第9讲 工程问题（二）特殊工程 专题讲义-人教版数学六年级上册奥数培优

第9讲 工程问题（二）特殊工程 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 题型一：交替工程（轮流工作） 核心定义 甲、乙（或多人）按固定顺序轮流工作，每人工作1天（或1小时）后换人，循环往复直到完成工程。 解题思路 周期概念：把一轮循环（比如甲1天+乙1天）看作一个周期，先算一个周期完成的工作量（周期效率）。 完整周期：用总工作量÷周期效率，算出有多少个完整周期，以及剩余的工作量。 剩余分配：剩余工作量按轮流顺序，从第一个人开始依次分配，不够1天的用“剩余工作量÷对应效率”计算时间。 解题步骤 ① 求各自工作效率； ② 计算一个周期的工作量和周期时长； ③ 求完整周期数和剩余工作量； ④ 按顺序计算剩余工作量需要的时间； ⑤ 总时间 = 周期数×周期时长 + 剩余时间。 2. 题型二：水管问题（进出水工程） 核心定义 水池同时有进水管和出水管，进水增加水量、出水减少水量，求灌满或放空的时间。 核心规律 把满池水（或空池总容量）看作单位“1”。 净进水效率 = 所有进水管效率和 - 所有出水管效率和 净放水效率 = 所有出水管效率和 - 所有进水管效率和 注意事项 进水管效率为正，出水管效率为负； 若先开一段时间进水管，再开出水管，需分段计算水量。 3. 题型三：工资分配问题 核心原则 按完成的工作量比例分配工资，不是按工作时间分配。工作时间相同时，工作量之比等于效率之比。 解题步骤 ① 先求出各队的工作效率； ② 计算各队实际完成的总工作量（效率×工作时间）； ③ 求出工作量的最简整数比； ④ 按比例分配总工资：某队工资 = 总工资 × 。 4. 题型四：分干合想（整体法） 适用场景 已知“甲先做几天，乙再加入合作几天完成”“甲做几天、乙做几天共完成全部”等分散工作的题型，求单独完成时间或合作时间。 核心思路 把分散的工作时间整合分组，转化为“合作若干天 + 某队单独做若干天”，利用已知的合作效率，算出单独部分的工作量，进而求出单独效率。 本质 通过“合并同类项”，把复杂的分阶段工作，简化为合作+单干的标准结构，降低计算难度。 5. 解题通用步骤 ① 设总工作量（总水量、总零件等）为单位“1”； ② 判断题型，对应核心方法； ③ 计算对应效率、周期、工作量； ④ 列式求解，代入原题检验。 例题讲解 【典型例题1】交替工程（甲乙轮流） 一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。如果甲先做1天，然后乙接替甲做1天，再由甲接替乙做1天……两人如此交替工作，完成这项工程需要多少天？ 【跟踪训练1】 一项工程，甲单独做10小时完成，乙单独做12小时完成。按乙、甲、乙、甲……的顺序轮流工作，每次1小时，完成这项工程需要多少小时？ 【典型例题2】水管问题（进出水同时开） 一个水池，单独开甲进水管，6小时可以灌满空池；单独开乙出水管，8小时可以放完满池水。如果同时打开甲、乙两管，多少小时可以灌满空池？ 【跟踪训练2】 一个水池有甲、乙两个进水管，一个丙出水管。单开甲管4小时灌满，单开乙管6小时灌满，单开丙管8小时放完。三管同时打开，多少小时可以灌满空池？ 【典型例题3】工资分配（按工作量分配） 修一条公路，甲队单独修20天完成，乙队单独修30天完成。两队合作修完全程，共得工资3000元。按完成的工作量分配，甲、乙两队各应得多少元？ 【跟踪训练3】 加工一批零件，师傅单独做8天完成，徒弟单独做12天完成。师徒合作完成后，共得加工费2000元。按工作量分配，师傅和徒弟各得多少元？ 【典型例题4】分干合想（先单干后合作） 一项工程，甲队单独做20天完成。如果甲队先做4天，乙队再加入合作，又用了6天完成全部工程。乙队单独做需要多少天完成？ 【跟踪训练4】 加工一批零件，徒弟单独做30天完成。徒弟先做6天，师傅加入合作，又用了9天完成全部任务。师傅单独做需要多少天？ 巩固练习 1. 一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。甲乙按甲、乙顺序轮流做，每次1天，完成这项工程需要多少天？ 2. 一份稿件，甲单独打6小时完成，乙单独打10小时完成。按乙、甲顺序轮流打，每次1小时，打完这份稿件需要多少小时？ 3. 一个水池，单开甲进水管8小时灌满，单开乙出水管12小时放完。同时打开两管，多少小时灌满空池？ 4. 一个水池有两个进水管和一个出水管。甲管6小时灌满，乙管8小时灌满，丙管12小时放完。三管齐开，几小时灌满？ 5. 生产一批零件，A车间单独做10天完成，B车间单独做15天完成。两车间合作完成，共得奖金5000元。按工作量分配，A车间得多少元？ 6. 修一条路，甲队单独修12天完成，乙队单独修18天完成。甲先修3天，剩下的两队合修，修完后共得工资3600元。按工作量分配，甲队应得多少元？ 7. 一项工程，甲单独做15天完成。甲先做3天，乙加入合作，又做了6天完成。乙单独做需要多少天？ 8. 加工一批零件，师傅单独做12天完成，徒弟单独做20天完成。徒弟先做4天，再师徒合作，一共需要多少天完成？ 9. 一项工程，甲单独做10天，乙单独做15天，丙单独做20天。三人按甲、乙、丙顺序轮流做，每次1天，完成需要多少天？ 10. 一个水池有一个进水管和一个出水管。单开进水管6小时灌满，单开出水管9小时放完。先开进水管2小时，再开出水管，还要多少小时灌满？ 11. 一项工程，甲乙合作12天完成。甲先做3天，乙再做5天，完成了全部的。乙单独做需要多少天？ 12. 搬运一堆货物，甲单独搬10小时，乙单独搬15小时。甲乙合作搬运，期间甲休息了2小时，搬完共得运费900元。按工作量分配，甲应得多少元？ 真题训练 1.（小升初真题）一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。甲乙轮流做，甲先做，完成这项工程需要多少天？ 2.（希望杯模拟）一个水池，单开甲管5小时灌满，单开乙管15小时放完。两管同时开，几小时灌满？ 3.（小升初真题）加工一批零件，师傅单独做10天完成，徒弟单独做15天完成。两人合作完成，共得报酬1500元。师傅应得多少元？ 4.（华杯赛初赛）一项工程，甲乙合作8天完成。甲先做2天，乙接着做10天，正好完成。乙单独做需要多少天？ 5.（重点中学分班考）一个水池有两个进水管。单开甲管6小时灌满，单开乙管9小时灌满。先开甲管2小时，再开乙管，还要几小时灌满？ 6.（走美杯真题）一项工程，甲单独做12小时，乙单独做15小时。甲乙轮流做，甲1小时，乙2小时，甲2小时，乙1小时……这样交替，完成需要多少小时？ 7.（小升初真题）修一条路，甲乙两队合作20天完成。按工作量分配工资，甲队得2400元，乙队得1600元。甲队单独修需要多少天？ 8.（华杯赛模拟）一个水池，甲管6小时灌满，乙管8小时灌满，丙管12小时放完。先开甲乙2小时，再开丙管，还要几小时灌满？ 9.（希望杯真题）一批零件，师傅单独做10天完成，徒弟单独做15天完成。师傅先做2天，剩下的师徒合作，完成时师傅一共做了多少天？ 10.（重点中学自主招生）一项工程，甲乙轮流做，甲先做要10天完成；乙先做要9.5天完成。乙单独做需要多少天？ 11.（小升初压轴题）搬运一堆货物，甲、乙合作12小时完成，乙、丙合作15小时完成，甲、丙合作20小时完成。三人合作搬运，完成后共得工资3600元，按工作量分配，乙得多少元？ 12.（思维训练题）一个水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2.5小时放完；打开8个水龙头，1.5小时放完。打开13个水龙头，多少小时放完？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 工程问题（二）特殊工程 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 题型一：交替工程（轮流工作） 核心定义 甲、乙（或多人）按固定顺序轮流工作，每人工作1天（或1小时）后换人，循环往复直到完成工程。 解题思路 周期概念：把一轮循环（比如甲1天+乙1天）看作一个周期，先算一个周期完成的工作量（周期效率）。 完整周期：用总工作量÷周期效率，算出有多少个完整周期，以及剩余的工作量。 剩余分配：剩余工作量按轮流顺序，从第一个人开始依次分配，不够1天的用“剩余工作量÷对应效率”计算时间。 解题步骤 ① 求各自工作效率； ② 计算一个周期的工作量和周期时长； ③ 求完整周期数和剩余工作量； ④ 按顺序计算剩余工作量需要的时间； ⑤ 总时间 = 周期数×周期时长 + 剩余时间。 2. 题型二：水管问题（进出水工程） 核心定义 水池同时有进水管和出水管，进水增加水量、出水减少水量，求灌满或放空的时间。 核心规律 把满池水（或空池总容量）看作单位“1”。 净进水效率 = 所有进水管效率和 - 所有出水管效率和 净放水效率 = 所有出水管效率和 - 所有进水管效率和 注意事项 进水管效率为正，出水管效率为负； 若先开一段时间进水管，再开出水管，需分段计算水量。 3. 题型三：工资分配问题 核心原则 按完成的工作量比例分配工资，不是按工作时间分配。工作时间相同时，工作量之比等于效率之比。 解题步骤 ① 先求出各队的工作效率； ② 计算各队实际完成的总工作量（效率×工作时间）； ③ 求出工作量的最简整数比； ④ 按比例分配总工资：某队工资 = 总工资 × 。 4. 题型四：分干合想（整体法） 适用场景 已知“甲先做几天，乙再加入合作几天完成”“甲做几天、乙做几天共完成全部”等分散工作的题型，求单独完成时间或合作时间。 核心思路 把分散的工作时间整合分组，转化为“合作若干天 + 某队单独做若干天”，利用已知的合作效率，算出单独部分的工作量，进而求出单独效率。 本质 通过“合并同类项”，把复杂的分阶段工作，简化为合作+单干的标准结构，降低计算难度。 5. 解题通用步骤 ① 设总工作量（总水量、总零件等）为单位“1”； ② 判断题型，对应核心方法； ③ 计算对应效率、周期、工作量； ④ 列式求解，代入原题检验。 例题讲解 【典型例题1】交替工程（甲乙轮流） 一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。如果甲先做1天，然后乙接替甲做1天，再由甲接替乙做1天……两人如此交替工作，完成这项工程需要多少天？ 【分析】典型的两天一循环交替工程。先算一个周期（2天）的工作量，求出完整周期数，再把剩余工作量按顺序分配给甲，计算总时间。 【详解】 把总工程看作单位“1”。 甲每天完成：，乙每天完成： 一个周期（甲1天+乙1天，共2天）完成： 完整周期数： （个周期）……余工作量 7个周期总时长：（天） 7个周期共完成： 剩余工作量，轮到甲先做，需要时间： （天） 总时间： （天） 【答案】天 【跟踪训练1】 一项工程，甲单独做10小时完成，乙单独做12小时完成。按乙、甲、乙、甲……的顺序轮流工作，每次1小时，完成这项工程需要多少小时？ 【分析】周期为2小时，乙先做。先算周期效率，求完整周期数，剩余工作量按乙→甲的顺序分配。 【详解】 乙效率：，甲效率： 一个周期（2小时）完成： 完整周期数： （个周期）……余工作量 5个周期时长：（小时） 剩余工作量，轮到乙做，乙1小时刚好完成。 总时间：（小时） 【答案】小时 【典型例题2】水管问题（进出水同时开） 一个水池，单独开甲进水管，6小时可以灌满空池；单独开乙出水管，8小时可以放完满池水。如果同时打开甲、乙两管，多少小时可以灌满空池？ 【分析】同时开进出水管，实际每小时净进水量 = 进水效率 - 出水效率，再用总水量÷净效率得灌满时间。 【详解】 把满池水看作单位“1”。 甲每小时进水： 乙每小时放水： 同时开，每小时净进水： 灌满空池时间： （小时） 【答案】小时 【跟踪训练2】 一个水池有甲、乙两个进水管，一个丙出水管。单开甲管4小时灌满，单开乙管6小时灌满，单开丙管8小时放完。三管同时打开，多少小时可以灌满空池？ 【分析】两个进水管、一个出水管，净效率 = 甲+乙-丙，再求灌满时间。 【详解】 甲效率：，乙效率：，丙出水效率： 每小时净进水： 灌满时间： （小时） 【答案】小时 【典型例题3】工资分配（按工作量分配） 修一条公路，甲队单独修20天完成，乙队单独修30天完成。两队合作修完全程，共得工资3000元。按完成的工作量分配，甲、乙两队各应得多少元？ 【分析】合作工作时间相同，工作量之比等于效率之比。先求效率比，再按比例分配总工资。 【详解】 甲效率：，乙效率： 甲乙工作量比（时间相同，等于效率比）： 总份数： 每份工资：（元） 甲队应得：（元） 乙队应得：（元） 【答案】甲队元，乙队元 【跟踪训练3】 加工一批零件，师傅单独做8天完成，徒弟单独做12天完成。师徒合作完成后，共得加工费2000元。按工作量分配，师傅和徒弟各得多少元？ 【分析】合作时间相同，工作量比=效率比，按比例分配。 【详解】 师傅效率：，徒弟效率： 效率比（工作量比）： 总份数5，每份：（元） 师傅得：（元） 徒弟得：（元） 【答案】师傅元，徒弟元 【典型例题4】分干合想（先单干后合作） 一项工程，甲队单独做20天完成。如果甲队先做4天，乙队再加入合作，又用了6天完成全部工程。乙队单独做需要多少天完成？ 【分析】分干合想：甲一共做了4+6=10天，先算出甲完成的工作量，剩余的是乙6天做的，由此求出乙的效率，再求乙单独时间。 【详解】 甲效率： 甲一共工作：（天） 甲完成的工作量： 乙6天完成的工作量： 乙每天完成： 乙单独做需要：（天） 【答案】天 【跟踪训练4】 加工一批零件，徒弟单独做30天完成。徒弟先做6天，师傅加入合作，又用了9天完成全部任务。师傅单独做需要多少天？ 【分析】徒弟一共做了6+9=15天，先算徒弟完成的工作量，剩余是师傅9天做的，求师傅效率。 【详解】 徒弟效率： 徒弟一共工作：（天） 徒弟完成： 师傅9天完成： 师傅效率： 师傅单独做需要：（天） 【答案】天 巩固练习 1. 一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。甲乙按甲、乙顺序轮流做，每次1天，完成这项工程需要多少天？ 【分析】两天一周期，先算周期效率，求完整周期和剩余。 【详解】 甲效率，乙效率 一个周期（2天）完成： 完整周期：个，刚好完成 总时间：（天） 【答案】天 2. 一份稿件，甲单独打6小时完成，乙单独打10小时完成。按乙、甲顺序轮流打，每次1小时，打完这份稿件需要多少小时？ 【分析】乙先做，周期2小时，算剩余工作量。 【详解】 乙效率，甲效率 一个周期完成： 3个周期（6小时）完成： 剩余： 轮到乙做1小时，完成，还剩 甲还需：小时 总时间：小时 【答案】小时 3. 一个水池，单开甲进水管8小时灌满，单开乙出水管12小时放完。同时打开两管，多少小时灌满空池？ 【分析】净效率=进水-出水。 【详解】 净效率： 时间：（小时） 【答案】小时 4. 一个水池有两个进水管和一个出水管。甲管6小时灌满，乙管8小时灌满，丙管12小时放完。三管齐开，几小时灌满？ 【分析】净效率=甲+乙-丙。 【详解】 净效率： 时间：（小时） 【答案】小时 5. 生产一批零件，A车间单独做10天完成，B车间单独做15天完成。两车间合作完成，共得奖金5000元。按工作量分配，A车间得多少元？ 【分析】工作量比=效率比=3:2。 【详解】 效率比： A车间得：（元） 【答案】元 6. 修一条路，甲队单独修12天完成，乙队单独修18天完成。甲先修3天，剩下的两队合修，修完后共得工资3600元。按工作量分配，甲队应得多少元？ 【分析】先算甲3天工作量，再算合作时甲乙工作量，求和得甲总工作量。 【详解】 甲3天完成： 剩余： 合作效率： 合作时间：天 合作时甲完成： 甲总工作量： 甲应得：（元） 【答案】元 7. 一项工程，甲单独做15天完成。甲先做3天，乙加入合作，又做了6天完成。乙单独做需要多少天？ 【分析】甲一共做9天，算甲工作量，剩余乙6天完成。 【详解】 甲9天完成： 乙6天完成： 乙效率： 乙单独：（天） 【答案】天 8. 加工一批零件，师傅单独做12天完成，徒弟单独做20天完成。徒弟先做4天，再师徒合作，一共需要多少天完成？ 【分析】先算徒弟4天工作量，剩余合作，总时间=4+合作时间。 【详解】 徒弟4天完成： 剩余： 合作效率： 合作时间：（天） 总时间：（天） 【答案】天 9. 一项工程，甲单独做10天，乙单独做15天，丙单独做20天。三人按甲、乙、丙顺序轮流做，每次1天，完成需要多少天？ 【分析】三天一周期，算周期效率和剩余。 【详解】 一个周期（3天）完成： 4个周期（12天）完成： 剩余： 甲做1天完成，还剩 乙还需：天 总时间：天 【答案】天（或天） 10. 一个水池有一个进水管和一个出水管。单开进水管6小时灌满，单开出水管9小时放完。先开进水管2小时，再开出水管，还要多少小时灌满？ 【分析】先算2小时进水量，求剩余水量，再除以净效率。 【详解】 2小时进水： 剩余： 净效率： 还需：（小时） 【答案】小时 11. 一项工程，甲乙合作12天完成。甲先做3天，乙再做5天，完成了全部的。乙单独做需要多少天？ 【详解】 把“甲3天+乙5天”转化为“甲乙合作3天 + 乙单独2天”。 合作3天完成： 乙单独2天完成： 乙每天完成： 乙单独做需要：（天） 【答案】天 12. 搬运一堆货物，甲单独搬10小时，乙单独搬15小时。甲乙合作搬运，期间甲休息了2小时，搬完共得运费900元。按工作量分配，甲应得多少元？ 【分析】乙先搬2小时，剩下的合作，算甲总工作量。 【详解】 乙2小时搬： 剩余： 合作效率： 合作时间：小时 甲工作量： 甲应得：（元） 【答案】元 真题训练 1.（小升初真题）一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。甲乙轮流做，甲先做，完成这项工程需要多少天？ 【分析】两天一周期，算周期和剩余。 【详解】 周期效率： 4个周期（8天）完成： 剩余，甲做1天完成，还剩 乙还需：天 总时间：天 【答案】天（或天） 2.（希望杯模拟）一个水池，单开甲管5小时灌满，单开乙管15小时放完。两管同时开，几小时灌满？ 【分析】净效率=进水-出水。 【详解】 净效率： 时间：（小时） 【答案】小时 3.（小升初真题）加工一批零件，师傅单独做10天完成，徒弟单独做15天完成。两人合作完成，共得报酬1500元。师傅应得多少元？ 【分析】工作量比3:2，按比例分。 【详解】 效率比3:2，师傅得：（元） 【答案】元 4.（华杯赛初赛）一项工程，甲乙合作8天完成。甲先做2天，乙接着做10天，正好完成。乙单独做需要多少天？ 【分析】分干合想：合作2天+乙单独8天。 【详解】对比“甲乙合作8天”和“甲2天+乙10天”，可得： 甲少做天，乙多做天，即甲6天工作量=乙2天工作量，效率比甲:乙=1:3。 乙效率： 乙单独时间：（天） 【答案】天 5.（重点中学分班考）一个水池有两个进水管。单开甲管6小时灌满，单开乙管9小时灌满。先开甲管2小时，再开乙管，还要几小时灌满？ 【分析】先算甲2小时进水量，剩余合作。 【详解】 甲2小时： 剩余： 合作效率： 还需：（小时） 【答案】小时 6.（走美杯真题）一项工程，甲单独做12小时，乙单独做15小时。甲乙轮流做，甲1小时，乙2小时，甲2小时，乙1小时……这样交替，完成需要多少小时？ 【分析】周期为6小时（甲1+乙2+甲2+乙1），算周期效率。 【详解】 一个周期6小时，甲做3小时，乙做3小时，完成： 2个周期（12小时）完成： 剩余，接下来甲1小时完成，还剩 乙还需：小时 总时间：小时 【答案】小时（或小时） 7.（小升初真题）修一条路，甲乙两队合作20天完成。按工作量分配工资，甲队得2400元，乙队得1600元。甲队单独修需要多少天？ 【分析】工资比=工作量比=效率比，先求效率比，再求甲效率。 【详解】 工作量比：2400:1600=3:2，效率比3:2 效率和： 甲效率： 甲单独：（天） 【答案】天 8.（华杯赛模拟）一个水池，甲管6小时灌满，乙管8小时灌满，丙管12小时放完。先开甲乙2小时，再开丙管，还要几小时灌满？ 【分析】先算甲乙2小时进水量，剩余的甲乙丙同时开，算净效率。 【详解】 甲乙2小时进水： 剩余： 三管净效率： 还需：（小时） 【答案】小时 9.（希望杯真题）一批零件，师傅单独做10天完成，徒弟单独做15天完成。师傅先做2天，剩下的师徒合作，完成时师傅一共做了多少天？ 【分析】先算师傅2天工作量，剩余合作，总天数=2+合作天数。 【详解】 师傅2天： 剩余： 合作效率： 合作时间：天 师傅总天数：天 【答案】天（或天） 10.（重点中学自主招生）一项工程，甲乙轮流做，甲先做要10天完成；乙先做要9.5天完成。乙单独做需要多少天？ 【分析】乙先做9.5天，即乙做5天，甲做4.5天。 所以：6甲+4乙 = 4.5甲+5乙 → 1.5甲 = 1乙 → 乙效率=1.5甲。 然后效率和：总工程=6甲+4×1.5甲=12甲，所以甲单独12天，乙单独8天。 【详解】 甲先做10天：甲做6天，乙做4天； 乙先做9.5天：乙做5天，甲做4.5天。 总工作量相等： 化简得：，即乙的效率是甲的1.5倍。 总工作量： 乙单独时间：（天） 【答案】天 11.（小升初压轴题）搬运一堆货物，甲、乙合作12小时完成，乙、丙合作15小时完成，甲、丙合作20小时完成。三人合作搬运，完成后共得工资3600元，按工作量分配，乙得多少元？ 【分析】先求三人效率和，再求乙效率，工作量比=效率比（时间相同）。 【详解】 甲乙效率和，乙丙，甲丙 三人效率和： 乙效率： 乙工作量占比： 乙得：（元） 【答案】元 12.（思维训练题）一个水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2.5小时放完；打开8个水龙头，1.5小时放完。打开13个水龙头，多少小时放完？ 【分析】牛吃草型水管问题，先求每个水龙头每小时放水量，再求原有水量。 【详解】 设每个水龙头每小时放1份水。 5个2.5小时：份 8个1.5小时：份 每小时流入：份 原有水量：份 13个水龙头时间：小时 【答案】小时（或54分钟） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $