第8讲 工程问题（一）基础工程 专题讲义-人教版数学六年级上册奥数培优

第8讲 工程问题（一）基础工程 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心概念 工作总量：工程的总任务（如一项工程、一批零件、一条公路等），题目没有给出具体数量时，通常把工作总量看作单位 “1”。 工作效率：单位时间内完成的工作量（如每天完成几分之几、每小时完成几分之几），是工程问题的核心量。 工作时间：完成工作总共用的时间。 2. 三大基本公式 三个量知二求一，是所有工程问题的基础： 求工作总量： 求工作效率： （已知单独完成总工程的时间，效率 = ） 求工作时间： 3. 合作工程核心规律 当多个队伍一起工作时，合作总效率 = 各个队伍的工作效率之和。 公式： 理解：几个人同时干活，每天完成的总量就是每个人每天完成量的总和。 4. 基础题型分类 （1）单人工程 只有一个主体完成工作，直接套用三大公式计算。 （2）合作工程 两个或多个主体合作完成，先求效率和，再求对应时间或工作量。 （3）分阶段工程 工作分多个阶段完成（如先合作、后单独，或先单独、后合作），分段计算工作量，逐步求解。 （4）简单休息型 合作中某一方休息几天，相当于另一方先单独做，剩下的再合作，是分阶段工程的变形。 5. 解题通用步骤 ① 设总工作量为单位 “1”（有具体总量时也可直接用数量计算）； ② 根据 “单独完成时间” 求出每个主体的工作效率； ③ 分析工作过程，确定是合作还是分阶段，计算对应效率或工作量； ④ 套用基本公式，求出对应的时间、效率或工作量； ⑤ 代入原题检验结果是否正确。 例题讲解 【典型例题 1】两人合作求完成时间 一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作，多少天可以完成这项工程？ 【跟踪训练 1】 加工一批零件，师傅单独做 8 小时完成，徒弟单独做 12 小时完成。师徒合作，几小时可以完成这批零件？ 【典型例题 2】已知合作时间，求单独完成时间 一项工程，甲乙两队合作 8 天可以完成，甲队单独做 24 天可以完成。乙队单独做需要多少天完成？ 【跟踪训练 2】 修一条公路，甲乙两队合作 12 天可以修完，甲队单独修 30 天可以修完。乙队单独修需要多少天完成？ 【典型例题 3】分阶段工程：先合作后单独 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。两队先合作 5 天，剩下的由甲队单独做，还需要多少天完成？ 【跟踪训练 3】 生产一批零件，甲单独做 15 天完成，乙单独做 10 天完成。两人合作 3 天后，剩下的由乙单独做，还要几天才能完成？ 【典型例题 4】三方合作求完成时间 打扫一间教室，小明单独打扫需要 10 分钟，小红单独打扫需要 15 分钟，小刚单独打扫需要 12 分钟。三人一起打扫，需要多少分钟完成？ 【跟踪训练 4】 加工一批零件，甲车床单独加工需要 6 小时，乙车床需要 8 小时，丙车床需要 12 小时。三台车床一起加工，需要多少小时完成？ 巩固练习 1. 加工一批零件，师傅单独做需要 8 天完成。师傅每天完成这批零件的几分之几？5 天可以完成这批零件的几分之几？ 2. 修一条水渠，甲队单独修要 18 天，乙队单独修要 24 天。两队合修多少天可以完成？ 3. 生产一批玩具，甲乙两厂合作 15 天完成，甲厂单独做需要 45 天完成。乙厂单独做需要多少天？ 4. 一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成。两队先合作 4 天，剩下的由甲单独做，还要几天完成？ 5. 打一份稿件，小明单独打需要 15 小时，小红单独打需要 10 小时。小明先打 3 小时，剩下的两人合作，还要几小时完成？ 6. 灌满一个水池，甲管单独灌要 8 小时，乙管要 12 小时，丙管要 6 小时。三管一起开，多少小时可以灌满水池？ 7. 加工一批零件，甲乙合作 6 天完成了全部零件的，甲单独做 20 天可以完成全部零件。乙单独做需要多少天完成？ 8. 一条公路长 1200 米，甲队每天修全长的，乙队每天修全长的。两队合修多少天可以修完？ 9. 一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作期间，甲队因事休息了 2 天，完成这项工程一共用了多少天？ 10. 同一项工程，甲 3 天完成全部的，乙 5 天完成全部的。谁的工作效率更高？ 11. 运一堆货物，甲车单独运 20 次运完，乙车单独运 30 次运完。两车合运了 6 次后，还剩 30 吨没运。这堆货物共有多少吨？ 12. 一项工程，甲单独做需要 20 天，乙单独做需要 30 天。现在两人合作，一共用了 16 天完成，期间甲休息了若干天。甲休息了多少天？ 真题训练 1.（小升初真题）一项工程，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成。两人合作多少天完成？ 2.（希望杯模拟题）修一条路，甲队单独修要 15 天，乙队单独修要 20 天。甲队每天修这条路的几分之几？乙队 3 天修这条路的几分之几？ 3.（小升初真题）生产一批零件，师徒两人合作 12 天可以完成，师傅单独做要 20 天完成。徒弟单独做需要多少天？ 4.（华杯赛初赛）一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成。两队合作 5 天，完成了全部工程的几分之几？ 5.（重点中学分班考）打一份稿件，甲单独打 6 小时完成，乙单独打 12 小时完成。甲先打 2 小时后，剩下的甲乙合打，还要几小时完成？ 6.（走美杯真题）三个水管灌一池水，甲管单独开 10 小时灌满，乙管 15 小时，丙管 12 小时。三管齐开，几小时灌满？ 7.（小升初真题）一项工程，甲乙合作 10 天完成，乙丙合作 12 天完成，甲丙合作 15 天完成。甲单独做需要多少天完成？ 8.（小升初压轴题）一堆货物，甲车单独运 10 次运完，乙车单独运 15 次运完。两车合运几次后还剩这堆货物的？ 9.（希望杯真题）一项工程，甲单独做 12 天，乙单独做 18 天。甲休息了 3 天，两队合作完成全部工程，一共用了多少天？ 10.（重点中学自主招生）加工一批零件，第一天加工了总数的，第二天加工了剩余的，还剩 400 个没加工。这批零件一共有多少个？ 11.（华杯赛模拟题）一条公路，甲队单独修 20 天，乙队单独修 30 天。两队合作，期间乙队休息了 5 天，修完这条路一共用了多少天？ 12.（思维训练题）一项工程，甲先做 6 天，乙再做 12 天可以完成；甲先做 8 天，乙再做 6 天也可以完成。甲单独做需要多少天完成？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 工程问题（一）基础工程 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心概念 工作总量：工程的总任务（如一项工程、一批零件、一条公路等），题目没有给出具体数量时，通常把工作总量看作单位 “1”。 工作效率：单位时间内完成的工作量（如每天完成几分之几、每小时完成几分之几），是工程问题的核心量。 工作时间：完成工作总共用的时间。 2. 三大基本公式 三个量知二求一，是所有工程问题的基础： 求工作总量： 求工作效率： （已知单独完成总工程的时间，效率 = ） 求工作时间： 3. 合作工程核心规律 当多个队伍一起工作时，合作总效率 = 各个队伍的工作效率之和。 公式： 理解：几个人同时干活，每天完成的总量就是每个人每天完成量的总和。 4. 基础题型分类 （1）单人工程 只有一个主体完成工作，直接套用三大公式计算。 （2）合作工程 两个或多个主体合作完成，先求效率和，再求对应时间或工作量。 （3）分阶段工程 工作分多个阶段完成（如先合作、后单独，或先单独、后合作），分段计算工作量，逐步求解。 （4）简单休息型 合作中某一方休息几天，相当于另一方先单独做，剩下的再合作，是分阶段工程的变形。 5. 解题通用步骤 ① 设总工作量为单位 “1”（有具体总量时也可直接用数量计算）； ② 根据 “单独完成时间” 求出每个主体的工作效率； ③ 分析工作过程，确定是合作还是分阶段，计算对应效率或工作量； ④ 套用基本公式，求出对应的时间、效率或工作量； ⑤ 代入原题检验结果是否正确。 例题讲解 【典型例题 1】两人合作求完成时间 一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作，多少天可以完成这项工程？ 【分析】这是最基础的合作工程题。把总工程看作单位 “1”，先分别求出甲、乙的工作效率，再相加得到合作效率，最后用 “总工作量 ÷ 合作效率” 得到合作时间。 【详解】 把这项工程的工作总量看作单位 “1”。 甲队每天完成（甲效率）： 乙队每天完成（乙效率）： 两队合作每天完成（合作效率）： 合作完成总时间： （天） 【答案】天 【跟踪训练 1】 加工一批零件，师傅单独做 8 小时完成，徒弟单独做 12 小时完成。师徒合作，几小时可以完成这批零件？ 【分析】把零件总数看作单位 “1”，先求师徒各自的效率，再求效率和，最后求合作时间。 【详解】 把这批零件总数看作单位 “1”。 师傅效率： 徒弟效率： 合作效率： 合作时间： （小时） 【答案】小时（或小时） 【典型例题 2】已知合作时间，求单独完成时间 一项工程，甲乙两队合作 8 天可以完成，甲队单独做 24 天可以完成。乙队单独做需要多少天完成？ 【分析】已知合作总时间和甲的单独时间，先求出合作效率和甲的效率，用 “合作效率 - 甲效率” 得到乙的效率，再用总工作量除以乙的效率，得到乙单独完成的时间。 【详解】 把总工程看作单位 “1”。 甲乙合作每天完成（合作效率）： 甲队每天完成： 乙队每天完成： 乙队单独完成时间： （天） 【答案】天 【跟踪训练 2】 修一条公路，甲乙两队合作 12 天可以修完，甲队单独修 30 天可以修完。乙队单独修需要多少天完成？ 【分析】先求合作效率和甲的效率，相减得乙的效率，再求乙的单独时间。 【详解】 把公路总长看作单位 “1”。 合作效率： 甲队效率： 乙队效率： 乙队单独修完时间： （天） 【答案】天 【典型例题 3】分阶段工程：先合作后单独 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。两队先合作 5 天，剩下的由甲队单独做，还需要多少天完成？ 【分析】分两个阶段：第一阶段合作，先算合作 5 天完成的工作量；第二阶段甲单独做，用总工作量减去已完成量得到剩余工作量，再除以甲的效率，得到还需要的时间。 【详解】 把总工程看作单位 “1”。 甲效率：，乙效率： 合作效率： 合作 5 天完成的工作量： 剩余工作量： 剩下的甲单独做需要的时间： （天） 【答案】天（或天） 【跟踪训练 3】 生产一批零件，甲单独做 15 天完成，乙单独做 10 天完成。两人合作 3 天后，剩下的由乙单独做，还要几天才能完成？ 【分析】先算合作 3 天的工作量，再求剩余工作量，除以乙的效率得剩余时间。 【详解】 把零件总数看作单位 “1”。 甲效率：，乙效率： 合作效率： 合作 3 天完成： 剩余工作量： 乙单独做还需要： （天） 【答案】天 【典型例题 4】三方合作求完成时间 打扫一间教室，小明单独打扫需要 10 分钟，小红单独打扫需要 15 分钟，小刚单独打扫需要 12 分钟。三人一起打扫，需要多少分钟完成？ 【分析】三个人合作，总效率是三个人的效率相加。先分别求出三人的效率，求和得到合作总效率，再用总工作量除以总效率得到时间。 【详解】 把打扫教室的总工作量看作单位 “1”。 小明效率： 小红效率： 小刚效率： 三人合作总效率： 合作完成时间： （分钟） 【答案】分钟 【跟踪训练 4】 加工一批零件，甲车床单独加工需要 6 小时，乙车床需要 8 小时，丙车床需要 12 小时。三台车床一起加工，需要多少小时完成？ 【分析】三台设备合作，效率相加，求总时间。 【详解】 把零件总数看作单位 “1”。 甲效率：，乙效率：，丙效率： 合作总效率： 合作时间： （小时） 【答案】小时（或小时） 巩固练习 1. 加工一批零件，师傅单独做需要 8 天完成。师傅每天完成这批零件的几分之几？5 天可以完成这批零件的几分之几？ 【分析】单人工程基础题，把总零件看作单位 “1”，效率 = 1÷ 时间，工作量 = 效率 × 时间。 【详解】 把零件总数看作单位 “1”。 每天完成： 5 天完成： 【答案】每天完成，5 天完成 2. 修一条水渠，甲队单独修要 18 天，乙队单独修要 24 天。两队合修多少天可以完成？ 【分析】两人合作求时间，先求效率和，再用总量除以效率和。 【详解】 把水渠总长看作单位 “1”。 甲效率：，乙效率： 合作效率： 合作时间：（天） 【答案】天（或天） 3. 生产一批玩具，甲乙两厂合作 15 天完成，甲厂单独做需要 45 天完成。乙厂单独做需要多少天？ 【分析】已知合作时间和甲的时间，求乙的单独时间，先求乙效率。 【详解】 总工作量为 1。 合作效率：，甲效率： 乙效率： 乙单独时间：（天） 【答案】天（或天） 4. 一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成。两队先合作 4 天，剩下的由甲单独做，还要几天完成？ 【分析】分阶段工程，先算合作 4 天的工作量，再求剩余，除以甲效率。 【详解】 总工程为 1。 甲效率，乙效率 合作效率： 合作 4 天完成： 剩余： 甲还需：（天） 【答案】天 5. 打一份稿件，小明单独打需要 15 小时，小红单独打需要 10 小时。小明先打 3 小时，剩下的两人合作，还要几小时完成？ 【分析】先单独后合作，先算小明 3 小时的工作量，求剩余，再除以合作效率。 【详解】 总稿件为 1。 小明效率，小红效率 小明 3 小时完成： 剩余： 合作效率： 还需时间：（小时） 【答案】小时 6. 灌满一个水池，甲管单独灌要 8 小时，乙管要 12 小时，丙管要 6 小时。三管一起开，多少小时可以灌满水池？ 【分析】三方合作，效率相加求总时间。 【详解】 总水量为 1。 甲效率，乙效率，丙效率 总效率： 时间：（小时） 【答案】小时 7. 加工一批零件，甲乙合作 6 天完成了全部零件的，甲单独做 20 天可以完成全部零件。乙单独做需要多少天完成？ 【分析】先根据合作完成的工作量和时间，求出合作效率，再减甲效率得乙效率。 【详解】 合作效率： 甲效率： 乙效率： 乙单独时间：（天） 【答案】天（或天） 8. 一条公路长 1200 米，甲队每天修全长的，乙队每天修全长的。两队合修多少天可以修完？ 【分析】有具体总量，可以用单位 1 法，也可以用具体长度计算，这里用单位 1 法更简便。 【详解】 把公路总长看作单位 “1”。 甲效率，乙效率 合作效率： 合修时间：（天） 【答案】天 9. 一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作期间，甲队因事休息了 2 天，完成这项工程一共用了多少天？ 【分析】简单休息型，甲休息 2 天，相当于乙先单独做 2 天，剩下的两队合作，总时间 = 乙单独时间 + 合作时间。 【详解】 总工程为 1。 甲效率，乙效率 乙先单独做 2 天完成： 剩余工作量： 合作效率： 合作时间：（天） 总时间：（天） 【答案】天（或天） 10. 同一项工程，甲 3 天完成全部的，乙 5 天完成全部的。谁的工作效率更高？ 【分析】分别求出甲乙的效率，再比较大小。 【详解】 甲效率： 乙效率： 因为，所以甲效率更高。 【答案】甲的工作效率更高 11. 运一堆货物，甲车单独运 20 次运完，乙车单独运 30 次运完。两车合运了 6 次后，还剩 30 吨没运。这堆货物共有多少吨？ 【分析】先算合运 6 次完成的分率，求剩余分率，对应 30 吨，量率对应求总量。 【详解】 把总货物看作单位 “1”。 甲效率，乙效率 合作效率： 6 次运了： 剩余分率： 总吨数：（吨） 【答案】吨 12. 一项工程，甲单独做需要 20 天，乙单独做需要 30 天。现在两人合作，一共用了 16 天完成，期间甲休息了若干天。甲休息了多少天？ 【分析】先算乙 16 天完成的工作量，剩下的是甲做的，求出甲工作的天数，总天数减工作天数就是休息天数。 【详解】 总工程为 1。 乙效率，乙 16 天完成： 甲完成的工作量： 甲效率，甲工作天数：（天） 甲休息天数：（天） 【答案】天 真题训练 1.（小升初真题）一项工程，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成。两人合作多少天完成？ 【分析】基础合作求时间，先求效率和。 【详解】 总工程为 1。 甲效率，乙效率 合作效率： 时间：（天） 【答案】天（或天） 2.（希望杯模拟题）修一条路，甲队单独修要 15 天，乙队单独修要 20 天。甲队每天修这条路的几分之几？乙队 3 天修这条路的几分之几？ 【分析】单人工程基础计算。 【详解】 甲每天： 乙每天：，乙 3 天： 【答案】甲每天修，乙 3 天修 3.（小升初真题）生产一批零件，师徒两人合作 12 天可以完成，师傅单独做要 20 天完成。徒弟单独做需要多少天？ 【分析】已知合作时间和师傅时间，求徒弟单独时间。 【详解】 合作效率：，师傅效率： 徒弟效率： 徒弟单独时间：（天） 【答案】天 4.（华杯赛初赛）一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成。两队合作 5 天，完成了全部工程的几分之几？ 【分析】先求合作效率，再算 5 天的工作量。 【详解】 甲效率，乙效率 合作效率： 5 天完成： 【答案】 5.（重点中学分班考）打一份稿件，甲单独打 6 小时完成，乙单独打 12 小时完成。甲先打 2 小时后，剩下的甲乙合打，还要几小时完成？ 【分析】先单独后合作，求剩余时间。 【详解】 总稿件为 1。 甲效率，2 小时完成： 剩余： 合作效率： 还需时间：（小时） 【答案】小时 6.（走美杯真题）三个水管灌一池水，甲管单独开 10 小时灌满，乙管 15 小时，丙管 12 小时。三管齐开，几小时灌满？ 【分析】三方合作求时间。 【详解】 总水量为 1。 甲效率，乙效率，丙效率 总效率： 时间：（小时） 【答案】小时 7.（小升初真题）一项工程，甲乙合作 10 天完成，乙丙合作 12 天完成，甲丙合作 15 天完成。甲单独做需要多少天完成？ 【分析】先求三队效率和，再减乙丙效率和得甲效率。 【详解】 甲乙效率和：，乙丙效率和：，甲丙效率和： 三队效率和： 甲效率： 甲单独时间：（天） 【答案】天 8.（小升初压轴题）一堆货物，甲车单独运 10 次运完，乙车单独运 15 次运完。两车合运几次后还剩这堆货物的？ 【分析】先求运走的工作量，再除以合作效率得次数。 【详解】 运走的工作量： 合作效率： 运的次数：（次） 【答案】次 9.（希望杯真题）一项工程，甲单独做 12 天，乙单独做 18 天。甲休息了 3 天，两队合作完成全部工程，一共用了多少天？ 【分析】甲休息 3 天，乙先做 3 天，剩下的合作。 【详解】 乙 3 天完成： 剩余： 合作效率： 合作时间：（天） 总时间：（天） 【答案】天 10.（重点中学自主招生）加工一批零件，第一天加工了总数的，第二天加工了剩余的，还剩 400 个没加工。这批零件一共有多少个？ 【分析】量率对应工程题，先求剩余分率，对应 400 个。 【详解】 第二天加工总数的： 剩余分率： 总数：（个） 【答案】个 11.（华杯赛模拟题）一条公路，甲队单独修 20 天，乙队单独修 30 天。两队合作，期间乙队休息了 5 天，修完这条路一共用了多少天？ 【分析】乙休息 5 天，甲先单独做 5 天，剩下的合作。 【详解】 甲 5 天完成： 剩余： 合作效率： 合作时间：（天） 总时间：（天） 【答案】天 12.（思维训练题）一项工程，甲先做 6 天，乙再做 12 天可以完成；甲先做 8 天，乙再做 6 天也可以完成。甲单独做需要多少天完成？ 【分析】对比两种方案，求出甲乙效率比，再求甲单独时间。 【详解】 对比两种方案：甲多做天，乙少做天，说明甲 2 天的工作量 = 乙 6 天的工作量，甲乙效率比为。 乙 12 天的工作量，甲需要：（天） 总工程甲单独做：（天） 【答案】天 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $