高考预测练 (24&25) 平面向量的数量积及其应用&解三角形（课时作业）-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

高考预测练 高芳预测练（二十四） 平面向量的数量积及其应用 1.已知a·b=1,a=2,a,b的夹角为5，则 7.已知非零向量a,b满足2a=3b,b⊥(2a b),则向量a,b夹角的余弦值为 |a-2b= ( 8.已知向量|a=2,|b=1,|a+2b|=2,则 A.1 B.2 (a,b〉= C.2 D.4 2.(2026·高三校联考阶段练习)已知平面向 9.已知a=(日1，b=(-2,8,若实数入满足 量a、b满足|b|=2a=2,若a⊥(a十b),则 (a-b)⊥b,则A= a与b的夹角为 ( 10.向量AB=(2,1)在向量AC-(0,)的投 A.否 B C. D号 影向量为入AC,则|AB+入AC 3.向量a=(1,2),b=(-2,一1)，那么向量 11.已知向量a=(1,0),b=(1,-√3)，若非零 a一b在a的投影向量为 ( 向量c满足(c,a)=〈c,b〉，则|c一a取最小 A层) B传》 值时，c的坐标为 12.(2026·江西萍乡高一统考期末)已知向量 c(g,) n(--》 a=(1,6+k),b=(-7,k). 4.已知向量a=(x,3),b=(12,x-5),若向量a,b (1)若k=0,试判断向量b与2a一b是否垂 的夹角为钝角，则实数x的范围是( 直； A.(-∞，1) (2)若向量a与b的夹角为钝角，求实数 B.(1,+∞) 的取值范围 C.(-∞，-4)U(-4,1) D.(1,9)U(9,+∞) 5.(2026·河南焦作统考质量检测)若向量a= (4,3一m),b=(1,m)的夹角为锐角，则实数 m的范围是 () A.(-1,)U(层4 B.(-1,4) c(-4,)u(层 1D.(-4,1) 6.(多选)已知平面向量a=(1,x),b=(2x, 3一x),x∈R,则下列说法正确的是() A若a/6,则=一多或x= B若(a+b)la,则x-司 C.当x=3时，向量b在向量a方向的投影 向量为(】 D.若x<0或x>5,则a与b夹角为钝角 242 班级： 姓名： 高芳预测练（二十五） 解三角形 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b, 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, c,已知A=5a-5,6=1,则c等于 bcA=5a=3,6=2,则此三角形的解 的情况是 A.1 B.2 A.有一解 C.3-1 D.√3 B.有两解 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, C.无解 c,已知A=号a=万，6-c=1,则c0sB D.有解但解的个数不确定 ( 7.(多选)△ABC中，内角A,B,C对边长分别 A号 &琴 为a,b,c,下列选项的三角形有两解的是 c n液 ( A.a=14,b=7√3，B=45° 3.(2026·常德校联考质量检测)在△ABC B.a=15,b=20,A=30 中，AB=1,BC=5,cosA= 6,则AC= C.b=47,c=38,B=50° D.b=25,c=13,C=23° A.2 R号 8.在△ABC中，AB=36,∠ABC=至， C.3 0. 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 ∠ACD-子，点D在BC的延长线，且CD- 10,则AD= a,b,c,若a=6,sinA= 3√7 8,cos B= 6,则 9.在锐角△ABC中，a=7,c=8,△ABC的面 b= 积为16√3，则b= A.8 B.5 C.4 D.3 10.在△ABC中，已知a=3,b=4,c=5,则 5.(2026·河南省直辖县级单位质量检测)已 cos A= 知△ABC中，BC=4,AC=4√3，∠A=30°， 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 则∠B= ( ) a,b,c,且2sinB=3sinC,若b-c=1,cosA= A.30° B.30°或150 C.60° D.60°或120° 号则u 243 高考预测练 12.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A, 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ a,b,c,c=√7b且a+2 ccos A=2b, √3cosA=2. (1)求C的值； (1)求A; (2)若△ABC的面积为3√3，求BC边 (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC 的高. 的周长 13.在锐角△ABC中，设边a,b,c所对的角分 别为A,B,C,且a2-b2=bc. (1)证明：A=2B; (2)若a=1,求2b+c的取值范围. : 244与萨同向的单位的量为咒=（停，一号）反向的单位 OP 向童为(-号，青)故选：C 6.C因为a∥b,所以：4m-(-2)×3=0→m= 各所 以a-26=(-号-2）-2(340=(-6，-8》 3, 所以：a-2b=1(-6,-8)川=10. 故选：C 7.D由a=(3,1),b=(0,-1),则a-kb=(3,1+k), 因为a一b与c共线，所以k(1十k)一3k=0,即k2一2k= 0,解得k=0或k=2. 故选：D 8.A由题a=2,则与a同向的单位向量是日，对应坐标 是（合）故选：A 9.BCA项中AD与BC共线，D项中OD与OB共线，B,C项 中两向量不共线，故选：BC 10.BC由已知可得BA=PA-PB=(k,12)-(4,5)=(k-4, 7),CA=PA-PC=(k,12)-(10,k)=(k-10,12-k). 因为A,B,C三点共线，所以BA∥CA, 所以(k一4)(12-k)-7(k-10)=0,整理得2-9k一22 =0,解得k=一2或11.故选：BC 11.答案：3 解析：先利用基底法求出C-C+?CA,再利用数 量积的运算法则即可得解. 因为∠C=90°，所以CB·CA=0, 因为BM=2MA,AC=BC=3, 所以CM-CA+AM-CA+A正-CA+(CB-CA)= +, 3 则cM.CB=(}C+名CA)CB=}1C2=3. 故答案为：3. 12.答案：4 解析：根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理 分析可得结果.由题意可得：D正=AE-AD=}AC AD=是(AB+AD)-Ad. =A成+（分-1）A0=A店-子A6A=4 故答案为：4. 13.答案：(-4,0) 解析：首先计算出a,b,再进行线性运算即可. 因为a十b=(2,3),a-b=(-2,1), 两式相加得2a=(0,4),即a=(0,2),b=a十b-a=(2,1) 所以a一2b=(一4,0)， 故答案为：（一4,0）. 14.答案：士1 解析：由题意，得2a十b=(x,5),所以2a十b=√x2+5 =√26，解得x士1. 故答案为：土1. 35 高考预测练（二十四） 1.C因为a·b=1,a=2,a,b的夹角为号， 所以a·b=,b=2bcos号=1， 解得b=1, |a-2b|=√J(a-2b)2=√a2-4a·b+4b =√4-4×1+4×12=2， 故选：C. 2.D因为b|=2a=2,且a⊥(a十b),所以a·(a十b)= 0,即a2+a·b=0, 所以a·b=-a2=-1, 设a与6的夫角为0，剥os0=0:办。=2-之 a·b 因为0∈[0，π]， 所以0=受即a与b的夫角为经故选：D. 3.A因为a=(1,2),b=(-2,-1),所以a-b=(3,3),则 a-b在a的投影向量的糢为cos(a-b,a)·|a-b| (a-b)·a=9=95 a 55 别ab在a的段彩向要为”·合=（号昌》 故选：A. 4.C由题意得：a·b<0且a与b不共线， 甲+2每猪：1且 所以实数x的范围是（一∞，一4）U(一4,1)， 故选：C. 5.A因向量a=(4,3一m),b=(1,m)的夹角为锐角，则 a·b>0→m2-3m-4<0→-1<m<4, 且a,b不共线，中3-m≠4m>m≠号 综上可知，-1Km号或号<m<4 故选：A. 6.AC对于A:若a∥b,则1×(3-x)=x×2.x→2.x2+x 3=0,解得x=一号或=1.A正确： 对于B:a十b=(2x十1,3)，若(a十b)⊥a,则a·b=0,即 (2:+1)X1十3Xx=0,解得x=一吉，所以B错误：时于 C:当x=3时a=(1,3),b=(6,0), 所以向量b在向量a方向的投影向量为a:b,日 aa 94=品4=（停号）.c运：对于D当=一音 时0=(1-2)6=(-3号) 91 此时a与b的方向相反，此时a与b夹角为π，D错误，故 选：AC. 1 7.答案3 解析：因为2a=3b|且a,b为非零向量，设a=3t(t> 0),则b=2t,又b⊥(2a一b),所以b·(2a一b)=0,则 2b·a-b2=0, 解得b·a=2t2, 设向量a,b的夹角为0，则 b·a 2t2 1 cos0=b1·a-3r×213' 0 即向量a:b夹角的余孩值为子 故答案为：弓 8答案 解析：由|a十2b=2可得(a十2b)2=4, 即(a)2+4a·b+4(b)2=4,即a·b=1, 所以oab=8治-含又abe[0 所以(a,b)=. 3 故答案为经 9.答案：68 7 解析：a=(21).b=(-2.8,则a-b=(号+2x1-8) 由(a-边)Lb,所以-1-4以+8-64入=0，解得A=8 故答案为：68 10.答案：2√2 解析：因为A应·Ad-名A=号 所以向量AB在向量AC的投影向量为 1 A店·AC.A _-2AC-2AC. LACI ACI 1 4 所以A=2,所以AB+入AC=(21)+2(0,2）=(2,2, 所以AB+λAC1=√22+22=2√2. 故答案为：2√2 山.答案（呈） 解析：设c=(x,y), 则由e,a)=c,b,得e。=c:00 c·b 所以e·0=c·b a b 所以y）:.0_》1®，即x=By,化 1 2 2 得x=一√5y. 又c-a=(x1,y), 所以c-a=-1D+层(-子)》广+日 当r=子时，c-a取得最小位号 比时y=-即=（是，》 故参案为：（是，）】 12.解：(1)若k=0,则a=(1,6),b=(-7,0), 故2a-b=2(1,6)-(-7,0)=(9,12), .b·(2a一b)=一7×9十0×12=一63≠0，所以当k=0 时，向量b与2a一b不垂直： (2)由题意知，a·b=1X(一7)十k(6十k)=k2+6k一7，向 量a与b的夹角为钝角，∴k2+6k一7<0，解得一7<k<1, 当a与b反向时，有7=6生<0，解得k= 斗所以 向量a与b的夹角为钝角时，实数k的取值范围是 (-7.)u(41 高考预测练（二十五） 1.B由余弦定理a2=b2十c2一2 bccos A, 将A=子a=5.b=1,代入得3=12+c2-2ac0s号 则有c2-c-2=0,且c>0,解得c=2. 故选：B. 2.D由余弦定理，a2=b2+c2-2 bccos A=b2+c2一bc, 因为b-c=1,a=√7，所以c2+(c+1)2-c(c+1)=7, 即c2十c-6=0,解得c=2或c=一3（舍）， 所以h=3c=2,c0sB2十一炉=十49-故 2ac 2×7X2 选：D 3.C周为△ABC中，AB=1,BC=5,cosA=吾. 所以由余孩定理知，CosA=AB2+AC2-BC2 2AB·AC 即5=1+AC2-5 2AC 化简整理得3AC2-5AC-12=0, 解得AC=3或AC=-专（含去). 故选：C 4.B在△ABC中，0<B<π，因为cosB=16 所以smB=-o面√1-（保）-0. 16 57 则由正弦定理得b sin B sin A ·a= 16×6=5.故选：B. 3√7 5.D因为△ABC中，BC=4,AC=4√3，∠A=30°， 所 sin∠AsinB'sin∠B=4C·sin∠A_45X号 BC AC BC 4 2 因为AC>BC,可得∠B>∠A,即30°<∠B<180°， 所以∠B=60°或120°.故选：D. 6.A由 sinA—E得sin·smAy2义 2 又u>b,A=于，故B只能为锐角，即B=至，故该三角形 4 只有一解.故选：A. 7.ABD易知A、B、C∈(0，π)，A+B+C=180 对于A,由正孩定理可如mA-台nB-誓∈（停号》 由正弦函数的图象与性质可得45°<A<60°或120°<A< 135°， 又>b→A>B,则A有两个解，即A正确： 对于B.同snB或名snA=号∈（号号）→30<B< 45°或135°<B<150°，又a<b→A<B,则B有两个解，即 B正确，对子C,同得sinC=云sinB=得sm50< 51 sin50°，且c<b→C<B→C<50°， 故C只有一解，即C错误；对于D,如图所示AD⊥BC,则 易知25s5in23<5<13<25,即此时有两解，即D正确. 25 25sin239 C23 B D B' 故选：ABD 8.答案：14 解析：如图所示，在△ABC中，因为AB=3√6，∠ABC= 至∠ACB= 3 由压徐元现知CB品可得始-屏释A-6 23 2 在△ADC中，由AC=6,CD=10且∠ACD=2x 3 由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos 2 3 196,所以AD=14 故答案为：14. B 9.答案：√97 解析：因为a=7,c=8,所以△ABC的面积为2 acsin B= 2×7×8sinB=16尽，解得sinB=4E】 7 又因为△ABC为锐角三角形，所以cosB=√1-sinB= 43 7 7 由余弦定理得b=√a2十c2-2 accos B 49+64-2×7×8x =√97.故答案为：√97. 10.答案：号0.8 解析：已知a=3,b=4,c=5, 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A得，9=16+25-2X 4×5cosA, 解得cosA=32=4 405 11.答案：√5 解析：由于2sinB=3sinC,由正弦定理可得2b=3c, 因为b一c=1解得c=2,b=3, 又cosA=子，由会弦定理得a2=十e2-2 heconA 4+0-2X2X3×号-5. 解得a=√5. 故答案为：√5」 12.解：(1)解法一（辅助角法）第1步：利用辅助角公式化· 简已知等式 351 由inA+5c0sA=2,得分nA+。 2cos A=1, 所以sin(A十于)=1. 第2步：判断角的范围，求出角A的大小 因为0<A<x,所以晋<A十音<5 3 所以A十苔-登故A=否 解法二（同角三角函数的基本关系法） 第1步：利用同角三角函数的基本关系求sinA的值 由sinA十√3cosA=2,得√3cosA=2-sinA, 两边同时平方，得3cos2A=4一4sinA十sin2A, 3(1-sin2A)=4-4sin A+sin2A, 整理，得1-4sinA十4sin2A=0. 1 所以(1-2sinA)2=0,则sinA=2 第2步：求角A的大小 因为0<A<,所以A=吾或A-要 61 当4=文时，sinA十3cosA=2成立，符合条件： 6 当A=时，simA+3cos A=2不成立，不符合条件， 故A=吾 解法三（同角三角函数的基本关系法）第1步：利用同 角三角函数的基本关系求c0sA的值 由sinA十3cosA=2,得sinA=2-√3cosA, 两边同时平方，得sin2A=4-4√3cosA十3cos2A 1-cos2A=4-43cos A+3cos2A, 整理，得3-4√3cosA十4cos2A=0, 所以(5-2c0sA)2=0,则c0sA=尽 21 第2步：求角A的大小 因为0<A<,所以A=吾 (2)第1步：利用正弦定理求B的值 由√2 bsin C=csin2B,得√2 bsin C=2 csin Bcos B, 由正弦定理，得，Ebc=2 cbeos B,.所以cosB=, 2 因为0<B<K,所以B=于 第2步：利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理 求sinC的值 C=x-(A+B)-登 所以sinC=sn径=8n(管+至）=sn吾cos至十 4 第3步：求△ABC的周长 解法一（基本量法）由正弦定理“。 sin A sin B sin C' π 得h-asin B42/2, sin A 7π c=asin C 2sin12 sin A =√6+√2. sin 6 所以△ABC的周长为a+b+c=2十√6+3√2. 解法二（整体思想法）由正弦定理，a。 b sin A sin B sc得AnA平snC a+b+c 2一=4 所以a+b+c=4(sinA+sinB+sin C)=4X(号+2 2 6+②)=2+6+32， 所以△ABC的周长为2十√6+3√2. 13.解：(1)因为a2-b2=bc 所以cosA-+之-d2_-2-c-=b_sinC-snB 2bc 26 2sin B 整理得2 sin Bcos A=sinC-sinB, 文C=π-(A十B),所以sinC=sin[π-(A十B)] =sin(A+B), 所以2 sin Bcos A=sin(A+B)-sinB=sin'A cos B+ cos Asin B-sin B, 整理得sinB=sin Acos B-cos Asin B, 所以sinB=sin(A-B), 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<,0<A<交， 所以-吾<-B<0,所以-吾<A-B<受 因为通数y=si血x在(-受，受)单调递增， 所以B=A一B,即A=2B. (2)由(1)可知，即A=2BC=π一3B, 因为a=1,所以由正孩定理可得，sn2BnB,即 b 2sin Bcos B sin B' 因为B∈(0，x),sinB>0.所以b=2co5B' 又a2-2=c,所以2+c=1,即b十c=六 所以26+c=6叶c+6=方+6=20sB+2aB 0<B<受 因为△ABC为锐角三角形，所以0<2B<受 0<-3B<受 部释否<B<子， 学o9 记1=2cosB,则2b+c=1+1, 1∈(2，w 由对勾函数可知，y=1十】在(2尽)单调递增， 所以2<.帝26十c的取值范用为(9，) 2,3/ 14.解：(1)利用正弦定理由a十2 ccos A=2b可得sinA十 2sin Ccos A=2sin B, 又在△ABC中，易知A十B十C=π，可得A十C=π一B, 所以sin(A+C)=sin(π-B)=sinB; Ep sin A+2sin Ccos A=2sin(A+C)=2sin Acos C+ 2cos Asin C, 可得sinA=2 sin Acos C,显然sinA≠0，所以1= 2cos C, 35 所以cosC= 又Ce0x),可得C=吾： (2)由余弦定理可得cosC=Q2+b2+c21 2ab 2' 代入c=√7b整理可得a2-ab-6b2=0, 解得a=3b或a=-2b(舍)； 所以△ABC的面积为S=2 absin C=3VB,解得b=2. 所以a=6; 设BC边的高为h,则S=2h·BC1=分ah=35,可 得h=√3， 即BC边的高为√3. 高考预测练（二十六） 1.B根据复数的几何意义可得之=√2一√3i,故选B. 2.D因为(1十2i)(1一3i)=7一i,所以在复平面内，复数 (1十2i)(1一3i)对应的点的坐标为(7，一1)，位于第四象 限.故选D. 3.D之=(1+2i)(2-i)=4+3i,z=4-3i,故选D. (1-i)2_1-2i+2 .D由题意之2十2=2·十0-D7 4 所以= 21 故选D. 5.C由=a+i)1士=a-1+a+1)i为纯虚数得 1-i(1-i)(1+i) 2 a一1=0，解得a=1 a+1≠0， 故“a=1"是“复数（a∈R)为纯虚数”的充要条件.故 1-i 选C. 4 4 2 2(1-i) 6.D因为：=a-)=-2i1-D-1中+0+i(1-D =-(1-i)=-1+i, 所以之=一1一i,所以之十之=一1十i-1-i=一2. 故选D. 9+9书+2 7.Dx=1-i 复纸：的共能复级在复手面内所对应的点位于第 四象限， 故选D. 8.A由z(3十i)=3十2023，i2023=i3,得 -3+-88-9-+=告- 3+i(3+i)(3-i) 10 所以1√()+(-）-1. 故选A. 十i0(1-i)a+11一 9.Bx=1+iD(1-iD2 所以1=2x1,4, 2 2 1 解得a=3 故选B. 10.ACA.根据共轭复数的定义，本选项正确；B.取之1=1， 2=,满足之1=2，但≠2，故本选项错误；C.设 之1=a十bi,2=c十di,a,b,c,d∈R,由1=2，得a+bi= c十di,即a=c,b=d,所以a2+b=c2+d形，即1|=之2l, 3