-2026-2027学年人教版九年级数学上册 第一次月考重难点检测卷 （考试范围：第25-26章）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，通过长安汽车销量、丹东草莓产量等现实情境，设计基础巩固到创新应用的分层试题，适配九年级月考培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、函数图像变换|如第2题以汽车销量增长考查方程建模，体现数学语言表达现实世界| |填空题|6/18|根的判别式、顶点坐标|如第14题通过方程根的迁移，培养推理意识| |解答题|9/72|方程解法、最值应用、函数与几何综合|如第21题丹东草莓产量计算（模型意识）、第24题综合实践（创新意识），呼应核心素养要求|

九年级上册第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程+二次函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、化简得，整理为，不是一元二次方程； B、分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、含两个未知数，不是一元二次方程． 2．（26-27九年级上·重庆·开学考试）根据2026年最新数据，长安汽车旗下的深蓝品牌销量继续保持稳健的增长．某专卖店今年七月份深蓝品牌的销售额700万元，预计九月份的销售额将达到1008万元．若设这两个月销售额的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确七月到九月共经历2次月增长，结合平均增长率关系列方程． 【详解】解：∵七月份销售额为700万元，月平均增长率为， ∴八月份销售额为万元， ∴九月份销售额为万元， ∵九月份销售额预计为1008万元， ∴可列方程． 3．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 5．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 6．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 【答案】A 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，根据总利润每件商品的利润销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴每件商品降价10元． 7．（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【答案】D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 【点睛】二次函数图象开口向上，，有最小值，对称轴在x的负半轴，b和a同号． 8．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 9．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 10．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（     ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得到对称轴，求出直角边的长度，再利用证明，进而逐一判断各选项结论是否成立． 【详解】解：在中，，， 为等腰直角三角形，， 设， ， ，即， ， ∵， ∴ 该二次函数的对称轴为， 由图可知，函数图象对称轴为， ， 解得， 即． 连接， 是等腰斜边的中点， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ， 即， ， 是等腰直角三角形，故选项正确； 是面积的最大值， 当（对称轴处）时，，， ，即，故选项正确； 是等腰直角三角形， ， 为定点，在上运动， 当时，最小，此时为中位线， 则， 当与（或）重合时，最大， 由勾股定理：， ，即最大值为， 周长最大值为， 的周长不可能等于，故选项错误； 由，得， ， 是中点， ， 又， ， 即四边形的面积为，故选项正确． 综上所述，说法不正确的是C选项． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【答案】 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 12．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【分析】根据抛物线已给出顶点式形式，对照顶点式的结构即可直接得到顶点坐标． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 13．（26-27九年级上·北京·开学考试）抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 14．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 15．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【分析】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（2026九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 18．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2) 二次函数的图象如图所示： (3) 【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 故答案为：，5； （2）略 （3）解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 21．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为 (2) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：． 22．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．请同学解决以下问题： (1)若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当鸡场的面积为平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ (3)鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 【答案】(1) (2)鸡场的长与宽分别为16米、10米； (3)鸡场的最大面积为162平方米，此时鸡场的长与宽分别为18米、9米 【分析】本题主要考查二次函数的应用； （1）用含的式子表示鸡场与墙垂直的一边长，根据矩形面积公式即可写出函数关系式； （2）根据（1）所得关系式，将代入即可求解； （3）求出函数的最大值，使得面积取最大值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，鸡场与墙平行的一边长为米，可得鸡场与墙垂直的一边长为米，即米， ∴ ∵鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门， ∴ ∴ （2）令，即， 解得，（不合题意，舍去），所以． 当时， ． 所以，鸡场的长与宽分别为米、米； （3）对于，， 所以函数有最大值，当时， 函数有最大值，最大值 当时， ． 所以鸡场的最大面积为平方米，此时鸡场的长与宽分别为米、米． 23．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 24．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）综合与实践． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，M是x轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． 【操作与发现】 (1)当M为时，点P的坐标为____；当M为时，点P的坐标为___； 【猜想与证明】 (2)在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，把这些点连接起来形成图象L，猜想图像L为我们学过的____图象；（请填序号：①一次函数；②二次函数） (3)设点P的坐标是，根据与的关系，求x、y满足的关系式； 【实践与运用】 (4)运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2)② (3) (4)且 【分析】（1）由题意可知当M为时，线段的垂直平分线为直线，当M为时，得出图象，然后问题可求解； （2）由（1）可得当M为时，可得点P的坐标为，然后问题可求解； （3）由两点间距离公式可得：，，则有，进而问题可求解； （4）由题意可得当时，点，此时，四边形是正方形，则可画出函数图象，然后可得当时，可知，则，进而问题可求解． 【详解】（1）解：当M为时，线段的垂直平分线为直线，过点M垂直于x轴的垂线即为y轴， ∴点P的坐标为； 当M为时，如图1，点P的坐标为， （2）解：∵线段的垂直平分线， ∴当M为时，同理可得点P的坐标为， ∵当点M为时，点P的坐标为， ∴点和关于y轴对称， ∴由点P的位置变化可猜想L为我们学过的二次函数； （3）解：由两点间距离公式可得：，， ∵， ∴， ∴x、y满足的关系式为； （4）解：x的取值范围为且．理由如下： 如图2，当时，点，此时，四边形是正方形， 当时，可知，则， ∴， 即为钝角三角形， 由（1）可知当M为时，点P的坐标为，点A、M、P三点共线构成不了三角形， ∴， 综上所述，要使为钝角三角形，x的取值范围为且． 25．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上册第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程+二次函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·重庆·开学考试）根据2026年最新数据，长安汽车旗下的深蓝品牌销量继续保持稳健的增长．某专卖店今年七月份深蓝品牌的销售额700万元，预计九月份的销售额将达到1008万元．若设这两个月销售额的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 6．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 7．（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 8．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 10．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（     ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 12．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）抛物线的顶点坐标为_____． 13．（26-27九年级上·北京·开学考试）抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 14．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 15．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 16．（2026九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）解下列方程： (1)； (2)． 18．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 19．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 21．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 22．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．请同学解决以下问题： (1)若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当鸡场的面积为平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ (3)鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 23．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）综合与实践． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，M是x轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． 【操作与发现】 (1)当M为时，点P的坐标为____；当M为时，点P的坐标为___； 【猜想与证明】 (2)在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，把这些点连接起来形成图象L，猜想图像L为我们学过的____图象；（请填序号：①一次函数；②二次函数） (3)设点P的坐标是，根据与的关系，求x、y满足的关系式； 【实践与运用】 (4)运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出x的取值范围． 25．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $