第一单元 万以上数的认识（思维拓展培优）-四年级上册数学从课本到奥数系列讲义（人教版）

第一单元 万以上数的认识（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：计数单位与数位顺序 1. 计数单位体系 (1) 基本单位：个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿…… (2) 进率关系：每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这种计数方法叫做十进制计数法。 注意：“相邻”是关键，例如“万”和“亿”之间隔了十万、百万、千万，进率不是10，而是10000。 2. 数位顺序表 数位是指数字在数中所占的位置。我国习惯采用四位分级法。 数级 ... 亿级 万级 个级 数位 ... 千亿位 百亿位 十亿位 计数单位 ... 千亿 百亿 十亿 (1) 位数概念：一个数含有几个数位，就是几位数。例如，10000是五位数，最高位是万位。 (2) 最高位规律： 1　 五位数的最高位是万位。 2　 九位数的最高位是亿位。 3　 十二位数的最高位是千亿位。 3. 思维拓展要点 (1) 数位 vs 计数单位：数位带“位”字（如万位），计数单位不带“位”字（如万）。 (2) 最大/最小数： 1　 最大的五位数是99999，最小的五位数是10000。 2　 最大的n位数由n个9组成；最小的n位数是1后面跟(n-1)个0。 知识点二：大数的分级读写 1. 读数法则 (1) 第一步：分级。从右往左，每四位一级，画出分级线（或在心中划分）。 (2) 第二步：读法。 1　 先读亿级，再读万级，最后读个级。 2　 亿级或万级的数，按照个级的读法来读，读完之后加上“亿”字或“万”字。 (3) 第三步：处理“0”。 1　 末尾的0：每级末尾的0都不读。 2　 中间的0：其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。 2. 写数法则 (1) 第一步：找关键词。找出“亿”、“万”字，确定亿级、万级、个级的界限。 (2) 第二步：高位到低位。先写亿级，再写万级，最后写个级。 (3) 第三步：补0占位。哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0占位。 易错点：听到“三千零五万”，万级是3005，个级没有提到，必须写四个0，即30050000，不能写成30055。 3. 思维拓展要点 (1) 读零个数判断： 1　 要想读出两个“零”，0通常分布在非末尾且不连续的位置，或者跨级分布。 2　 要想一个“零”也不读，所有的0必须放在每级的末尾。 (2) 组数问题策略： 1　 最大数：将大数字排在高位（从左到右降序排列）。 2　 最小数：将小数字排在高位，但最高位不能为0（0放在第二位，其余升序排列）。 知识点三：数的大小比较 1. 基本比较规则 (1) 位数不同：位数多的数就大。（例如：10000 > 9999） (2) 位数相同：从最高位开始比较。 1　 最高位上的数大的那个数就大。 2　 如果最高位相同，就比较下一位，直到比出大小为止。 2. 多个数排序 (1) 步骤： 1　 先数位数，按位数多少分组。 2　 位数相同的组内，从高位到低位逐位比较。 3　 使用“>”或“<”连接时，注意符号方向，建议排好序后再统一填写符号，避免出错。 3. 思维拓展要点 (1) 不等式填空： 1　 形式： 。 2　 策略：从高位比起，若高位相同，看下一位。此处万位、千位相同，百位 需小于5，故 可填0,1,2,3,4。 (2) 差值极值问题： 1　 用给定数字组成两个数，求最大差：最大数 - 最小数。 2　 求最小差：两个数位数尽可能接近，且高位数字尽可能接近（通常涉及构造相邻的两个数）。 知识点四：数的改写 1. 改写的本质 (1) 目的：为了读写方便，将整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。 (2) 性质：改写后的数与原数大小相等，是准确数，用“=”连接。 2. 改写方法 (1) 整万数改写：去掉个级的4个0，换成一个“万”字。 例： (2) 整亿数改写：去掉个级和万级的8个0，换成一个“亿”字。 例： 3. 思维拓展要点 (1) 易混辨析： （改写，大小不变，用等号） (2) 逆向思考： 1　 已知改写后的数是20万，原数可能是多少？ 2　 原数必须是整万数，即200000。 知识点五：四舍五入求近似数 1. 基本概念 (1) 近似数：与准确数接近的数，用于描述大概数量。 (2) 符号：使用 “≈” （约等号）。 (3) 方法：四舍五入法。 2. 操作步骤（以省略“万”后面的尾数为例） (1) 找准位：找到要保留的数级的最后一位（如省略万位后面的尾数，就看千位）。 (2) 看下一位：观察尾数部分的最高位（即千位上的数字）。 (3) 判断舍入： 1　 如果该位数字 < 5（0,1,2,3,4），则“舍”，直接去掉尾数，前一位不变。 2　 如果该位数字 ≥ 5（5,6,7,8,9），则“入”，去掉尾数，前一位加1。 (4) 加单位：在结果后面加上“万”或“亿”字。 3. 常见类型 (1) 省略万位后面的尾数：看千位。 例： （千位是6，入） 例： （千位是4，舍） (2) 省略亿位后面的尾数：看千万位。 4. 思维拓展要点 (1) 取值范围逆推： 题目：一个数四舍五入到万位是10万，这个数最大是多少？最小是多少？ 最大值：“四舍”得到的，千位最大是4，后续各位最大是9。即 。 最小值：“五入”得到的，千位最小是5，后续各位最小是0。即 。 口诀：最大看“舍”尾全9，最小看“入”尾全0。 (2) 进位连锁反应： 例： 千位是5，向万位进1。万位9+1=10，写0进1；十万位9+1=10，写0进1。 结果： 。注意位数增加的情况。 知识点六：自然数与综合应用 1. 自然数的定义与性质 (1) 定义：表示物体个数的1, 2, 3, 4, 5...叫做自然数。 (2) 0的地位：一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 (3) 特征： 1　 最小的自然数是0。 2　 没有最大的自然数。 3　 自然数的个数是无限的。 2. 思维拓展要点 (1) 数字谜与逻辑推理：利用数位知识和大小比较规则，解决简单的数字谜题。 例：一个七位数，百万位是5，万位是3，任意相邻三个数位之和是12，求这个数。 解法：设数为 。由 ； ； ；进而推出 ，以此类推。 重难点题型精讲 题型一、计数单位与数位顺序 【例题1】最小的七位数是( )，它的最高位是( )；最高位是十万位的数是( )位数。 【答案】 1000000 百万位 六 【分析】按照数位顺序表，从个位起向左第六位是十万位，第七位是百万位，最小的七位数是1000000；据此解答。 【详解】根据分析，最小的七位数是1000000，它的最高位是百万位；最高位是十万位的数是六位数。 【跟踪训练1】一个自然数，各个数位上的数之和是15，并且各个数位上的数都不相同，符合条件的数中，最小是( )，最大是( )。 【答案】 69 543210 【分析】要使组成的数最小，即位数最少，从最大数字9入手，15－9＝6，则这个数由6和9组成的两位数，把9放在个位，6放在十位即可。 要使组成的数最大，即位数最多，从最小数字0入手，0＋1＋2＋3＋4＋5＝15，从最高位依次按从大到小顺序排列，组成六位数。 【详解】一个自然数，各个数位上的数之和是15，并且各个数位上的数都不相同，符合条件的数中，最小是69，最大是543210。 题型二、大数的分级读写 【例题2】下面各数中，一个0也不读的是（    ）。 A．9090009090 B．990009900 C．999000900000 D．90090009090 【答案】B 【分析】根据大数读数规则，每级末尾的0都不读，其余数位有1个或连续几个0都只读1个零，将各数分级后读数即可判断。 【详解】从右往左每四位为一级对各数分级，再读数： A．9090009090读作九十亿九千万九千零九十，读1个零； B．990009900读作九亿九千万九千九百，一个0也不读； C．999000900000读作九千九百九十亿零九十万，读1个零； D．90090009090读作九百亿九千万九千零九十，读1个零。 【跟踪训练2】用下面八张卡片按要求组数。 (1)组成一个最大的数是( )。 (2)组成一个只读出一个“零”的数是( )。 (3)组成一个读出两个“零”的数是( )，读作( )。 (4)组成两个一个“零”也不读的数是( )。 【答案】(1)98520000 (2)90805200 (3) 50809002 五千零八十万九千零二 (4)85290000、25890000 【分析】（1）将这8个数字从大到小排列，即可组成最大八位数； （2）整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位有一个0或连续几个0都只读一个“零”，因此只读出1个“0”，可将1个0放在百万位、1个0放在万位，另2个0放在个级的末尾，其它数随意放；（答案不唯一） （3）读出两个“零”，可将1个0放在百万位，1个0放在万位，另外两个0放在百位和十位，其它数随意放；（答案不唯一） （4）所有的“0”都不读，可将0全都放在个级的末尾，其它数随意放。（答案不唯一） 【详解】（1）将这8个数字从大到小排列，组成一个最大的数是98520000。 （2）组成一个只读出一个“零”的数是90805200。（答案不唯一） （3）组成一个读出两个“零”的数是50809002，读作五千零八十万九千零二。（答案不唯一） （4）组成两个一个“零”也不读的数是85290000、25890000。（答案不唯一） 题型三、数的大小比较 【例题3】1476979＞147□989，□里最大填( )，25□959787＞256969787，□可以填( )。 【答案】 5 7、8、9 【分析】多位数比较大小，从高位依次比较。（1）前三位相同，看第四位，若等于6，则1476979＜1476989，不满足；□需小于6，最大填5。（2）前两位相同，看第三位，若等于6，则256959787＜256969787，不满足；□需大于6，故可填7、8、9。 【详解】根据分析可知，1476979＞147□989，□里最大填5；25□959787＞256969787，□可以填7、8、9。 【跟踪训练3】如果3□006000000＜37006000030，□中最大可以填( )，最小可以填 ( )。 【答案】 7 0 【分析】整数大小比较：位数不相同的两个数，位数多的数较大；位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数较大。如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，以此类推。 【详解】如果3□006000000＜37006000030，□中最大可以填7，最小可以填0。 【点睛】熟练掌握整数大小的比较方法是解答本题的关键。 题型四、数的改写 【例题4】把下面各数改写成用“万”或“亿”作单位的数。 640000＝( )万    20000＝( )万 6310000＝( )万    51100000000＝( )亿 507000000000＝( )亿    569400000000＝( )亿 【答案】 64 2 631 511 5070 5694 【分析】把一个整数改写成用“万”作单位的数，把个级里4个0去掉同时在后面写上“万”字即可； 把整亿的数改写成以“亿”作单位的数，就是把亿位后面的0去掉，同时在后面加上一个“亿”字，据此解答即可。 【详解】640000＝64万    20000＝2万 6310000＝631万    51100000000＝511亿 507000000000＝5070亿    569400000000＝5694亿 【跟踪训练4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2342380( )925738        180万( )1800000    30亿( )3010000000 【答案】 ＞ ＝ ＜ 【分析】大数比较大小的方法：位数相同的两个数比较大小，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。位数不同的两个数比较大小，位数多的数就大； 将1800000改写成以“万”为单位的数，然后再与180万比较即可； 30亿＝3000000000，然后再比较大小即可。 【详解】2342380＞925738； 1800000＝180万； 30亿＝3000000000，3000000000＜3010000000，所以30亿＜3010000000。 题型五、四舍五入求近似数 【例题5】一个十位数四舍五入到亿位约19亿，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 1949999999 1850000000 【分析】九位数四舍五入到亿位是19亿，这个数的十亿位数字是1，亿位数字要么是8，要么是9，要使这个数最大，那么亿级的数字是19，千万位的数字最大是4，其余数位的数字最大是9，据此写出最大的数，要使这个数最小，亿级的数字是18，千万位的数字最小是5，其余数位的数字最小是0，据此写出最小的数。 【详解】1949999999≈19亿 1850000000≈19亿 一个十位数四舍五入到亿位约19亿，这个数最大是1949999999，最小是1850000000。 【跟踪训练5】文文写的一个十位数57■865■953被墨水盖住了两个数字，这个数“四舍五入”省略万位后面的尾数约是57■866万，省略亿位后面的尾数约是57亿。这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 5748659953 5708655953 【分析】省略万位后面的尾数，需要看千位上的数，这个数省略万位后面的尾数约是57■866万，由于万位由原本的5变为6，说明千位上“五入”，千位要比4大； 省略亿位后面的尾数，要看千万位上的数，省略亿位后面的尾数约是57亿，这个数亿位原本是7，省略亿位后面的尾数后，亿位没有发生改变，说明千万位上的数是“四舍”，比5小。 【详解】由分析可知，这个数千位最大是9，最小是5，千万位最大是4，最小是0，当这个数千位和千万位都最大时，这个数最大是5748659953；当千位和千万位都最小时，这个数最小是5708655953。 题型六、自然数与综合应用 【例题6】一个自然数各个数位上的数字之和是23，而且各个数位上的数字都不相同。符合条件的最小自然数是( )，最大自然数是( )。 【答案】 689 8543210 【分析】求最小自然数，各个数位上应尽量使用较大数字，使数位尽可能少。，所以符合条件的最小自然数是689。求最大自然数，各个数位上应尽量使用较小数字，使数位尽可能多。，所以符合条件的最大自然数是8543210。 【详解】由分析可知： 一个自然数各个数位上的数字之和是23，而且各个数位上的数字都不相同。符合条件的最小自然数是689，最大自然数是8543210。 【跟踪训练6】一个百宝箱的密码是一个九位数，并且这个数的最高位和百万位都是最小的计数单位，千万位和万位都是6，亿位数字比百位数字小3，千位和十位上的数字比最小的自然数大5，其余两个数位上的数字是8。你能找出百宝箱的密码吗？ 【答案】 161865458 【分析】根据亿以上的数的数位顺序，从右边起，依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位、千亿位……，再根据题意逐一确定每个数位上的数字，最后按从高位到低位的顺序写出这个数，即可找出密码。 【详解】九位数的最高位是亿位，最小的计数单位是1，因此亿位和百万位上的数字都是1； 千万位和万位上的数字都是6； 亿位数字比百位数字小3，则百位数字为1＋3＝4； 最小的自然数是0，千位和十位上的数字比最小的自然数大5，则千位和十位上的数字都是0＋5＝5； 剩下的十万位和个位都是8； 答：这个九位数密码是161865458。 培优练习 1．6□7251000≈7亿，方框可填（    ）。 A．3 B．4 C．0~4 D．5~9 【答案】D 【分析】省略亿位后面的尾数求近似数，要看千万位上的数字，大于等于5就向亿位进1，小于5就直接舍去尾数。原数亿位是6，近似后为7亿，说明千万位满足“五入”要求。 【详解】原数亿位为6，近似后得到7亿，说明千万位的数≥5，因此方框可填5~9。 2．用6、7、8和5个0组成一个最小的八位数，并且这个数中所有的0都不读出来，这个数是（    ）。 A．67800000 B．60000078 C．60007800 D．78006000 【答案】C 【分析】多位数的读法，从高位到低位，一级一级地读。先读万级，再读个级。读万级按照个级的读法去读，再在后面加一个 “万”字。每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个零。要想这个数最小，且所有的0都不读，应将0放在个级和万级的末尾，且将6放在最高位，7放在千位，8放在百位。 【详解】A．67800000读作：六千七百八十万，所有的0都不读出来。 B．60000078读作：六千万零七十八，不符合题意。 C．60007800读作：六千万七千八百，所有的0都不读出来。 D．78006000读作：七千八百万六千，所有的0都不读出来。 又因为60007800＜67800000＜78006000，所以用6、7、8和5个0组成一个最小的八位数，并且这个数中所有的0都不读出来，这个数是60007800。 3．轩轩、悦悦看到同一个大数，他们省略万位和亿位后面的尾数，求出这个数的近似数分别是30000万和3亿，这个数可能是（    ）。 A．299990000 B．300009000 C．299999000 D．299991000 【答案】C 【分析】省略“万”后面的尾数就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字； 省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 分别计算四个选项省略到万位、亿位的近似数，与给定的数作对比即可。 【详解】A．299990000省略到万位是29999万，省略到亿位是3亿，不符合，排除； B．300009000省略到万位是30001万，省略到亿位是3亿，不符合，排除； C．299999000省略到万位是30000万，省略到亿位是3亿，符合要求； D．299991000省略到万位是29999万，省略到亿位是3亿，不符合，排除。 4．一个七位数，百位上的数字是个位上数字的5倍，个位上的数字不是0，且每相邻三个数位上的数字之和均为9，这个七位数是（    ）。 A．5315315 B．1351351 C．1531531 D．5135135 【答案】C 【分析】先根据百位数字是个位数字的5倍、个位数字不为0的条件，确定个位和百位的数字取值。利用相邻三个数位数字之和为9的条件，结合已确定的个位、百位数字，求出十位数字。从右往左依次根据相邻三个数位和为9的规则，逐步推导千位、万位、十万位、百万位的数字，得到完整七位数。 【详解】百位上的数字是个位上数字的5倍，且个位上的数字不是0，每个数位上的数最大只能为9，所以个位上的数是1，百位上的数是5，又因为每相邻三个数位上的数字之和均为9，可得十位上的数是9－5－1＝3，千位上的数是9－5－3＝1，万位上的数是9－5－1＝3，十万位上的数是9－3－1＝5，百万位上的数是9－5－3＝1，所以这个七位数是1531531。 5．2020年，我国移动电话用户大约有1594070000户。关于“1594070000”这个数，下面说法中错误的是（    ）。 A．这个数的最高位是亿位 B．这个数中的“9”表示9个千万 C．这个数只读出了1个零 D．这个数里有15个亿和9407个万 【答案】A 【分析】先将数分级，再结合大数的数位、读数、组成规则判断各选项正误。 【详解】将分级为： A．该数共10位，最高位是十亿位，描述错误； B．数字“9”在千万位，表示9个千万，描述正确； C．读作十五亿九千四百零七万，仅读出1个零，描述正确； D．亿级为15，代表15个亿，万级为9407，代表9407个万，描述正确。 6．最小的自然数是( )，( )（填“有”或“没有”）最大的自然数，自然数的个数是( )；和99999相邻的两个自然数是( )和( )。 【答案】 0 没有 无限的 100000 99998 【分析】表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11…都是自然数。 一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。两个相邻的自然数之间相差1。 【详解】最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的； 99999－1＝99998 99999＋1＝100000 和99999相邻的两个自然数是99998和100000。 7．2025年某市第三季度GDP增量是由1个百亿、2个十亿、2个亿、3个千万、1个百万组成，写作( )，四舍五入省略亿后面尾数约是( )亿。 【答案】 【分析】写数时，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写。 省略“亿”后面的尾数求近似数，就是四舍五入到亿位，需要观察千万位上的数字，若千万位上的数字小于则舍去，若大于或等于则向前一位进。 【详解】根据题意，该数由1个百亿、2个十亿、2个亿、3个千万、1个百万组成。百亿位上是，十亿位上是，亿位上是，千万位上是，百万位上是，其余数位上都是；写作：。 省略亿位后面的尾数，即四舍五入到亿位，观察千万位上的数字，千万位上是。因为，所以舍去亿位后面的尾数，结果约是亿。 8．从多位数49678390中划去3个数字，使剩下的5个数字（先后顺序不变）组成最大五位数，这个最大五位数是( )；如果组成最小五位数，这个最小五位数是( )。 【答案】 98390 46390 【分析】求最大五位数：要让五位数最大，首先万位要尽可能选大的数字：原数一共8位，划去3个剩5位，万位选的数字后面至少得留4个数字才行。从左看第一个数字是4，划掉它；第二个数字是9，它后面刚好剩6个数字，足够留后面4位，选9当万位。 接下来千位要在9后面的6、7、8里选最大的，划掉6和7，选8当千位，剩下的数字直接顺次保留，就得到98390。 求最小五位数 要让五位数最小，万位要尽可能选小的数字：首先看最左边的4，它后面有7个数字足够留后续4位，选4当万位后，千位在4后面的可选数字中选最小的6，划掉9，此时还需划掉2个数字，在6之后的7、8、3、9、0中划掉较大的7和8，顺次保留剩余数字，得到46390。 【详解】从多位数49678390中划去3个数字，使剩下的5个数字（先后顺序不变）组成最大五位数，这个最大五位数是98390；如果组成最小五位数，这个最小五位数是46390。 9．一个数用“五入”省略万位后面的尾数约是70万，这个数千位上的数字最小应该是( )，最大应该是( )，万位上的数字一定是( )。 【答案】 5 9 9 【分析】用“五入”法省略万位后面的尾数后约是70万，那么千位上的数字要大于或等于5，才能向万位进1。 【详解】这个数要大于或等于5，且小于10，要使这个数的千位上的数字最小，所以千位上的数最小是5，最大是9；由于是“五入”得到70万，说明原数的万位上的数字加上千位进上来的1后满十进1得到70万，所以原数万位上的数字是9。 即：这个数千位上的数字最小应该是（5），最大应该是（9），万位上的数字一定是（9）。 10．244万，里最小填( )；39亿，里最大填( )。 【答案】 5 4 【分析】改写成用“万”或“亿”作单位的近似数，就先找到万或亿位，然后看万或亿位后面的一个数是否大于5，当万或亿位后面的数小于5时就直接省略，当万或亿位后面的数大于或等于5时就直接向万或亿位进“1”后再省略，最后在数的末尾加一个“万”或“亿”字；据此解答。 【详解】把数近似成以“万”为单位的数，原来万位上是4，近似后变成5，说明千位上的数字要满足“五入”，也就是数字≥5，可以填5、6、7、8、9，能填的最小数就是5。 把数近似成以“亿”为单位的数，原来亿位上是39，近似后还是39，说明千万位上的数字要满足“四舍”，也就是数字＜5，可以填0、1、2、3、4，能填的最大数就是4。 因此，244万，里最小填5；39亿，里最大填4。 11．国家邮政局监测数据显示，2025年“双11”期间（10月21日至11月11日），全国快递业务量累计13938000000件，日均揽收量达634000000件。“双11”期间，顺丰通过构筑全链条绿色物流体系，寄递网络累计减少碳排放近100000吨。 (1)13938000000的最高位是( )位，“9”表示9个( )。 (2)634000000是由( )个亿和( )个万组成的。 (3)100000改写成以“万”为单位的数是( )万。 【答案】(1) 百亿 亿 (2) 6 3400 (3)10 【分析】（1）从右往左数数位依次是个位、十位、百位……数到13938000000的最高位是第11位，对应百亿位；数字“9”在从右数第9位，也就是亿位上，所以表示9个亿。 （2）把634000000按数级拆分，亿级部分是“6”，代表6个亿；万级部分是“3400”，代表3400个万。 （3）把整万数改写成以“万”为单位的数，直接去掉末尾的4个0，再加上“万”字，100000去掉末尾4个0后就是10，所以结果是10万。 【详解】（1）13938000000的最高位是百亿位，“9”表示9个亿。 （2）634000000是由6个亿和3400个万组成的。 （3）100000改写成以“万”为单位的数是10万。 12．括号里最大填几。 465050＞4( )5049    8( )5088000≈8亿   97( )56000＜97845000 5( )260＜56204     890000＞8( )3456   43( )394000＜435494000 【答案】 6 4 7 5 8 5 【分析】比较大小，先数两个数的数位，数位相同的从最高位开始比起，逐位比较，找到第一个不一样的那一位，先试和已知数字一样的数，代入验算，如果不成立，就减1再验算一遍。 求近似数，根据四舍五入规则，近似数比原数大1，说明后一位数是大于或等于5的数，近似数和原数相同，说明后一位数是小于5的数。 【详解】1．两个数最高位都是4，比较下一位，左边是6，右边万位先试6，此时左边十位上是5，右边十位上是4，5＞4，满足条件，如果填7，左边万位上是6，6＜7，不符合要求，所以最大填6。 2．要约等于8亿，说明是把亿位后面的数字直接舍去，这要求千万位上的数字必须小于5，小于5的数字有0、1、2、3、4，这些数中最大的是4，所以这里填4。 3．两个数都是8位数，最高两位都是9和7，要比较下一位，先试7，7＜8，满足条件，如果填8，接着比万位，左边万位是5，右边万位是4，5＞4，不符合要求，所以最大填7。 4．两个数都是5位数，最高位都是5，比较千位，先试5，5＜6，满足要求；再试6，千位都是6，比较十位，左边十位是6，右边十位是0.6＞0，不符合要求，所以最大填5。 5．两个数都是6位数。最高位都是8，比较下一位，先试8，8＜9，满足要求，再试9，万位都是9，比较千位，左边千位是0，右边千位是3，0＜3，不符合要求，所以最大填8。 6．两个数都是9位数，最高两位都是4和3，比较下一位，先试5，两边相同，再比较万位，左边万位是3，右边万位是4.3＜4，满足要求；如果填6，6＞5，不符合要求，所以最大填5。 即：465050＞4（6）5049    8（4）5088000≈8亿   97（7）56000＜97845000 5（5）260＜56204     890000＞8（8）3456   43（5）394000＜435494000 13．按要求组数。 (1)用0、0、1、8、9、9这六个数字组成最接近100万的数是( )。 (2)用9、3、4、7、5、0这六个数字组成近似数是74万的最大数是( )。 (3)用0、0、0、1、3、4、5、6、9这九个数字组成近似数是5亿的最小九位数是( )。 【答案】(1)998100 (2)743950 (3)450001369 【分析】（）最接近万也就是需要组成最大的六位数，那最高位上的数字要最大，然后在接下来的数位上依次填入更小的数字。 （）近似数是万的最大数说明是四舍，那么万级是，千位上舍去的最大的数是，和都要进位，百位则是，十位是，个位是。 （）近似数是亿的最小数说明是五入，那么亿级是，千万位上的五入最小的数是，接下来的数位依次填入由小到大的数字。 【详解】（1）用0、0、1、8、9、9这六个数字组成最接近100万的数是。 （2）用9、3、4、7、5、0这六个数字组成近似数是74万的最大数是。 （3）用0、0、0、1、3、4、5、6、9这九个数字组成近似数是5亿的最小九位数是。 14．请用1、3、5、7、0、0、0、4这八个数按要求组数。 (1)组成最大的八位数。 (2)只读一个零的八位数。 (3)一个零也不读出来的八位数。 (4)读3个零的八位数。 【答案】(1)75431000 (2)75430001 (3)13457000 (4)70540301 【分析】组数时高位数字越大，数越大，组成最大的八位数，从最高位开始把数字从大到小排列起来。亿以内数读数时，每级末尾的0不读，其他数位有一个或连续几个0只读一个零，按要求安排0的位置即可得到符合条件的数。 【详解】（1）将8个数字按从大到小排序：，从最高位千万位开始依次放较大的数字，剩余的0放在个级末尾，得到最大的八位数75431000。 （2）把3个连续的0放在个级的千位、百位、十位（非个级末尾，只读1个零），其余非零数字按从大到小放在高位，个位放1，得到75430001，读作七千五百四十三万零一，只读一个零。（答案不唯一） （3） 将3个0全部放在个级的末尾（每级末尾的0不读），非零数字按从小到大放在高位，得到13457000，读作一千三百四十五万七千，一个零也不读。（答案不唯一） （4）要读3个零，需3个0都不在每级末尾且不连续：把1个0放在百万位（万级中间，读1个零），1个0放在千位，1个0放在十位（个级内两个0不连续，读2个零），剩余非零数字填入其余数位，得到70540301，读作七千零五十四万零三百零一，读3个零。（答案不唯一） 15．划掉78777870这个数中某一位上的数字后，得到的数可以读作七百八十七万七千八百七十。想一想，可以划掉哪个数位上的数字？共有几种划法？ 【答案】可以划掉十万位、万位和千位上的数字；共有3种划法 【分析】先根据“七百八十七万七千八百七十”写出划掉数字后的数，然后与原数78777870对比，找出原数中需要划掉的数字及其所在的数位。由于原数中间有三个连续的7，需要确定划掉其中哪一个或哪几个都能得到目标数，从而确定划法的数量。 【详解】七百八十七万七千八百七十写作：7877870，原数比目标数多一位数字。原数的前两位是78，目标数的前两位也是78；原数的后三位是870，目标数的后三位也是870。那么划掉的数是中间的7，分别位于十万位、万位和千位。所以可以划掉十万位、万位和千位上的数字，共有3种划法。 16．小梦尝试用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字组成一个九位数，并且“四舍五入”后约等于九亿，这个数最大是多少，最小是多少？（每个数字只能用一次） 【答案】最大是948765321；最小是851234679 【分析】最高位是亿位。要使九位数最大，亿位取9，千万位取小于5的最大数字4，后面数字从大到小排列。要使九位数最小，亿位取8，千万位取大于或等于5的最小数字5，后面数字从小到大排列。 【详解】最大：亿位取9，千万位取小于5的最大数字4，后面数字从大到小排：8、7、6、5、3、2、1。最大数是948765321； 最小：亿位取8，千万位取大于或等于5的最小数字5，后面数字从小到大排：1、2、3、4、6、7、9。最小数是851234679。 答：这个数最大是948765321，最小是851234679。 17．用1，2，3，4，5可组成多少个没有重复数字的五位数？其中最大的数是多少？最小的数是多少？它们相差多少？ 【答案】120个；最大54321；最小12345；相差41976 【分析】算总个数：我们按从万位到个位的顺序选数字：万位可以选1到5任意1个数字，有5种选择；选完万位后只剩4个数字，千位就有4种选择；接着百位剩3个数字、有3种选择，十位剩2个数字、有2种选择，最后个位只剩1个数字可选。把每一步的选择数相乘：5×4×3×2×1，就是总个数。 找最大数：要让五位数最大，就得把大数字放在更高位，从最高位到最低位按从大到小排数字，得到54321。 找最小数：要让五位数最小，就得把小数字放在更高位，从最高位到最低位按从小到大排数字，得到12345。 用大数减去小数计算差值即可。 【详解】5×4×3×2 ＝20×3×2 ＝60×2 ＝120（个） 54321－12345＝41976 答：用1，2，3，4，5可组成120个没有重复数字的五位数，其中最大的数是54321，最小的数是12345，它们相差41976。 18．一款电子设备在启动前需要输入密码，已知该密码是一个八位数，最高位上的数字是6，百万位上的数字是1，十位上的数字比百万位上的数字大6，个位上的数字是8，万位上的数字是百万位上与个位上的数字之和，其余各数位上的数字都是最小的自然数。你知道这款电子设备的密码是多少吗？请说明理由。 【答案】61090078 【分析】整数的数位顺序表如下： 数级 …… 亿级 万级 个级 数位 …… 千 亿位 百 亿位 十 亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十 位 个 位 计数单位 …… 千 亿 百 亿 十 亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个 由题意得，电子设备的密码是一个八位数，所以这个数的最高位是千万位。最高位上的数字是6，即千万位上是6。百万位上的数字是1，十位上的数字比百万位上的数字大6，1＋6＝7，所以十位上是7。个位上的数字是8，万位上的数字是百万位上与个位上的数字之和，1＋8＝9，所以万位上是9。其余各数位上的数字都是最小的自然数，最小的自然数是0，所以其余各个数位上都是0，所以这个数是61090078。 【详解】答：这款电子设备的密码是61090078。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 万以上数的认识（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：计数单位与数位顺序 1. 计数单位体系 (1) 基本单位：个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿…… (2) 进率关系：每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这种计数方法叫做十进制计数法。 注意：“相邻”是关键，例如“万”和“亿”之间隔了十万、百万、千万，进率不是10，而是10000。 2. 数位顺序表 数位是指数字在数中所占的位置。我国习惯采用四位分级法。 数级 ... 亿级 万级 个级 数位 ... 千亿位 百亿位 十亿位 计数单位 ... 千亿 百亿 十亿 (1) 位数概念：一个数含有几个数位，就是几位数。例如，10000是五位数，最高位是万位。 (2) 最高位规律： 1　 五位数的最高位是万位。 2　 九位数的最高位是亿位。 3　 十二位数的最高位是千亿位。 3. 思维拓展要点 (1) 数位 vs 计数单位：数位带“位”字（如万位），计数单位不带“位”字（如万）。 (2) 最大/最小数： 1　 最大的五位数是99999，最小的五位数是10000。 2　 最大的n位数由n个9组成；最小的n位数是1后面跟(n-1)个0。 知识点二：大数的分级读写 1. 读数法则 (1) 第一步：分级。从右往左，每四位一级，画出分级线（或在心中划分）。 (2) 第二步：读法。 1　 先读亿级，再读万级，最后读个级。 2　 亿级或万级的数，按照个级的读法来读，读完之后加上“亿”字或“万”字。 (3) 第三步：处理“0”。 1　 末尾的0：每级末尾的0都不读。 2　 中间的0：其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。 2. 写数法则 (1) 第一步：找关键词。找出“亿”、“万”字，确定亿级、万级、个级的界限。 (2) 第二步：高位到低位。先写亿级，再写万级，最后写个级。 (3) 第三步：补0占位。哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0占位。 易错点：听到“三千零五万”，万级是3005，个级没有提到，必须写四个0，即30050000，不能写成30055。 3. 思维拓展要点 (1) 读零个数判断： 1　 要想读出两个“零”，0通常分布在非末尾且不连续的位置，或者跨级分布。 2　 要想一个“零”也不读，所有的0必须放在每级的末尾。 (2) 组数问题策略： 1　 最大数：将大数字排在高位（从左到右降序排列）。 2　 最小数：将小数字排在高位，但最高位不能为0（0放在第二位，其余升序排列）。 知识点三：数的大小比较 1. 基本比较规则 (1) 位数不同：位数多的数就大。（例如：10000 > 9999） (2) 位数相同：从最高位开始比较。 1　 最高位上的数大的那个数就大。 2　 如果最高位相同，就比较下一位，直到比出大小为止。 2. 多个数排序 (1) 步骤： 1　 先数位数，按位数多少分组。 2　 位数相同的组内，从高位到低位逐位比较。 3　 使用“>”或“<”连接时，注意符号方向，建议排好序后再统一填写符号，避免出错。 3. 思维拓展要点 (1) 不等式填空： 1　 形式： 。 2　 策略：从高位比起，若高位相同，看下一位。此处万位、千位相同，百位 需小于5，故 可填0,1,2,3,4。 (2) 差值极值问题： 1　 用给定数字组成两个数，求最大差：最大数 - 最小数。 2　 求最小差：两个数位数尽可能接近，且高位数字尽可能接近（通常涉及构造相邻的两个数）。 知识点四：数的改写 1. 改写的本质 (1) 目的：为了读写方便，将整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。 (2) 性质：改写后的数与原数大小相等，是准确数，用“=”连接。 2. 改写方法 (1) 整万数改写：去掉个级的4个0，换成一个“万”字。 例： (2) 整亿数改写：去掉个级和万级的8个0，换成一个“亿”字。 例： 3. 思维拓展要点 (1) 易混辨析： （改写，大小不变，用等号） (2) 逆向思考： 1　 已知改写后的数是20万，原数可能是多少？ 2　 原数必须是整万数，即200000。 知识点五：四舍五入求近似数 1. 基本概念 (1) 近似数：与准确数接近的数，用于描述大概数量。 (2) 符号：使用 “≈” （约等号）。 (3) 方法：四舍五入法。 2. 操作步骤（以省略“万”后面的尾数为例） (1) 找准位：找到要保留的数级的最后一位（如省略万位后面的尾数，就看千位）。 (2) 看下一位：观察尾数部分的最高位（即千位上的数字）。 (3) 判断舍入： 1　 如果该位数字 < 5（0,1,2,3,4），则“舍”，直接去掉尾数，前一位不变。 2　 如果该位数字 ≥ 5（5,6,7,8,9），则“入”，去掉尾数，前一位加1。 (4) 加单位：在结果后面加上“万”或“亿”字。 3. 常见类型 (1) 省略万位后面的尾数：看千位。 例： （千位是6，入） 例： （千位是4，舍） (2) 省略亿位后面的尾数：看千万位。 4. 思维拓展要点 (1) 取值范围逆推： 题目：一个数四舍五入到万位是10万，这个数最大是多少？最小是多少？ 最大值：“四舍”得到的，千位最大是4，后续各位最大是9。即 。 最小值：“五入”得到的，千位最小是5，后续各位最小是0。即 。 口诀：最大看“舍”尾全9，最小看“入”尾全0。 (2) 进位连锁反应： 例： 千位是5，向万位进1。万位9+1=10，写0进1；十万位9+1=10，写0进1。 结果： 。注意位数增加的情况。 知识点六：自然数与综合应用 1. 自然数的定义与性质 (1) 定义：表示物体个数的1, 2, 3, 4, 5...叫做自然数。 (2) 0的地位：一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 (3) 特征： 1　 最小的自然数是0。 2　 没有最大的自然数。 3　 自然数的个数是无限的。 2. 思维拓展要点 (1) 数字谜与逻辑推理：利用数位知识和大小比较规则，解决简单的数字谜题。 例：一个七位数，百万位是5，万位是3，任意相邻三个数位之和是12，求这个数。 解法：设数为 。由 ； ； ；进而推出 ，以此类推。 重难点题型精讲 题型一、计数单位与数位顺序 【例题1】最小的七位数是( )，它的最高位是( )；最高位是十万位的数是( )位数。 【跟踪训练1】一个自然数，各个数位上的数之和是15，并且各个数位上的数都不相同，符合条件的数中，最小是( )，最大是( )。 题型二、大数的分级读写 【例题2】下面各数中，一个0也不读的是（    ）。 A．9090009090 B．990009900 C．999000900000 D．90090009090 【跟踪训练2】用下面八张卡片按要求组数。 (1)组成一个最大的数是( )。 (2)组成一个只读出一个“零”的数是( )。 (3)组成一个读出两个“零”的数是( )，读作( )。 (4)组成两个一个“零”也不读的数是( )。 题型三、数的大小比较 【例题3】1476979＞147□989，□里最大填( )，25□959787＞256969787，□可以填( )。 【跟踪训练3】如果3□006000000＜37006000030，□中最大可以填( )，最小可以填 ( )。 题型四、数的改写 【例题4】把下面各数改写成用“万”或“亿”作单位的数。 640000＝( )万    20000＝( )万 6310000＝( )万    51100000000＝( )亿 507000000000＝( )亿    569400000000＝( )亿 【跟踪训练4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2342380( )925738        180万( )1800000    30亿( )3010000000 题型五、四舍五入求近似数 【例题5】一个十位数四舍五入到亿位约19亿，这个数最大是( )，最小是( )。 【跟踪训练5】文文写的一个十位数57■865■953被墨水盖住了两个数字，这个数“四舍五入”省略万位后面的尾数约是57■866万，省略亿位后面的尾数约是57亿。这个数最大是( )，最小是( )。 题型六、自然数与综合应用 【例题6】一个自然数各个数位上的数字之和是23，而且各个数位上的数字都不相同。符合条件的最小自然数是( )，最大自然数是( )。 【跟踪训练6】一个百宝箱的密码是一个九位数，并且这个数的最高位和百万位都是最小的计数单位，千万位和万位都是6，亿位数字比百位数字小3，千位和十位上的数字比最小的自然数大5，其余两个数位上的数字是8。你能找出百宝箱的密码吗？ 培优练习 1．6□7251000≈7亿，方框可填（    ）。 A．3 B．4 C．0~4 D．5~9 2．用6、7、8和5个0组成一个最小的八位数，并且这个数中所有的0都不读出来，这个数是（    ）。 A．67800000 B．60000078 C．60007800 D．78006000 3．轩轩、悦悦看到同一个大数，他们省略万位和亿位后面的尾数，求出这个数的近似数分别是30000万和3亿，这个数可能是（    ）。 A．299990000 B．300009000 C．299999000 D．299991000 4．一个七位数，百位上的数字是个位上数字的5倍，个位上的数字不是0，且每相邻三个数位上的数字之和均为9，这个七位数是（    ）。 A．5315315 B．1351351 C．1531531 D．5135135 5．2020年，我国移动电话用户大约有1594070000户。关于“1594070000”这个数，下面说法中错误的是（    ）。 A．这个数的最高位是亿位 B．这个数中的“9”表示9个千万 C．这个数只读出了1个零 D．这个数里有15个亿和9407个万 6．最小的自然数是( )，( )（填“有”或“没有”）最大的自然数，自然数的个数是( )；和99999相邻的两个自然数是( )和( )。 7．2025年某市第三季度GDP增量是由1个百亿、2个十亿、2个亿、3个千万、1个百万组成，写作( )，四舍五入省略亿后面尾数约是( )亿。 8．从多位数49678390中划去3个数字，使剩下的5个数字（先后顺序不变）组成最大五位数，这个最大五位数是( )；如果组成最小五位数，这个最小五位数是( )。 9．一个数用“五入”省略万位后面的尾数约是70万，这个数千位上的数字最小应该是( )，最大应该是( )，万位上的数字一定是( )。 10．244万，里最小填( )；39亿，里最大填( )。 11．国家邮政局监测数据显示，2025年“双11”期间（10月21日至11月11日），全国快递业务量累计13938000000件，日均揽收量达634000000件。“双11”期间，顺丰通过构筑全链条绿色物流体系，寄递网络累计减少碳排放近100000吨。 (1)13938000000的最高位是( )位，“9”表示9个( )。 (2)634000000是由( )个亿和( )个万组成的。 (3)100000改写成以“万”为单位的数是( )万。 12．括号里最大填几。 465050＞4( )5049    8( )5088000≈8亿   97( )56000＜97845000 5( )260＜56204     890000＞8( )3456   43( )394000＜435494000 13．按要求组数。 (1)用0、0、1、8、9、9这六个数字组成最接近100万的数是( )。 (2)用9、3、4、7、5、0这六个数字组成近似数是74万的最大数是( )。 (3)用0、0、0、1、3、4、5、6、9这九个数字组成近似数是5亿的最小九位数是( )。 14．请用1、3、5、7、0、0、0、4这八个数按要求组数。 (1)组成最大的八位数。 (2)只读一个零的八位数。 (3)一个零也不读出来的八位数。 (4)读3个零的八位数。 15．划掉78777870这个数中某一位上的数字后，得到的数可以读作七百八十七万七千八百七十。想一想，可以划掉哪个数位上的数字？共有几种划法？ 16．小梦尝试用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字组成一个九位数，并且“四舍五入”后约等于九亿，这个数最大是多少，最小是多少？（每个数字只能用一次） 17．用1，2，3，4，5可组成多少个没有重复数字的五位数？其中最大的数是多少？最小的数是多少？它们相差多少？ 18．一款电子设备在启动前需要输入密码，已知该密码是一个八位数，最高位上的数字是6，百万位上的数字是1，十位上的数字比百万位上的数字大6，个位上的数字是8，万位上的数字是百万位上与个位上的数字之和，其余各数位上的数字都是最小的自然数。你知道这款电子设备的密码是多少吗？请说明理由。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $