第11讲 圆的周长进阶 专题讲义-人教版数学六年级上册奥数培优

第11讲 圆的周长进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础公式回顾 圆的周长：（为直径，为半径，通常取 3.14） 圆周率：圆的周长与直径的比值，是无限不循环小数，计算时一般取近似值 3.14。 2. 进阶核心 1：半圆与半圆弧（易错点） 半圆弧长：圆周长的一半，只有曲线部分。 公式： 半圆周长：封闭半圆一周的长度，包含半圆弧和 1 条直径。 公式： 易错提醒：半圆周长 ≠ 圆周长的一半，必须加上直径的长度。 反推公式：已知半圆周长求半径： 3. 进阶核心 2：组合图形周长（平移法） 核心思路：将不规则的线段平移、拼接，把分散的曲线凑成整圆、半圆或四分之一圆，把零散的直线段合并，简化计算。 解题关键：周长是图形外围一周的总长度，图形内部的线段不算入周长，既不能漏算外围边，也不能多算内部线。 常见类型： 跑道型：两个半圆 + 两条直道，两个半圆可拼成一个整圆； 凹凸型：通过平移横向 / 纵向线段，转化为规则长方形 + 圆弧； 多圆拼接型：外围的圆弧凑成整圆，直线段分别相加。 4. 进阶核心 3：圆的滚动问题 沿直线滚动： 圆滚动 1 圈，前进的路程 = 圆自身的周长； 滚动圈数 = 总路程 ÷ 圆的周长。 绕图形滚动： 圆心走过的路程 = 图形的周长 + 一个圆的周长； 原理：图形拐角处的圆弧合起来正好是一个完整的圆。 本质：滚动时，圆心到接触面的距离始终等于圆的半径。 5. 进阶核心 4：捆扎问题 核心规律：用绳子捆扎多个相同的圆形物体，绳子长度由两部分组成： 曲线部分：所有拐角的圆弧合起来通常是1 个完整的圆周长； 直线部分：有几个圆形物体，就有几条直径（或半径）的长度。 常见结论：捆个相同的圆，捆一圈的长度 = （接头不计）。 6. 解题通用步骤 ① 观察图形，明确周长由哪几部分组成（曲线 + 直线）； ② 曲线部分：通过拼接凑成整圆、半圆，计算弧长； ③ 直线部分：数清段数，计算总长度； ④ 曲线长度 + 直线长度 = 总周长，注意统一单位。 例题讲解 【典型例题 1】半圆周长辨析与计算 （1）求半径为 4 厘米的半圆的周长； （2）一个半圆的周长是 20.56 厘米，求它的直径。 【跟踪训练 1】 （1）直径为 6 分米的半圆，周长是多少分米？ （2）一个半圆的周长是 15.42 米，求它的半径。 【典型例题 2】组合图形周长（跑道型） 一个运动场跑道，中间是长方形，长 100 米，宽 60 米，两端是半圆形。这个跑道的周长是多少米？ 【跟踪训练 2】 一个长方形长 8 厘米，宽 5 厘米，在它的一条宽边上向内凹进一个直径为 5 厘米的半圆。这个图形的周长是多少厘米？ 【典型例题 3】圆的滚动问题 一个半径为 10 厘米的圆，沿一条直线从 A 点滚动到 B 点，共前进了 6.28 米。这个圆滚动了多少圈？ 【跟踪训练 3】 一个半径为 1 厘米的小圆，绕着一个长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形外侧滚动一周。圆心走过的路程是多少厘米？ 【典型例题 4】捆扎问题 用绳子捆扎 4 根直径都是 10 厘米的圆柱形钢管（并排紧挨着），捆一圈至少需要多长的绳子？（接头处忽略不计） 【跟踪训练 4】 用绳子捆扎 3 个直径为 8 厘米的圆木，捆一圈至少需要多少厘米的绳子？（接头不计） 巩固练习 1．求出下面圆的周长。 2．求下面图形的周长。 3．计算下面图形的周长。（单位：厘米）            4．求下方图形的周长（π取3.14）。 5．求下图的周长。                  6．如图，等腰三角形和圆重叠，求阴影部分的周长。（单位：厘米） 7．求下面图形的周长。 8．计算下面图形的周长。 9．按要求计算。（单位：厘米） 计算下列图形阴影部分的周长。 10．求下面图形中阴影部分的周长。 11．淘气爸爸的自行车车轮的直径是0.7米，他骑车时车轮每分转250圈，他骑了12分，一共骑了多少米？ 12．公园里有一个圆形草坪，半径是40米。爷爷每天早晨绕着草坪边缘走4圈，他每天早晨大约要走多少米？ 真题训练 13．自行车轮胎外半径30厘米，每分钟滚动100圈，通过一座长3000米的大桥约需几分钟？（得数保留整数） 14．某市举办了“折叠自行车竞赛”，一辆折叠自行车的车轮半径是2.5分米，通过其中一段1570米长的赛道，车轮要转多少周？ 15．有一个直径是25米的圆形草坪，沿着它的边线大约每隔0.5米种一棵月季花，一共要种多少棵月季花？ 16．一辆自行车的轮胎外直径为21厘米。如果它平均每分钟转100周，那么通过一座1100米长的大桥，大约需要多少分钟？（得数保留整数） 17．要将一个圆的周长增加6.28米，那么，这个圆的半径应该增加多少米？（取3.14） 18．李老师骑一辆自行车从家去图书馆需要10分。已知这辆自行车车轮的外直径大约是60厘米，车轮平均每分转100圈，李老师家到图书馆的距离大约是多少米？ 19．一台压路机的前轮直径是1.5米，轮宽是2米，每分钟转动10周。这台压路机10分钟能前进多少米？压路的面积是多少平方米？ 20．张老师从家到学校的路程是6千米。他每天早上7：00骑自行车出发去学校。这辆自行车轮子的外直径是70厘米，平均每分转100圈。如果签到，那么张老师能按时签到吗？请说明你的理由。 21．明明一家首先来到宣城新港国际城，这里坐落着被誉为“宣城之眼”的摩天轮亚洲首座悬挑式摩天轮。该摩天轮直径约为58米，旋转一周大约需要15分钟，它每分钟大约运行多少米？（π取3计算） 22．标准400米跑道由两个直道和两个半圆形弯道组成。直道长度通常为87米，弯道的半径因赛道而异，但最内圈的半径一般是36米，跑道宽通常为1.22米。因为外道的弯道比内道长，所以外道的起跑线需要提前一定距离，称为“跑线前伸”。除去跑线宽度等其他因素，请计算在400米比赛中，2道起跑线应比1道前伸多少米？（结果保留两位小数） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 圆的周长进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础公式回顾 圆的周长：（为直径，为半径，通常取 3.14） 圆周率：圆的周长与直径的比值，是无限不循环小数，计算时一般取近似值 3.14。 2. 进阶核心 1：半圆与半圆弧（易错点） 半圆弧长：圆周长的一半，只有曲线部分。 公式： 半圆周长：封闭半圆一周的长度，包含半圆弧和 1 条直径。 公式： 易错提醒：半圆周长 ≠ 圆周长的一半，必须加上直径的长度。 反推公式：已知半圆周长求半径： 3. 进阶核心 2：组合图形周长（平移法） 核心思路：将不规则的线段平移、拼接，把分散的曲线凑成整圆、半圆或四分之一圆，把零散的直线段合并，简化计算。 解题关键：周长是图形外围一周的总长度，图形内部的线段不算入周长，既不能漏算外围边，也不能多算内部线。 常见类型： 跑道型：两个半圆 + 两条直道，两个半圆可拼成一个整圆； 凹凸型：通过平移横向 / 纵向线段，转化为规则长方形 + 圆弧； 多圆拼接型：外围的圆弧凑成整圆，直线段分别相加。 4. 进阶核心 3：圆的滚动问题 沿直线滚动： 圆滚动 1 圈，前进的路程 = 圆自身的周长； 滚动圈数 = 总路程 ÷ 圆的周长。 绕图形滚动： 圆心走过的路程 = 图形的周长 + 一个圆的周长； 原理：图形拐角处的圆弧合起来正好是一个完整的圆。 本质：滚动时，圆心到接触面的距离始终等于圆的半径。 5. 进阶核心 4：捆扎问题 核心规律：用绳子捆扎多个相同的圆形物体，绳子长度由两部分组成： 曲线部分：所有拐角的圆弧合起来通常是1 个完整的圆周长； 直线部分：有几个圆形物体，就有几条直径（或半径）的长度。 常见结论：捆个相同的圆，捆一圈的长度 = （接头不计）。 6. 解题通用步骤 ① 观察图形，明确周长由哪几部分组成（曲线 + 直线）； ② 曲线部分：通过拼接凑成整圆、半圆，计算弧长； ③ 直线部分：数清段数，计算总长度； ④ 曲线长度 + 直线长度 = 总周长，注意统一单位。 例题讲解 【典型例题 1】半圆周长辨析与计算 （1）求半径为 4 厘米的半圆的周长； （2）一个半圆的周长是 20.56 厘米，求它的直径。 【分析】 （1）半圆周长 = 半圆弧长 + 直径，直接代入公式计算； （2）已知半圆周长反求直径，利用公式，用除法即可求出直径。 【详解】 （1）半圆弧长：（厘米） 直径：（厘米） 半圆周长：（厘米） （2）半圆周长 = 半圆弧 + 直径 = 直径：（厘米） 【答案】（1）厘米；（2）厘米 【跟踪训练 1】 （1）直径为 6 分米的半圆，周长是多少分米？ （2）一个半圆的周长是 15.42 米，求它的半径。 【分析】 （1）先算半圆弧长，再加直径； （2）用半圆周长公式反推半径：。 【详解】 （1）半圆弧长：（分米） 半圆周长：（分米） （2）半径：（米） 【答案】（1）分米；（2）米 【典型例题 2】组合图形周长（跑道型） 一个运动场跑道，中间是长方形，长 100 米，宽 60 米，两端是半圆形。这个跑道的周长是多少米？ 【分析】跑道周长由两部分组成：两端的半圆形可以拼成一个完整的圆，加上中间两条直道的长度。圆的直径就是长方形的宽 60 米。 【详解】 两端半圆拼成的圆的周长： （米） 两条直道的总长度： （米） 跑道总周长： （米） 【答案】米 【跟踪训练 2】 一个长方形长 8 厘米，宽 5 厘米，在它的一条宽边上向内凹进一个直径为 5 厘米的半圆。这个图形的周长是多少厘米？ 【分析】凹进半圆后，周长比原来长方形少了 1 条宽的长度，多了 1 条半圆弧的长度。用原长方形周长 - 1 条宽 + 半圆弧长即可。 【详解】 原长方形周长：（厘米） 半圆弧长：（厘米） 图形周长：（厘米） 【答案】厘米 【典型例题 3】圆的滚动问题 一个半径为 10 厘米的圆，沿一条直线从 A 点滚动到 B 点，共前进了 6.28 米。这个圆滚动了多少圈？ 【分析】先统一单位，计算出圆滚动 1 圈前进的距离（即圆的周长），再用总路程除以 1 圈的长度，得到滚动圈数。 【详解】 圆的周长： （厘米）（米） 滚动圈数： （圈） 【答案】圈 【跟踪训练 3】 一个半径为 1 厘米的小圆，绕着一个长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形外侧滚动一周。圆心走过的路程是多少厘米？ 【分析】圆心走过的路程 = 长方形的周长 + 一个小圆的周长。四个拐角处的圆弧合起来正好是一个完整的小圆周长。 【详解】 长方形周长： （厘米） 小圆周长： （厘米） 圆心总路程： （厘米） 【答案】厘米 【典型例题 4】捆扎问题 用绳子捆扎 4 根直径都是 10 厘米的圆柱形钢管（并排紧挨着），捆一圈至少需要多长的绳子？（接头处忽略不计） 【分析】绳子的长度分为两部分：4 个拐角处的四分之一圆弧，合起来正好是 1 个整圆的周长；直线部分有 4 段，每段长度等于钢管的直径。 【详解】 曲线部分（1 个整圆）： （厘米） 直线部分（4 条直径）： （厘米） 绳子总长度： （厘米） 【答案】厘米 【跟踪训练 4】 用绳子捆扎 3 个直径为 8 厘米的圆木，捆一圈至少需要多少厘米的绳子？（接头不计） 【分析】3 个圆木捆扎，拐角的 3 段圆弧合起来是 1 个整圆；直线部分有 3 段，每段等于直径。 【详解】 曲线部分：（厘米） 直线部分：（厘米） 总长：（厘米） 【答案】厘米 巩固练习 1．求出下面圆的周长。 【答案】 【分析】由图可知，圆的半径是，圆的周长公式为（为半径），将半径的数值代入该公式即可计算周长。 【详解】 所以，圆的周长是。 2．求下面图形的周长。 【答案】94.2cm；36.56dm 【分析】（1）已知圆的半径是15cm，直接用圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，代入计算。 （2）这个图形的周长由一个直径8dm的圆的周长的一半和三条长8dm的直边组成，分别求出再相加。 【详解】2×3.14×15 ＝6.28×15 ＝94.2（cm） 3.14×8÷2＋8×3 ＝25.12÷2＋24 ＝12.56＋24 ＝36.56（dm） 3．计算下面图形的周长。（单位：厘米）            【答案】57.7厘米；31.4厘米 【分析】第一个图形的周长＝圆周长的一半＋两个16厘米＋一个10厘米；第二个图形的周长＝半径为5厘米的圆周长的一半＋一个直径为5厘米的圆周的周长；据此解答即可。 【详解】3.14×10÷2＋16×2＋10 ＝3.14×5＋32＋10 ＝15.7＋32＋10 ＝57.7（厘米） 3.14×5＋3.14×5 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（厘米） 4．求下方图形的周长（π取3.14）。 【答案】27.42dm 【分析】观察图形，可知图形的周长可以看作由一条一半圆弧和3条直径组成，所以图形的周长＝πd÷2＋3d。 【详解】3.14×6÷2＋3×6 ＝9.42＋18 ＝27.42（dm） 5．求下图的周长。                  【答案】46.26cm 【分析】图片的周长＝半圆弧长＋一个直径 半圆弧长＝2πr÷2（π取3.14） d＝2r（d是直径，r是半径） 【详解】18÷2＝9（cm） 2πr÷2 ＝2×π×9÷2 ＝9π ＝9×3.14 ＝28.26（cm） 28.26＋18＝46.26（cm） 所以图片的周长为46.26cm。 6．如图，等腰三角形和圆重叠，求阴影部分的周长。（单位：厘米） 【答案】13.42厘米 【分析】等腰直角三角形的顶角是90°，周角是360°，阴影部分的周长等于半径是2厘米的圆周长的四分之三加上两条半径的长度，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【详解】 （厘米） 7．求下面图形的周长。 【答案】20.56cm 【分析】根据图可知：图形的周长等于2个直径是2cm的圆的周长加上4条2cm的线段，圆的周长＝πd，据此列式计算。 【详解】3.14×2×2＋4×2 ＝6.28×2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 图形的周长是20.56cm。 8．计算下面图形的周长。 【答案】36.84厘米 【分析】图形的周长由半径为6厘米的圆周长的四分之一、直径为6厘米的圆周长的一半以及3条长为6厘米的线段组成。分别计算各部分的长度后求和。 【详解】3.14×6×2÷4＝9.42（厘米） 3.14×6÷2＝9.42（厘米） 3×6＝18（厘米） 9.42＋9.42＋18＝36.84（厘米） 9．按要求计算。（单位：厘米） 计算下列图形阴影部分的周长。 【答案】22.84厘米 【分析】阴影部分的周长＝大圆周长的一半＋小圆周长的一半＋小圆的直径。大圆的半径等于小圆的直径，圆的周长C＝2πr或C＝πd。 【详解】2×3.14×4÷2＋3.14×4÷2＋4 ＝12.56＋6.28＋4 ＝22.84（厘米） 10．求下面图形中阴影部分的周长。 【答案】12.56cm 【分析】由图可知，阴影部分的周长由大半圆的弧长和两个小半圆的弧长组成。依据圆的周长公式，大圆的直径为d＝4cm，大半圆的弧长是大圆周长的一半，即。设两个小半圆的直径分别为d1和d2，它们的弧长之和为，因为d1＋d2＝d，所以两个小半圆弧长之和为；因此阴影部分的周长是＋＝，即是一个大圆的周长。 【详解】根据分析 ＝4×3.14＝12.56（cm） 所以，阴影部分的周长为12.56cm。 【点睛】利用圆的周长公式，发现两个小半圆弧长之和等于大半圆弧长，从而将阴影周长转化为一个完整圆的周长。 11．淘气爸爸的自行车车轮的直径是0.7米，他骑车时车轮每分转250圈，他骑了12分，一共骑了多少米？ 【答案】6594米 【分析】车轮转动1圈前进的距离等于车轮的周长，先用算出车轮的周长，再乘每分钟转的圈数得到每分钟行驶的路程，最后乘行驶时间就能得到总路程。 【详解】（米） （米） （米） 答：一共骑了6594米。 12．公园里有一个圆形草坪，半径是40米。爷爷每天早晨绕着草坪边缘走4圈，他每天早晨大约要走多少米？ 【答案】 1004.8米 【分析】绕圆形草坪边缘走1圈的路程等于圆形草坪的周长，先算出草坪一圈的长度，再乘走的圈数就能得到总路程。 【详解】（米） （米） 答：他每天早晨大约要走1004.8米。 真题训练 13．自行车轮胎外半径30厘米，每分钟滚动100圈，通过一座长3000米的大桥约需几分钟？（得数保留整数） 【答案】 16分钟 【分析】先统一单位，30厘米＝0.3米，根据圆的周长公式C＝2πr算出轮胎滚动一圈的长度，再乘100算出每分钟行驶的路程；时间＝路程÷速度，用桥的长度除以每分钟行驶的路程即可算出所需时间，最后根据四舍五入法将得数保留整数。 【详解】30厘米＝0.3米 2×3.14×0.3 ＝6.28×0.3 ＝1.884（米） 1.884×100＝188.4（米） 3000÷188.4≈16（分钟） 答：通过一座长3000米的大桥约需16分钟。 14．某市举办了“折叠自行车竞赛”，一辆折叠自行车的车轮半径是2.5分米，通过其中一段1570米长的赛道，车轮要转多少周？ 【答案】 周 【分析】先根据圆的周长算出车轮转一周前进的长度，1米＝10分米，统一长度单位后，用赛道总长度除以车轮周长，就能得到车轮转动的周数。 【详解】 （分米） 分米＝米 （周） 答：车轮要转周。 15．有一个直径是25米的圆形草坪，沿着它的边线大约每隔0.5米种一棵月季花，一共要种多少棵月季花？ 【答案】157棵 【分析】沿圆形草坪边线每隔0.5米种一棵花，是封闭图形的植树问题，棵数等于间隔数。先用“圆的周长＝圆周率×直径”求草坪周长，再用“间隔数＝周长÷间隔长度”求棵数。 【详解】3.14×25＝78.5（米） 78.5÷0.5＝157（棵） 答：一共要种157棵月季花。 16．一辆自行车的轮胎外直径为21厘米。如果它平均每分钟转100周，那么通过一座1100米长的大桥，大约需要多少分钟？（得数保留整数） 【答案】17分钟 【分析】先根据1米＝100厘米，除以进率将单位换算成米，再根据圆的周长公式为C＝πd计算出车轮转动一周行驶的路程（车轮转动一周行驶的路程等于轮胎的周长），每分钟转100周，因此每分钟行驶的路程为周长乘每分钟转动的圈数；最后根据时间＝路程÷速度，求出通过大桥所需时间。得数保留整数，即看小数点后第一位数，根据四舍五入取舍。 【详解】21÷100＝0.21（米） 3.14×0.21＝0.6594（米） 0.6594×100＝65.94（米） 1100÷65.94≈17（分钟） 答：大约需要17分钟。 17．要将一个圆的周长增加6.28米，那么，这个圆的半径应该增加多少米？（取3.14） 【答案】1米 【分析】根据圆的周长公式，半径的增加量应为周长的增加量除以（3.14）再除以2，据此计算即可。 【详解】（米） 答：这个圆的半径应该增加1米。 18．李老师骑一辆自行车从家去图书馆需要10分。已知这辆自行车车轮的外直径大约是60厘米，车轮平均每分转100圈，李老师家到图书馆的距离大约是多少米？ 【答案】1884米 【分析】首先将车轮直径的单位由厘米换算成米。根据圆的周长＝πd，计算出车轮转一圈前进的距离，再乘每分钟转的圈数求出每分钟行驶的路程，最后乘行驶的时间求出总距离。 【详解】60厘米＝0.6米 3.14×0.6×100×10 ＝1.884×100×10 ＝188.4×10 ＝1884（米） 答：李老师家到图书馆的距离大约是1884米。 19．一台压路机的前轮直径是1.5米，轮宽是2米，每分钟转动10周。这台压路机10分钟能前进多少米？压路的面积是多少平方米？ 【答案】471米；942平方米 【分析】根据，先求出前轮的周长，即前轮滚动一周前进的距离，再乘每分钟滚动的周数和转动的分钟数，即可求出这台压路机前进10分钟前进的距离。 压过的路面是一个长方形，用这台压路机前进10分钟前进的距离乘前轮的宽度，即可求出压路的面积。 【详解】 （米） （平方米） 答：这台压路机10分钟能前进471米，压路的面积是942平方米。 20．张老师从家到学校的路程是6千米。他每天早上7：00骑自行车出发去学校。这辆自行车轮子的外直径是70厘米，平均每分转100圈。如果签到，那么张老师能按时签到吗？请说明你的理由。 【答案】 能；因为30分钟行驶的距离为6.594千米，大于6千米。（理由不唯一） 【分析】自行车车轮转动一圈走过的路程就是车轮的周长，已知车轮外直径是70厘米，根据圆的周长公式，求出车轮转一圈走过的路程，乘100就是张老师骑自行车1分钟的路程（即速度）。用签到时间减出发时间，得经过的时间为30分，根据，求出自行车30分走的路程，再与6千米比较，注意先统一单位再比较，如计算的路程大于6千米，即能按时签到，否则不能按时签到。 【详解】 （厘米） （分） （厘米）＝6.594（千米） 答：张老师能按时签到；因为30分钟行驶的距离为6.594千米，大于6千米。 21．明明一家首先来到宣城新港国际城，这里坐落着被誉为“宣城之眼”的摩天轮亚洲首座悬挑式摩天轮。该摩天轮直径约为58米，旋转一周大约需要15分钟，它每分钟大约运行多少米？（π取3计算） 【答案】11.6米 【分析】根据圆的周长＝π×直径，代入数据，求出摩天轮的周长，再用摩天轮的周长÷旋转一周需要的时间，即可解答。 【详解】3×58÷15 ＝174÷15 ＝11.6（米） 答：它每分钟大约运行11.6米。 22．标准400米跑道由两个直道和两个半圆形弯道组成。直道长度通常为87米，弯道的半径因赛道而异，但最内圈的半径一般是36米，跑道宽通常为1.22米。因为外道的弯道比内道长，所以外道的起跑线需要提前一定距离，称为“跑线前伸”。除去跑线宽度等其他因素，请计算在400米比赛中，2道起跑线应比1道前伸多少米？（结果保留两位小数） 【答案】约7.66米 【分析】标准400米跑道的直道部分长度相同，因此起跑线前伸的距离由弯道部分的长度差决定。两个弯道（两个半圆）可拼成一个完整的圆，因此只需计算两个跑道弯道（圆）的周长差。由题知1道弯道的半径为36米，2道弯道的半径为（36＋1.22）米，根据圆的周长公式C＝2πr计算出1道和2道的弯道的周长，再相减即可求出2道起跑线应比1道前伸多少米。 【详解】1道弯道周长：2×π×36＝2π×36（米） 2道弯道周长：2×π×（36＋1.22）＝2π×36＋2π×1.22（米） 2π×36＋2π×1.22－2π×36 ＝2π×1.22（米） 2×3.14×1.22 ＝6.28×1.22 ＝7.6616 ≈7.66（米） 答：2道起跑线应比1道前伸约7.66米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $