2.3用频率估计概率 加强练习 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 初中数学“用频率估计概率”同步练，通过基础巩固、问题解决、综合实践三层设计，实现从概念理解到实际应用的进阶，培养数据意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|频率与概率概念、简单估计|选择1结合树苗成活频率图，填空7-10通过统计数据直接估计概率，强化数据意识| |提升层|频率估计概率的应用计算|解答11摸球试验三问递进，从概率估计到数量计算再到动态调整，提升运算能力| |综合层|跨情境综合决策|综合12维修服务决策问题，结合频数分布计算平均费用，体现用数学思维解决实际问题的应用意识|

2.3用频率估计概率 加强练习 一、选择题 1．行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种．国槐是我市常见的行道树品种．下图是一批国槐树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 2．下列说法中，正确的是（　　） A．通过少量重复试验，可以用频率估计概率 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．概率很小的事件不可能发生 3．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（　　） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 4．（初中数学北师大版九年级上册第三章 概率的进一步认识 (6)）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（　　） A．16个 B．14个 C．20个 D．30个 5．某鱼塘里养了1600条鲤鱼、若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则从该鱼塘捞到鲤鱼的概率约为（　　） A． B． C． D． 6．在一次用频率估计概率的试验中，甲、乙两名同学统计了某一结果出现的频率，绘制的统计图如图2-4所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）. A．抛一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有除颜色外其他均相同的2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面向上的概率 D．在的所有整数中取一个数，这个数能被2整除的概率 二、填空题 7．如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为　 　．（精确到0.1） 8．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有5个白球，其余是黄球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色，再放回袋子通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则黄球的个数约是　 　． 9．数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如表数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 钉尖朝上次数 5 15 36 205 403 由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为　 　．（精确到0.1） 10．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数(n) 10 20 50 100 200 500 …… 击中靶心的次数(m) 8 17 45 92 182 453 …… 击中靶心的频率() 0.80 0.85 0.90 0.92 0.91 0.906 …… 由此表估计这个射手射击1次，击中靶心的概率是　 　(保留一位小数)． 三、解答题 11．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为　 　（精确到0.1） . （2）估算盒子里有白球多少个？ （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个。每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 12．公司在购买某种机器时，往往会给每台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.此类机器一般使用期为五年，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，则每次实际维修时还需支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修服务费为5000元（含工时费）.甲公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在五年使用期内的维修次数，整理得下表： 维修次数 8 9 10 11 12 频数（台数） 10 20 30 30 10 （1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在五年使用期内维修次数不大于10”的概率. （2）试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务更省钱？ 13． 下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况． 抽取的排球数 合格品数 合格品频率 （1）求出表中　 　 ，　 　 ． （2）从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是　 　精确到 （3）如果生产个排球，那么估计该厂生产的排球合格的有多少个？ 四、综合题 14．某班六一节联欢会设计了即兴表演节目的摸球游戏，用一个不透明的盒子，里面装有四个分别标有数字1、2、3、4的乒乓球，这些球除数字外，其它完全相同．游戏规则是：参加联欢会的所有同学从盒子中随机一次摸出两个球（每位同学只能摸一次），如果两球上的数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节；否则，下个同学接着做摸球游戏依次进行． （1）用树状图表示所有等可能的结果； （2）求参加联欢会的同学表演即兴节目的概率． 15．有若干张背面完全相同的卡片，王芬每次随机抽取一张卡片，记录下卡片正面上的字母，然后放回，重复这样的试验次，记录结果如表： 试验总次数 抽取的卡片上为的次数 抽取的卡片上为的频率 （1）填空：表中　 　； （2）从这些卡片中随机抽取一张，请估计它正面上的字母为的概率．（结果保留一位小数） 16．为庆祝“六·一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．如表是该活动的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 138 355 560 b 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 a 0.71 0.70 0.70 根据以上信息回答下列问题： （1）　 　，　 　； （2）试估计：假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是　 　．（结果精确到0.1） （3）若“六·一”儿童节期间共有300名顾客参与此次“转盘”活动，试估计超市大概需拿出　 　个文具盒作为奖品． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90． 故答案为：B 【分析】根据频率估计概率，结合图像可知随着树苗数量上升，树苗成活的频率稳定在0.9，进而可得成活的概率估计值为0.9。 2．【答案】B 【解析】【解答】解： A：通过少量重复试验，可以用频率估计概率，说法错误，需要通过大量重复试验，故不符合题意 B：事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，说法正确，符合题意 C：某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖，说法错误，根据生活常识可知，故不符合题意 D：概率很小的事件不可能发生，说法错误，概率很小的事件也可能发生只是发生的可能性小而已，故不符合题意 故答案为：B 【分析】了解概率的定义，了解事件的可能性，会用频率估算概率的大小。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、试验次数越多，f不一定越大，A错误； B、f可能发生变化，P不会发生变化，B错误； CD、试验次数越多，事件发生的频率f 就稳定在相应的概率P 附近，C错误，D正确. 故答案为：D. 【分析】每一组数据频数与数据总数的比叫做这一组数据（或事件）的频率；事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率；在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，据此一一判断得出答案. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得： =0.3， 解得：x=14， 故选B． 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：设草鱼条数为x， ∵ 捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右， ∴=0.5， 解得x=2400， ∴ 从该鱼塘捞到鲤鱼的概率约为=. 故答案为：C. 【分析】根据捕捞到草鱼的频率可求出草鱼条数，即得放入鱼塘中鱼的总数量，再求其概率即可. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：从图2-4中可以看出，该事件发生的概率约为33%； 选项A发生的概率为，选项B发生的概率为，选项C发生的概率为0.5，选项D发生的概率为0.5，所以选B. 【思路点拨】本题考查概率的估计值以及概率的理论值的计算方法，在给出的选项中，要找到结果与所得概率的估计值相近的选项，需分别计算它们的概率的理论值. 【反思】用事件发生的频率估计概率，必须进行大量的重复试验.当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就会稳定在相应的概率附近，我们就可以用这个频率来估计概率. 7．【答案】0.9 【解析】【解答】解：∵观察表格得到：发芽的频率逐渐稳定在0.9， ∴该植物的种子发芽的概率为0.9， 故答案为：0.9. 【分析】观察表格得到：发芽的频率逐渐稳定在0.9，进而用频率估计概率即可. 8．【答案】20 【解析】【解答】解：通过题意可知，摸到白球的概率为0.2， ∴小球的总数为5÷0.2=25(个)， ∴黄球的个数为25-5=20(个). 故答案为：20. 【分析】根据题意可知摸到白球的概率为0.2，根据概率公式求出小球的总数，即可得到黄球的个数. 9．【答案】0.4 【解析】 【解答】解：表中钉尖朝上的频率分别为： ， 图钉钉尖朝上的频率稳定在0.4左右， 图钉钉尖朝上的概率约为0.4. 故答案为：0.4. 【分析】根据表中的数据计算出实验中得到的图钉钉尖朝上的频率，然后再利用频率估计概率即可求解. 10．【答案】0.9 【解析】【解答】解： 从表中数据可知， 击中靶心的频率在0.9上下浮动，所以可以得出 击中靶心的概率0.9 。 故答案为：0.9. 【分析】分析击中靶心的频率集中在哪个数据上下浮动，由此得出概率。 11．【答案】（1）0.6 （2）40×0.6=24（个）. 答： 盒子里有白球24个 . （3）解：由题意得：=0.5， 解得x=10， 答： 可以推测出x最有可能是10. 【解析】【解答】解：（1）由表格知的数据知： 估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6. 故答案为：0.6. 【分析】（1）同样条件下，大量反复实验 时，随机事件发生的频率稳定在概率附近，从而估计出概率. （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得解； （3）利用概率公式和摸到白球的个数列出方程并解之即可. 12．【答案】（1）解：“1台机器在五年使用期内维修次数不大于10”的概率＝＝0.6． （2）解：购买10次时， 某台机器使用期内维修台数 8 9 10 11 12 该台机器维修费用 24000 24500 25000 30000 35000 此时这100台机器维修费用的平均数 y1＝×(24000×10＋24500×20＋25000×30＋30000×30＋35000×10)＝27300． 购买11次时， 某台机器使用期内维修台数 8 9 10 11 12 该台机器维修费用 26000 26500 27000 27500 32500 此时这100台机器维修费用的平均数 y2＝×(26000×10＋26500×20＋27000×30＋27500×30＋32500×10)＝27500． 因为27300＜27500，所以选择购买10次维修服务更省钱． 【解析】【分析】(1)利用概率公式计算即可； (2)分别求出购买10次，11次的费用即可判断. 13．【答案】（1）0.942；1898 （2）0.95 （3）解：个． 答：估计该厂生产的排球合格的有个． 【解析】【解答】解：（1）471÷500＝0.942，2000×0.949＝1898． 故答案为：0.942，1898； （2）由题意知，从这批排球中任意抽取一个是合格品的概率估计值是0.95； 故答案为：0.95； 【分析】（1）基本关系：合格率=合格品数÷描取格品数 ×100%，据此求解； （2）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率，据此求解。 （3）用样本的合格率估计总体的合格率，利用合格数量=总数量×合格率，据此求解即可。 14．【答案】（1）解：用树状图表示所有等可能的结果： （2）解：共有12种等可能的情况，其中两球上数字之和是偶数的可能情况有4种， 所以参加联欢会的同学表演即兴节目的概率， 【解析】【分析】本题考查用树状图表示所有可能的结果，求出现A事件的概率。用树状图表示时，要理清题目的要求，当摸中1号时，第二个球有（1，2）（1，3）（1，4）3种情况；当摸中2号、3号、4号时，也是分别有3种情况，一共有12种情况，其中，两个数字之和是偶数的情况有4种，则参加联欢会的同学表演即兴节目的概率是p=. 15．【答案】（1）0.51 （2）解：通过图表给出的数据得出，估计它正面上的字母为的概率大约是． 【解析】【解答】解：（1）m=255÷500=0.51； 故填：0.51. 【分析】（1）用频数除以实验次数即可求得 m 的值； （2）在同样条件下，大量反复试验时，估计它正面上的字母为 A 的频率都在0.5左右，估计它正面上的字母为 A 的概率． 16．【答案】（1）0.69；700 （2）0.7 （3）90 【解析】【解答】解：（1）∵，b=1000×0.7=700， 故答案为：0.69，700； （2）∵当转动转盘的次数n很大时，落在“铅笔”区域的频率稳定在0.7， ∴去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.7， 故答案为：0.7； （3）∵转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.7， ∴转动转盘一次，获得文具盒的概率大约是1-0.7=0.3， ∵300×0.3=90， ∴300名顾客参与此次“转盘”活动，估计有90人获得文具盒， ∴估计超市大概需拿出90个文具盒作为奖品， 故答案为：90． 【分析】（1）根据频率公式计算即可得出结论； （2）根据大量重复实验的频率估计获得铅笔的概率即可； （3）先根据获得铅笔的概率，求出获得文具盒的概率，然后计算所需文具盒的数量即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $