -0.21 +0.04 -0.12 -0.16 (1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？ 【变式3】在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以5.0 为标准，大于5.0的记为正数，小于5.0的记为负数，记录数据如下： 学 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 生 视 +0.1 -0.4 0 -0.2 -0.6 -0.1 ǒ (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由： (2)若规定与标准视力相差大于0.2需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 题型04绝对值的几何意义 【典例1】(1)数轴上点A,B对应的数分别是a,b则AB=口-b,若点A在数轴上表示3，点B在数 轴上表示1，那么AB=-; (2)在数轴上表示x的点与-1的距离是3，那么x=-: (3)在数轴上表示a的点位于-4和3之间（包含两端），求la+4+la-3到的值： (4)对于任意有理数x,则r-3+k-6的最小值是· 【变式1】[阅读材料m-川的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离.例如：2-可以 看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以2-=1 (1)x+2的几何意义是表示数x的点与表示数 的点之间的距离； (2)(i)若x+2=3,求x的值： (i)求r+2+x-的最小值. 【变式2】【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思 想方法.数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础. 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 我们知道44-0，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离：又如式子7-3引，它的几何意 义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离：即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,则A、 B之间的距离可表示为la-b.请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题 【问题探究】 (1)若x+6=2,则x= (2)若x+2+x-3=12,则x= 【问题解决】 (3)利用数轴解决以下问题： O-1+x+2的最小值为一，此时x可以取的整数有 ②+2+x+3+2x-4有最小值吗？x+2x-5有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明 理由. 题型05利用数轴比较数大小 【典例1】(25-26七年级上贵州贵阳期末)如图，数轴上A,B两点表示的有理数分别为a,b,则a与b 的大小关系为ab(填“>”，“<”或“=”）. 2与10123→ A 【变式1】(25-26七年级上辽宁鞍山期末)如图，下列数中比数轴上点A表示的数小的数是() 432012 A.-2 B.-1 C.0 D.1 【变式2】如图，数轴上的两个点A.B所表示的数分别为a、b,那么4，b,-a,-b的大小关系是() a 63 -1012 A.b<-a<-b<a B.a<-b<b<-a C.b<-a<a<-b D.b<-b<-a<a 【变式3】(25-26七年级上广东肇庆期中)己知有理数a,b,其中数a在如图所示的数轴上对应点M,b 是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3 5-4-3-2-1012345 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)a= b= 5 (2)在数轴上标出表示一之，0，-1，-b的点，并用“<“连接起来. 题型06利用绝对值比较大小 【典例1】比较大小. 0号和3 【变式1】比较大小： 0与号： 3 ®四（引 【变式2】比较下列各组数的大小： ①)-8与8： 57 (②6与8 3)十3.2与(+3.6)」 【变式3】比较下面有理数的大小： (1)-0.7与-1.7； 34 (2)-4与5： 3 (3)1i与-0.273 48与-8. 题型07求一个数的相反数 【典例1】2026的相反数是. 【变式】的相反数是 5 【变式2】一4的相反数是 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】若a的相反数是-8，则a= 题型08判断是否互为相反数 【典例1】下列各组数中，互为相反数的是() 1 A.3与3 B.3与3 c n与 【变式1】下列各数中，互为相反数的是() 1 A.-2与2 B,2与) C.-2与2 D.-(-2)与-2 【变式2】下列各数中，互为相反数的是() A.+(+3)与3B.-(+3)与-3 C.-(-3)与-3 D.+(-3)与-3 【变式3】下列各组数中，互为相反数的是() A.-（-5)和-5 B.+(+4)和+4 C.--3到和-3到 D.+(-7)和-7 题型09化简多重符号 【典例1】化简：-(-23)= 【变式1】化简 【变式2】计算-[+(-2】的结果为 【变式3】化简： (1)-(+4)=】 ；(2)-（-2024)=- (3)-[-(+1.5]=:(4)-[-(1.5]= 题型10相反数的应用 【典例1】若a、b互为相反数，则2026+a-1+b= 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】若代数式3x-6与代数式12-6x的值互为相反数，则x= 【变式2】若m,n互为相反数，则5m+5n+3= 【变式3】x= 时，代数式5x-7与代数式2x+21的值互为相反数. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(2026四川遂宁·中考真题)-2026的绝对值是() A.2026 B.-2026 C.+2026 2026 2.(2026安徽淮北模拟预测)下列各数中，是负数的是() A.-(-3) B.-2 C.0 D.-(+5) 3.(25-26九年级下四川南充阶段检测)下列各组数中，互为相反数的是()· A.-十2与+(-2)B.-(-2)与+(-2)C.-(+2)与-2D.-十-2与-2 4.(2026江西上饶模拟预测)有四个标号为1,2,3,4的排球，它们的重量与标准重量的差分别是 -0.02,0.03,0.04,0.05,最接近标准重量的排球标号是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 5.(2627七年级全国小升初衔接)(1)-(3)= (2)+(-3)= (3)-(+3)=- 。(2526七年级上四宜比较大小：(+》—十领，”“。”段“) 7.(2026贵州安顺二模)如图，若点A和点D表示的数互为相反数，则原点是点 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABtD→ 8.(26-27七年级浙江暑假作业)若=-2，则x= 三、解答题 9.(26-27七年级浙江·暑假作业)比较下列每组数的大小 12 (①)-107 g-05号 01号 4,7. 10.(25-26七年级上广东东莞期中)如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是-3 上 A B (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“<”号把这些数按从小到大连接起来。 25.4515-(2) 11.(25-26七年级上四川宜宾期中)下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内： 12 11,-50,-202535%'-3.8”-(-2)-+7,6’0.13131313 正有理数集：{ …} 负有理数集：{ }； 正整数集：{ …} 负整数集：{ … 自然数集：{ }. 12.(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨阶段检测)解决下列问题： (1)把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①+10；②0：③-3.14：④1.616616661·（两个1之间的6的个数依次增加1）⑤+15%；⑥-π；⑦ 22 --121:⑧-2026：⑨9：⑩0.618. 负数集合{ 10113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分数集合{ 正有理数集合{}： ②在数轴上表示下列各数：0,25,3 2，-2’+5，并按从小到大顺序排列. 5432寸012345→ 能力提升 一、单选题 1.(2026安徽二模)-5,2,5,2026中，最小的数是（) A.-5 B.2 C.5 D.2026 2.(2026河北邢台·二模)下列数轴上的点M,N所表示的两个数，可能是一对相反数的是（) MN A.3201 D州 3.(25-26七年级全国·暑假作业)有理数4，b在数轴上的对应点的位置如图所示.把-a,-b,0按照 从小到大的顺序排列，正确的是() 0 6→ A.-a<0<-bB.0<-a<-b C.-b<0<-a D.0<-b<-a 4.(25-26七年级上辽宁锦州期末)下列说法正确的是() A.若a+a=0,则a为负数 B.|a+l一定是正数 C.若aHbl,则a=b D.若alb,则a-b是正数 5.(25-26七年级上安徽宿州期中)如果x为有理数，式子2026-x-4存在最大值，那么这个最大值是 () A.2026 B.2025 C.2024 D.2023 二、填空题 6.(25-26七年级上四川成都期中)2026的相反数是 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2425六年级上山东烟台期中)比较下列各对数的大小： ①-8 21 7 ②-（-0.3) 3 ③-2 -(-2) 8.(2425七年级下黑龙江绥化阶段检测)如果=2025， 则x=一，如果=2025|，则x= 化简：B-=。 9.(26-27七年级浙江·暑假作业)代数式-3引的最小值是， a4+3的最小值是一 10.(2026九年级黑龙江齐齐哈尔·专题练习)我们知道：在数轴上，若点A,B分别表示实数a,b,则 A,B两点之间的距离为-.例如：式子x-3的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离， 则式子x-3到+r+5的最小值是 三、解答题 3 11.(25-26七年级上四川宜宾期中)把有理数：-3.5”-(（4)，0，-22， 按下列要求作答： 5-4-32012345→ 整数集合 正数集合 (1)在数轴上表示出来： (2)用“<”把上面的数连接起来： (3)把上面的数填入对应的集合内. 12.(25-26七年级上浙江杭州期末)如图，在单位长度为1的数轴上有三个点A,B,C. A B → (1)若点A表示的数是-2，直接写出点B,C表示的数. (2)若点A,C所表示的数互为相反数，求出点B表示的数. (3)若点B与原点之间的距离为3，求出点C表示的数， 13.(25-26七年级上全国期末)检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量 的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 2 与标准质量的差/8 +4 +7 -3 -8 -9 (1)几号篮球最接近标准质量？ 12113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为+3g和-5g，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球 的质量好一些？ 14.(25-26七年级上全国单元测试)如图，在数轴上有A,B,C三个点. A B C 65-4-3-2-1012345> (I)A,B,C这三个点表示的数分别是多少？ (2)A,B两点间的距离是多少？A,C两点间的距离是多少？ (3)若将点A向右移动5个单位长度后，则A,B,C这三个点所表示的数谁最大？表示的数最大的点与表 示的数最小的点的距离是多少？ 15.(25-26七年级上贵州六盘水：期末)数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可 以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a,点B表示的数是b,则A,B两点之间的距离 AB=口-b.例如：若点A表示5，点B表示-2，则AB=-2-5=7.解决下列问题： -87-6-5-43-21012345678 (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是-1，则A,B两点之间的距离是一 (2)当x-2=3时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值： (3)是否存在有理数m,使得m+3到-m-2有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由。 13113 专题2.3 绝对值与相反数 教学目标 1. 理解相反数的概念，能求一个数的相反数，并掌握互为相反数的两个数在数轴上的位置特征。 2. 理解绝对值的代数与几何意义，能正确求有理数的绝对值。 3. 能运用绝对值比较两个负数的大小，并解决与绝对值相关的简单问题。 教学重难点 重点： 1. 相反数与绝对值概念的理解及求法。 2. 运用绝对值比较两个负数的大小。 教学难点： 1. 理解绝对值的双重意义（代数意义与几何意义），特别是当 a 为负数时 |a| 的含义。 2. 比较两个负数大小时，理解“绝对值大的反而小”的规律，避免混淆。 知识点01 绝对值 1.概念：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 【即学即练】 1.的绝对值是 ，绝对值是的数是 ． 【答案】 或 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的性质，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：的绝对值是，绝对值是的数是或， 故答案为：，或 2．如果，则______，如果，则______．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号． 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 知识点02 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 【即学即练】 1.比较下列每组中两个有理数的大小． (1)与； (2)和． 【答案】(1) (2) 【知识点】化简多重符号、有理数大小比较 【分析】本题考查比较有理数的大小，解题关键是熟练掌握比较有理数大小法则：正数>零>负数，两个负数，绝对值大的，反而小． （1）根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可； （2）先化简各数，再根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）解：，， 因为，所以， 即． 知识点03 相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【即学即练】 1.下列各对数中互为相反数的是（    ） A．5与 B．和 C．和 D．5和 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的识别，化简多重符号和求一个数的绝对值，先根据化简多重符号和绝对值的定义求出每个选项中两个数的结果，再根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可． 【详解】解：A、5与互为相反数，故此选项符合题意； B、和不互为相反数，故此选项不符合题意； C、和不互为相反数，故此选项不符合题意； D、5和不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：A． 2.写出的相反数： ． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：． 3.化简下列各数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的知识：在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，根据相反数的定义解答即可． （1）根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数； （2）直接去掉“+”和括号即可得答案； （3）直接去掉“+”和括号即可得答案； （4）根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数； （5）根据相反数的意义从内往外依次去括号即可； （6）根据相反数的意义从内往外依次去括号即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， （4）解： （5）解：； （6）解： 题型01 求一个数的绝对值 【典例1】的绝对值是： ． 【答案】3 【分析】此题主要考查求一个数的绝对值，解题的关键是熟知绝对值的性质. 根据绝对值的定义即可求解. 【详解】解：的绝对值是：3． 故答案为：3. 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】的绝对值是 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质成为解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴． 故答案为：9． 【变式3】的绝对值是 ；的绝对值是 ；绝对值是的数是 ；绝对值最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是；的绝对值是；绝对值是的数是；绝对值最小的数是； 故答案为：；；；． 题型02 绝对值的非负性 【典例1】若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以． 故答案为：，． 【变式1】若，那么 ， ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值的非负性和解一元一次方程，熟练掌握任何数的绝对值都是非负数是解题的关键，据此作答即可． 【详解】∵， ∴， 解得， 故答案为：1，5． 【变式2】a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据，得到, 代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 题型03 绝对值的应用 【典例1】有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【答案】(1)周正 (2)李嘉，见解析 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质： （1）找出直径超过的零件，即可得出答案； （2）通过比较绝对值，得出，可知张琪同学加工的零件直径比标准直径误差最小，得出答案． 【详解】（1）∵零件直径比标准直径可以有的误差， 而， ∴周正同学加工的零件不符合标准； （2）∵， ∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小， ∴李嘉的最好． 【变式1】为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【答案】(1)最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地 (2)七次巡逻行驶共耗油升 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的应用，有理数的加、减、乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． （1）计算出最后一次所处位置即可； （2）将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量，即可求解． 【详解】（1）解：， 最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地； （2）， ， （升）， 七次巡逻行驶共耗油升． 【变式2】时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）： 零件号数 1 2 3 4 5 数据 (1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？ 【答案】(1)1，3，4，5符合要求 (2)第3个，说明见解析 【分析】（1）根据绝对值的意义，找到绝对值小于零件即为所求答案； （2）根据绝对值的意义，找到绝对值最小的零件即可. 【详解】（1）解：零件的长度可以有的误差， ，，， ，， 1，3，4，5符合要求； （2）解：的绝对值最小， 第3个零件质量最好． 【变式3】在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 题型04 绝对值的几何意义 【典例1】（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 【答案】（1）2（2）或2；（3）7；（4）3 【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点间距离公式解答即可； （3）由绝对值的几何意义可知式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和，进而利用数轴上两点间距离公式解答即可求解； （4）由绝对值的几何意义可知式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和，当表示x的点位于3和6之间（包含两端），距离之和最小，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则， 由题意得，， 故答案为：2； （2）由题意得，， 即， 解得或， 故答案为：或2； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端）， ∵， ∴式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和， 当表示a的点位于和3之间（包含两端）时，距离之和为， 即的值为7； （4）式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和， 当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小， 此时最小值为， 故答案为：3． 【变式1】[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）3 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）（ⅰ）根据绝对值的意义得到数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3，进行求解即可； （ⅱ）根据绝对值的意义，得到当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即可得出结果． 【详解】（1）解：的几何意义是表示数x的点与表示数的点之间的距离； （2）（ⅰ）由题意，表示数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3， ∴或； （ⅱ）表示数轴上表示数的点到表示数和数1的点之间的距离之和， ∴当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即． 【变式2】【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）或6.5；（3）①3；，，0，1；②有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对值的几何意义是解题的关键； （1）根据题意可知可看作是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为，然后问题可求解； （2）同理（1）可求； （3）根据绝对值的几何意义及数轴上两点距离可进行求解①②． 【详解】解：（1）由可知：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为， ∴或， 解得：或， 故答案为或； （2）由可知：数轴上表示数x的点到表示数和3的点之间的距离之和为12， ∵， 当数轴上表示数x的点在表示数的左侧时，则有：， 解得：； 当数轴上表示数x的点在表示数3的右侧时，则有：， 解得：； 故答案为或6.5； （3）①由可知：数轴上表示数x的点到表示数和1的点之间的距离之和， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数和1的点之间取得最小值，此时x可以取的整数有，，0，1； 故答案为3；，，0，1； ②由可变形为， ∴同理①可知：当数轴上表示数x的点在表示数和4的点之间取得最小值， ∴最小值为； 由可知：数轴上表示数x的点到表示数和5的点之间的距离之差， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数5的右侧时，取得最大值，最大值为7； 答：有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 题型05 利用数轴比较数大小 【典例1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图，数轴上，两点表示的有理数分别为，，则与的大小关系为_____（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”直接作答即可． 【详解】解：观察数轴可知，， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，下列数中比数轴上点A表示的数小的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小． 根据数轴作答即可． 【详解】解：由数轴可知，， 即比数轴上点A表示的数小的数是． 故选：A． 【变式2】如图,数轴上的两个点A．B所表示的数分别为a、b,那么a,b,−a,−b的大小关系是(   )    A．b<−a<−b<a B．a<−b<b<−a C．b<−a<a<−b D．b<−b<−a<a 【答案】B 【分析】根据相反数的意义，把-a、-b先表示在数轴上，然后再比较它们的大小关系 【详解】根据相反数的意义，把−a、−b表示在数轴上，    所以a<−b<b<−a. 故选B. 【变式3】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）已知有理数，，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3 (1)________，________． (2)在数轴上标出表示，0，，的点，并用“<“连接起来． 【答案】(1)2， (2)见解析， 【分析】本题考查用数轴表示数，并比较有理数的大小．正确的表示出各数，是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置，确定的值，根据绝对值的意义，确定的值； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可． 【详解】（1）由图可知：； ∵b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴； 故答案为：； （2）数轴上表示各数，如图： 由图可知： 题型06 利用绝对值比较大小 【典例1】比较大小． (1)和 (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可求解； （2）分别化简两个有理数，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：，， ∴． 【变式1】比较大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较． （1）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． （2）先化简绝对值，多重符号，然后再比较大小即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴ （2）解：，， ∴ 【变式2】比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数大小的比较，熟知有理数大小比较规则是解答的关键． （1）先求绝对值，再根据正数大于负数求解即可； （2）根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可； （3）先化简各数，再根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ∴； （3）解：，， ∵，，， ∴． 【变式3】比较下面有理数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，正负数的比较，两个负数的比较，绝对值，正确理解两个负数的比较：两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】（1）解：，且， ； （2）且， ； （3），且， ， （4）, ． 题型07 求一个数的相反数 【典例1】2026的相反数是 ． 【答案】-2026 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2026的相反数是-2026． 故答案为：-2026． 【变式1】的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，属于应知应会题型，熟知相反数的概念是关键； 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是； 故答案为：． 【变式2】的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：的相反数是； 故答案为： 【变式3】若a的相反数是，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数． 根据相反数的定义求解即可． 【详解】∵a的相反数是， ∴． 故答案为：8． 题型08 判断是否互为相反数 【典例1】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与3 B．3与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：A：与不互为相反数，故此选项不符合题意； B：与不互为相反数，故此选项不符合题意； C：与互为相反数，故此选项符合题意； D：与不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列各数中，互为相反数的是（     ） A． 与2 B． 与 C． 与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了相反数、绝对值以及去括号等知识，解题关键是熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义，并结合去括号法则、绝对值的性质，逐项分析，即可获得答案． 【详解】解：A. 与2互为相反数，本选项符合题意； B. 与不是相反数，本选项不符合题意； C. 与不是相反数，本选项不符合题意； D. ，，所以与不是相反数，本选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】下列各数中，互为相反数的是（    ） A．与3 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查相反数，先化简多重符号，再根据相反数的定义进行判断即可求出结果． 【详解】解：A． 与3相等；不符合题意； B． 与相等；不符合题意； C． 与互为相反数，符合题意； D． 与相等；不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、绝对值，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，，5和5不是相反数，不符合题意； B、，，4和4不是相反数，不符合题意； C、，，和3互为相反数，符合题意； D、，和不是相反数，不符合题意； 故选：C． 题型09 化简多重符号 【典例1】化简： ． 【答案】23 【知识点】化简多重符号 【分析】根据有理数的负数计算即可． 本题考查了有理数的负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：23． 【变式1】化简 ． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符号即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】计算的结果为 ． 【答案】2 【知识点】化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键； 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解： ． 【变式3】化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 2024 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据化简多重符号的法则计算即可得解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；2024；；． 题型10 相反数的应用 【典例1】若a、b互为相反数，则=______． 【答案】2025 【分析】本题考查相反数的定义．由和互为相反数，可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：2025． 【变式1】若代数式与代数式的值互为相反数，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数的定义，整式的加减以及解一元一次方程，根据题意可知，求解即可． 【详解】因为代数式与的值互为相反数，可得 ． 解得 ． 故答案为： 【变式2】若m，n互为相反数，则___． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数的性质，求代数式的值，掌握相反数和为0是解题的关键． 由相反数的性质可知，进而简化表达式 【详解】解：∵ m，n 互为相反数， ∴ ， ∴ ． 故答案为 3． 【变式3】___________时，代数式与代数式的值互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两个代数式的值互为相反数时，它们的和为零，由此列出方程并求解即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的值互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·四川遂宁·中考真题）的绝对值是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的绝对值是 2．（2026·安徽淮北·模拟预测）下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】先利用相反数、绝对值化简各选项的数，再根据负数的定义判断即可． 【详解】解：A．，，是正数，不符合要求； B．，，是正数，不符合要求； C．既不是正数也不是负数，不符合要求； D． ，，是负数，符合要求． 3．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 4．（2026·江西上饶·模拟预测）有四个标号为1，2，3，4的排球，它们的重量与标准重量的差分别是，0.03，0.04，，最接近标准重量的排球标号是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】最接近标准重量的排球，其重量与标准重量差的绝对值最小，通过计算各差值的绝对值并比较大小，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，且， ∴标号为1的排球最接近标准重量． 二、填空题 5．（26-27七年级·全国·小升初衔接）（1）_______； （2）_______； （3）_______． 【答案】 【详解】解：（1）；（2）；（3）． 6．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及相反数与绝对值的化简，先化简两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小的规则进行比较即可． 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 7．（2026·贵州安顺·二模）如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． 8．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则 __________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 三、解答题 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵， ∴． 10．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）略 （2）略 11．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内； ，，0，，，，，，，． 正有理数集：{                …}； 负有理数集：{                …}； 正整数集：{                  …}； 负整数集：{                  …}； 自然数集：{                  …}． 【答案】 正有理数集：； 负有理数集：； 正整数集：； 负整数集：； 自然数集：. 【分析】本题考查有理数的分类，解题关键是先化简含多重符号和绝对值的数，再根据各类数的定义分类，掌握有理数的分类标准即可正确求解． 【详解】解：先化简题目中需要化简的数，得 ， 正有理数集：{，} 负有理数集：{ ，} 正整数集：{ ，} 负整数集：{，} 自然数集：{ ，} 12．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解决下列问题： (1)把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）⑤；⑥；⑦；⑧；⑨； ⑩0.618． 负数集合{___________} 分数集合{_________} 正有理数集合{_______}； (2)在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 【答案】(1)③⑥⑦⑧；③⑤⑨⑩；①⑤⑨⑩ (2)图见解析， 【分析】（1）根据有理数的分类，即可求解； （2）根据数轴上点对应的数的特点即可求解． 【详解】（1）解：⑦， 负数集合{③⑥⑦⑧} 分数集合{③⑤⑨⑩} 正有理数集合{①⑤⑨⑩} （2） 解： 从小到大顺序排列：． 一、单选题 1．（2026·安徽·二模），2，5，2026中，最小的数是（     ） A． B．2 C．5 D．2026 【答案】A 【分析】首先明确有理数比较大小的基本规则，因为负数小于0，正数大于0，所以先区分给出数中的负数和正数．因为所有正数都大于负数，所以如果选项中存在唯一的负数，那么这个负数就是四个数中最小的． 【详解】解：∵负数小于一切正数， ∴是四个数中最小的数． 2．（2026·河北邢台·二模）下列数轴上的点，所表示的两个数，可能是一对相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在数轴上，表示一个非零数与它的相反数的两个点分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等，观察可知，只有选项C符合题意． 3．（25-26七年级·全国·暑假作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴可得，且 ∴． 4．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 5．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的非负性．当绝对值取最小值时，式子取得最大值． 【详解】解：∵， ∴ 当 时，即时，取得最大值，最大值为； 故选A． 二、填空题 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）2026的相反数是___________． 【答案】 【详解】解：2026的相反数是． 7．（24-25六年级上·山东烟台·期中）比较下列各对数的大小： ①_________；    ②_________；    ③_________ 【答案】 【分析】先根据相反数和绝对值的定义化简各组中的数，再根据有理数大小比较法则判断：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；正数大于一切负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大． 【详解】解：，，， ∵， ∴，即； ∵，， ∴，， ∵， ∴； ，， ∵， ∴． 8．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如果，则______，如果，则______．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号． 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 10．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据数轴的定义解答即可； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大解答即可； （3）根据有理数的分类解答即可． 【详解】（1）解：，，数轴表示如下： ； （2）解：根据有理数大小比较的原则，得到： ； （3）解：根据题意，填充如下： 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 【答案】(1)点，表示的数分别为和 (2)点表示的数为 (3)点表示的数为或 【分析】本题考查了相反数的定义、利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离； （1）根据数轴，直接写出点，表示的数． （2）根据点，所表示的数互为相反数得出点表示的数为，结合数轴即可求解． （3）分两种情况，原点在点的左侧或右侧分别讨论，即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数是， ∴点，表示的数分别为和； （2）解：∵之间的距离为个单位长度，点，所表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为． （3）解：当原点在点的左侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 当原点在点的右侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 综上，点表示的数为或． 13．（25-26七年级上·全国·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 14．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在数轴上有，，三个点． (1)，，这三个点表示的数分别是多少？ (2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？ (3)若将点向右移动个单位长度后，则，，这三个点所表示的数谁最大？表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是多少？ 【答案】(1)，，这三个点表示的数分别是，， (2)； (3)点表示的数最大，表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点距离计算，有理数比较大小，数轴上点的平移，解题的关键是理解数轴上两点之间的距离的计算方法，以及数轴上点的平移规律． （1）根据数轴直接解答即可． （2）根据数轴上两点距离公式直接解答即可． （3）根据点移动的规律求出点移动后表示的数，利用有理数的大小比较法则比较大小，然后计算两点之间的距离即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知，，，这三个点表示的数分别是，，． （2）解：根据数轴可知；． （3）解：将点向右移动个单位长度后，点表示的数是（如图所示的点），此时点表示的数是，点表示的数是， ， 点表示的数最大，点表示的数最小， ，即表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是． 15．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， 在数轴上标记x所在的位置如图所示： （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $