专题02 全等三角形（期中真题汇编）八年级数学上学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦全等三角形三大核心考点，汇编陕西安康、重庆潼南等多地区期中真题，涵盖选择、填空、解答题型，注重基础性质与判定应用，融入动态探究与跨学科情境。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|约30题|全等性质、判定公理、角平分线性质|结合网格作图、折叠旋转考查空间观念| |填空题|约15题|对应边/角关系、动点全等分类|设置多解问题（如P、Q运动全等判定）| |解答题|约25题|判定证明、实际测量（如河宽测量）、综合探究|含物理光学反射、手拉手模型等跨学科情境|

专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，已知两个三角形全等，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·广东广州·期中）已知图中的两个三角形全等，则度数是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）已知图中的两个三角形全等，其中的字母表示边长，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，，，若，， 则等于（   ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形边长，则（　　） A.  B.  C. 或 D. ，或 8．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（     ） A. 经过平移可与重合，平移的距离为的长 B. 将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C. 将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D. 将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 10．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）如图，点F，A，D，C在同一直线上，，，，则等于　　　　　　． 11．（25-26学年八上·北京大兴·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是　　　　　　． 12．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）已知的三边长为，4，7，的三边长为6，7，．若与全等，求的值． 13．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，，，，P、Q两点分别在线段和射线上运动，且．若与全等，则的长度为　　　　　． 14．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，两个三角形全等，则的度数是　　　　　　 15．（25-26学年八上·吉林白山·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中画，使（点D不与点A重合）； （2）在图②中画，使，其中点E在边上 ； （3）在图③中画出线段，交于点M，使与的面积相等． 16．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为　　　　　． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·海南儋州·期中）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 3．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（     ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是 4．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（       ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 5．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）如图，，再添加一个条件不一定能使的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，，，如果根据“”判定，那么需要补充的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，与相交于点，，添加一个条件，不能证明的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，若，，则，判定的根据是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，，且，添加下列条件，不能判断的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为(     ). A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 不能确定 14．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（        ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 15．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，点D，E分别在线段，上，，相交于点O．给出下面三个结论：①；②若，，，则；③若，，则点在的角平分线上．上述结论中，所有正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 16．（25-26学年八上·海南儋州·期中）如图，这是一个风筝的骨架图，已知，为证明，还需要添加一个条件．同学们纷纷提出建议：①②③④，其中合理的建议有（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 17．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，，要使，还需添加一个条件是（　　） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，的面积为为边上的中线，点是线段的五等分点，点、、是线段的四等分点，点是线段的中点，则四边形的面积为（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 20．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）下面是多媒体上的一道试题，则*处不可以填（       ） 在和中， ，，__________． ． A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）荡秋千是小朋友喜欢的一项活动．如图，小美坐在秋千的起始位置D处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的A处接住她后用力一推，爸爸在距离地面的C处接住她．若妈妈到的水平距离为，，爸爸在C处接住小美时，C点到距离是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知， ，． 求证：． 23．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，点E、F在线段上且F在E的右侧，，，．求证：． 24．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是　　　　　　（写出一个即可） 25．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，延长至点D，使，过点D作，连接交于点F，若．求证：． 26．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）如图，，要使则需要补充一个条件，这个条件可以是　　　　　　　　．（只需填写一个） 27．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）如图，已知，，求证：． 28．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）如图，已知，求证： 29．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）（多选）如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥EF，AB=EF，AD=CF. 求证：△ABC≌△FED 30．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等，图中点A、B、C、D在同一条直线上．求手电筒到地面的高度． 31．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．求证：． 32．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在四边形中，，．请你写出一个正确的结论：　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·海南儋州·期中）如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）若，求的长． 34．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）（多选）如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）求证：△EGB≌△EFC； （2）若AB=3，AC=5，求AF的长． 35．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，已知，，．求证：． 36．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）小明晚上出去散步，发现路灯前面有滩水，此时小明刚好在水中能看到路灯，他想估计一下路灯的高度．如图，把水滩看作点，测量出点到路灯底部的距离，，小明的眼睛与地面的距离，，并测得．请你帮助小明计算出路灯的高度． 37．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在和中，，，，点，，，依次在同一条直线上． （1）求证：． （2）若，，求的长． 38．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，点在的边上，用尺规作图：过点作，使． 39．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，，，．求证：． 40．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 41．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是　　　　　　． 42．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，，，，相交于点．求证：． 43．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，、交于点O，，． 求证： （1）； （2）． 44．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，于D，于E，与相交于点O． （1）求证：； （2）若，，求的长． 45．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在四边形中，，，求证：． 46．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，D是上一点，为上一点，连接并延长至F，使，连接． 若______，则． 请从①，②，③，④．这四个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 47．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）（多选）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE． 48．（25-26学年八上·浙江台州·期中）在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，，求的长． 49．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． （1）若，求证：； （2）若，，求的度数． 50．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）：　　　　　　　　，使． 51．（25-26学年八上·浙江台州·期中）阅读下列材料完成下列问题 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，那么将它们的底角顶点分别对应连结起来，就可以得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则． 【基础巩固】 （1）请证明图1的结论成立； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在同一条直线上，与相交于点F，且F恰好为的中点； ①求的度数．②若，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，，，请直接写出与的数量关系是________． 52．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）已知：中，，． （1）如图，点在的延长线上，连，过作于，交于点．求证：； （2）如图，点在线段上，连，过作，且，连交于，连，问与有何数量关系，并加以证明； （3）如图，点在延长线上，且，连接与的延长线交于点，若，请直接写出的值． 53．（25-26学年八上·北京大兴·期中）已知，平分，为上一定点（点与点不重合），过点作，分别与直线，相交于点，． （1）如图1，当绕点旋转，满足时，与的位置关系是________，与的数量关系是________； （2）如图2，当绕点旋转到与的反向延长线相交时，猜想与的数量关系，并证明． 54．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在中，，是边延长线上一点，连接，过作，且，连接交于点．若，则的大小是　　　　　　　　（用含的代数式表示）． 55．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，中，，延长到点，使，作射线于点，并在射线上截取，连接．猜想与的数量关系和位置关系，并证明． 56．（25-26学年八上·海南儋州·期中）如图，，，，，则的度数为　　　　　　． 57．（25-26学年八上·海南儋州·期中）如图，在中，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动　　　　　时，． 58．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）我们在《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些题中经常会转化角和边，进而解决问题． （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为_______． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点，于点，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由． 59．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，为中的外角平分线，于点，为中点，，，则长为　　　　　． 60．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在3×3的正方形网格中，则　　　　　　　　　°． 61．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定箭头形指示牌 素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线，小聪测量了点A到的距离为米，米，米． 素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元． 问题解决 任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由． 任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过200元，请你确定长度的最大值． 62．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图1，为外部一点，连接，已知．现在要求用尺规作图“在内求作一点，使．”下面是两位同学的过程． （1）嘉嘉采用了图2的尺规作图，根据作图痕迹，得到的判定依据是__________；（用字母表示） （2）琪琪想通过“”得到， ①请你帮助她在图1中用尺规作图进行实现；（保留作图痕迹，不写作法） ②求证：． 63．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为　　　　　　　　　． 64．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，，，．求证：． 65．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）①尺规作图，需保留作图痕迹．已知：．求作：，使； ②在用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据的数学原理是：______ 66．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 67．（25-26学年八上·天津河东·期中）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 68．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： （1）； （2）． 69．（25-26学年八上·天津河东·期中）（多选）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 70．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，，延长交于D，，解决下列问题：        （1）________，与的位置关系是________________ （2）动点 P 从点 O 出发，沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为1秒，的面积为S，请用含的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且，是否存在t值，使以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 71．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． （1）如图①，当动点E在边上时，连接、，求证：； （2）如图②，当动点E是边的中点时，判断的形状，并说明理由； （3）如图③，当动点E在边上时，求证：； （4）连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 72．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在等边三角形中，点是延长线上一点，作射线，点关于射线的对称点为点，连接交射线于点． （1）依题意补全图形； （2）连接，． ①求的大小（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 73．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当　　　　　　　　　　s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 74．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，若线段交于点，且为直角三角形，则的长为　　　　　　． 75．（25-26学年八上·广东广州·期中）学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且；②测得；③在的延长线上取点E，使得；④测得的长度为30米． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． 76．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）积累经验：某数学兴趣小组在探究三角形中线的取值范围时，有下面的问题：如图1，在中，，，求中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：如图2，（1）延长到E，使，连接，则有，得，利用三角形三边之间关系得的取值范围为_______；（直接写出结果） 学会运用：（2）如图3，在中，，D，E为边上的点，，连，过点E作的平行线交于F点，若，求证：． 举一反三：（3）在中，D为中点，E为延长线上一点，过点C作的平行线，并在其上取一点F，连，使，若，，直接写出的长． 77．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，是等边三角形，D，E分别为，边上的点，且，，相交于点F，连接并延长到点M，与相交于点G，延长到点N，连接，，若，，点F是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　　　　　　　． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，的平分线为的面积是（     ） A. 7 B. 2 C.  D. 14 2．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（     ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 5．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图中，，，，，是的角平分线．过点作于点，则的周长是（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）在直角中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　　　． 8．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 9．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，的边上有一点，，分别是和的高，连接，且．求证：是的角平分线． 10．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在等腰中，点D是底边边的中点，M，N分别是和上的动点，若，的面积是60，则的最小值　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，点Q为的外角的角平分线上一点，且，于点M． （1）若，，求的面积． （2）求证：． 12．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，已知中，点D在边上，且，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分，      ①     ， 在与中 ， ，      ③     ， ，，且，      ④     ， ， ． 13．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）（多选）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD． （1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF； （2）若AB=21，AD=9，求AE的长． 14．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则长的取值范围是　　　　　　． 15．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． （1）求证：点在的平分线上； （2）用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 16．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，于于F，若，    （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 17．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，为了测量池塘两侧A、B间的距离，在B点同侧选取点C，经测量，然后在的一侧找到一点D，使得为的平分线，且，若的长为8米，则池塘两侧A、B之间的距离为　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，使；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为　　　　　． 19．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图1，的两个外角的平分线相交于点． （1）与的数量关系是________．（直接写出答案） （2）如图2，连接．求证：平分． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．B 7．B 8．B 9．A 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质可得到，从而推出，再由，，据此求解即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．【答案】度 【分析】 本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是a，c边的夹角，然后写出即可． 【详解】 解：∵两个三角形全等， ∴的度数是． 故答案为：． 12．【答案】10 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质，代数式求值，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】 解：∵与全等， ∴，， ∴． 13．【答案】8或4 【分析】 分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：8或4． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 14．【答案】度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．利用三角形内角和定理求得边与边的夹角，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】 解：在左侧三角形中，边与边的夹角为 两个三角形全等，  对应角相等． 由图可知，是边与边的夹角，  的度数是50°． 15．【答案】（1） 如图① 所示，为所求；      （2） 如图② 所示，为所求；      （3） 如图③ 所示，射线为所求． 【分析】 本题考查格点作图，作全等三角形，三角形中线的性质． （1）取格点，连接，使得即可； （2）上取格点，取格点，连接，使得即可； （3）根据三角形中线的性质取中点为M，连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 16．【答案】4或 【分析】 本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，设运动时间为秒，由题意得，，则，然后分当时， 当时，然后根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】 解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可知：或4． 故答案为：或4． 考点02 三角形全等的判定 1．B 2．A 3．C 4．C 5．A 6．D 7．B 8．B 9．D 10．B 11．A 12．D 13．B 14．A 15．D 16．B 17．B 18．B 19．B 20．C 21．C 22．【答案】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 此题考查全等三角形的判定和平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据可得，利用即可证明． 【详解】 略 23．【答案】证明：∵， ∴，即， ，， ∴， ∴． 【分析】 此题考查全等三角形的判定及性质． 可通过全等三角形的判定定理证，再利用全等三角形的性质来得出的结论． 【详解】 略 24．【答案】（答案不唯一） 【分析】 此题考查直角三角形的判定，关键是根据证明解答；根据直角三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：添加， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 25．【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，然后根据即可得证． 【详解】 略 26．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】 解：若添加： ∵，， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 27．【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定定理，利用证明，则可证明． 【详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 28．【答案】证明：在与中 ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等的判定定理得到，再由三角形全等性质即可得证，熟练掌握两个三角形全等判的定定理及性质是解决问题的关键． 【详解】 略 29．【答案】证明： ∵AB∥EE， ∴∠A=∠F， ∵AD=CF， ∴AD+CD=CF+CD，即AC=DF， 又∵AB=EF， ∴△ABC≌△FED. 【分析】 由平行线的性质可得∠A=∠F，根据AD=CF可得AD+CD=CF+CD进而可得AC=DF，利用SAS即可得到答案. 【详解】 略 【点睛】 本题考查平行线的性质及三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 30．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记定理内容即可． 根据入射角等于反射角得到，再证明三角形全等即可． 【详解】 解：由题意得：，        ，        在和中， ，        ． 31．【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 由可得，再由“”即可证明． 【详解】 略 32．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 连接，根据题意可得，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】 解：连接，如下图： 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 33．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行线的性质是解题的关键； （1）由平行线的性质可得，然后根据“”可判定三角形全等； （2）由可得，然后问题可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 34．【答案】（1） 证明：∵EG⊥AD，EF⊥AC， ∴∠EGB=90°=∠EFC， ∴△EGB和△EFC是直角三角形， ∵AE平分∠CAD， ∴∠EAG=∠EAF， ∵EA=EA， ∴△AGE≌△AFE， ∴EG=EF， ∵EB=EC， ∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)， 得证；     （2）AF的长为1      【分析】 （1）先证明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，结合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC； （2）根据Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根据AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在（1）中证得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE， ∴BG=FC，AG=AF， ∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG， ∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5， ∵AB=3， ∴2AF+3=5， ∴AF=1， 即AF的长为1． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AGE≌△AFE是解答本题的关键． 35．【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先通过角度的和差关系得出，再结合已知的，，利用“”判定两个三角形全等． 【详解】 略 36．【答案】路灯的高度为 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，先充分理解题意，则，再运用三角形内角和性质，得出，故，又因为，证明，即可作答． 【详解】 解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故， ∴， 即路灯的高度为． 37．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平行线的性质得，再根据，，证明，即可作答． （2）先由，，得，结合全等三角形的性质得，再把数值代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 由（1）得， 则， ∴． 38．【答案】如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定，是解题的关键．以点C为角的顶点，为角的一条边，作，则即为所求． 【详解】 略 39．【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定． 根据得到，根据即可证明． 【详解】 略 40．【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】 略 41．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．利用“”证明三角形全等的方法即可． 【详解】 解∶∵，， ∴和均为直角三角形， ∵ 若用“”证明，则需要添加的条件是． 故答案为：． 42．【答案】证明：在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得，再根据等边对等角可得结论． 【详解】 略 43．【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴．     （2） 证明：由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用“”证明，从而得出； （2）由（1）得，利用“”证明，从而得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 44．【答案】（1） 证明：∵于D，于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用“”证明，再由全等三角形的性质即可得出结论； （2）先由全等三角形的性质得出，再求出，进而得到的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．【答案】证明：连接，    ∵， ∴在 和 中， ， ∴， ∴， 【分析】 根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，能证明 是解此题的关键． 46．【答案】解：选择①，理由如下： 在和中， ∵，，， ∴， ∴； 选择②，理由如下： ∵， ∴； 选择③，理由如下： 在和中， ∵，，， ∴， ∴； 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】 略 47．【答案】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△ABD与△ACE中， ∵ ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴AD=AE． 【分析】 利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到∠B=∠C． 48．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、余角性质，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】 解：和是由摆动得到， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 49．【答案】（1） 证明：∵． ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由可得，再证明即可解答； （2）先证明，得出，即可求出的值，进而可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 50．【答案】（或，或） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法：、、、、解题即可． 【详解】 解：若添加， 在和中， ∴≌； 若添加， 在和中， ∴≌； 若添加， 在和中， ∴≌． 故答案为：（或，或） ． 51．【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）①； ②2； （3） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）① 首先由得到，进而可求出； ② 由全等三角形的性质得，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】 （1）略 （2）① ， ， 在和中， ， ， ， ； ②作于点，如图所示： ， ， ∵若点为中点， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 52．【答案】（1） 证明：如图1中， ∵于E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2） ， 证明：如图2中，作于H． ∵ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴．     （3）．      【分析】 （1）欲证明，只要证明即可； （2）结论：．如图2中，作于H．只要证明，推出，，由，推出即可解决问题； （3）过作于H．再利用（2）中结论即可解决问题； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图3中，过作于H． 同理可得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，设， 则，， ∴． 【点睛】 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 53．【答案】（1）垂直；相等     （2） 解：，证明如下： 过作交于， ，平分， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ．      【分析】 本题主要考查角平分的概念，四边形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据四边形内角和定理可得，得到；再证明即可求解； （2）过作交于，再根据证明即可． (1) 小问详解： 解：根题意，在四边形中， ， 即， ， 即， 平分， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：垂直；相等； (2) 小问详解： 略 54．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据平角的定义准确计算是解题的关键． 先证明，得出，再根据平角的定义求解即可． 【详解】 ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案是：． 55．【答案】，，理由如下： ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 根据证明三角形全等即可． 【详解】 略 56．【答案】 度 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质及角的和差关系，根据已知条件证明，得出，再利用已知条件通过角的和差关系求得的度数． 【详解】 解：由题意知， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 57．【答案】或 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可分当点在直线的上方时，当点在直线的下方时，进而分类进行求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 由题意可分：当点在直线的上方时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动时间为； 当点在直线的下方时，同理可得：， ∴， ∴点的运动时间为； 综上所述：当点运动或时，有； 故答案为或． 58．【答案】（1）6     （2） ，理由如下： ，， ， 又，则， 又， ， 在与中， ， ， ，， ． ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握了全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用证明，得到，，即可求出； （2）用证明，得到，，由此即可得出、与之间满足的数量关系． (1) 小问详解： 解：，， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ，， ． 故答案为：6． (2) 小问详解： 略 59．【答案】 【分析】 本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 延长、交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，，由题意又知，最后根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】 解：延长、交于点，如图： 为中的外角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又为中点， ， ， ， ， 故答案为：． 60．【答案】180 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和． 【详解】 解：∵在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 61．【答案】任务1：他的说法对，理由如下： 如图，过点B作于点G， 则， 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， ， 最高点B到地面的距离就是线段长； 任务2：CE长度的最大值为米． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定、不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定，学会利用不等式解决实际问题是解题的关键． 任务1：过点B作于点G，利用全等三角形判定方法推出，即可得出结论； 任务2：设米，分别表示出长方形和三角形的面积，根据题意列出不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】 解：任务1：略 任务2：该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形， ，米， 设米，则米， 长方形的面积（平方米）， 的面积（平方米）， 当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时， 由题意得：， 解得：， 故长度的最大值为米． 62．【答案】（1）     （2） ①如图，点M即为所求． ② 证明：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． ∴．      【分析】 （1）由作图知，，，根据即可证明； （2）① 根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以利用“”得到； ② 结合全等三角形的判定可得，在和中，利用三角形内角和定理可得． (1) 小问详解： 解：由作图知，，，又， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：① 略； ② 略． 63．【答案】5 【分析】 本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】 解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 64．【答案】证明：， ， 在和中， ∵ ， ， ． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质，先证，再根据角边角判定得到，即可得到证明． 【详解】 略 65．【答案】①如图所示：     ② 全等三角形的对应角相等 【分析】 ① 第一步：以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点N，M；第二步：画一条射线，以点D为圆心，长为半径画两条弧，一条弧交于点C，另一条弧在上方；第三步：连接，以点C为圆心，长为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于E点；过点E，画射线，则； ② 证明，根据全等三角形对应角相等，即可得． 【详解】 解：① 略 ② 因为，，，所以， 那么，即， 因此在用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中， 依据的数学原理是：全等三角形的对应角相等． 【点睛】 本题考查了尺规作图，涉及全等三角形的判定与性质内容，全等三角形的对应角相等，难度中等． 66．【答案】（1）①；②3；（2）8 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练分类讨论的思想是解题的关键． （1）① 根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案， ② 同理① 证明即可得到答案； （2）过作于E，证明即可得到答案． 【详解】 （1）① 解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴； ② ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：过作于E， ∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴． 67．【答案】（1）；     （2）；     （3） ，理由如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． (1) 小问详解： 解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． (3) 小问详解： 略 68．【答案】（1） 证明：∵，，    ∴， 故．     （2） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．      【分析】 （1）根据，，利用三角形内角和定理计算证明即可． （2）根据，得到即再证明即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 69．【答案】（1）证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）证明：由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF， 在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AF. 【分析】 （1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE； （2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质． 70．【答案】（1）2；     （2）     （3）存在， 或      【分析】 （1）由推导出，利用，得到；然后利用角的关系得到，，，推导出，； （2）分两种情形讨论求解即可① 当点在线段上时，，② 当点在射线上时，，由三角形的面积公式可得出答案； （3）分两种情形求解即可，① 如图2中，当时，．② 如图3中，当时，． (1) 小问详解： 解： ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， (2) 小问详解： 解：，， ，， 由题意，， ① 当点在线段上时，， ． ② 当点在射线上时，， ． 综合以上可得 ； (3) 小问详解： 解：存在．理由如下： ① 如图2中，当时， ，， ．    ， ， 解得； ② 如图3中，当时， ，， ．    ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积，列函数解析式等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 71．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， 即， 在和中， ， ∴；     （2） 是等腰三角形，理由如下： ∵E为的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形；     （3） 证明：过点E作，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴， ∴；     （4）或      【分析】 本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形性质及应用；解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理． （1）由是等边三角形，得，，而，知是等边三角形，有，，可得，，再由边角边的证明方法证明即可； （2）由E为的中点，是等边三角形，得，，又，故，有知，是等腰三角形： （3）过点E作，证明是等边三角形，可得，，即可证，得，从而； （4）分两种情况：当时，由（1）可知，，可得；当时，由（3）可知，，可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：当时，如图， ∴是的中线， ∴， 由（1）知，， ∴； 当时，如图， ∴ ∴， ∴， 由（3）知，， ∴； 综上，的长为或． 72．【答案】（1） 解：图形如下：      （2）①； ②，证明如下： 在线段上取，连接，如图， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，， 由① 知， ，， ∴， ∴， 由① 知，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了轴对称图形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是由表示各个角度从而得到关系． （1）根据题意补全图形即可； （2）① 连接辅助线构造等腰三角形，根据等边三角形的性质，可求解，再根据三角形内角和求解即可； ② 构造辅助线，由角边角的方法证明，可得，，再证明为等边三角形，可得，，再根据角角边的证明方法证明，由此可得，根本边的关系即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 连接，如图， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，， ∵三角形为等边三角形， ∴，， ∴，且， ∴， 即的大小为； ② 略 73．【答案】1或或12 【分析】 本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类． 由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论． 【详解】 解：当E在上，D在上时，即， 则，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ， 当在上，在上时，即， 则，， ， 当到达，在上时，即， 则，， ， ， 故答案为：或或12． 74．【答案】6或 【分析】 由三角函数得出∠A=30°，由直角三角形的性质得出AB=2BC=8，由折叠的性质得出DA=DC=2，FA′=FA，∠DA′F=∠A=30°，设BF=x，则AF=8-x，FA′=8-x，① 当∠BEA′=90°时，由三角函数得出AE=3，得出EF=3-（8-x）=x-5，由直角三角形的性质得出方程，解方程即可； ② 当∠BA'E=90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，证明Rt△BDA'≌Rt△BDC，得出BA′=BC=4，求出∠FA'H=60°，在Rt△BFH中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解： ∴∠A=30°， ∴AB=2BC=8， ∵点D是AC的中点，沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置，线段A′D交AB于点E， 设BF=x，则AF=8-x，FA′=8-x，下面分两种情况讨论: ① 当∠BEA′=90°时，在Rt△ADE中， ∴EF=3-（8-x）=x-5， 在Rt△A'FE中，∵∠FA'E=30°， ∴FA'=2FE，即8-x=2（x-5）， 解得x=6，即BF=6； ② 当∠BA'E=90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，如图所示：    在Rt△BDA'和△BDC中 ∴Rt△BDA'≌Rt△BDC（HL）， ∴BA′=BC=4， ∵∠BA'F=∠BA'E+∠FA'E=90°+30°=120°， ∴∠FA'H=60°， 在Rt△FHA'中， 在Rt△BFH中，∵FH2+BH2=BF2， 解得：x= ，即BF= . 综上所述，BF的长为6或. 故答案为6或. 【点睛】 本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型． 75．【答案】米 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法． 证明，得出，根据，求出米． 【详解】 解：，， ， ∵ ， 在与中 ， ， ， 又， 米． 76．【答案】（1） （2）证明：∵， ∴点是的中点， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵过点E作的平行线交于F点，即， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】 本题主要考查倍长中线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是解题的关键． （1）延长到E，使，连接，根据题意可证，由三角形三边数量关系即可求解； （2）如图所示，延长到点，使得，连接，可证，得到，，结合题意得到，再根据平行线的性质，角度的和差计算即可求解； （3）如图所示，延长交于点，可证，得，，结合题意，运用等角对等边即可求解． 【详解】 解：（1）延长到E，使，连接， ∵是中线， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； （2）略 （3）如图所示，延长交于点， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 77．【答案】② ③ 【分析】 由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，根据角和关系得出，等量代换可得出，再根据三角形外角的定义和性质得出，可判断① 错误；设，通过三角形内角和外角的性质分别表示出，，即可证明，可判断②正确；通过三角形内角和外角的性质分别表示出，可判断④ 错误；延长到，使，先证明，再证明，由全等三角形的性质得出，即可得出，可判断③ 正确． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故① 错误； ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ， ∴，故④ 错误； 延长到，使，连接，如图， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，故③ 正确． 故答案为：② ③ ． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉辅助线的常见做法． 考点03 角的平分线 1．A 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．【答案】4 【详解】 作DE⊥AB，则DE即为所求， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵CD=4，∴DE=4． 8．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴；     （2）4．      【分析】 本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．【答案】证明：∵，分别是和的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 【分析】 本题考查直角三角形全等的判定与角平分线的判定定理．解题关键是通过证明直角三角形全等得到对应边相等，再利用角平分线判定定理完成证明． 【详解】 略； 10．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质定理．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值，根据等面积法求出即可． 【详解】 解： 如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值．     ，点是底边边的中点， ， ∵的面积是60， ∴， ∴， ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，是边上的中点， ， ， ， 解得：， 的最小值， 故答案为：． 11．【答案】（1）     （2） 证明：，， ． 在和中 ， ， ． 在和中 ， ， ． ， ．      【分析】 本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）过点作交于点，根据角平分线的性质定理得到，从而得到的长，利用三角形的面积公式即可得到答案； （2）根据题意易证得和，从而得到，，再利用等量代换即可得到． (1) 小问详解： 解：过点作交于点， 平分，， ， ， ． ， ． (2) 小问详解： 略 12．【答案】（1） 如下图，即为所求，      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行线的判定是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法和作线段的方法，得到点、，然后连接即可； （2）根据角平分线可得，易证得，可得，利用三角形内角和定理可推出，进而得到，最后根据平行线的判定可证得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：平分， ， 在与中， ， ， ， ，，且， ， ， ． 故答案为：①；②；③；④． 13．【答案】（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°， 在Rt△BCE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）； （2）AE的长为15． 【分析】 （1）直接利用“HL”即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF； （2）利用“HL”证明Rt△AFC≌Rt△AEC，再根据（1）中的结论和角平分线的性质可以求得AE的长． 【详解】 （1）略 （2）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°， 在Rt△AFC和Rt△AEC中， ， ∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）， ∴AF=AE， 由（1）知Rt△BCE≌Rt△DCF，则BE=DF， ∵AB=21，AD=9， ∴AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+ DF =AD+2DF=9+2DF=21， 解得，DF=6， ∴AE=AF=AD+DF=9+6=15， 即AE的长是15． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质和角平分线的性质解答． 14．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质，垂线段最短．如图，过点作于点，根据角平分线的性质得，根据垂线段最短，则点与点重合时，最小，于是得到的最小值为．解题的关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【详解】 解：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为， ∴点与点重合时，最小，最小值为， ∴长的取值范围是． 故答案为：． 15．【答案】（1） 证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上；     （2） ，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ．      【分析】 本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出． (1) 小问详解： 略；略； (2) 小问详解： 解：略． 16．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分；     （2）12      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．【答案】8米 【分析】 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．先利用角平分线的性质得出，再利用“”证明，利用全等三角形的性质得出米． 【详解】 解：∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴米． 故答案为：8米 18．【答案】3 【分析】根据作图的过程知：平分，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等，∠A=90°，AP=3即可求解. 【详解】解：结合作图的过程知：平分， 点到的距离等于的长，为， 故答案为． 【点睛】本题考查的是角平分线，熟练掌握角平分线的画法是解题的关键. 19．【答案】（1）     （2） 证明：过点分别作于，于，于，        ，分别是外角的平分线，，，， ，，        ，        ∵，， 在的平分线上， 平分．      【分析】 （1）先根据内外角关系得到，，结合内角和定理得到，再根据角平分线得到，最后根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）过点分别作于，于，于，根据角平分线性质得到， (1) 小问详解： 解：，理由如下， ∵、是的外角， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是外角的平分线， ∴ ， ∵， ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了三角形内外角关系，三角形内角和定理，角平分线性质定理及判定，解题的关键是熟练掌握各知识点及作出辅助线． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等图形的定义，根据完全重合的图形为全等图形进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、这两个图形能够完全重合，它们属于全等图形，故该选项符合题意； B、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，故该选项不符合题意； C、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，故该选项不符合题意； D、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，故该选项不符合题意； 故选：A 2．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，已知两个三角形全等，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键，根据全等三角形的性质可知是边的对角，然后求出即可． 【详解】 解：边的对角度数为：， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形全等的性质、三角形内角和定理．根据三角形全等可得，在中，利用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴在中，， 故选：C． 4．（25-26学年八上·广东广州·期中）已知图中的两个三角形全等，则度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】 解：∵两个三角形全等，在第一个三角形中，为，两边的夹角度数， 在第二个三角形中，为，两边的夹角， ∴． 故选：A． 5．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）已知图中的两个三角形全等，其中的字母表示边长，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求出，再根据三角形全等的性质求解即可得到答案； 【详解】 解：由图形可得， ， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，，，若，， 则等于（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】 解：∵，，  ∴， ∴． 故选：B． 7．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形边长，则（　　） A.  B.  C. 或 D. ，或 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等作出判断即可． 【详解】 解：∵对应角相等， ∴． 故选：B． 8．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】 解：如图所示，， ∵三个三角形是全等三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：B 9．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（     ） A. 经过平移可与重合，平移的距离为的长 B. 将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C. 将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D. 将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，旋转与平移的性质，无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的． 【详解】 解：∵， ∴，，， A、经过平移距离为的长，和重合，点A不重合，故不能与重合，故A选项错误，符合题意； B、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； C、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； D、将绕的中点逆时针旋转，和重合，点A不重合，故不能与重合，正确，不符合题意． 故选：A． 10．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）如图，点F，A，D，C在同一直线上，，，，则等于　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质可得到，从而推出，再由，，据此求解即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·北京大兴·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是a，c边的夹角，然后写出即可． 【详解】 解：∵两个三角形全等， ∴的度数是． 故答案为：． 12．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）已知的三边长为，4，7，的三边长为6，7，．若与全等，求的值． 【答案】10 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质，代数式求值，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】 解：∵与全等， ∴，， ∴． 13．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，，，，P、Q两点分别在线段和射线上运动，且．若与全等，则的长度为　　　　　． 【答案】8或4 【分析】 分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：8或4． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 14．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，两个三角形全等，则的度数是　　　　　　 【答案】度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．利用三角形内角和定理求得边与边的夹角，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】 解：在左侧三角形中，边与边的夹角为 两个三角形全等，  对应角相等． 由图可知，是边与边的夹角，  的度数是50°． 15．（25-26学年八上·吉林白山·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中画，使（点D不与点A重合）； （2）在图②中画，使，其中点E在边上 ； （3）在图③中画出线段，交于点M，使与的面积相等． 【答案】（1） 如图① 所示，为所求；      （2） 如图② 所示，为所求；      （3） 如图③ 所示，射线为所求． 【分析】 本题考查格点作图，作全等三角形，三角形中线的性质． （1）取格点，连接，使得即可； （2）上取格点，取格点，连接，使得即可； （3）根据三角形中线的性质取中点为M，连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 16．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为　　　　　． 【答案】4或 【分析】 本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，设运动时间为秒，由题意得，，则，然后分当时， 当时，然后根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】 解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可知：或4． 故答案为：或4． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·海南儋州·期中）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由图形可知三角形的两边和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形．此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 【详解】 解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：B． 2．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，即可． 【详解】 解：根据题意得：， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即射线是的平分线． 故选：A． 3．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（     ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是 【答案】C 【分析】 甲可根据ASA判定与△ABC全等；乙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案． 【详解】 解：甲三角形夹b边的两角分别与已知三角形对应相等，故根据ASA可判定甲与△ABC全等； 乙三角形50°内角及所对边与△ABC对应相等且均有70°内角，可根据AAS判定乙与△ABC全等； 则与△ABC全等的有乙和甲， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要． 4．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（       ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】 解：BF=EC， A. 添加一个条件AB=DE， 又 故A不符合题意； B. 添加一个条件∠A=∠D 又 故B不符合题意； C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意； D. 添加一个条件AC∥FD 又 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】 本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）如图，，再添加一个条件不一定能使的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，理解并掌握全等三角形的判定条件是解题关键．利用全等三角形判定定理，，对各个选项逐一分析，即可得出答案． 【详解】 解：A.∵，为公共边，若，不符合全等三角形判定定理，不能判定，故该选项符合题意； B.∵，为公共边，若，则，故该选项不符合题意； C.∵，为公共边，若，则，故该选项不符合题意； D.∵，为公共边，若，则，故该选项不符合题意． 故选：A． 6．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，，，如果根据“”判定，那么需要补充的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用全等三角形的判定方法，“SAS”即边角边对应相等，只需找出一对对应边相等即可，进而得出答案． 【详解】 解：需要补充的条件是BF=CE， ∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 故选：D． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 7．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，与相交于点，，添加一个条件，不能证明的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定方法，由边角边，角角边的判断方法判断选项即可． 【详解】 解：∵，， A选项，在与中， ， ∴，故A选项能证明； B选项，若，但不知是否成立，故B选项不能证明； C选项，在与中， ， ∴，故C选项能证明； D选项，若，可得，由C选项可知能证明，故D选项能证明． 故选：B ． 8．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等求解即可． 【详解】 解：由题意可知，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等， 即或， 只有B选项符合. 故选：B． 9．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】 解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 10．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，若，，则，判定的根据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．由，，，则可依据判定，由此可得出答案． 【详解】 解：在和中， ， ∴． 故选：B． 11．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，，且，添加下列条件，不能判断的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】 A.添加，SSA对应相等，不能证明全等，符合题意； B. 添加，SAS对应相等，可以全等，不符合题意； C. 添加，AAS对应相等，可以全等，不符合题意； D. 添加，ASA对应全等，可以全等，不符合题意； 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，HL． 12．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用三角形内角和定理求出∠BAC=90°，利用全等三角形的性质证明∠BED=∠BAD即可解决问题． 【详解】 解：∵∠ABC=40°，∠C=45°， ∴∠BAC=95°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABF=∠EBF， ∵BF=BF，∠BFA=∠BFE=90°， ∴△BFA≌△BFE（ASA）， ∴BA=BE， ∵BD=BD，∠ABD=∠EBD，BA=BE， ∴△BDA≌△BDE（SAS）， ∴∠BED=∠BAD=95°， ∴∠CDE=95°-45°=50°， 故选：D． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 13．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为(     ). A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 不能确定 【答案】B 【分析】 延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=S△ABC，代入求出即可． 【详解】 如图，延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB=∠EPB=90°，BP=BP, ∴△ABP≌△EBP(ASA)， ∴AP=PE， ∴S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP， ∴S△PBC=S△ABC=×1=0.5(cm2)， 故选B. 【点睛】 此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理. 14．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（        ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 【答案】A 【详解】 解：∵AE∥DF， ∴∠A=∠D， ∵AE=DF， ∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC=BD， ∴当AB=CD时，可得AB+BC=BC+CD，即AC=BD， 故选A． 15．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，点D，E分别在线段，上，，相交于点O．给出下面三个结论：①；②若，，，则；③若，，则点在的角平分线上．上述结论中，所有正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握好三角形外角的性质，作辅助线，构造出全等三角形． 由三角形外角的性质可得，，可判断① ；由题意可得，，，可判断② ；连接，根据题意可得，得到，根据题意可得，，得到，得到，，即，从而得到，可判断③ ． 【详解】 解：由三角形外角的性质可得，， ∴，① 正确； ∵，，， ∴， ∴，② 正确； 连接，如下图： 由题意可得，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，即点在的角平分线上，③ 正确． 则正确的为① ② ③ ， 故选：D． 16．（25-26学年八上·海南儋州·期中）如图，这是一个风筝的骨架图，已知，为证明，还需要添加一个条件．同学们纷纷提出建议：①②③④，其中合理的建议有（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定定理，准确掌握定理，清楚不能判定三角形全等是本题的关键．根据全等三角形的判定定理依次判定即可． 【详解】 解：∵， ∴，即 ①，可以用判定，①正确； ②，不可能判定，②错误； ③，可以用判定，③正确； ④，可以用判定，④正确； 故合理的有：① ③ ④共三个． 故选：B． 17．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据“角角边”证明，得到，，从而可得，即可求出答案． 【详解】 解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点B与地面距离为， ， ， 即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 故选：B． 18．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，，要使，还需添加一个条件是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，易得，又公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件． 【详解】 解：∵， ∴， 又公共边， 当时，无法证明，故A不符合题意； 当时，利用SAS证明，故B符合题意； 当时，无法证明，故C不符合题意； 当时，无法证明，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 19．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，的面积为为边上的中线，点是线段的五等分点，点、、是线段的四等分点，点是线段的中点，则四边形的面积为（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【分析】 本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质．根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得，再利用等高模型求得，同理求得，据此求解即可． 【详解】 解：连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点、、是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点、、是线段的四等分点， ∴， ∴， ∵点是线段的五等分点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是线段的五等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：B； 20．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）下面是多媒体上的一道试题，则*处不可以填（       ） 在和中， ，，__________． ． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了添加条件使三角形全等；注意：、不能判定两个三角形全等；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】 解：A、，，添加， ∴，故该选项不符合题意； B、，，添加， ∴，故该选项不符合题意； C、，，添加， ∴不能判断与全等，故该选项符合题意； D、，，添加， ∵，∴，， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 21．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）荡秋千是小朋友喜欢的一项活动．如图，小美坐在秋千的起始位置D处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的A处接住她后用力一推，爸爸在距离地面的C处接住她．若妈妈到的水平距离为，，爸爸在C处接住小美时，C点到距离是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，理解题意及熟知全等三角形的性质与判定是解题关键． 过点C作于点G，证明，可得，，即可求解． 【详解】 解：如图，过点C作于点G， 根据题意得：，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即C点到距离是． 故选：C 22．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知， ，． 求证：． 【答案】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 此题考查全等三角形的判定和平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据可得，利用即可证明． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，点E、F在线段上且F在E的右侧，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ，， ∴， ∴． 【分析】 此题考查全等三角形的判定及性质． 可通过全等三角形的判定定理证，再利用全等三角形的性质来得出的结论． 【详解】 略 24．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是　　　　　　（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 此题考查直角三角形的判定，关键是根据证明解答；根据直角三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：添加， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 25．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，延长至点D，使，过点D作，连接交于点F，若．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，然后根据即可得证． 【详解】 略 26．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）如图，，要使则需要补充一个条件，这个条件可以是　　　　　　　　．（只需填写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】 解：若添加： ∵，， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 27．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）如图，已知，，求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定定理，利用证明，则可证明． 【详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 28．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）如图，已知，求证： 【答案】证明：在与中 ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等的判定定理得到，再由三角形全等性质即可得证，熟练掌握两个三角形全等判的定定理及性质是解决问题的关键． 【详解】 略 29．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）（多选）如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥EF，AB=EF，AD=CF. 求证：△ABC≌△FED 【答案】证明： ∵AB∥EE， ∴∠A=∠F， ∵AD=CF， ∴AD+CD=CF+CD，即AC=DF， 又∵AB=EF， ∴△ABC≌△FED. 【分析】 由平行线的性质可得∠A=∠F，根据AD=CF可得AD+CD=CF+CD进而可得AC=DF，利用SAS即可得到答案. 【详解】 略 【点睛】 本题考查平行线的性质及三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 30．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等，图中点A、B、C、D在同一条直线上．求手电筒到地面的高度． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记定理内容即可． 根据入射角等于反射角得到，再证明三角形全等即可． 【详解】 解：由题意得：，        ，        在和中， ，        ． 31．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 由可得，再由“”即可证明． 【详解】 略 32．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在四边形中，，．请你写出一个正确的结论：　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 连接，根据题意可得，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】 解：连接，如下图： 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 33．（25-26学年八上·海南儋州·期中）如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行线的性质是解题的关键； （1）由平行线的性质可得，然后根据“”可判定三角形全等； （2）由可得，然后问题可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 34．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）（多选）如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）求证：△EGB≌△EFC； （2）若AB=3，AC=5，求AF的长． 【答案】（1） 证明：∵EG⊥AD，EF⊥AC， ∴∠EGB=90°=∠EFC， ∴△EGB和△EFC是直角三角形， ∵AE平分∠CAD， ∴∠EAG=∠EAF， ∵EA=EA， ∴△AGE≌△AFE， ∴EG=EF， ∵EB=EC， ∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)， 得证；     （2）AF的长为1      【分析】 （1）先证明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，结合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC； （2）根据Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根据AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在（1）中证得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE， ∴BG=FC，AG=AF， ∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG， ∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5， ∵AB=3， ∴2AF+3=5， ∴AF=1， 即AF的长为1． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AGE≌△AFE是解答本题的关键． 35．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先通过角度的和差关系得出，再结合已知的，，利用“”判定两个三角形全等． 【详解】 略 36．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）小明晚上出去散步，发现路灯前面有滩水，此时小明刚好在水中能看到路灯，他想估计一下路灯的高度．如图，把水滩看作点，测量出点到路灯底部的距离，，小明的眼睛与地面的距离，，并测得．请你帮助小明计算出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，先充分理解题意，则，再运用三角形内角和性质，得出，故，又因为，证明，即可作答． 【详解】 解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故， ∴， 即路灯的高度为． 37．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在和中，，，，点，，，依次在同一条直线上． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平行线的性质得，再根据，，证明，即可作答． （2）先由，，得，结合全等三角形的性质得，再把数值代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 由（1）得， 则， ∴． 38．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，点在的边上，用尺规作图：过点作，使． 【答案】如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定，是解题的关键．以点C为角的顶点，为角的一条边，作，则即为所求． 【详解】 略 39．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定． 根据得到，根据即可证明． 【详解】 略 40．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】 略 41．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．利用“”证明三角形全等的方法即可． 【详解】 解∶∵，， ∴和均为直角三角形， ∵ 若用“”证明，则需要添加的条件是． 故答案为：． 42．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，，，，相交于点．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得，再根据等边对等角可得结论． 【详解】 略 43．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，、交于点O，，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴．     （2） 证明：由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用“”证明，从而得出； （2）由（1）得，利用“”证明，从而得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 44．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，于D，于E，与相交于点O． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵于D，于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用“”证明，再由全等三角形的性质即可得出结论； （2）先由全等三角形的性质得出，再求出，进而得到的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在四边形中，，，求证：． 【答案】证明：连接，    ∵， ∴在 和 中， ， ∴， ∴， 【分析】 根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，能证明 是解此题的关键． 46．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，D是上一点，为上一点，连接并延长至F，使，连接． 若______，则． 请从①，②，③，④．这四个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】解：选择①，理由如下： 在和中， ∵，，， ∴， ∴； 选择②，理由如下： ∵， ∴； 选择③，理由如下： 在和中， ∵，，， ∴， ∴； 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】 略 47．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）（多选）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE． 【答案】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△ABD与△ACE中， ∵ ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴AD=AE． 【分析】 利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到∠B=∠C． 48．（25-26学年八上·浙江台州·期中）在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、余角性质，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】 解：和是由摆动得到， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 49．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． （1）若，求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵． ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由可得，再证明即可解答； （2）先证明，得出，即可求出的值，进而可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 50．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）：　　　　　　　　，使． 【答案】（或，或） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法：、、、、解题即可． 【详解】 解：若添加， 在和中， ∴≌； 若添加， 在和中， ∴≌； 若添加， 在和中， ∴≌． 故答案为：（或，或） ． 51．（25-26学年八上·浙江台州·期中）阅读下列材料完成下列问题 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，那么将它们的底角顶点分别对应连结起来，就可以得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则． 【基础巩固】 （1）请证明图1的结论成立； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在同一条直线上，与相交于点F，且F恰好为的中点； ①求的度数．②若，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，，，请直接写出与的数量关系是________． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）①； ②2； （3） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）① 首先由得到，进而可求出； ② 由全等三角形的性质得，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】 （1）略 （2）① ， ， 在和中， ， ， ， ； ②作于点，如图所示： ， ， ∵若点为中点， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 52．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）已知：中，，． （1）如图，点在的延长线上，连，过作于，交于点．求证：； （2）如图，点在线段上，连，过作，且，连交于，连，问与有何数量关系，并加以证明； （3）如图，点在延长线上，且，连接与的延长线交于点，若，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：如图1中， ∵于E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2） ， 证明：如图2中，作于H． ∵ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴．     （3）．      【分析】 （1）欲证明，只要证明即可； （2）结论：．如图2中，作于H．只要证明，推出，，由，推出即可解决问题； （3）过作于H．再利用（2）中结论即可解决问题； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图3中，过作于H． 同理可得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，设， 则，， ∴． 【点睛】 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 53．（25-26学年八上·北京大兴·期中）已知，平分，为上一定点（点与点不重合），过点作，分别与直线，相交于点，． （1）如图1，当绕点旋转，满足时，与的位置关系是________，与的数量关系是________； （2）如图2，当绕点旋转到与的反向延长线相交时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1）垂直；相等     （2） 解：，证明如下： 过作交于， ，平分， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ．      【分析】 本题主要考查角平分的概念，四边形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据四边形内角和定理可得，得到；再证明即可求解； （2）过作交于，再根据证明即可． (1) 小问详解： 解：根题意，在四边形中， ， 即， ， 即， 平分， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：垂直；相等； (2) 小问详解： 略 54．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在中，，是边延长线上一点，连接，过作，且，连接交于点．若，则的大小是　　　　　　　　（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据平角的定义准确计算是解题的关键． 先证明，得出，再根据平角的定义求解即可． 【详解】 ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案是：． 55．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，中，，延长到点，使，作射线于点，并在射线上截取，连接．猜想与的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】，，理由如下： ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 根据证明三角形全等即可． 【详解】 略 56．（25-26学年八上·海南儋州·期中）如图，，，，，则的度数为　　　　　　． 【答案】 度 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质及角的和差关系，根据已知条件证明，得出，再利用已知条件通过角的和差关系求得的度数． 【详解】 解：由题意知， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 57．（25-26学年八上·海南儋州·期中）如图，在中，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动　　　　　时，． 【答案】或 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可分当点在直线的上方时，当点在直线的下方时，进而分类进行求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 由题意可分：当点在直线的上方时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动时间为； 当点在直线的下方时，同理可得：， ∴， ∴点的运动时间为； 综上所述：当点运动或时，有； 故答案为或． 58．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）我们在《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些题中经常会转化角和边，进而解决问题． （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为_______． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点，于点，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）6     （2） ，理由如下： ，， ， 又，则， 又， ， 在与中， ， ， ，， ． ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握了全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用证明，得到，，即可求出； （2）用证明，得到，，由此即可得出、与之间满足的数量关系． (1) 小问详解： 解：，， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ，， ． 故答案为：6． (2) 小问详解： 略 59．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，为中的外角平分线，于点，为中点，，，则长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 延长、交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，，由题意又知，最后根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】 解：延长、交于点，如图： 为中的外角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又为中点， ， ， ， ， 故答案为：． 60．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在3×3的正方形网格中，则　　　　　　　　　°． 【答案】180 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和． 【详解】 解：∵在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 61．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定箭头形指示牌 素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线，小聪测量了点A到的距离为米，米，米． 素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元． 问题解决 任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由． 任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过200元，请你确定长度的最大值． 【答案】任务1：他的说法对，理由如下： 如图，过点B作于点G， 则， 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， ， 最高点B到地面的距离就是线段长； 任务2：CE长度的最大值为米． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定、不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定，学会利用不等式解决实际问题是解题的关键． 任务1：过点B作于点G，利用全等三角形判定方法推出，即可得出结论； 任务2：设米，分别表示出长方形和三角形的面积，根据题意列出不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】 解：任务1：略 任务2：该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形， ，米， 设米，则米， 长方形的面积（平方米）， 的面积（平方米）， 当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时， 由题意得：， 解得：， 故长度的最大值为米． 62．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图1，为外部一点，连接，已知．现在要求用尺规作图“在内求作一点，使．”下面是两位同学的过程． （1）嘉嘉采用了图2的尺规作图，根据作图痕迹，得到的判定依据是__________；（用字母表示） （2）琪琪想通过“”得到， ①请你帮助她在图1中用尺规作图进行实现；（保留作图痕迹，不写作法） ②求证：． 【答案】（1）     （2） ①如图，点M即为所求． ② 证明：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． ∴．      【分析】 （1）由作图知，，，根据即可证明； （2）① 根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以利用“”得到； ② 结合全等三角形的判定可得，在和中，利用三角形内角和定理可得． (1) 小问详解： 解：由作图知，，，又， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：① 略； ② 略． 63．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】 解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 64．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，，，．求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ∵ ， ， ． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质，先证，再根据角边角判定得到，即可得到证明． 【详解】 略 65．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）①尺规作图，需保留作图痕迹．已知：．求作：，使； ②在用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据的数学原理是：______ 【答案】①如图所示：     ② 全等三角形的对应角相等 【分析】 ① 第一步：以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点N，M；第二步：画一条射线，以点D为圆心，长为半径画两条弧，一条弧交于点C，另一条弧在上方；第三步：连接，以点C为圆心，长为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于E点；过点E，画射线，则； ② 证明，根据全等三角形对应角相等，即可得． 【详解】 解：① 略 ② 因为，，，所以， 那么，即， 因此在用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中， 依据的数学原理是：全等三角形的对应角相等． 【点睛】 本题考查了尺规作图，涉及全等三角形的判定与性质内容，全等三角形的对应角相等，难度中等． 66．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【答案】（1）①；②3；（2）8 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练分类讨论的思想是解题的关键． （1）① 根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案， ② 同理① 证明即可得到答案； （2）过作于E，证明即可得到答案． 【详解】 （1）① 解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴； ② ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：过作于E， ∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴． 67．（25-26学年八上·天津河东·期中）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）；     （2）；     （3） ，理由如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． (1) 小问详解： 解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． (3) 小问详解： 略 68．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，，    ∴， 故．     （2） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．      【分析】 （1）根据，，利用三角形内角和定理计算证明即可． （2）根据，得到即再证明即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 69．（25-26学年八上·天津河东·期中）（多选）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）证明：由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF， 在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AF. 【分析】 （1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE； （2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质． 70．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，，延长交于D，，解决下列问题：        （1）________，与的位置关系是________________ （2）动点 P 从点 O 出发，沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为1秒，的面积为S，请用含的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且，是否存在t值，使以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；     （2）     （3）存在， 或      【分析】 （1）由推导出，利用，得到；然后利用角的关系得到，，，推导出，； （2）分两种情形讨论求解即可① 当点在线段上时，，② 当点在射线上时，，由三角形的面积公式可得出答案； （3）分两种情形求解即可，① 如图2中，当时，．② 如图3中，当时，． (1) 小问详解： 解： ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， (2) 小问详解： 解：，， ，， 由题意，， ① 当点在线段上时，， ． ② 当点在射线上时，， ． 综合以上可得 ； (3) 小问详解： 解：存在．理由如下： ① 如图2中，当时， ，， ．    ， ， 解得； ② 如图3中，当时， ，， ．    ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积，列函数解析式等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 71．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． （1）如图①，当动点E在边上时，连接、，求证：； （2）如图②，当动点E是边的中点时，判断的形状，并说明理由； （3）如图③，当动点E在边上时，求证：； （4）连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， 即， 在和中， ， ∴；     （2） 是等腰三角形，理由如下： ∵E为的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形；     （3） 证明：过点E作，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴， ∴；     （4）或      【分析】 本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形性质及应用；解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理． （1）由是等边三角形，得，，而，知是等边三角形，有，，可得，，再由边角边的证明方法证明即可； （2）由E为的中点，是等边三角形，得，，又，故，有知，是等腰三角形： （3）过点E作，证明是等边三角形，可得，，即可证，得，从而； （4）分两种情况：当时，由（1）可知，，可得；当时，由（3）可知，，可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：当时，如图， ∴是的中线， ∴， 由（1）知，， ∴； 当时，如图， ∴ ∴， ∴， 由（3）知，， ∴； 综上，的长为或． 72．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在等边三角形中，点是延长线上一点，作射线，点关于射线的对称点为点，连接交射线于点． （1）依题意补全图形； （2）连接，． ①求的大小（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：图形如下：      （2）①； ②，证明如下： 在线段上取，连接，如图， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，， 由① 知， ，， ∴， ∴， 由① 知，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了轴对称图形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是由表示各个角度从而得到关系． （1）根据题意补全图形即可； （2）① 连接辅助线构造等腰三角形，根据等边三角形的性质，可求解，再根据三角形内角和求解即可； ② 构造辅助线，由角边角的方法证明，可得，，再证明为等边三角形，可得，，再根据角角边的证明方法证明，由此可得，根本边的关系即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 连接，如图， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，， ∵三角形为等边三角形， ∴，， ∴，且， ∴， 即的大小为； ② 略 73．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当　　　　　　　　　　s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【分析】 本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类． 由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论． 【详解】 解：当E在上，D在上时，即， 则，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ， 当在上，在上时，即， 则，， ， 当到达，在上时，即， 则，， ， ， 故答案为：或或12． 74．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，若线段交于点，且为直角三角形，则的长为　　　　　　． 【答案】6或 【分析】 由三角函数得出∠A=30°，由直角三角形的性质得出AB=2BC=8，由折叠的性质得出DA=DC=2，FA′=FA，∠DA′F=∠A=30°，设BF=x，则AF=8-x，FA′=8-x，① 当∠BEA′=90°时，由三角函数得出AE=3，得出EF=3-（8-x）=x-5，由直角三角形的性质得出方程，解方程即可； ② 当∠BA'E=90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，证明Rt△BDA'≌Rt△BDC，得出BA′=BC=4，求出∠FA'H=60°，在Rt△BFH中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解： ∴∠A=30°， ∴AB=2BC=8， ∵点D是AC的中点，沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置，线段A′D交AB于点E， 设BF=x，则AF=8-x，FA′=8-x，下面分两种情况讨论: ① 当∠BEA′=90°时，在Rt△ADE中， ∴EF=3-（8-x）=x-5， 在Rt△A'FE中，∵∠FA'E=30°， ∴FA'=2FE，即8-x=2（x-5）， 解得x=6，即BF=6； ② 当∠BA'E=90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，如图所示：    在Rt△BDA'和△BDC中 ∴Rt△BDA'≌Rt△BDC（HL）， ∴BA′=BC=4， ∵∠BA'F=∠BA'E+∠FA'E=90°+30°=120°， ∴∠FA'H=60°， 在Rt△FHA'中， 在Rt△BFH中，∵FH2+BH2=BF2， 解得：x= ，即BF= . 综上所述，BF的长为6或. 故答案为6或. 【点睛】 本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型． 75．（25-26学年八上·广东广州·期中）学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且；②测得；③在的延长线上取点E，使得；④测得的长度为30米． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． 【答案】米 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法． 证明，得出，根据，求出米． 【详解】 解：，， ， ∵ ， 在与中 ， ， ， 又， 米． 76．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）积累经验：某数学兴趣小组在探究三角形中线的取值范围时，有下面的问题：如图1，在中，，，求中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：如图2，（1）延长到E，使，连接，则有，得，利用三角形三边之间关系得的取值范围为_______；（直接写出结果） 学会运用：（2）如图3，在中，，D，E为边上的点，，连，过点E作的平行线交于F点，若，求证：． 举一反三：（3）在中，D为中点，E为延长线上一点，过点C作的平行线，并在其上取一点F，连，使，若，，直接写出的长． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴点是的中点， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵过点E作的平行线交于F点，即， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】 本题主要考查倍长中线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是解题的关键． （1）延长到E，使，连接，根据题意可证，由三角形三边数量关系即可求解； （2）如图所示，延长到点，使得，连接，可证，得到，，结合题意得到，再根据平行线的性质，角度的和差计算即可求解； （3）如图所示，延长交于点，可证，得，，结合题意，运用等角对等边即可求解． 【详解】 解：（1）延长到E，使，连接， ∵是中线， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； （2）略 （3）如图所示，延长交于点， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 77．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，是等边三角形，D，E分别为，边上的点，且，，相交于点F，连接并延长到点M，与相交于点G，延长到点N，连接，，若，，点F是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　　　　　　　． 【答案】② ③ 【分析】 由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，根据角和关系得出，等量代换可得出，再根据三角形外角的定义和性质得出，可判断① 错误；设，通过三角形内角和外角的性质分别表示出，，即可证明，可判断②正确；通过三角形内角和外角的性质分别表示出，可判断④ 错误；延长到，使，先证明，再证明，由全等三角形的性质得出，即可得出，可判断③ 正确． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故① 错误； ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ， ∴，故④ 错误； 延长到，使，连接，如图， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，故③ 正确． 故答案为：② ③ ． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉辅助线的常见做法． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，的平分线为的面积是（     ） A. 7 B. 2 C.  D. 14 【答案】A 【分析】 本题主要考查了角平分线性质的应用，解题的关键是求出的高的长度．过D作于G，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】 解：过D作于G，如图所示： ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴ 故选：A． 2．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 【答案】C 【分析】 根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】 解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 【点睛】 此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得到． 3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，三角形面积计算，画出图形，设出水井到土地边沿的距离，根据三角形的面积列出方程，解方程即可． 【详解】 解：三角形闲置土地如图所示，    由题意，设点P到，，的距离为h， ∵， ∴， 又∵的周长为，即， ∴， ∴， 即这口水井到土地边沿的距离是， 故选：C． 4．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（     ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 5．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【分析】 先根据角平分线的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】 解：是的平分线，且， ， ， ， ，即， 解得， 故选：C． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 6．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图中，，，，，是的角平分线．过点作于点，则的周长是（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．先利用角平分线的性质求得，利用证得，求得，，然后利用三角形周长公式即可求解． 【详解】 解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：B． 7．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）在直角中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　　　． 【答案】4 【详解】 作DE⊥AB，则DE即为所求， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵CD=4，∴DE=4． 8．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴；     （2）4．      【分析】 本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，的边上有一点，，分别是和的高，连接，且．求证：是的角平分线． 【答案】证明：∵，分别是和的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 【分析】 本题考查直角三角形全等的判定与角平分线的判定定理．解题关键是通过证明直角三角形全等得到对应边相等，再利用角平分线判定定理完成证明． 【详解】 略； 10．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在等腰中，点D是底边边的中点，M，N分别是和上的动点，若，的面积是60，则的最小值　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质定理．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值，根据等面积法求出即可． 【详解】 解： 如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值．     ，点是底边边的中点， ， ∵的面积是60， ∴， ∴， ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，是边上的中点， ， ， ， 解得：， 的最小值， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，点Q为的外角的角平分线上一点，且，于点M． （1）若，，求的面积． （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：，， ． 在和中 ， ， ． 在和中 ， ， ． ， ．      【分析】 本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）过点作交于点，根据角平分线的性质定理得到，从而得到的长，利用三角形的面积公式即可得到答案； （2）根据题意易证得和，从而得到，，再利用等量代换即可得到． (1) 小问详解： 解：过点作交于点， 平分，， ， ， ． ， ． (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，已知中，点D在边上，且，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分，      ①     ， 在与中 ， ，      ③     ， ，，且，      ④     ， ， ． 【答案】（1） 如下图，即为所求，      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行线的判定是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法和作线段的方法，得到点、，然后连接即可； （2）根据角平分线可得，易证得，可得，利用三角形内角和定理可推出，进而得到，最后根据平行线的判定可证得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：平分， ， 在与中， ， ， ， ，，且， ， ， ． 故答案为：①；②；③；④． 13．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）（多选）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD． （1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF； （2）若AB=21，AD=9，求AE的长． 【答案】（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°， 在Rt△BCE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）； （2）AE的长为15． 【分析】 （1）直接利用“HL”即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF； （2）利用“HL”证明Rt△AFC≌Rt△AEC，再根据（1）中的结论和角平分线的性质可以求得AE的长． 【详解】 （1）略 （2）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°， 在Rt△AFC和Rt△AEC中， ， ∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）， ∴AF=AE， 由（1）知Rt△BCE≌Rt△DCF，则BE=DF， ∵AB=21，AD=9， ∴AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+ DF =AD+2DF=9+2DF=21， 解得，DF=6， ∴AE=AF=AD+DF=9+6=15， 即AE的长是15． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质和角平分线的性质解答． 14．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则长的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质，垂线段最短．如图，过点作于点，根据角平分线的性质得，根据垂线段最短，则点与点重合时，最小，于是得到的最小值为．解题的关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【详解】 解：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为， ∴点与点重合时，最小，最小值为， ∴长的取值范围是． 故答案为：． 15．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． （1）求证：点在的平分线上； （2）用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上；     （2） ，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ．      【分析】 本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出． (1) 小问详解： 略；略； (2) 小问详解： 解：略． 16．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，于于F，若，    （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分；     （2）12      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，为了测量池塘两侧A、B间的距离，在B点同侧选取点C，经测量，然后在的一侧找到一点D，使得为的平分线，且，若的长为8米，则池塘两侧A、B之间的距离为　　　　　　　　　　　． 【答案】8米 【分析】 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．先利用角平分线的性质得出，再利用“”证明，利用全等三角形的性质得出米． 【详解】 解：∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴米． 故答案为：8米 18．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，使；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为　　　　　． 【答案】3 【分析】根据作图的过程知：平分，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等，∠A=90°，AP=3即可求解. 【详解】解：结合作图的过程知：平分， 点到的距离等于的长，为， 故答案为． 【点睛】本题考查的是角平分线，熟练掌握角平分线的画法是解题的关键. 19．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图1，的两个外角的平分线相交于点． （1）与的数量关系是________．（直接写出答案） （2）如图2，连接．求证：平分． 【答案】（1）     （2） 证明：过点分别作于，于，于，        ，分别是外角的平分线，，，， ，，        ，        ∵，， 在的平分线上， 平分．      【分析】 （1）先根据内外角关系得到，，结合内角和定理得到，再根据角平分线得到，最后根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）过点分别作于，于，于，根据角平分线性质得到， (1) 小问详解： 解：，理由如下， ∵、是的外角， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是外角的平分线， ∴ ， ∵， ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了三角形内外角关系，三角形内角和定理，角平分线性质定理及判定，解题的关键是熟练掌握各知识点及作出辅助线． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $