高考预测练 (16) 导数与函数的极值、最值、综合应用（课时作业）-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

高考预测练 高芳预测练（十六） 导数与函数的极值、最值、综合应用 1.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3- C.f(x)在区间(2,4)单调递减，在区间 3ax2+1,则 (一1,2)单调递增 A.当a>1时，f(x)有三个零点 D.x=2是f(x)的极小值点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 5.已知两数f()=3-2x2+2ar-3,若函 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的 数f(x)在(0,2)有极值，则实数a可以为 对称轴 ( D.存在a,使得点(1，f(1))为曲线y=f(x) A.0 B.1 的对称中心 2.已知函数f(x)=x(x一m)2在x=1处有极 c D.2 大值，则m的值为 6.(2026·湖北新高考联考协作体模拟)罗尔 A.1 B.2 中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉 C.3 D.1或3 格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称 3.若函数f(x)=x3-a.x2十4x-8在x=2处 微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定 取得极小值，则a= ( 义域为R的函数f(x)的导函数记为f(x), A.4 B.2 且函数f(x)满足条件①在闭区间[a,b]上 C.-2 D.-4 连续；②在开区间(a,b)内可导；③f(a)= 4.(多选)(2026·哈尔滨高三哈师大附中质量 f(b),那么至少存在一个∈(a,b),使得 检测)如图所示是y=f(x)的导数y= f'()=0.已知函数f(x)=e-ax2-(e-a f'(x)的图象，列结论中正确的有 ( -1)x-1,a∈R在区间(0,1)内有零点，其 中，e=2.718…是自然对数的底数，则实数a 的取值范围为 () 3 A.(3,1) B(分) A.f(x)的单调递增区间是（一1,2）U(4,十o∞) B.x=一1是f(x)的极小值点 c.(2,e-2) D.(e-2,1) 228 班级： 姓名： 7.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数；11.已知函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极 y=f(x)的图象经过点(1,0)(2,0)，如图所 值2. (1)求a,b的值； 示，则列说法中正确结论的序号为 (2)求函数f(x)在区间[一2,3]的最值. ①当一子时函数取得极小值， ②f(x)有两个极值点； ③当x=2时函数取得极小值： ④当x=1时函数取得极大值， 8.若函数f(x)=x3-12x2+36x+1,则f(x) 的极大值点为 9.已知函数f(x)=x3-3x-1在区间[-3,2]的 12.(2026·福建厦门第一次质检)设函数 f(x)=x(e-a)2. 最大值为M,最小值为N,则MV= (1)当a=0时，求f(x)的单调区间； 10.已知函数f(x)=x3+ax十b,且满足f(x) (2)若f(x)是增函数，求a的取值范围； 的导数y=∫(x)的最小值为- (3)当0<a<1时，设x。为f(x)的极小值 41 (1)求a值； 点，证明：<fx,)<0. (2)若函数y=f(x)在区间[一1,2]的最大 值与最小值的和为7，求b值。 2296.答案：a≤2 解析：由y=lnr+&得y'=1-a 由于函数y=lnx十4在[2，十∞)单调递增，故y= x x ≥0在x∈[2，+∞)恒成立，图此在a<x对任意的 x∈[2，十∞)恒成立，所以a2,故答案为：a≤2 7.答案：(-0，） 解析：f(x)=2(x-m)十上(x>0),由题意f(x)>0在 x (1,2)有解， 即m<x十在(1,2)有解， 2x 根搭对匀通数的性质可知)=x十六在(1,2)单调递增， 所以在x=2时取最大值 故m<2+子-是，故实数m的取值范国是(-©，是) 故答案为：(-0，是) 8.答案：1+ln√2/1n√2+1 解析：由函数f(x)=2ax-(x+十2)lnx是(0，+∞)的减 函数， 则f(2)=2a-1nx-+2≤0在(0，+0)恒成立， r 即2a≤1nr+十2在(0，十)恒成立， 设)=ln+1+是则)=是-号 当x∈(0,2)时，g(.x)<0,函数g(.x)单调递减 当x∈(2，十∞)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增， 可得g(.x)min=g(2)=2+ln2,所以a≤1+ln2,即实数 a的最大值为1十ln√2. 故答案为：1十ln√2. 9.答案：(1)函数f(.x)的极大值为-1，无极小值 (2)答案见解析 解析：(1)当a=1时，f(x)=lnx一x,其定义域为(0，十o), “(x)=1-1=1-g x 令(x)=二2=0，则=1. x .当0<x<1时，f(x)>0,f(x)单调递增；当x>1时， f(x)<0,f(x)单调递减， .函数f(x)的极大值为f(1)=一1，无极小值. (2)f(r)=Inx-ar.i.f(r)=I-a=I-at 当a≤0时，f(x)>0,f(x)在(0，十∞)单调递增； 当a>0时，由f(x)=0,得x= a 若0<日则fx)>0,若r>是则fx)0.fx) 单调递减， 当4>0时，(x)的单调递增区间为(0，），单调递减区 间为（日+四）小 综，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，十∞)： 3 当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递 成区间为（合十∞）》 10.解：1)当a=1时fx)=-2nx十22+x f(x)=-2+x+1,所以f(1)=-2+1+1=0,f(1) x =号，南线y=于)在(1，f1)处的切线方程为y=多 (2)f(x)=2+ar+2a2-r+2a)(x-a). ①当a=0时，f'(x)=x>0,所以函数在(0，十∞)单调 递增； ②当a>0时，令f'(x)=0,则x1=-2a(舍)或x2=a, f'(x)<0,0<x<a,当x∈(0，a)时，函数f(x)单调 递减； f'(x)>0,x>a,当x∈(a,十∞)时，函数f(x)单调 递增. ③当a<0时，令f(x)=0,则x1=-2a或x2=a(舍)， f'(x)<0,0<x<一2a,当x∈(0，一2a)时，函数f(x)单 调递减； f(x)>0,x>-2a,当x∈(-2a,十o∞)时，函数f(x)单 调递增. 综所述：当a=0时，函数在(0，十o∞)单调递增； 当a>0时，当x∈(0，a)时，函数f(x)单调递减 当x∈(a,十∞)时，函数f(x)单调递增； 当a<0时，当x∈(0，一2a)时，函数f(x)单调递减； 当x∈（一2a,十o∞)时，函数f(x)单调递增. 高考预测练（十六） 1.AD由题可知，f'(x)=6x(x一a). 对于A,当a>1时，由f(x)<0得0x<a,由f'(x)>0 得x<0或x>a,则f(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0， a)上单调递减，在(a,十o∞)上单调递增，且当x→一∞时， f(x)-∞，f(0)=1,f(a)=-a3+1<0,当x→+o∞ 时，f(x)→十∞，故f(x)有三个零，点，A正确；对于B,当 a<0时，由f(x)<0得a<x<0,由f(x)>0得x>0 或x<a,则f(.x)在（一∞，a)上单调递增，在(a,0)上单调 递减，在(0，十∞)上单调递增，故x=0是f(x)的极小值 点，B错误； 对于C,当x→十∞时，f(x)→十∞，当x→一o∞时，f(x) 一∞，故曲线y=f(x)必不存在对称轴，C错误： 对于D,解法-（配方、平移）f(x)=2.x3-3ax2十1= 20:号0：-受+1管6=号别r 可特化为g0)=2n-号a1+1-号由y=23-号a1 为奇函数，且其图象关于原点对称，可知g(1)的图象关于 点01-受)对称，则f)的因象关于点（台，1-受）对 称，故存在a=2,使得点(1，f(1)为曲线y=f(x)的对称 中心，D正确.故选AD. 解法二（二级结论）任意三次函数f(x)=a.x3+bx2+cx 十da≠0)的图象均关于点(-品f(-品)》成中心时 称，D正确.故选AD. 2.Cf'(x)=(x-m)(3.x-m), .f'(1)=(1-m)(3-m)=0, 0 .n=1或m=3, 当m=1时，f'(x)=(x一1)(3.x一1)， 令了)>0，得x<号或>1： 令f<0,得号<1： 从而f)在(-0，号）单调运增，在（合1）单羽递减， 在(1，十∞)单调递增，所以f(x)在x=1处有极小值，不 合题意， 当m=3时，经检验，满足题意；综，m=3, 故选：C 3.A由题意可得f'(x)=3x2一2ax+4,则f'(2)=3×22 -4a十4=0，解得a=4. 当a=4时，f(x)=3.x2-8.x十4=(x-2)(3.x-2), 当x<号或x>2时f(x)>0,期f(x)在(-0，号）： (2,十∞)单调递增， 当号<r<2时，了(x)<0,则f()在（是2）单调递减， 所以，函数f(x)=r3-a.x2+4r一8在x=2处取得极小 值，此时a=4. 故选：A 4.BC由导函数的图象可知，当一3<x<一1或2x<4 时，f'(x)0;当-1<x<2或x>4时，f'(x)>0;所以 f(x)的单调递增区间为（一1,2）和(4，+∞)，单调递减区 间为（一3,1）和(2,4).故A错误，C正确；所以x=一1或 x=4是f(x)的极小值点；故B正确；所以x=2是f(x) 取得极大值点；故D错误.故选：BC. 5.BC由题意知，f(x)=x2-4x+2a在(0,2)有变号 零点， 又易知f'(x)=x2一4x十2a在(0,2)单调递减，故f'(x) ∈(2a-4,2a), 可得/2a>0, {2a-40.解得0<a<2.故选：BC. 6.D设f(x)在区间(0,1)内的零点为x1,则有f(x1) f(0)=0,由罗尔中值定理可知，存在x2∈(0，工1)，使 f(x2)=0,同理，由f(x1)=f(1)=0及罗尔中值定理可 知，存在x3∈(x1,1),使f(x3)=0,故f(x)=0在(0,1) 上至少有两个不等实根，令g(x)=f(x)=e一2ax一 (e一a-1),则g(x)=e2一2a在(0,1)上单调递增，当a≤ x∈(01)时，g'(x)>0,此时g(x)单调递增，故f(x) 1 =0在(01)上至多只有一个实根：同理可知，当a≥号， x∈(0,1)时，g'(x)0,此时g(x)单调递减，故f'(x)=0 在(01D上至多只有-个实根：当<a<号时，令g() =0,可得x=ln(2a)∈(0,1)，且g(x)在(0，ln(2a)上单 调递减，在n(2a),lD上单词递增，故当<a<号且r∈ (0,1)时g（x)m=gn(2a:又号) =e克+1-e< √2.89+1-e=2.7-e<0,故g(x)mim=g(ln(2a)<0, 则由零点存在定理知(g0)=2十a二Q>0,故e-2<a< g(1)=1-a>0, 1.故选D. 7.答案：②③④ 解析：由图象可知，当x∈（一∞，1）时，f(x)>0;当x∈ (1,2)时，f(x)0;当x∈(2，十∞)时，f(x)>0. 所以函数f(x)在（一∞，1）单调递增，在(1,2)单调递减， -3 在(2，十∞)单调递增， 所以函数f(x)有两个极值点，当x=1时函数取得极大 值，当x=2时函数取得极小值，故①错误，②③④正确. 故答案为：②③④ 8.答案：2 解析：f'(.x)=3.x2-24.x十36=3(.x-2)(x-6), 令f'(x)=0,解得x=2或6， 当x<2或x>6时，f(x)>0,f(x)单调递增， 当2<x<6时，f(x)<0,f(x)单调递减， 故f(x)在x=2取得极大值，故极大值点为2. 故答案为：2 9.答案：一19 解析：因为f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-3,2]， f'(x)>0,1<x≤2或-3x<-1, f'(x)<0,-1x<1, 所以f(.x)在[-3，一1)，(1,2]单调递增，在[-1,1]单调 递减. 因为f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1, 所以M=1,N=-19,故MN=-19. 故答案为：一19 10.解：(1)f(x)=3x2+a,则f(x)的最小值为f(0)=a, 由超意可得a=一是。 （2)由1)可得f)=-是+6re[1,2] 则f(x)=3r2-x∈[-1.2]， 令了x)>0,解得2<r≤2成-1长<-2： 令fx)0,解得-合<分： 则f)在[-1，)，（合2]单调道增， 在（一子）单羽道增。 且f(3)-(3)°-子×含+6=-+bf(-） f-1)=-1-子(-10+6=-是+6f2)=23-是× +b+6： 且-+6子+6<+6： 所以函数y=f(x)在区间[-1,2]的最大值[f(x)]max -2+6漾小值[f门m=+6: 又：函数y=f(x)在区间[-1,2]的最大值与最小值的 和为7， 剥号+6+(-+6)=草+2h=7:解得6=是 11.解：(1)f(x)=a.x3+bx,f(x)=3a.x2+h. :函数f(x)=ax3+bx在x=1处取得极值2， .f(1)=a+b=2,f'(1)=3a+b=0, 解得a=-1,b=3, .f(x)=-x3+3.x, 经验证在x=1处取得极大值2， 故a=-1,b=3. (2)f(x)=-3(x+1)(x-1), 令f(x)>0,解得-1<x<1, 令f(x)<0,解得x>1或x<-1, 因此f(x)在[一2，一1)单调递减，在（一1,1）单调递增， 在(1,3]单调递减， f(3)=-18<f(-1), 故函数f(x)的最小值是一18， f(-2)=2=f(1),故函数f(.x)的最大值是2. 12.解：(1)当a=0时，f(x)=xe2x,f'(x)=(2x+1)e2x, 当x∈(-∞，-)时f()<0,f)单调造减， 当x∈(-，+∞)时fr)>0fr)单训递增. 所以f(x)的单调递增区间为(-，十∞），单调递减区 同为(-0，-）. (2)由题意，知f'(x)=(ex-a)(2xe十e2-a),设g(x) =2xe+e-a,则g'(x)=2e2+2xe2+e=(2x+3)e2, 当x(--）时，g(x)0g)单润道减， 当xe(-号，十o∞)时g)>0gc)单调遂增， 当x=一是时g()取得极小位g(-受）=一2e十-a (i)当a≤-2e时，g(x)≥0，e-a>0,所以f(x)>0, f(x)单调递增，符合题意； (i)当-2e音<a≤0时，y=e2-a>0,又g(x)存在零 点，即存在区间使得g(x)<0,所以f(x)≥0不恒成立， 不合题意， (i)当a>0时，若f(x)≥0，因为y=e-a的零点为 x=na,且g(-2）=-2e年-a<0, 所以g(x)与y=ex一a有唯一相同零点且零点两侧函数 值符号相同， 所以g(lna)=2alna=0,解得a=1, 此时，当x>0时2.xex十e2一1>er一1>0： 当x<0时2rex+ex-1<ex-1<0, 则f'(x)≥0. 综上，a的取值范围为(-∞，-2e)U{1}. (3)送明：当0<a<1时g(-2）=-a<0R0)>0, 设1为R(x)的率点，则一<<0 因为g(lna)=2alna<0,所以x1>lna, 所以当x∈(-∞，lna)时，y=er-a<0,g(x)<0, 所以f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(lna,x1)时，y=ex-a>0,g(x)<0, 所以f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(x1,+o∞)时，y=e2-a>0,g(x)>0, 所以f(x)>0,f(x)单调递增， 所以x1=.x0,且2x0e2。十e0一a=0, 即e2o-a=一2 roezo, 所以f(x0)=(e20-a)2x0=(-2.x0e20)2x0=4.x8e2, 设()=4e2(-2<<0)小 则h'(.x)=4(2.x+3)x2e2x>0, 则h(x)单调递增， 所以h(x)<h(0)=0,h(x)>h(-号）=-28 所以-品0<0. 3 高考预测练（十七） 1.C与43°角终边重合的角为：a=43°+k·360°(k∈Z),则 当k=一1时，α=一317°，故C正确，经检验，其他选项都 不正确.故选：C 2,A因为40°=40X80rad,所以该扇形的面积为S= 号×(10×40)×92=9x故选：A 3.C当k=2m(m∈Z)时，2nx+下≤a≤2mx+交，n∈Z,此 4 时&表示的范围与买≤Q≤受表示的范因一样：当k 2n十1(n∈Z)时，2mx十x+平≤a≤2nm十n+受，n∈Z,此 时a表示的范国与十元≤a≤受十n表示的范国一样，故 选：C. 4.C因为角α第二象限角，所以90°+k·360°<a<180°+ k·360°(k∈Z), 所以45°+k·180°<g<90°+k·180(k∈Z), 2 当为是偶数时，设k=2n(n∈Z,则45+n·360<号< 90°+n·360°(n∈Z), 此时号为第一象限角： 当k是奇数时，设k=2n+1(n∈Z),则225°十n·360°< 号<270十n·360(n∈Z),光时号为第三象限角：综上 所述：受为第一象限角或第三象限角， 因为c0s受=-c0s受，所以c0号≤0，所以受为第三 象限角.故选：C 5.A设扇形的半径为r,圆心角为α(0<a<2π)，由题意， 2r+r&=10 由2r十=10符代入a 得2ad2-17a十8=0，解得a=号或a=8(含去》 故扇形圆心角的孤度数为弓 故选：A CP(誓加)在单位国即(-}+m=1m 11 号=告.m=土25终边在第三象限所以m<0,m号 5 25,片以P(-写，2)所以m=m=25故 5 5 5 选：C 7.D设直线y=2x任意一点P的坐标为(m,2m)(n≠0)， 则OP=√m2+(2m)2=√5m(O为坐标原点)， 根据正弦画敏的定义得：sina=义=2m= 2m OP 5m m>0时，sina=29;m<0时，sina= 2W5 25,所以选项 D正确，选项A,B,C错误，故选：D. 8.CD已知角a的终边经过点P(-4m,3m)(m≠0) 所以sin&= 3m 3m V-4n)2+(3m元= 15mT cos a 一4n -4n √(-4m)2+(3m)215m 42