☆ 周长与面积的变化（思维拓展培优）-四年级上册数学从课本到奥数系列讲义（苏教版）

☆ 周长与面积的变化（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一、面积固定下的周长变化规律 1. 基本定义 当多个长方形（包括正方形）的面积相等时，它们的形状可能不同，导致周长发生变化。 2. 核心规律 (1) 越接近正方形，周长越小：在面积固定的情况下，长方形的长和宽越接近（即差值越小），其周长越短。 (2) 正方形周长最小：当长与宽相等时（即变为正方形），周长达到最小值。 (3) 长宽差异越大，周长越大：长方形的长和宽相差越大（图形越细长），其周长越长。 3. 数学直观理解 (1) 假设面积为 ，长为 ，宽为 ，则 。 (2) 周长 。 (3) 根据“和定积最大，积定和最小”的逆向思维：乘积固定时，两数之和在两数相等时最小，两数差距拉大时和变大。 4. 关键结论 (1) 最小周长条件：图形为正方形。 (2) 无最大周长限制：理论上，若长无限拉长，宽无限缩小（保持面积不变），周长可以无限增大。 知识点二、周长固定下的面积变化规律 1. 基本定义 当多个长方形（包括正方形）的周长相等时，它们的长宽组合不同，导致内部包含的面积大小不同。 2. 核心规律 (1) 越接近正方形，面积越大：在周长固定的情况下，长方形的长和宽越接近，其面积越大。 (2) 正方形面积最大：当长与宽相等时（即变为正方形），面积达到最大值。 (3) 长宽差异越大，面积越小：长方形的长和宽相差越大（图形越细长），其面积越小。 3. 数学直观理解 (1) 假设周长为 ，则长+宽 = （半周长固定）。 (2) 设长为 ，宽为 ，则 。 (3) 面积 。 (4) 两个数的和一定时，这两个数相等时乘积最大；两数差值越大，乘积越小。 4. 关键结论 (1) 最大面积条件：图形为正方形。 (2) 最小面积趋近：当长接近半周长，宽接近0时，面积趋近于0（在整数边长限制下，宽为1时面积最小）。 知识点三、最值规律的实际应用 1. 围栏/篱笆问题（周长固定求最大面积） (1) 场景描述：用一定长度的篱笆围成一个长方形菜园（或靠墙围），如何围面积最大？ (2) 解题策略： 1　 四面围：尽量围成正方形。若边长必须为整数，长与宽的差应最小（差为0或1）。 2　 一面靠墙：设墙长为长，则长 = 2 宽时，面积最大。 2. 铺地砖/切割问题（面积固定求最小周长/最少材料） (1) 场景描述：用若干个相同的小正方形拼成一个大长方形，如何拼周长最短？ (2) 解题策略： 1　 小正方形总数即为大长方形的面积（单位面积）。 2　 将总面积分解为两个整数的乘积（长 宽）。 3　 寻找两个因数最接近的一组作为长和宽。 4　 结论：拼成的图形越接近正方形，露出的边长越少，周长越短，所需的装饰条/围栏材料越少。 3. 易错点提示 (1) 单位统一：计算前务必确认长、宽、周长、面积的单位是否一致（如米与厘米，平方米与平方分米）。 (2) 概念区分：周长是“线”，单位是长度单位（m, cm）；面积是“面”，单位是面积单位（m², cm²）。 重难点题型精讲 题型一、面积固定下的周长变化规律 【例题1】动手画图（每个小方格边长为1厘米）用12个边长是1厘米的小正方形拼成一个大长方形，想一想有几种拼法，请在下面的方格纸上画出来。 当长是（    ）厘米，宽是（    ）厘米时周长最短。 【跟踪训练1】用12张边长为1厘米的正方形卡片拼长方形或正方形。怎样拼才能使拼成的图形周长最短？请在方格纸上画出周长最短的图形，并标注长、宽的长度。 题型二、周长固定下的面积变化规律 【例题2】下面每个小方格代表1平方厘米。 (1)在上面的方格中画3个形状不同、周长是12厘米的长方形或正方形。（边长为整数） (2)在这3个图形中，面积最大的是( )平方厘米。 【跟踪训练2】下面每个小方格表示边长是1厘米的小正方形。 (1)长方形①的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 (2)在格子图中，再画三个与长方形①周长相等但长、宽都不相同的长方形，分别标为长方形②、③、④，再标出它们长与宽的厘米数。（长、宽为整厘米数） (3)长方形②、③、④中，面积最大的是长方形( )，面积是( )平方厘米。 题型三、最值规律的实际应用 【例题3】劳动实践课上，学校为每个班级准备了总长16米的围栏，用来围建长方形或者正方形蔬菜种植区（围栏全部用完）。 (1)请在方格纸上画出所有不同的围建方案。 (2)分别算出每种方案对应的菜园面积。 (3)对比所有方案的面积，说一说：怎样围面积最大？你发现了什么规律？ 【跟踪训练3】王老师要用28米长的篱笆围一块菜地（四边均不靠墙）。小刚的设计方案（如图），面积为11×3＝33（平方米）。王老师想要一个面积更大的菜地，你打算怎么设计？请画图标出数据，并算出菜地面积。 培优练习 1．把5个小正方形拼在一起（如下图），哪一组的周长最短？（    ） A． B． C． D． 2．一块长方形菜地，长16米，宽10米，一面靠着池塘，其余的边用篱笆围起来，至少要用（    ）米的篱笆。 A．52 B．32 C．42 D．36 3．如图，从一个长9cm、宽5cm的长方形边上剪去一个长5cm、宽2.5cm的小长方形（阴影部分为剪去的小长方形）。剩下的图形中，周长最小的是（    ）。 A．图① B．图② C．图③ D．无法比较 4．如图，一块长方形菜地，长8米，宽3米。四周围上篱笆，篱笆要( )米。如果一面靠墙，篱笆至少是( )米。 5．把3张长5dm，宽3dm的长方形硬纸板拼成一个周长最大的长方形，这个长方形的周长是( )dm，面积是( )dm2。 6．李大叔用18根1米长的木条能围成( )种不同的长方形（取整米数），在长为( )米，宽为( )米的情况下，面积最大。 7．张大爷用18根1米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围花圃面积最大？（围成的长方形的长和宽都是整厘米数） （1）有序列举出长方形的长和宽，填写下表。 长/米 宽/米 面积/平方米 （2）长是（    ）米、宽是（    ）米时，面积最大。 （3）观察表中的数据，长方形周长一定时，长和宽相差越（    ），面积越（    ）。 8．妈妈准备了18米长的篱笆围成一边靠墙的长方形菜地，如何设计菜地的面积最大？请在如图所示的方格纸上画出图形并计算出它的面积。（长和宽是整数）（每个方格代表1平方米）。 9．按要求画图并填空。（每个小方格的边长为1厘米） （1）有一个长方形的周长是5＋3＋5＋3＝16（厘米），请根据这个算式在方格图中画出这个图形，并在图形中标上“①”。 （2）画出与图形①的周长相等，但形状不一样的长方形和正方形各一个，分别标上“②”和“③”。 （3）图形①、②、③中，面积最大的是图形（     ）。 10．王奶奶想在院子里用篱笆围一块长方形的菜地，长15米，宽10米。菜地其中一面靠墙（墙足够长），其余三面围上篱笆。王奶奶想尽量节省篱笆材料，请你帮她算一算，这块菜地最少需要围多少米长的篱笆？ 11．周大爷想用篱笆在房屋后的空地上围一个长10米，宽6米的长方形菜地。如果一面靠墙，最多要用多长的篱笆？（请先画草图，再列式解答） 12．用一根长30米的铁丝围成一个长方形，长、宽分别等于多少米时其面积最大？最大面积是多少（长和宽为整米数）？ 13．爷爷想用22米长的篱笆围一个长方形的羊圈，怎样围才能使羊圈面积最大？（羊圈的长和宽均是整米数，四周不靠墙） 长/米 宽/米 面积/平方米 答：当（    ）时，羊圈面积最大。 14． (1)上图中每个小方格代表1平方厘米，请在图上分别画出面积都是16平方厘米的长方形和正方形。 (2)所画的长方形的周长是( )厘米，所画的正方形的周长是( )厘米。 (3)比较它们的周长与面积，你有什么发现？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ☆ 周长与面积的变化（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一、面积固定下的周长变化规律 1. 基本定义 当多个长方形（包括正方形）的面积相等时，它们的形状可能不同，导致周长发生变化。 2. 核心规律 (1) 越接近正方形，周长越小：在面积固定的情况下，长方形的长和宽越接近（即差值越小），其周长越短。 (2) 正方形周长最小：当长与宽相等时（即变为正方形），周长达到最小值。 (3) 长宽差异越大，周长越大：长方形的长和宽相差越大（图形越细长），其周长越长。 3. 数学直观理解 (1) 假设面积为 ，长为 ，宽为 ，则 。 (2) 周长 。 (3) 根据“和定积最大，积定和最小”的逆向思维：乘积固定时，两数之和在两数相等时最小，两数差距拉大时和变大。 4. 关键结论 (1) 最小周长条件：图形为正方形。 (2) 无最大周长限制：理论上，若长无限拉长，宽无限缩小（保持面积不变），周长可以无限增大。 知识点二、周长固定下的面积变化规律 1. 基本定义 当多个长方形（包括正方形）的周长相等时，它们的长宽组合不同，导致内部包含的面积大小不同。 2. 核心规律 (1) 越接近正方形，面积越大：在周长固定的情况下，长方形的长和宽越接近，其面积越大。 (2) 正方形面积最大：当长与宽相等时（即变为正方形），面积达到最大值。 (3) 长宽差异越大，面积越小：长方形的长和宽相差越大（图形越细长），其面积越小。 3. 数学直观理解 (1) 假设周长为 ，则长+宽 = （半周长固定）。 (2) 设长为 ，宽为 ，则 。 (3) 面积 。 (4) 两个数的和一定时，这两个数相等时乘积最大；两数差值越大，乘积越小。 4. 关键结论 (1) 最大面积条件：图形为正方形。 (2) 最小面积趋近：当长接近半周长，宽接近0时，面积趋近于0（在整数边长限制下，宽为1时面积最小）。 知识点三、最值规律的实际应用 1. 围栏/篱笆问题（周长固定求最大面积） (1) 场景描述：用一定长度的篱笆围成一个长方形菜园（或靠墙围），如何围面积最大？ (2) 解题策略： 1　 四面围：尽量围成正方形。若边长必须为整数，长与宽的差应最小（差为0或1）。 2　 一面靠墙：设墙长为长，则长 = 2 宽时，面积最大。 2. 铺地砖/切割问题（面积固定求最小周长/最少材料） (1) 场景描述：用若干个相同的小正方形拼成一个大长方形，如何拼周长最短？ (2) 解题策略： 1　 小正方形总数即为大长方形的面积（单位面积）。 2　 将总面积分解为两个整数的乘积（长 宽）。 3　 寻找两个因数最接近的一组作为长和宽。 4　 结论：拼成的图形越接近正方形，露出的边长越少，周长越短，所需的装饰条/围栏材料越少。 3. 易错点提示 (1) 单位统一：计算前务必确认长、宽、周长、面积的单位是否一致（如米与厘米，平方米与平方分米）。 (2) 概念区分：周长是“线”，单位是长度单位（m, cm）；面积是“面”，单位是面积单位（m², cm²）。 重难点题型精讲 题型一、面积固定下的周长变化规律 【例题1】动手画图（每个小方格边长为1厘米）用12个边长是1厘米的小正方形拼成一个大长方形，想一想有几种拼法，请在下面的方格纸上画出来。 当长是（    ）厘米，宽是（    ）厘米时周长最短。 【答案】 ； 4；3 【分析】把12个小正方形拼成长方形，长和宽必须是一对乘积为12的整数，可以按1和12、2和6、3和4三组长宽分别画图。再根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”计算三种长方形的周长并比较，确定周长最短时的长和宽。 【详解】按1×12、2×6、3×4三种长宽在方格纸上画出长方形。图略。 （1＋12）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） （2＋6）×2 ＝8×2 ＝16（厘米） （3＋4）×2 ＝7×2 ＝14（厘米） 14＜16＜26，所以长是4厘米、宽是3厘米时周长最短。 【跟踪训练1】用12张边长为1厘米的正方形卡片拼长方形或正方形。怎样拼才能使拼成的图形周长最短？请在方格纸上画出周长最短的图形，并标注长、宽的长度。 【答案】 【分析】用12个小正方形拼一拼只能拼成长方形。然后根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，分别算出拼出图形的周长，再比较，看哪一个周长最短。 【详解】用12个小正方形拼一拼，拼成的长方形如下所示： 长12厘米、宽1厘米 周长：（12＋1）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 长6厘米、宽2厘米 周长：（6＋2）×2 ＝8×2 ＝16（厘米） 长4厘米、宽3厘米 周长：（4＋3）×2 ＝7×2 ＝14（厘米） 14厘米＜16厘米＜26厘米 所以，拼成长是4厘米、宽是3厘米的长方形的周长最短。具体画法略。 题型二、周长固定下的面积变化规律 【例题2】下面每个小方格代表1平方厘米。 (1)在上面的方格中画3个形状不同、周长是12厘米的长方形或正方形。（边长为整数） (2)在这3个图形中，面积最大的是( )平方厘米。 【答案】(1) (2)9 【分析】因为长方形周长公式为C＝（长＋宽）×2，所以先根据周长是12厘米，计算出长与宽的和为6厘米。 因为边长为整数，所以找出所有和为6的正整数组合，对应不同的长和宽，以及长等于宽的正方形情况，筛选出3组不同的边长组合。 按照得到的边长组合，在方格中对应画出不同形状的图形。 因为长方形面积公式为S＝长×宽，所以分别计算3个图形的面积，比较后得到最大面积。 【详解】（1）12÷2＝6（厘米） 1＋5＝6（厘米），2＋4＝6（厘米），3＋3＝6（厘米）， 所以可以画长为5厘米，宽为1厘米或长为4厘米，宽为2厘米的长方形，也可以画边长为3厘米的正方形。图略。 （2）5×1＝5（平方厘米），4×2＝8（平方厘米），3×3＝9（平方厘米）， 5＜8＜9，即，面积最大的是9平方厘米。 【跟踪训练2】下面每个小方格表示边长是1厘米的小正方形。 (1)长方形①的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 (2)在格子图中，再画三个与长方形①周长相等但长、宽都不相同的长方形，分别标为长方形②、③、④，再标出它们长与宽的厘米数。（长、宽为整厘米数） (3)长方形②、③、④中，面积最大的是长方形( )，面积是( )平方厘米。 【答案】(1) 18 18 (2)（画法不唯一） (3) ④ 20 【分析】（1）观察图可知，这是一个长6厘米、宽3厘米的长方形，根据“长方形面积＝长×宽、长方形周长＝（长＋宽）×2”，即可求出图①的面积和周长。 （2）用长方形①的周长除以2，求出要画的长方形的长与宽的和，18÷2＝9，9＝8＋1，9＝7＋2，9＝6＋3，9＝5＋4，据此画出三个与长方形①周长相等但长、宽都不相同的长方形，并分别标为长方形②、③、④。 【详解】（1）6×3＝18（平方厘米） （6＋3）×2 ＝9×2 ＝18（厘米） 所以，长方形①的面积是18平方厘米，周长是18厘米。 （2）18÷2＝9（厘米） 9＝8＋1 9＝7＋2 9＝6＋3 9＝5＋4 分别画一个长8厘米、宽1厘米的长方形，画一个长7厘米、宽2厘米的长方形，画一个长5厘米、宽4厘米的长方形，画图略； （3）8×1＝8（平方厘米） 7×2＝14（平方厘米） 5×4＝20（平方厘米） 20＞14＞8 所以，长方形②、③、④中，面积最大的是长方形④，面积是20平方厘米。 题型三、最值规律的实际应用 【例题3】劳动实践课上，学校为每个班级准备了总长16米的围栏，用来围建长方形或者正方形蔬菜种植区（围栏全部用完）。 (1)请在方格纸上画出所有不同的围建方案。 (2)分别算出每种方案对应的菜园面积。 (3)对比所有方案的面积，说一说：怎样围面积最大？你发现了什么规律？ 【答案】(1) (2) 围长7米、宽1米的长方形，面积是7平方米；长6米、宽2米的长方形，面积是12平方米，长5米、宽3米的长方形，面积是15平方米；围成边长4米的正方形，面积是16平方米。 (3)围成正方形面积最大，我发现：周长相等的长方形，面积可能不相等，长与宽的差越小，面积越大；周长相等的长方形和正方形，围成正方形时面积最大。 【分析】（1）长方形的周长＝（长＋宽）×2，正方形的周长＝边长×4。先依据长方形和正方形的周长公式分别确定出长方形的长和宽的值，以及正方形的边长，从而即可画出符合要求的图。 （2）长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长。分别算出每种方案对应的菜园面积。 （3）根据题意，总长16米的围栏围建长方形或者正方形蔬菜种植区，周长都是16米，比较每种方案对应的菜园面积，可知：围成正方形面积最大，我发现：周长相等的长方形，面积可能不相等，长与宽的差越小，面积越大；周长相等的长方形和正方形，围成正方形时面积最大。 【详解】（1）长＋宽＝长方形周长÷2＝16÷2＝8米，即：长＋宽＝8米，可围长7米、宽1米的长方形、长6米、宽2米的长方形、长5米、宽3米的长方形； 边长＝正方形周长÷4，边长＝16÷4＝4米，即：可围正方形的边长是4米。 画图略。 （2）7×1＝7（平方米） 6×2＝12（平方米） 5×3＝15（平方米） 4×4＝16（平方米） 答：围长7米、宽1米的长方形，面积是7平方米；长6米、宽2米的长方形，面积是12平方米，长5米、宽3米的长方形，面积是15平方米；围成边长4米的正方形，面积是16平方米。 （3）16＞15＞12＞7 答：围成正方形面积最大，我发现：周长相等的长方形，面积可能不相等，长与宽的差越小，面积越大；周长相等的长方形和正方形，围成正方形时面积最大。 【跟踪训练3】王老师要用28米长的篱笆围一块菜地（四边均不靠墙）。小刚的设计方案（如图），面积为11×3＝33（平方米）。王老师想要一个面积更大的菜地，你打算怎么设计？请画图标出数据，并算出菜地面积。 【答案】 ；49平方米 【分析】要设计出面积更大的菜地，在周长一定的情况下，长方形的长和宽越接近，面积越大，当长和宽相等时（即为正方形），面积最大。已知篱笆长28米，四边均不靠墙，即长方形菜地的周长为28米。因为正方形的周长＝边长×4，已知周长为28米，所以边长为28÷4＝7（米）。因为正方形的面积＝边长×边长，所以此时正方形菜地的面积为7×7＝49（平方米）。画出设计图，即可解答。 【详解】28÷4＝7（米） 菜地设计图略。 7×7＝49（平方米） 答：设计成边长为7米的正方形菜地，面积是49平方米。 培优练习 1．把5个小正方形拼在一起（如下图），哪一组的周长最短？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】每组都是由5个小正方形拼成，用5个小正方体周长之和减去重合的边总长度即是图形的周长。因此，重合最多的那组周长就最短，数出重合的边的条数比较即可。 【详解】A、B、C项均有4处8条边重合，D项有5处10条边重合。故D项图形的周长最短。 2．一块长方形菜地，长16米，宽10米，一面靠着池塘，其余的边用篱笆围起来，至少要用（    ）米的篱笆。 A．52 B．32 C．42 D．36 【答案】D 【分析】要使篱笆长度最少，应将长方形最长的边靠着池塘，只需计算1条长和2条宽的长度和即可。 【详解】10×2＋16 ＝20＋16 ＝36（米） 3．如图，从一个长9cm、宽5cm的长方形边上剪去一个长5cm、宽2.5cm的小长方形（阴影部分为剪去的小长方形）。剩下的图形中，周长最小的是（    ）。 A．图① B．图② C．图③ D．无法比较 【答案】A 【分析】根据题意，从大长方形里剪去一个小长方形，会有缺口，将小长方形的一些边向外平移，把缺口补齐，补成完整的大长方形，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出大长方形的周长，如还有其它线段，再加上这些线段的长度，即是剩下图形的周长。最后比较三个图形的周长，找出周长最小的图形。 【详解】 剩下图形的周长＝大长方形的周长； （9＋5）×2 ＝14×2 ＝28（cm） 剩下图形的周长＝大长方形的周长＋2条5cm线段之和 （9＋5）×2＋5×2 ＝14×2＋10 ＝28＋10 ＝38（cm） 剩下图形的周长＝大长方形的周长＋2条2.5cm线段之和； （9＋5）×2＋2.5×2 ＝14×2＋5 ＝28＋5 ＝33（cm） 比较：38＞33＞28 剩下的图形中，周长最小的是图①。 4．如图，一块长方形菜地，长8米，宽3米。四周围上篱笆，篱笆要( )米。如果一面靠墙，篱笆至少是( )米。 【答案】 22 14 【分析】求四周围篱笆的长度，因为是求长方形的周长，所以用长方形周长＝（长＋宽）×2计算即可。 求一面靠墙时篱笆的最小长度，要让篱笆最短，就需要把最长的边靠墙，所以只需计算剩下的三条边的长度和。 【详解】四周围上篱笆，篱笆的长度为： （8＋3）×2 ＝11×2 ＝22（米） 如果一面靠墙，把最长的边靠墙，篱笆最短为： 3×2＋8 ＝6＋8 ＝14（米） 5．把3张长5dm，宽3dm的长方形硬纸板拼成一个周长最大的长方形，这个长方形的周长是( )dm，面积是( )dm2。 【答案】 36 45 【分析】把3张长方形硬纸板拼成一个长方形可以有两种拼法：（1）宽和宽重合、长与长连接；（2）长和长重合、宽与宽连接。 如果把宽和宽重合、长与长连接，新的大长方形的周长就比原来三个小长方形的周长和少了4条宽；如果把长和长重合、宽与宽连接，新的大长方形的周长就比原来三个小长方形的周长和少了4条长。所以要想大长方形的周长最大，即把宽和宽重合、长与长连接。再根据长方形的周长公式和面积公式计算出周长和面积即可。长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽。 【详解】把3张长方形硬纸板拼成一个长方形，要想大长方形的周长最大，即把宽和宽重合、长与长连接。 大长方形的长为：5×3＝15（dm），宽为：3dm （15＋3）×2 ＝18×2 ＝36（dm） 15×3＝45（dm2） 因此这个长方形的周长是36dm，面积是45dm2。 【点睛】本题的关键在于要理解清楚怎样拼出一个周长最大的长方形，即较短边重合，较长边连接所拼成的长方形周长最大。 6．李大叔用18根1米长的木条能围成( )种不同的长方形（取整米数），在长为( )米，宽为( )米的情况下，面积最大。 【答案】 4 5 4 【分析】先根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”计算出长与宽的和；然后结合长和宽取整米数的条件找出所有长和宽的组合；再根据“长方形的面积＝长×宽”计算出每种组合的面积；最后找出面积最大的组合。 【详解】长和宽的和为：18÷2＝9（米） 因为长和宽取整米数，且长大于宽，所以可能的组合有： 当宽为1米时，长为9－1＝8（米），此时面积为1×8＝8（平方米）； 当宽为2米时，长为9－2＝7（米），此时面积为2×7＝14（平方米）； 当宽为3米时，长为9－3＝6（米），此时面积为3×6＝18（平方米）； 当宽为4米时，长为9－4＝5（米），此时面积为4×5＝20（平方米）； 所以，能围成4种不同的长方形；因为8＜14＜18＜20，所以在长为5米，宽为4米时，面积最大。 7．张大爷用18根1米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围花圃面积最大？（围成的长方形的长和宽都是整厘米数） （1）有序列举出长方形的长和宽，填写下表。 长/米 宽/米 面积/平方米 （2）长是（    ）米、宽是（    ）米时，面积最大。 （3）观察表中的数据，长方形周长一定时，长和宽相差越（    ），面积越（    ）。 【答案】（1）见详解； （2）5；4； （3）小；大 【分析】（1）由于用18根1米长的木条围成一个长方形花圃，则长方形的周长是18米，根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，即此时的长加宽的和为：18÷2＝9（米），当宽是1米时，长是8米，宽是2米时，长是7米；宽是3米时，长是6米……，据此即可填表；再根据长方形的面积公式：长×宽，把数代入公式求出长方形的面积再找出面积最大的即可； （2）列举出长方形的长和宽可发现周长一定时，长和宽的差越小，面积就越大，据此解答； （3）通过观察可发现长与宽相差越大，周长越大；长与宽相差越小，周长越小； 【详解】（1）18÷2＝9（厘米） 长/米 8 7 6 5 宽/米 1 2 3 4 面积/平方米 8 14 18 20 （2）长是5米、宽是4米时，面积最大。 （3）观察表中的数据，长方形周长一定时，长和宽相差越小，面积越大。 8．妈妈准备了18米长的篱笆围成一边靠墙的长方形菜地，如何设计菜地的面积最大？请在如图所示的方格纸上画出图形并计算出它的面积。（长和宽是整数）（每个方格代表1平方米）。 【答案】 （画法不唯一） 【分析】因为菜地一边靠墙，所以篱笆只需要围三条边，也就是长＋宽×2＝18米，从宽是1米想起，算出相应的长，再根据长方形面积＝长×宽计算出面积。把所有符合条件的情况一一列举出来并对比所有结果，即可解答。 【详解】当宽为1米时，1×2＝2（米），长是18－2＝16（米），此时面积为16×1＝16（平方米） 当宽为2米时，2×2＝4（米），长是18－4＝14（米），此时面积为14×2＝28（平方米） 当宽为3米时，3×2＝6（米），长是18－6＝12（米），此时面积为12×3＝36（平方米） 当宽为4米时，4×2＝8（米），长是18－8＝10（米），此时面积为10×4＝40（平方米） 当宽为5米时，5×2＝10（米），长是18－10＝8（米），此时面积为8×5＝40（平方米） 当宽为6米时，6×2＝12（米），长是18－12＝6（米），此时面积为6×6＝36（平方米） 当长为10米，宽为4米，或者长为8米，宽为5米的长方形面积最大。 最大面积为10×4＝40（平方米） 8×5＝40（平方米） 图略 9．按要求画图并填空。（每个小方格的边长为1厘米） （1）有一个长方形的周长是5＋3＋5＋3＝16（厘米），请根据这个算式在方格图中画出这个图形，并在图形中标上“①”。 （2）画出与图形①的周长相等，但形状不一样的长方形和正方形各一个，分别标上“②”和“③”。 （3）图形①、②、③中，面积最大的是图形（    ）。 【答案】 （1） （2） （3）③ 【分析】（1）根据题意可知，长方形的长是5厘米，宽是3厘米，根据长方形的特征，每个角都是直角，对边平行且相等，邻边垂直，用三角尺的两条直角边，分别画一条长5厘米的线段，一条宽3厘米的线段，然后再用两条长和宽同长度的线段连接成长方形，并在图形中标上“①”； （2）已知周长是16厘米，长方形的长＋宽＝16÷2＝8（厘米），8＝7＋1，8＝6＋2，8＝5＋3，本题取6＋2为长方形的长和宽，然后按照长方形的画法，画出长方形并在图形中标上“②”；正方形的周长＝边长×4，边长＝16÷4＝4厘米，根据正方形的特征，正方形是一种四边形，其四条边长度相等且四个角都是直角，用三角尺的两条直角边，分别画两条距离为4厘米的线段，然后再用两条同长度的线段连接成正方形，并在图形中标上“③”； （3）按照要求数①、②、③中各自小正方形的块数，即可求解。 【详解】（1）略 （2）略 （3）①中15个小正方形，②中12个小正方形，③中16个小正方形； 图形③中的小正方形块数最多。 10．王奶奶想在院子里用篱笆围一块长方形的菜地，长15米，宽10米。菜地其中一面靠墙（墙足够长），其余三面围上篱笆。王奶奶想尽量节省篱笆材料，请你帮她算一算，这块菜地最少需要围多少米长的篱笆？ 【答案】35米 【分析】篱笆仅围三面，要节省材料，需让靠墙的边尽可能长，这样省去的篱笆最多。可分别计算长靠墙和宽靠墙时的篱笆长度，比较后得出最小值。 【详解】第一种：长的一边靠墙，篱笆长为2条宽加1条长。 ＝20 ＋ 15 （米） 第二种：宽的一边靠墙，篱笆长为2条长加1条宽。 ＝30 ＋ 10 （米） 因为，所以最少需要围35米长的篱笆。 11．周大爷想用篱笆在房屋后的空地上围一个长10米，宽6米的长方形菜地。如果一面靠墙，最多要用多长的篱笆？（请先画草图，再列式解答） 【答案】26米； 【分析】根据题意，已知这块长方形菜地中有一面靠墙，那么可以有一条长靠墙，也可以有一条宽靠墙，求最多要用多长的篱笆，则尽可能用最短的靠墙，也就是宽靠墙，即求这个长方形菜地两条长和一条宽的长度的总和。 【详解】画图略； 10×2＋6＝20＋6＝26（米） 答：最多要用26米的篱笆。 12．用一根长30米的铁丝围成一个长方形，长、宽分别等于多少米时其面积最大？最大面积是多少（长和宽为整米数）？ 【答案】长为8米，宽为7米时，它的面积最大；56平方米 【分析】周长相等时，长与宽的差越小，面积越大。周长÷2＝长＋宽，计算出长与宽的和之后，找到相差最小的长与宽，再根据长×宽计算面积。 【详解】30÷2＝15（米）    15＝8＋7＝9＋6＝…… 相差最小的是长为8米，宽为7米 8×7＝56（平方米）    答：当这个长方形的长为8米，宽为7米时，它的面积最大，最大面积为56平方米。 13．爷爷想用22米长的篱笆围一个长方形的羊圈，怎样围才能使羊圈面积最大？（羊圈的长和宽均是整米数，四周不靠墙） 长/米 宽/米 面积/平方米 答：当（    ）时，羊圈面积最大。 【答案】 长/米 10 9 8 7 6 宽/米 1 2 3 4 5 面积/平方米 10 18 24 28 30 长6米，宽5米 【分析】长方形的周长等于篱笆的长度，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，可求出长＋宽的值，长宽均是整米数，可以一一列举出来长和宽的组合，然后计算对应的面积，最后把数值填入表中即可。 【详解】22÷2＝11（米） 11＝10＋1＝9＋2＝8＋3＝7＋4＝6＋5 若长10米、宽1米，面积为10×1＝10（平方米） 若长9米、宽2米，面积为9×2＝18（平方米） 若长8米、宽3米，面积为8×3＝24（平方米） 若长7米、宽4米，面积为7×4＝28（平方米） 若长6米、宽5米，面积为6×5＝30（平方米） 30＞28＞24＞18＞10 图略 答：当长为6米，宽为5米时，面积最大。 14． (1)上图中每个小方格代表1平方厘米，请在图上分别画出面积都是16平方厘米的长方形和正方形。 (2)所画的长方形的周长是( )厘米，所画的正方形的周长是( )厘米。 (3)比较它们的周长与面积，你有什么发现？ 【答案】(1)（长方形画法不唯一） (2) (3)长方形和正方形面积相等的情况下，长方形的周长更长。 【分析】（）图中每一个方格代表平方厘米，即每格长厘米．根据长方形的面积计算公式长乘宽，如画长厘米，宽厘米或长厘米，宽厘米的长方形，其面积都是平方厘米；根据正方形的面积计算公式边长边长，只有边长是厘米的正方形，其面积是平方厘米。 （）所画长方形的长为厘米，宽为厘米，根据长方形周长计算公式“，正方形周长公式边长即可计算出所画长方形和正方形的周长。 （）通过比较发现：长方形和正方形面积相等的情况下，长方形的周长更长。 【详解】（1）画图略； （2）（厘米） （厘米） 所画的长方形的周长是厘米，所画的正方形的周长是厘米。 （3）答：长方形和正方形面积相等的情况下，长方形的周长更长。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $