微专题03 三角函数的图象与性质及图象变换（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题03 三角函数的图象与性质及图象变换 题型一 三角函数的定义域 1 题型二 三角函数的值域 6 题型三 三角函数的图象（识图题） 12 题型四 三角函数基本性质的判断 17 题型五 三角函数的零点及零点个数判断 27 题型六 三角函数图象变换 35 题型七 根据三角函数的最值（值域）求参 42 题型八 根据三角函数奇偶性求参 49 题型九 根据三角函数单调性求参 56 题型十 根据三角函数零点个数求参数范围 64 题型一 三角函数的定义域 1. 列出全部约束不等式（组）：排除；根号下；分母不为0。 2. 解三角不等式：借助三角函数图像或者单位圆写出通解\(+2k\pi\)。 3. 给定有限区间：对k取整数，筛选区间内解集。 4. 多个限制，结果取交集。 易错：不要漏掉正切函数本身的定义域限制；多个条件必须取交集。 【经典例题】 1．求函数的定义域． 【答案】 【详解】由题意知，可得且， 解得且，即， 所以函数的定义域为． 2．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，所以，即在内，函数的定义域为．故选C. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】贵州遵义市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题 【详解】由，得，所以的定义域为． 4．函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【来源】河南新未来联考2025-2026学年高一下学期6月测评数学试题 【详解】令，得，解得，， 所以定义域为：， 5．函数的定义域为______． 【答案】 【来源】江西南昌市第五高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 【详解】要使原函数有意义，必须有，即，解集为， 取交集可得原函数的定义域为. 6．已知，则函数的定义域为_____． 【答案】 【来源】江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校2025-2026学年高一上学期1月阶段测试数学试题 【详解】要使函数有意义，则必有，即，结合正弦函数的图象及可知，，所以函数的定义域为，故答案为：. 7．函数的定义域为__________. 【答案】 【来源】北京交通大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中练习数学试卷 【详解】函数满足，所以，所以，因为，所以，所以， 所以函数定义域为. 8．函数的定义域为______. 【答案】 【来源】天津市南开区南开大学附属中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷 【详解】函数的定义域满足，解得且. 故答案为： 9．函数的定义域为______ 【答案】 【来源】北京市第三十五中学2025-2026学年高一下学期3月测试数学试题 【详解】要使有意义，由题意得到，即，解得, 所以函数 的定义域为. 10．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】安徽淮北市合肥一六八中学教育集团淮北五中分校2024-2025学年第二学期期末考试高一年级数学试题 【详解】根据题意得，,解得,，解得. 故原函数的定义域为. 【巩固练习】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西鹰潭市余江区第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为． 2．函数的定义域为______． 【答案】 【来源】四川成都石室东部新区实验学校2026届高三下学期第三次学习效果检测数学试题 【详解】由，则，化简可得，解得.故答案为：. 3．函数的定义域为______． 【答案】 【来源】河南许昌市襄城县实验高级中学等校2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题 【详解】要使有意义，，解得.的定义域为. 4．在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁沈阳市第二十八中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题 【详解】，又，，所以函数的定义域是. 5．求函数的定义域． 【答案】 【详解】由题可知，，即，解得，由正弦函数的性质可得，所以函数的定义域为． 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】中原名校2022年高三上学期第四次精英联赛文科数学试题 【详解】要使有意义，需满足，解得且．所以定义域为. 故选：B． 7．函数的定义域是______． 【答案】/ 【来源】上海市上海中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题 【详解】要使函数有意义，需满足被开方数非负，即，整理得， 根据正弦函数的性质，对任意实数，都有恒成立，因此对所有实数都成立. 即函数的定义域为（或） 8．函数在上的定义域为________． 【答案】 【来源】上海市南汇中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷 【详解】对于函数，令，又，解得或，所以函数在上的定义域为.故答案为： 9．函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由，得，解得 故答案为：. 10．函数的定义域为___________. 【答案】 【详解】由条件可得，，解得，所以函数定义域为. 故答案为： 题型二 三角函数的值域 1. 基础型 ①先根据范围求出内层的取值范围； ②结合图像得到范围； ③乘A加B得到函数值域。 2. 换元二次型： (1) 含(或 的二次式 令（或），转化为以为变量的二次函数求值域； (2) 换元必须写清的取值范围，不能当成全体实数。 3. 分式型三角函数值域 方法一：反解出，利用建立不等式； 方法二：辅助角公式； 方法三：几何斜率模型。 【经典例题】 1．函数的最小值为_______． 【答案】 【来源】广西河池市罗城仫佬族自治县高级中学25-2026学年高一第二学期数学期中试卷 【详解】正弦函数的定义域为，值域为， 当取最小值时，函数取得最小值， 即 . 2．函数的值域为_______． 【答案】 【来源】江西九江市六校联考20265-2026学年高一下学期期末考试数学试题 【详解】当时，，当时，，合并值域为.故答案为：. 3．函数在区间上的最大值为__. 【答案】 【详解】当时，，则，所以， 因此函数在上的最大值为. 4．已知，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， ,所以在上的值域为. 5．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省多校联考2023-2024学年高一下学期第一次阶段性考试（3月月考）数学试题 【详解】.故选：C. 6．函数的最大值为__________. 【答案】 【来源】上海海洋大学附属大团高级中学2025-2026学年第二学期高一数学期中质量监测试卷 【详解】设，则，对称轴为，所以当，单调递减，当，单调递增，当时，，当时，， 所以函数的最大值为. 7．函数在区间上的最大值为__________. 【答案】3 【来源】贵州遵义市凤冈县2025-2026学年高一下学期5月期中核心素养监测数学试题 【详解】，因为，所以，所以当，即时，取得最大值，为3. 8．函数，的值域为 . 【答案】 【来源】四川省德阳市博雅明德高级中学2024-2025学年高一下学期3月考试数学试题 【详解】因为，令，可得，因为二次函数在上单调递增，故.因此，函数，的值域为. 9．函数（且）的值域是______． 【答案】 【详解】当时，，∴；当时，，∴．即当时，函数的值域是．故答案为： 10．函数的值域为______. 【答案】 【详解】解法一：，因为，所以， 因此或，则或， 故的值域为. 解法二：由化简可得，易知，所以，则，解得或，故的值域为. 【巩固练习】 1．函数的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为的最大值为1，所以当，即， 函数的最大值是2.故选：B. 2．设和分别表示函数的最大值和最小值，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【来源】江西赣州市2026届高三年级下学期适应性考试数学试题 【详解】由可得，，所以，. 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西宜春中学等校2026届高三年级5月高考大练兵数学试题 【详解】当时，；当时，， 所以的值域为． 4．求，的最大值与最小值． 【答案】， 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增，所以时，有， 当时，时，故，. 5．函数的值域是________. 【答案】 【来源】安徽芜湖市华育中学分校2025-2026学年第二学期高一第一次质量检测数学试卷 【详解】因为，∴，∴，即函数的值域是. 6．函数且，则函数值域是______．（用区间表示） 【答案】 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高一上学期期末测试数学试卷 【详解】当时，，则，所以函数值域是. 故答案为：. 7．函数的值域是______. 【答案】 【详解】函数.，令.函数在上单调递增，，即，，函数的值域为.故答案为： 8．函数的最小值为_________. 【答案】2 【详解】因为，由于，所以当时，函数取最小值2.故答案为：2 9．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省鹰潭市贵溪市第一中学2025-2026学年高一上学期第十九周周测数学试题 【详解】令，则，显然开口向上且对称轴为，则在上单调递减，由，，故，即.故选：C 10．函数的最大值与最小值之和为___________． 【答案】 【来源】上海市新场中学2025-2026学年高一第二学期期中教学质量检测数学试题 【详解】令，已知，由正弦函数的性质可得：在该区间的最小值为，最大值为，因此，故原式化为：，开口向上，对称轴为，因此函数在上单调递增，时，，时，，最大值与最小值之和为：. 11．函数，则的最小值为_____ 【答案】/ 【来源】上海南汇中学2025学年第二学期阶段考高一数学 【详解】由题意可得，因为，根据余弦函数的图象和性质可得，令，则函数转化为，因为是开口向下，对称轴为的抛物线，所以在上单调递增，， 所以的最小值为. 12．若函数的最大值为___________ 【答案】 【详解】∵，且，∴，∴，∴，∵在上单调递增，∴在上单调递减，∴，故答案为：. 题型三 三角函数的图象（识图题） 做题顺序：定义域 → 奇偶性 → 特殊点赋值 → 周期 → 单调性 → 极限趋势 (1) 定义域：正切找渐近线，直接排除； (2) 奇偶性判断：偶函数（y轴对称）；奇函数（原点对称），快速筛除选项； (3) 特殊点代入：代入、端点，算出函数值正负，排除明显不符图像； (4) 周期判断：，看图像重复间隔；带绝对值、周期减半； (5) 单调性：看上升、下降；正切在每一个周期内单调递增； 【经典例题】 1．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由正弦函数的性质可知 ， 所以 ，即函数 的值域为 ，这意味着函数的图像应全部位于 轴上方（包含与 轴相切的情况），且最大值为 ，观察四个选项： A 选项：图像过原点，且有负值，不符； B 选项：图像有负值，不符； D 选项：图像过原点，且有负值，不符； C 选项：图像全部在 轴上方，最大值为 ，且当 时 ，符合函数 的特征. 2．函数在一个周期内的大致图象是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】A 【详解】由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A，故选：A 3．函数，的简图是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】列表： 观察各图象发现A项符合．故选：A. 4．函数，的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高一上学期第三次质量检测数学试卷 【详解】由诱导公式得，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.故选：B. 5．函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】北京市朝阳区北大附中朝阳未来学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题 【详解】函数的定义域为，关于原点对称，又， 所以函数是偶函数，图像关于轴对称，故A错误，因为当时，，故选项BC错误，选项D中的图象，符合以上要求. 6．函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】∵f（x），∴y＝|sinx|（）的图象关于y轴对称， 当x＝0时，y＝0，由此可以观察只有C符合，故选：C． 7．设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】北京市第一零一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 【详解】，显然，对A，由图知，根据，则，则，则，则其最小正周期，其最小值应为，则A中图象满足题意；对B，显然因为不恒为0，则B错误；对C，由图知，根据A可知，但图中其最小正周期小于，故矛盾，故C错误；对D，由图知，则，则，则其最小正周期，但由图易知其最小正周期大于，故矛盾，则D错误；故选：A. 8．函数在区间内的图象是___________.（填相应序号）    【答案】④ 【详解】当时，，此时；当时，，此时.综上，，由正弦函数和正切函数图象可知④正确.故答案为：④ 【巩固练习】 1．函数的简图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用余弦函数的图象平移可得．【详解】把的图象向上平移1个单位即可.故选：D 2．函数的简图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由知，其图象和的图象相同，故选B． 3．函数在上的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽省蚌埠市B层2025-2026学年高一年级下学期4月月考数学考试试题 【详解】取，则，排除BCD选项，故只有A选项符合题意. 4．函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】安徽省安庆慧德普通高级中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题 【详解】当时，，此时函数为减函数，且，可排除CD； 当时，，此时函数为增函数，且，可排除A.故选：B. 5．函数|在区间（，）内的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】北京师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】当时，，∴，当时，，∴，由选项可判定B选项图象正确.故选：B 6．函数（）的图象可能是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【来源】宁夏银川市第二中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷 【详解】因为函数（），所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项；又，故排除D选项，故选B符合.故选：B. 7．函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省丽水市五校高中发展共同体2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 【详解】因为，所以，从而时，图象关于原点对称，所以选项A和C错误，又时，，，所以时，，所以选项B错误，选项D正确，故选：D. 题型四 三角函数基本性质的判断 1. 周期 (1) ：； (2) ； (3) 加绝对值：周期变为；注意：不是周期函数。 2. 奇偶性 (1) 奇函数：图像关于原点对称； (2) 偶函数：图像关于y轴对称； (3) 若为奇函数，则；偶函数，则。 3. 对称轴（函数取到最值处） (1) 正弦函数对称轴：； (2) 余弦函数对称轴：； (3) 判断一条直线是否为对称轴：把x代入，函数必须取得最大值或最小值。 4. 对称中心（函数零点，图像与平衡轴交点） (1) 正弦函数对称中心 (2) 余弦函数对称中心 (3) 正切函数对称中心。 5. 单调性判断： (1) 把看作整体，代入基础正弦余弦单调区间求解； (2) 要先变形把化成正数。 6. 多选题技巧： (1) 逐项验证； (2) 判断对称轴代进去看是否取最值； (3) 判断对称中心代入看函数值是否为 0。 【经典例题】 1．对于正弦函数的图象，有以下四个说法：①关于原点对称；②关于x轴对称；③关于y轴对称；④有无数条对称轴．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】C 【详解】由正弦曲线知其图象关于原点中心对称且对称轴有无数条，故①④正确，故选：C. 2．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省强基联盟2026年高三5月题库数学试题 【详解】所有选项的定义域都是，对于A，因为，所以是奇函数，A错误； 对于B：因为，所以是偶函数，的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图），B正确； 对于C：，图象为很显然不具备周期性，C错误； 对于D，是周期为的偶函数，D错误． 3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】天津市红桥区2025-2026学年高三二模数学试卷 【详解】对于A，令，因为为偶函数， 又因为，所以不存在零点，故A不合题意； 对于B，令，因为为奇函数，故B不合题意； 对于C，令，为非奇非偶函数，故C不合题意； 对于D，令，为偶函数， 当时，，故D符合题意． 4．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【来源】上海市新场中学2025-2026学年高一第二学期期中教学质量检测数学试题 【详解】由诱导公式可得：，则原式可化简为：，函数定义域为，且满足，故函数为奇函数. 5．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为 C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为 【答案】A 【来源】天津市第四十七中学2025-2026学年高一上学期第二次阶段性检测数学试卷 【详解】函数，定义域为，因为，所以为偶函数，又因为，所以的最小正周期为，故选：A. 6．（多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B． C．为偶函数 D．的图象关于直线对称 【答案】AD 【来源】福建福州高级中学2026-2027学年高三上学期8月适应性考试数学试题 【详解】A.余弦函数的最小正周期公式为，，所以，故A正确． B.，故B错误．C.，是奇函数，不是偶函数，故C错误．D.余弦函数的对称轴是使函数取到最值的位置，即， 解得，当时，，是函数的一条对称轴，故D正确． 7．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【来源】贵州省遵义市区县一中2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题 【详解】对于A，记，定义域为，关于原点对称，，所以不是奇函数，错误； 对于B，设，定义域为，关于原点对称， 则，所以为偶函数，正确； 对于C，因为，所以，由正弦函数的单调性知， 函数在上单调递减，所以在上单调递减，正确； 对于D，令得，所以的对称中心为，当时，的对称中心点为，正确.故选：BCD 8．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小值为2 B．的图象关于原点对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称 【答案】BD 【来源】安徽省淮南第二中学2024-2025学年高一上学期第二次月考试数学试题 【详解】A选项，由于，所以的值可以为负数，如，A错误. B选项，，所以为奇函数，则的图象关于原点对称，B正确. C选项，，，则，所以的图象关于不关于直线对称，C错误. D选项，，，则，所以的图象关于直线对称，D正确. 故选：BD 9．函数是（　　） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【来源】上海市第五十四中学2025-2026学年第二学期期中能力诊断高一数学试卷 【详解】 ，则函数为奇函数. ，是函数的一个周期. 又，而，可知不是函数的周期，故函数的最小正周期为. 10．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．若周期是，则其对称轴方程为， C．若，则在区间单调递增 D．若方程在上有三个根，则 【答案】ACD 【来源】广东省四校2025-2026学年高三上学期第二次联考数学试题 【详解】, 由于,，故是奇函数，A正确；若周期是，则，即，令，则，则的对称轴方程为，B错误；若，则，在区间单调递增，C正确；，即，即，则或，解得或，当时，或；当时，或；当时，或；由于，在上有三个根，故，解得，D正确，故选：ACD 【巩固练习】 1．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】新疆克拉玛依市独山子第二中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】选项A：是奇函数，A不符；选项B：最小正周期为，B不符； 选项C：不具有周期性，C不符；选项D：最小正周期为，且为偶函数，D符合.故选：D. 2．下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东梅州市兴宁市齐昌中学等2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题 【详解】对于 A，，为偶函数，，最小正周期，A符合；对于B，是奇函数，最小正周期，B排除；对于C，非奇非偶，且不是周期函数，C排除；对于D，是奇函数，D排除． 3．已知函数满足以下四条性质：（1）在定义域内函数不单调；（2）在上函数有最小值；（3）函数是奇函数；（4）函数的图象是轴对称图形.则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】云南省昆明市2024-2025学年高一下学期期中诊断测试数学试卷 【详解】对于A，不满足（2）（4）；对于B，不满足（4）；对于C，符合所有性质；对于D，是偶函数，不满足（3）.故选：C 4．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【来源】四川省泸州市2026届高三第二次教学质量诊断性考试数学试题 【详解】因为函数，对于选项A：的最小正周期为，故A错误；对于选项B：为奇函数，故B错误；对于选项C：因为，不为最值，所以的图象不关于直线对称，故C错误；对于选项D：因为，则，且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：D. 5．（多选）下面关于叙述中正确的是（   ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数是偶函数 【答案】ACD 【来源】江苏省无锡市辅仁高级中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测数学试卷 【详解】A.，所以关于点对称，故A正确； B. ，所以函数不关于直线对称，故B错误； C.当，，所以函数在区间上单调递增，故C正确； D. ，为偶函数，故D正确. 故选：ACD 6．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．为周期函数 【答案】C 【来源】山东省潍坊市诸城市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题 【详解】函数的定义域为， 因为，即为偶函数， 所以，，所以，所以不是奇函数，A错 ， 则，函数的图象不关于直线对称， B错误； 对于C，当时，， 当时，，当时，； 当时，则， 结合为偶函数，可知的值域为，C正确； 由于为偶函数，图象如图示： 可知不是周期函数，故不是周期函数，D错误， 故选：C 7．（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域是 B．的图象关于原点对称 C． D．当时，的最小值为 【答案】BC 【来源】广东省潮州市2025-2026学年高一上学期期末教学质量检测数学试题 【详解】对于A，由，所以函数其定义域为，故A错误； 对于B，由函数其定义域为关于原点对称， 且， 故函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故B正确： 对于C，因为，故C正确： 对于D，当时，，则，故D错误， 故选：BC. 8．已知函数，则下列说法错误的是（   ） A．为奇函数 B．曲线的对称中心为 C．在区间上单调递减 D．在区间上有一条对称轴 【答案】C 【来源】海南省农垦中学2024-2025学年高三下学期冲刺（三）数学试题 【详解】， 可得，可得为奇函数，A选项正确； 令，解得，即，， 所以曲线的对称中心为，，B选项正确； 当时，可得，所以在区间上先增后减，C选项错误； 令，，当时在区间上有且仅有一条对称轴，D选项正确.故选：C. 9．写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：______． ①是奇函数  ②是偶函数  ③函数有极值 【答案】（答案不唯一） 【来源】陕西省咸阳市2025届高考第三次模拟检测数学试题 【详解】因为是奇函数及函数有极值，因此不妨假设，可知，因为是偶函数， 所以，可以取，所以，故答案为：（答案不唯一） 10．（多选）如图所示的太极图是由黑、白两个鱼纹组成的图案．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法中正确的是（    ） A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B．函数可以是某个圆的“太极函数” C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数” D．是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形” 【答案】ABC 【来源】广东省广州市第十六中学2025届高三上期末数学试题 【详解】任意一个圆是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有无数个，故A正确；函数是奇函数，其图象关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，则是该圆的“太极函数”，故B正确；将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数是该圆的“太极函数”，故有无数个圆成立，故C正确；函数的图象是中心对称图形，则是“太极函数”，但函数是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图，故D错误. 故选：ABC. 题型五 三角函数的零点及零点个数判断 1. 函数零点定义：的实数解； (1) 零点个数等价于方程实数解的个数；也等价于与交点个数； (2) 复杂方程转化两个函数图像交点。 2. 解题方法 (1) 直接解方程型 令，解三角方程，写出通解；若限定区间，对k取整数筛选区间内解，统计零点个数。 (2) 复杂方程，零点个数问题（高频） ①变形方程，整理为； ②同一坐标系，画出与在指定区间上的图像； ③数图像交点的个数，即为零点个数； (3) 画图要点：用五点法画三角函数图像，看清区间端点是否取到（空心 / 实心）。 (4) 带取整、绝对值的复杂零点 先根据定义分段化简函数，再画图数交点。 易错提醒 (1) 区间端点要注意开闭：端点取不到，则该点不计入零点； (2) 画图要注意三角函数振幅、周期，不要画错周期导致数错交点。 【经典例题】 1．已知，则______． 【答案】或 【来源】第七章 三角函数 7.3 三角函数的性质与图像 7.3.5 已知三角函数值求角 【详解】因函数在上的解为,由，可得或．解得或． 2．函数的零点为______． 【答案】或 【来源】上海市文建中学2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高一数学试卷 【详解】令，解得，故或． 3．函数的零点是______． 【答案】， 【详解】令，得，即，所以的零点是.故答案为：，. 4．方程的实数解的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题 【详解】在同一坐标系中作余弦函数与直线的图象，由图可知余弦函数与直线在内有四个交点，即方程的实数解的个数是个．故选：D 5．时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【来源】广东省广州市番禺区2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象，根据图象可知：与的图象在有4个交点，故选：B 6．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【来源】江西吉水县第二中学等校2025-2026学年高一下学期数学学科素养阶段训练 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为4个.故选：B. 7．已知，当时，函数的零点个数为______. 【答案】6 【来源】上海市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 【详解】令，即，移项可得，对于，其周期；对于，其周期；当时，画出两个函数图象为： 由图象可以看出，方程在给定区间内的解的个数为6， 所以函数的零点个数为6. 8．若函数，则关于的方程的不同的解共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【来源】4.5 三角函数的图象与性质的综合应用（讲）2027届高三大一轮【实战高考】教考衔接 【详解】作出与的图象，如下图所示， 由图象可得与的图象只有1个交点，所以关于的方程的不同的解共有1个.故选：A 9．函数的零点个数为_____________． 【答案】 【详解】函数的零点个数，即为函数和的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系中，画出和的图象，如图所示，结合图象，可得两个函数图象有两个交点，所以函数的零点有两个．故答案为：. 10．已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【来源】江西省萍乡市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷 【详解】由，得，令函数与，依题意，所求问题即为函数与在上的交点个数，在同一坐标系内作出函数与在上的图象，   观察图象得函数与在上的图象有2个交点， 所以函数在区间上的零点个数为2.故选：A 【巩固练习】 1．函数，的零点是______． 【答案】， 【来源】上海市育才中学2024-2025学年高三下学期三模数学试卷 【详解】令，则，，当时，；当时，. 函数，的零点是，.故答案为： 2．若，则符合条件的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【来源】北京师范大学附属实验中学2025-2026学年第二学期期中试卷高一年级数学 【详解】作出，及的图象如下： 由图可知，两函数图象共个交点，故符合条件的角有个. 3．满足的所有的集合为______. 【答案】 【来源】北京市第九中学2025-2026学年第二学期3月月考试卷高一数学 【详解】因为，可得，所以所有的集合为. 故答案为：. 4．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【来源】陕西省汉中市2025届高三下学期联考模拟（二）（5月）数学试题 【详解】曲线与的图像如下，所以交点个数为3，故选：B. 5．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【来源】山东省潍坊市2024-2025学年高一下学期期中质量监测数学试题 【详解】对于函数，当时，， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时，时，， 函数的周期，结合周期，利用五点法作出图象， 由图知，共有4个交点.故选：. 6．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【来源】河南省周口市百师联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试卷B卷 【详解】由“五点法”画函数与在上的图象，如图所示． 由图可知曲线与在上的交点个数为7，故选：C 7．当时，确定方程的根的个数为_________个. 【答案】 【详解】将方程变形为，令，在同一平面直角坐标系中，作出与在内的图象，当时，有，如图所示，由图象可知它们有三个交点，所以方程有三个根. 故答案为：. 8．函数的零点的个数是______． 【答案】3 【来源】安徽省太湖中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题B 【详解】令，得，在同一坐标系内画出和的图象．由图可知两函数的图象有3个交点，所以函数有3个零点． 9．函数，的图象与直线（a为常数）的交点个数不可能为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【来源】河北省保定市六校联考2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题 【详解】作出在的图象如下： 则可得当或时，与的交点个数为0； 当或时，与的交点个数为1； 当时，与的交点个数为2.故选：A. 10．当，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【来源】陕西省榆林市府谷县联考2024-2025学年高一上学期第二次月考质量检测（12月）数学试题 【详解】由，得，作出，，的图象，由图可知，两函数的图象的交点有4个，则曲线在上的零点个数为4.故选：B. 题型六 三角函数图象变换 函数的图象经变换得到的图象的步骤 【经典例题】 1．将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的图象向右平移单位，得： ，由诱导公式，化简得：，向上平移1个单位，整体加1得：， 再由二倍角公式化简得：，对比选项，只有A符合. 2．先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东茂名市田家炳中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题 【详解】将函数的图象向右平移，可得到函数 的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 故. 3．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】新疆2026年普通高考5月适应性检测数学试题 【详解】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到图象对应的函数解析式为，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为. 4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【来源】2026年北京市高二第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 5．为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【来源】山东省日照实验高级中学2026-2027学年高三年级上学期开学考试数学试题 【详解】已知原函数，为了得到函数的图像，即需要将原函数中的替换为，所以需要将原函数图像上所有的点向右平移个单位长度. 6．函数的图象可由函数的图象（    ）个单位得到 A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 【答案】D 【来源】江苏南通市2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试题 【详解】因为，根据图象平移规则，函数图象由的图象向左平移个单位得到.因此函数的图象由函数的图象向左平移个单位得到. 7．函数的图象，可以由函数的图象向右平移个单位得到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】黑龙江省龙东十校联盟2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题 【详解】由，， 因为，则将的图象向左平移个单位，就可以得到的图象，因为函数的最小正周期为，则将其向左平移个单位，即相当于将其向右平移个单位即可得到的图象，所以． 8．将函数的图象平移得到函数的图象，且点为曲线在轴右侧的首个对称中心，则上述的平移方式可以是（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【来源】北京市房山区2026-2027学年高三上学期入学测试数学试卷 【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，因为点为在轴右侧的首个对称中心，则，可得，即，对于A，将的图象向左平移个单位，得到的图象，符合题意，所以A正确；对于B，将的图象向右平移个单位，得到的图象，不符合题意，所以B不正确；对于C，将的图象向左平移个单位，得到的图象，不符合题意，所以C不正确；对于D，将的图象向右平移个单位，得到的图象，不符合题意，所以D不正确. 9．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【来源】云南省昆明市第三中学呈贡学校（呈贡一中）2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题 【详解】由题， 所以的图象可由的图象向左平移个单位得到. 10．（多选）有以下四种变换方式，能将函数的图象变为的图象的是（    ） A．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 B．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 D．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 【答案】BC 【来源】江西省赣州市某校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷 【详解】先将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，可得函数的图象，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，B符合要求，A不符合；先将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的，可得函数的图象，C符合要求，D不符合. 【巩固练习】 1．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重难点培优01三角函数的图象与性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测 【详解】将函数的图象向右平移个单位，可得：. 2．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】青海省海东市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到, 3．将函数的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】甘肃酒泉市2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷 【详解】将的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变可得，再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为 4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【来源】贵州遵义航天高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题 【详解】向左平移个单位后得到，故A错误. 向左平移个单位后得到，故B正确. 向右平移个单位后得到，故C错误. 向右平移个单位后得到，故D错误. 5．为了得到的图象，可以将函数的图象上（     ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】A 【来源】四川成都市双流区立格实验学校2025-2026学年高一下学期期末模拟质量检测（6月）数学试题 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.再向左平移（）个单位，平移后的函数解析式为.令，解得，故将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，即可得到的图象. 6．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【来源】广东揭阳市2025-2026学年高二下学期7月期末教学质量测试数学试题 【详解】因为，根据函数图象的平移变换规律，将函数图象上的每个点向左平行移动个单位长度，即可得函数的图象. 7．为了得到函数，的图象，只需将上所有的点（     ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】A 【来源】天津市红桥区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】将上所有的点向左平行移动个单位长度得函数. 8．为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【来源】湖南省部分校2024-2025学年高三上学期12月考试数学试卷 【详解】设将函数的图象向右平移个单位，则，故，取得，故需将函数向右平移个单位长度． 9．函数的图象经过适当变换可以得到的图象，则这种变换可以是（    ） A．沿x轴向右平移个单位 B．沿x轴向左平移个单位 C．沿x轴向左平移个单位 D．沿x轴向右平移个单位 【答案】B 【详解】由，所以由的图象沿x轴向左平移个单位可以得到的图象. 10．以下对函数的图象的变换中，可以得到函数的图象的是（    ） A．先将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 B．先将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 C．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】C 【来源】青海海东市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 【详解】对于选项A，得到函数的图象；对于选项B，得到函数的图象；对于选项C，得到函数的图象；对于选项D，得到函数的图象． C选项正确. 题型七 根据三角函数的最值（值域）求参 1. 换元，令，根据x的范围写出t的区间； 2. 根据已知值域，得到的取值集合； 3. 结合图像，分析t区间端点与三角函数最值点之间的位置关系； 4. 列出关于参数的不等式或者方程，求解参数； 5. 多解时结合题意取舍参数。 易错提醒：的区间是闭区间，要区分能否取到最大值1、最小值。 【经典例题】 1．函数在x∈[]上的最大值为4，则实数a为____. 【答案】/ 【详解】函数在上单调递增，则当时，，因此，解得，所以实数a为.故答案为： 2．若函数在区间上的值域为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】陕西省2025-2026学年高三上学期天一小高考（二）数学试卷 【详解】由上函数的值域为，故，所以，故，则.故选：B 3．已知函数在处取得最大值，则___________． 【答案】/ 【来源】山东滨州市部分学校2027届高三上学期开学全域学情综合诊断数学试题 【详解】， 因为正弦函数的最大值为1，取最大值时满足，已知在处取得最大值，则，解得，因为，当时满足条件，即． 4．（多选）若函数的最大值是4，最小值是，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】AC 【详解】因为，所以当时，，解得，所以；当时，，解得，所以. 综上，或.故选：AC 5．设，．若函数，的值域为，且，则___. 【答案】 【来源】上海市曹杨第二中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷 【详解】，令，,,，作出函数的图象，如图， 由图可知，以为中心，当变大时，若，函数增大时，函数值减小时，不满足，若时，函数最大值，所以只需要确定函数最小值，因为，需函数最小值为，所以当时，即时， 函数值域为，满足，综上. 6．已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省杭州高级中学2025-2026学年第二学期高三5月月考数学试题卷 【详解】解：由在上单调递增，则单调递减，所以在同一单调区间上也单调递减，由在区间上单调递减，则，所以，，解得，，又，所以，因此. 7．函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 【答案】 【来源】上海市进才中学2025-2026学年高二上学期开学考数学试卷 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，而且，，所以由函数的定义域为，值域为，可得：，所以实数的取值范围为，故答案为：. 8．已知函数的最大值为，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【来源】江苏常州市宋剑湖高级中学2027届高三8月开学阶段性检测数学试题 【详解】因为，所以，因为最大值为，且当时，恰为.因此只需保证对恒成立，则，故. 另法：依次代入每个选项验证是否满足该条件. 当时，，最大值为1，不满足题意. 当时，，最大值为，满足题意. 当时，，最大值为，不满足题意. 当时，，最大值为，不满足题意. 综上所述，的最大值为5. 9．若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【来源】江苏省高淳高级中学2027届高三年级9月学情调研数学试卷 【详解】设，由且，得，此时的值域为等价于.将选项依次代入验证： 当时，，存在使，，不符合，故A错误； 当时，，的最大值为（时），最小值为（时）， 故，符合条件，故B正确； 当时，，的最大值为，，不满足值域条件，故C错误； 当时，，的最大值，则，不符合值域条件，故D错误.. 10．函数的最小值为0，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京市第二十九中学2024-2025学年高一下学期3月摸底考试数学试题 【详解】设，显然， 又因为函数的最小值为0，这表明，使得， 所以，也就是说关于的方程在上有解，首先，其次要使得最小，则需最小，最大，即当时，最小， 故所求最小值为.故选：C. 【巩固练习】 1．已知函数，的最小值是，则实数__________. 【答案】 【来源】上海市浦东新区2024-2025学年高三下学期三模数学试题 【详解】由题意得，当时，，故在的值域为, 又因为最小值是-1，所以，故答案为. 2．设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 【答案】/ 【来源】上海市市西中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（03.02） 【详解】因为，当时，，且，所以，函数在区间上单调递增，且，故，解得.故答案为：. 3．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________. 【答案】/-0.25 【详解】因为函数在上单调递减，所以，，则， 又因为函数在上的最大值为，所以，即， 所以.故答案为： 4．若的最大值为3，则______． 【答案】 【来源】北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试题 【详解】由题意与同时取得最大值1，因此，， 故答案为：． 5．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则__________. 【答案】/ 【来源】湖北省云学新高考联盟学校2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题 【详解】解：取，解得，所以在上单调递增，即在上单调递减，因为在闭区间上有最大值为7，最小值为3，所以，且，，即，解得，因为，所以，故.故答案为： 6．已知函数，的最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，当时，，因为函数的最大值为，即的最大值为，所以，解得. 7．已知函数在上的最小值为，则的最小值为__________． 【答案】 【来源】海南省2024-2025学年高三下学期学业水平诊断（三）数学试题 【详解】由，可得：，令，由题意可知：在可取到，结合余弦函数的性质可知需满足：，解得，所以的最小值为，故答案为： 8．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广西柳州市2026届高三上学期二模数学试题 【详解】由对任意的实数x都成立，得在处取得最大值，则，解得，所以的最小值是.故选：B 9．已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省南昌市第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测（八） 【详解】函数的最小正周期，由题可得，分别在同一周期内取得最小值的自变量的两侧，且，，由得，解得，由得，或，解得，或，因为，若，则，所以；若，则，所以，即的取值范围是．故选：C. 10．已知，当时，取最大值，当时，取最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】令，则，，可知的开口向上，对称轴为，原题意等价于：当时，取最大值，当时，取最小值，结合二次函数对称性可知：，所以实数的取值范围是.故选：C. 题型八 根据三角函数奇偶性求参 1. 函数为奇函数： (1) 正弦型为奇函数，则； (2) 余弦型为奇函数，则。 2. 函数为偶函数： (1) 正弦型为偶函数，则； (2) 余弦型为偶函数，则。 3. 通用方法： (1) 利用定义恒成立，对比等式两边，求出参数。 (2) 求出参数后代入回原函数做检验。 易错提醒： 求出是通解，题目有限制条件（如），要筛选出符合条件的。 【经典例题】 1．已知函数为偶函数，则___________.（写出满足题意的一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【来源】湖北武汉市武昌区2026届高三年级五月供题数学试卷 【详解】由为偶函数，则，，所以满足要求的一个（答案不唯一）. 2．若为偶函数，且，则的值为______． 【答案】或 【来源】贵州遵义市汇川区周林高级中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷 【详解】为偶函数，，，或. 3．已知函数 是奇函数，则θ的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【来源】吉林省吉林市实验中学2026届高三下学期阶段性测试数学试题 【详解】因为是奇函数，所以，解得：，又因为，故取，得. 4．已知函数，，若为奇函数，则__________　，若为偶函数，则________　. 【答案】 【详解】由是奇函数，得，而，则；由函数是偶函数，得，而，则. 5．已知函数，是奇函数且在上单调递减，则_______. 【答案】 【来源】湖北省孝感市楚天教科研协作体2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题 【详解】因为函数是奇函数，则，因为，所以或.因为，若，则为常值函数，不符合题意，所以， （1）若，则，当时，，因为正弦函数在上单调递增，故函数在上不可能单调递减，不符合题意； （2）若，则，当时，，因为函数在上单调递减，且函数在上单调递减，则，所以，解得，因为，所以，符合题意. 综上所述，. 6．若函数是奇函数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西景德镇市昌江一中2025-2026学年高一下学期3月数学学科素养训练 【详解】对于A：函数是非奇非偶函数，不合题意； 对于B：函数是奇函数，符合题意； 对于C：函数是非奇非偶函数，不合题意； 对于D：函数是偶函数，不合题意； 7．若函数为奇函数，则的最小值为__________. 【答案】/ 【来源】重庆市南开中学校2024-2025学年高一下学期定时练习一数学试题 【详解】因为为奇函数,所以由得,即,所以,解得,,因为,取,得,所以的最小值为.故答案为: 8．已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数为偶函数，则，即，则， 即，因不恒为0，则，解得. 9．若函数为奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期数学大练习（八） 【详解】由题意可得，即，化简可得，解得.故选：A. 10．已知为奇函数，且m满足不等式，则m的值为________． 【答案】或或 【来源】【课堂练】 7.4.2 正切函数的性质 随堂练习-沪教版（2020）必修第二册 第7章 三角函数 【详解】函数的定义域为，而该函数为奇函数，则当时，，即，解得，经检验当时，函数为奇函数，由，得，因此或或，所以m的值为或或.故答案为：或或 【巩固练习】 1．已知函数，为偶函数，则__________. 【答案】，. 【来源】上海市南洋中学2025-2026学年高一下学期数学学科5月学习能力诊断测试题 【详解】因为为偶函数，故. 2．若为偶函数，则______ 【答案】 【来源】辽宁省实验中学2025-2026学年高一下学期期中阶段测试数学试题 【详解】因为为偶函数，所以，解得，因为，所以或，当时，，，当时，，，综上所述，. 3．若函数为偶函数，则的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【来源】河南南阳市2025-2026学年下学期高一年级阶段性学情检测数学试卷 【详解】已知为偶函数，则，当时，． 4．已知为奇函数，则当正数取最小值时，函数的图象的对称轴方程是______． 【答案】 【来源】安徽阜阳市太和县第八中学2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，即，所以当时，正数取得最小值， 此时．令，则， 故所求函数的图象的对称轴方程是． 5．若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 【答案】4 【来源】河北张家口市第二中学2026届高三下学期适应性测试（三）数学试题 【详解】因为为偶函数，所以.由，得，所以的最小正周期，当且仅当时等号成立.所以最小正周期的最大值为4. 6．若函数为奇函数，则__________． 【答案】 【来源】上海市杨浦区2025-2026学年高一下学期期中考试数学学科样题 【详解】由于奇函数满足，所以. 展开得，于是对，有成立，故. 因此. 7．已知函数是偶函数，且，则的最小值为______. 【答案】 【来源】云南省楚雄州2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】由函数是偶函数，可得，因为，所以的最小值为. 故答案为：. 8．已知的图象关于原点对称，且在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设函数的最小正周期为，因为函数的图象关于原点对称， 则，且，可得，即，又因为在区间上单调递减，则，可得，且，则，解得，可得， 若，则在区间上单调递减，符合题意； 若，则在区间上单调递增，不符合题意； 综上所述：，，所以. 9．若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河南省南阳市六校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以，所以，则，又为奇函数且，所以，所以，所以的最小值为.故选：A 10．若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省天域全国名校协作体2026届高三下学期考前学科练习数学试题 【详解】由，即，得，所以，则．故选：D. 11．若为偶函数，则______. 【答案】 【来源】广东省清远市华侨中学2025~2026学年高三上学期12月月考数学试题 【详解】因为函数是偶函数，所以，即，由题意得，所以化简得. 所以，展开得. 即，因为该等式对于定义域内的任意恒成立，所以.又， 所以.故答案为：. 12．若的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河南省青桐鸣2025-2026学年高二上学期9月联考数学试题 【详解】因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，则满足，且定义域关于原点对称，又因为， 所以在定义域上恒成立，因为在定义域上不恒为，所以，可得在定义域上恒成立，所以.故选：D. 题型九 根据三角函数单调性求参 1. 换元：，得到x对应t的区间； 2. 写出标准单调区间，如单调增区间； 3. 核心条件：t的区间必须是标准单调区间的子集： 转化不等式组，求解参数；结合，筛选结果。 易错提醒 (1) 是题目常见条件； (2) 必须保证换元之后t的整个区间落在三角函数标准单调区间内部，子集关系，不能只是部分重叠。 【经典例题】 1．设，若函数在上严格增，则的取值范围是________. 【答案】 【来源】上海华东师范大学附属周浦中学2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷 【详解】因为，，所以,又函数在上严格增， 所以，解得，所以，故的取值范围是. 2．函数在区间上单调递增，则的取值范围是____________. 【答案】 【来源】北京市第八十中学2025-2026学年高一上学期12月阶段检测数学试题（B卷） 【详解】当时，，由于余弦函数在上单调递增，在上单调递减，故函数在区间上单调递增，需满足，即，即的取值范围是，故答案为： 3．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】，，又函数在区间上单调递减，，解得，即． 4．已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重难点培优01三角函数的图象与性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测 【详解】当时，，的递增区间为，取，由得 ， 解得，于是，故最大值为. 5．已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【来源】四川省宜宾市2026年高中数学竞赛试题（高一组） 【详解】，，，则， 因为在区间上单调递减，所以，又，所以，因为，所以，，要想满足在区间上单调递减，只需，解得，故. 6．已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东潍坊市2025-2026学年高一下学期期中数学试题 【详解】解：，，，， 又函数（）在区间上单调递增，，解得． 7．若对任意的，函数在区间上单调递增，则正实数的取值范围是____． 【答案】 【来源】浙江宁波市2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题 【详解】由题意可知，即，∴，即，∵，∴，由题意可知， 即，解得， 当时，取最小值，当时，取最大值， 当，即时，，取，则，且， 则，即正实数的取值范围是. 8．已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________. 【答案】 【来源】湖北省孝感市楚天教科研协作体2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题 【详解】因为函数是奇函数，则，因为，所以或.因为，若，则为常值函数，不符合题意，所以， （1）若，则，当时，，因为正弦函数在上单调递增，故函数在上不可能单调递减，不符合题意； （2）若，则，当时，，因为函数在上单调递减，且函数在上单调递减，则，所以，解得， 因为，所以，符合题意. 综上所述，. 9．已知函数，若，且在上单调，则的取值共有________个． 【答案】9 【详解】因为函数在上单调，所以，又，所以，得，又，即，当时，满足题意，此时，可取，共9个. 10．已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西吉安市2025-2026学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷 【详解】对都有，故，即，， 故，，解得，，在上单调，，故，解得，故，解得，因为，所以， 当时，，，符合题意，当时，，，符合题意，故. 【巩固练习】 1．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河北承德市双滦区实验中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 【详解】由，解得.又解得，∴，∴要使函数在区间上单调递增，则该区间必须是函数某个单调递增区间的子集，则，，解得，∴的取值范围是. 2．已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【来源】广东河源市深三高东源高级中学2025-2026学年高一下学期第一次段考数学试卷 【详解】正弦函数的单调递减区间为. 令，则的单调递减区间满足： ， 解不等式得： . 由于在上单调递减，故，，同时区间长度，得.当时，则 ，解得，即. 当时，无解； 当时，对应减区间不符合题设区间要求， 因此的最大值为. 3．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以函数在上单调递增，且，即．因为，所以函数在上单调递增，等价于或，解不等式得或，所以的取值范围是． 4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】云南昆明市第八中学2025-2026学年高一下学期学情检查（二） 数学试卷A 【详解】因为，，令，则，余弦函数的单调递增区间为，因为在上单调递增，因此区间需为某一单调递增区间的子集，取时的递增区间为适配区间，所以，解得，即的取值范围是. 5．若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西上饶市婺源县紫阳中学2025-2026学年高一下学期第一次阶段性测试数学试题 【详解】令，因为，且，所以，因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 因为余弦函数在上单调递减，则，解得，所以的取值范围为. 6．若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南衡阳市祁东县2025-2026学年高一上学期2月期末考试数学试卷 【详解】因为，所以，令，由，得，则在上单调递减，又在上单调递减，所以，即．综上，的取值范围为． 7．函数，对都有，且在上单调，则的值为_____ 【答案】 【来源】云南昆明市第八中学2025-2026学年高一下学期学情检查（二） 数学试卷B 【详解】因为对都有，所以，可得， ，，又在上单调，，，即，已知,由，可得，当时，， ，都有，且当时，，即函数在上单调递减，因此符合题意，所以的取值为． 8．已知函数，其中，.若为偶函数，，且，并且在区间上单调递减，则_____，_______. 【答案】2 【详解】函数为偶函数，要求对任意成立.即. 展开得.因此对任意成立.由于，所以不可能恒有，故，且，于是或.又，即，所以.此时.由得.所以，，即，，又，故可能为，且，因为，则，因为在上单调递减，则，解得，只有满足.因此，. 9．已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________． 【答案】3 【来源】河南濮阳市2026年高中三年级第二次模拟考试数学试卷 【详解】函数，为的零点，为图象的对称轴，，且，相减可得， 即，，即为奇数．在单调，，，故奇数的最大值为．当时，，，．此时在上不单调，不满足题意．当时，，，， 此时在上不单调，不满足题意．当时，， ，，此时在上单调递减，满足题意；故的最大值为. 10．已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】由题意知，函数的单调递减区间为，则或，由，解得， 而，故需满足，即，此时不存在； 由，解得，则需满足，即，即，故，即. 题型十 根据三角函数零点个数求参数范围 1. 换元，由x范围写出t的区间； 2. 原函数零点等价于或，解出； 3. 问题转化：在t区间内恰好有N个形式的解； 4. 结合图像，列出t区间左右端点满足的不等式； 5. 解不等式得到参数范围。 易错提醒： (1) 仔细区分端点是否可以取等号： (2) 区间端点t恰好等于，是否计入零点，看原题x区间开闭。 【经典例题】 1．已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题 【详解】，，显然，故，， 若，解得，若，解得，若，解得， 综上，.故选：C 2．已知函数在上有且仅有1个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南南阳市2025-2026学年下学期高一年级阶段性学情检测数学试卷 【详解】当时，，由函数在上恰有1个零点，，得或，解得或，所以的取值范围是. 3．已知函数，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河南南阳市2026届高三年级下学期二模考试数学试题 【详解】由题意，，，因为在区间上恰有5个零点，所以由正弦函数性质得，解得． 4．设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】上海市华东师范大学附属周浦中学2025-2026学年第二学期高一第一次阶段性测验数学试卷 【详解】当时，，结合余弦函数的图象，可得，解得. 5．已知函数在区间有且仅有6个零点，则的取值范围是________. 【答案】 【来源】广东省深圳实验学校高中园2025-2026学年高一上学期三段考数学试题 【详解】由题意，即在区间有且仅有6个解，由于为偶函数，即在区间有且仅有3个解，由于，则，结合图像可得， 则，.故答案为：. 6．若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】上海市华东政法大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中质量评估数学试题 【详解】令，可得，函数在上有且仅有2个零点，即有两解，因为，且，则，可知的区间长度为，可得，解得，所以的取值范围为.故选：A. 7．设函数，若存在，使得，则的值不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【来源】福建省莆田市五校2026届高三上学期12月考试数学试题 【详解】因为，且存在，使得，则，即，所以，， 当，时，得，， 因为，所以，. 当，时，得，， 因为，所以，. 综合以上情况得的所有可能取值的集合为，.检验可知均在时对应的区间内，不在该集合对应的任何区间内，所以的值不可能为.故选：A. 8．已知函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是___ 【答案】 【来源】四川成都市第七中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】由题意，，． 因此．又， 所以． 因为，所以． 令．因为，所以，从而． 在内，方程的解的个数如下表． 的范围 对应的的个数 说明 当时，另一个对应角为，是右端点，不取 两个对应角都在区间内部 只对应 于是等价于，其中.若在内恰有个零点，则需有两个不同的解，且或.若，则，得，此时，只得到和，对应的零点个数为，不符合题意．若，则，则，此时，只有一解，不合题意；所以，故，故. 9．已知函数，设，则在上的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【来源】广东汕尾市城区2025-2026学年高二第二学期期末教学质量监测数学试题 【详解】由题得，，令，则，解得， 因为，因此，解得， 故，此时，满足条件. 令，由，则，则， 作出函数与函数的图象如下： 由图知，函数在上的零点个数为2. 10．若，函数恰有4个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【来源】安徽2025-2026学年高一上学期2月初期末质量检测数学（人教A版）试题B 【详解】函数在上单调递增，且，所以，使得，函数在上只有1个零点，要使函数恰有4个零点，则函数在上只有3个零点，由，得，则，解得.故答案为：. 【巩固练习】 1．若函数在区间上至少有2个零点，则的最小值是______. 【答案】 【详解】函数零点满足，，即，，因为且，所以为正整数，因为函数在区间上至少有2个零点，所以即至少有两个正整数解，为保证区间至少包含两个正整数，该区间须至少能覆盖一对连续的正整数和，所以，即，为使该不等式有解，须满足，得，又，所以，当时，所以，即的最小值为.故答案为： 2．若函数，恰有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】陕西西安市西北大学附属中学2026-2027学年高三上学期摸底质量监测数学试题 【详解】当时，，此时函数在上无零点，不符合题意； 当时，由可得，因为函数在上恰有两个零点，则，解得；当时，由可得， 因为函数在上恰有两个零点，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 3．已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________． 【答案】 【来源】重庆市綦江中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】由题设，且，由在区间上恰有2个零点， 只需内恰有2个整数，即，， 当，则，当，则， 当，则，无解，同理时，均无解， 综上，的取值范围为. 4．若函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】，在该区间内恰好有两个零点的一个必要条件是，解得.因为，所以，所以原问题等价于函数在区间内恰有两个零点，注意到，,所以函数在区间内两个零点为和，所以，解得.故答案为： 5．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东省深圳科学高中2025-2026学年高二上学期开学质量检测数学试题 【详解】当时，，由在区间上恰好有3个零点，得，解得，所以的取值范围是.故选：C 6．设函数在区间恰有四个最值点和三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省黄石市云学联盟2025-2026学年高一下学期3月学科素养测评数学试题 【详解】由题意知，设，则，作的部分图像，如图所示，要满足函数在区间恰有四个极值点和三个零点，即满足函数在上恰有四个最值点和三个零点，则，解得． 7．已知函数的图象与轴的交点为，_____，又在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【来源】天津市滨海新区大港实验中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷 【详解】依题意得，，，则；则，令，得，令，得，所以在坐标原点两侧最接近0的两个零点分别为，，且，由题意，得，解得，则的取值范围是. 故答案为：； 8．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为__________. 【答案】 【来源】江西省萍乡市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷 【详解】由，可得， 设，当时，，依题意，要使函数在区间上恰有5个零点，需使函数与函数在上有5个交点，结合余弦函数的图象，可得，即得，即的取值范围为.故答案为：. 9．若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南通市海安市2024-2025学年高一下学期4月期中学业质量监测数学试卷 【详解】由可得，因为，当时，，因为函数在区间上有且仅有两个零点，所以，，解得，即的最小值为.故选：C. 10．若函数有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】4.5 三角函数的图象与性质的综合应用（练）2027届高三大一轮【实战高考】教考衔接 【详解】当时，，令，解得，则在上只有1个零点，所以在上有3个零点，由，得，所以，解得.故选：B 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数的图象与性质及图象变换 题型一 三角函数的定义域 1 题型二 三角函数的值域 3 题型三 三角函数的图象（识图题） 5 题型四 三角函数基本性质的判断 8 题型五 三角函数的零点及零点个数判断 12 题型六 三角函数图象变换 14 题型七 根据三角函数的最值（值域）求参 17 题型八 根据三角函数奇偶性求参 19 题型九 根据三角函数单调性求参 21 题型十 根据三角函数零点个数求参数范围 23 题型一 三角函数的定义域 1. 列出全部约束不等式（组）：排除；根号下；分母不为0。 2. 解三角不等式：借助三角函数图像或者单位圆写出通解\(+2k\pi\)。 3. 给定有限区间：对k取整数，筛选区间内解集。 4. 多个限制，结果取交集。 易错：不要漏掉正切函数本身的定义域限制；多个条件必须取交集。 【经典例题】 1．求函数的定义域． 2．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．函数的定义域为______． 6．已知，则函数的定义域为_____． 7．函数的定义域为__________. 8．函数的定义域为______. 9．函数的定义域为______ 10．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为______． 3．函数的定义域为______． 4．在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 5．求函数的定义域． 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域是______． 8．函数在上的定义域为________． 9．函数的定义域为______． 10．函数的定义域为___________. 题型二 三角函数的值域 1. 基础型 ①先根据范围求出内层的取值范围； ②结合图像得到范围； ③乘A加B得到函数值域。 2. 换元二次型： (1) 含(或 的二次式 令（或），转化为以为变量的二次函数求值域； (2) 换元必须写清的取值范围，不能当成全体实数。 3. 分式型三角函数值域 方法一：反解出，利用建立不等式； 方法二：辅助角公式； 方法三：几何斜率模型。 【经典例题】 1．函数的最小值为_______． 2．函数的值域为_______． 3．函数在区间上的最大值为__. 4．已知，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 5．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 6．函数的最大值为__________. 7．函数在区间上的最大值为__________. 8．函数，的值域为 . 9．函数（且）的值域是______． 10．函数的值域为______. 【巩固练习】 1．函数的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 2．设和分别表示函数的最大值和最小值，则（   ） A． B．1 C． D．2 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．求，的最大值与最小值． 5．函数的值域是________. 6．函数且，则函数值域是______．（用区间表示） 7．函数的值域是______. 8．函数的最小值为_________. 9．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 10．函数的最大值与最小值之和为___________． 11．函数，则的最小值为_____ 12．若函数的最大值为___________ 题型三 三角函数的图象（识图题） 做题顺序：定义域 → 奇偶性 → 特殊点赋值 → 周期 → 单调性 → 极限趋势 (1) 定义域：正切找渐近线，直接排除； (2) 奇偶性判断：偶函数（y轴对称）；奇函数（原点对称），快速筛除选项； (3) 特殊点代入：代入、端点，算出函数值正负，排除明显不符图像； (4) 周期判断：，看图像重复间隔；带绝对值、周期减半； (5) 单调性：看上升、下降；正切在每一个周期内单调递增； 【经典例题】 1．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 2．函数在一个周期内的大致图象是（    ） A．  B．   C．   D．   3．函数，的简图是（    ） A．B．C． D． 4．函数，的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．函数的图像是（    ） A． B． C． D． 6．函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 7．设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．函数在区间内的图象是___________.（填相应序号）    【巩固练习】 1．函数的简图是（    ） A． B． C． D． 2．函数的简图是（    ） A． B． C． D． 3．函数在上的图象是（   ） A． B． C． D． 4．函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 5．函数|在区间（，）内的图象是（   ） A． B． C． D． 6．函数（）的图象可能是（    ） A．  B．  C．   D．   7．函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型四 三角函数基本性质的判断 1. 周期 (1) ：； (2) ； (3) 加绝对值：周期变为；注意：不是周期函数。 2. 奇偶性 (1) 奇函数：图像关于原点对称； (2) 偶函数：图像关于y轴对称； (3) 若为奇函数，则；偶函数，则。 3. 对称轴（函数取到最值处） (1) 正弦函数对称轴：； (2) 余弦函数对称轴：； (3) 判断一条直线是否为对称轴：把x代入，函数必须取得最大值或最小值。 4. 对称中心（函数零点，图像与平衡轴交点） (1) 正弦函数对称中心 (2) 余弦函数对称中心 (3) 正切函数对称中心。 5. 单调性判断： (1) 把看作整体，代入基础正弦余弦单调区间求解； (2) 要先变形把化成正数。 6. 多选题技巧： (1) 逐项验证； (2) 判断对称轴代进去看是否取最值； (3) 判断对称中心代入看函数值是否为 0。 【经典例题】 1．对于正弦函数的图象，有以下四个说法：①关于原点对称；②关于x轴对称；③关于y轴对称；④有无数条对称轴．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 2．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 4．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 5．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为 C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为 6．（多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B． C．为偶函数 D．的图象关于直线对称 7．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 8．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小值为2 B．的图象关于原点对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称 9．函数是（　　） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 10．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．若周期是，则其对称轴方程为， C．若，则在区间单调递增 D．若方程在上有三个根，则 【巩固练习】 1．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数满足以下四条性质：（1）在定义域内函数不单调；（2）在上函数有最小值；（3）函数是奇函数；（4）函数的图象是轴对称图形.则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 5．（多选）下面关于叙述中正确的是（   ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数是偶函数 6．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．为周期函数 7．（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域是 B．的图象关于原点对称 C． D．当时，的最小值为 8．已知函数，则下列说法错误的是（   ） A．为奇函数 B．曲线的对称中心为 C．在区间上单调递减 D．在区间上有一条对称轴 9．写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：______． ①是奇函数  ②是偶函数  ③函数有极值 10．（多选）如图所示的太极图是由黑、白两个鱼纹组成的图案．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法中正确的是（    ） A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B．函数可以是某个圆的“太极函数” C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数” D．是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形” 题型五 三角函数的零点及零点个数判断 1. 函数零点定义：的实数解； (1) 零点个数等价于方程实数解的个数；也等价于与交点个数； (2) 复杂方程转化两个函数图像交点。 2. 解题方法 (1) 直接解方程型 令，解三角方程，写出通解；若限定区间，对k取整数筛选区间内解，统计零点个数。 (2) 复杂方程，零点个数问题（高频） ①变形方程，整理为； ②同一坐标系，画出与在指定区间上的图像； ③数图像交点的个数，即为零点个数； (3) 画图要点：用五点法画三角函数图像，看清区间端点是否取到（空心 / 实心）。 (4) 带取整、绝对值的复杂零点 先根据定义分段化简函数，再画图数交点。 易错提醒 (1) 区间端点要注意开闭：端点取不到，则该点不计入零点； (2) 画图要注意三角函数振幅、周期，不要画错周期导致数错交点。 【经典例题】 1．已知，则______． 2．函数的零点为______． 3．函数的零点是______． 4．方程的实数解的个数是（    ） A． B． C． D． 5．时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 7．已知，当时，函数的零点个数为______. 8．若函数，则关于的方程的不同的解共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 9．函数的零点个数为_____________． 10．已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习】 1．函数，的零点是______． 2．若，则符合条件的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．满足的所有的集合为______. 4．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 6．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．当时，确定方程的根的个数为_________个. 8．函数的零点的个数是______． 9．函数，的图象与直线（a为常数）的交点个数不可能为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．当，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型六 三角函数图象变换 函数的图象经变换得到的图象的步骤 【经典例题】 1．将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 2．先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 3．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 6．函数的图象可由函数的图象（    ）个单位得到 A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 7．函数的图象，可以由函数的图象向右平移个单位得到，则（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象平移得到函数的图象，且点为曲线在轴右侧的首个对称中心，则上述的平移方式可以是（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 9．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 10．（多选）有以下四种变换方式，能将函数的图象变为的图象的是（    ） A．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 B．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 D．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 【巩固练习】 1．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 3．将函数的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 5．为了得到的图象，可以将函数的图象上（     ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 6．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 7．为了得到函数，的图象，只需将上所有的点（     ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 8．为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 9．函数的图象经过适当变换可以得到的图象，则这种变换可以是（    ） A．沿x轴向右平移个单位 B．沿x轴向左平移个单位 C．沿x轴向左平移个单位 D．沿x轴向右平移个单位 10．以下对函数的图象的变换中，可以得到函数的图象的是（    ） A．先将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 B．先将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 C．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 题型七 根据三角函数的最值（值域）求参 1. 换元，令，根据x的范围写出t的区间； 2. 根据已知值域，得到的取值集合； 3. 结合图像，分析t区间端点与三角函数最值点之间的位置关系； 4. 列出关于参数的不等式或者方程，求解参数； 5. 多解时结合题意取舍参数。 易错提醒：的区间是闭区间，要区分能否取到最大值1、最小值。 【经典例题】 1．函数在x∈[]上的最大值为4，则实数a为____. 2．若函数在区间上的值域为，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在处取得最大值，则___________． 4．（多选）若函数的最大值是4，最小值是，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 5．设，．若函数，的值域为，且，则___. 6．已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 8．已知函数的最大值为，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．7 D．8 9．若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 10．函数的最小值为0，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知函数，的最小值是，则实数__________. 2．设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 3．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________. 4．若的最大值为3，则______． 5．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则__________. 6．已知函数，的最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上的最小值为，则的最小值为__________． 8．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知，当时，取最大值，当时，取最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八 根据三角函数奇偶性求参 1. 函数为奇函数： (1) 正弦型为奇函数，则； (2) 余弦型为奇函数，则。 2. 函数为偶函数： (1) 正弦型为偶函数，则； (2) 余弦型为偶函数，则。 3. 通用方法： (1) 利用定义恒成立，对比等式两边，求出参数。 (2) 求出参数后代入回原函数做检验。 易错提醒： 求出是通解，题目有限制条件（如），要筛选出符合条件的。 【经典例题】 1．已知函数为偶函数，则___________.（写出满足题意的一个即可） 2．若为偶函数，且，则的值为______． 3．已知函数 是奇函数，则θ的值为（    ） A．0 B． C． D． 4．已知函数，，若为奇函数，则__________　，若为偶函数，则________　. 5．已知函数，是奇函数且在上单调递减，则_______. 6．若函数是奇函数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 7．若函数为奇函数，则的最小值为__________. 8．已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B． C． D． 9．若函数为奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知为奇函数，且m满足不等式，则m的值为________． 【巩固练习】 1．已知函数，为偶函数，则__________. 2．若为偶函数，则______ 3．若函数为偶函数，则的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 4．已知为奇函数，则当正数取最小值时，函数的图象的对称轴方程是______． 5．若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 6．若函数为奇函数，则__________． 7．已知函数是偶函数，且，则的最小值为______. 8．已知的图象关于原点对称，且在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 9．若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 11．若为偶函数，则______. 12．若的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型九 根据三角函数单调性求参 1. 换元：，得到x对应t的区间； 2. 写出标准单调区间，如单调增区间； 3. 核心条件：t的区间必须是标准单调区间的子集： 转化不等式组，求解参数；结合，筛选结果。 易错提醒 (1) 是题目常见条件； (2) 必须保证换元之后t的整个区间落在三角函数标准单调区间内部，子集关系，不能只是部分重叠。 【经典例题】 1．设，若函数在上严格增，则的取值范围是________. 2．函数在区间上单调递增，则的取值范围是____________. 3．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是______． 4．已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是__________. 6．已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若对任意的，函数在区间上单调递增，则正实数的取值范围是____． 8．已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________. 9．已知函数，若，且在上单调，则的取值共有________个． 10．已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 3．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．函数，对都有，且在上单调，则的值为_____ 8．已知函数，其中，.若为偶函数，，且，并且在区间上单调递减，则_____，_______. 9．已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________． 10．已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_____. 题型十 根据三角函数零点个数求参数范围 1. 换元，由x范围写出t的区间； 2. 原函数零点等价于或，解出； 3. 问题转化：在t区间内恰好有N个形式的解； 4. 结合图像，列出t区间左右端点满足的不等式； 5. 解不等式得到参数范围。 易错提醒： (1) 仔细区分端点是否可以取等号： (2) 区间端点t恰好等于，是否计入零点，看原题x区间开闭。 【经典例题】 1．已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在上有且仅有1个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间有且仅有6个零点，则的取值范围是________. 6．若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．设函数，若存在，使得，则的值不可能是（   ）． A． B． C． D． 8．已知函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是___ 9．已知函数，设，则在上的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．若，函数恰有4个零点，则实数的取值范围是__________. 【巩固练习】 1．若函数在区间上至少有2个零点，则的最小值是______. 2．若函数，恰有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________． 4．若函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围为______. 5．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．设函数在区间恰有四个最值点和三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的图象与轴的交点为，_____，又在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是_____. 8．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为__________. 9．若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．若函数有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $