第08讲 工程问题（一）：基本量关系与合作问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

六年级奥数培优讲义：第08讲 工程问题（一）：基本量关系与合作问题 知识点梳理 一、工程问题核心概念与公式 1. 基本概念 工作总量：一项工程的全部工作量（如“修一条路”“加工一批零件”等），通常设为单位“1”（若已知具体数量，可直接用具体值）。 工作效率：单位时间内完成的工作量（如“每天修10米”“每小时加工5个零件”），公式：工作效率=工作总量÷工作时间。 工作时间：完成工作总量所需的时间，公式：工作时间=工作总量÷工作效率。 2. 核心公式 基本关系：工作总量=工作效率×工作时间 变形公式： 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 二、核心题型与技巧 题型1：基础量计算（已知两个量求第三个量） 技巧：直接套用核心公式，若未给出具体工作总量，设总量为单位“1”，效率用分数表示（如“甲单独做10天完成”，则甲效率为）。 题型2：两人合作问题（同时工作，效率叠加） 技巧：合作时总效率=各效率之和，合作时间=工作总量÷（效率1+效率2）。 公式：合作时间= 题型3：多人合作与中途退出/休息问题（部分时间合作，部分时间单独工作） 技巧：分段计算工作量，或用“总工作量=合作部分工作量+单独部分工作量”列方程。 中途退出：设总时间为，先算合作时间的工作量，再算剩余工作量由剩余人完成的时间，总时间。 中途休息：设总时间为，甲工作天，乙工作天，列方程：甲工作量+乙工作量=1（总量）。 题型4：分工合作问题（各自完成部分工作量，总量为各部分之和） 技巧：先明确各部分工作量占比或具体值，再分别计算各部分所需时间，总时间以耗时较长的部分为准（若同时开始）。 公式：总工作量=甲完成工作量+乙完成工作量+... 三、常见错误提醒 1.概念混淆：误将“工作时间”当作“工作效率”（如“甲单独做10天完成”，甲效率是，而非10）。 2.总量设“1”计算错误：涉及分数运算时，通分或除法错误（如误算为是正确的，但若算成则错误）。 3.合作效率漏加：多人合作时，漏加某个人的效率（如甲效率，乙效率，合作效率误算为是正确的，漏加乙则错误）。 4.中途休息时间处理错误：将“休息时间”直接从总时间中减去，未按“实际工作时间=总时间-休息时间”计算工作量（如甲工作5天休息1天，6天内实际工作5天，而非6天）。 例题讲解 一、基础量计算 例题1：一项工程，甲单独做8天完成，求甲每天完成这项工程的几分之几？若这项工程总量为400米，甲每天修多少米？ 答案：；50米 解析：工作效率=工作总量÷工作时间。 · 设总量为“1”时，甲效率=； · 总量为400米时，甲效率=（米/天）。 跟踪练习1：一项工程，乙单独做12天完成，乙的工作效率是多少？若乙每天完成50个零件，这项工程共有多少个零件？ 答案：；600个 解析：效率=；总量=（个）。 二、两人合作问题 例题2：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作几天可以完成？ 答案：6天 解析：设总量为“1”，甲效率=，乙效率=，合作效率=，合作时间=（天）。 跟踪练习2：一批零件，甲每小时加工20个，乙每小时加工30个，两人合作加工1000个零件，需要几小时？ 答案：20小时 解析：合作效率=20+30=50（个/小时），时间=（小时）。 三、中途休息问题 例题3：甲单独做5天完成，乙单独做10天完成，两人合作，甲休息1天，完成工程需几天？ 答案：4天 解析：设天，甲工作天，乙工作天， ， ， ， ，天，正确，故例题3采用此数据，答案4天。 跟踪练习3：一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，两人合作，乙休息了1天，完成工程共用了多少天？ 答案：5天 解析：设总时间天，甲工作天，乙工作天， ， 通分， ， ，，调整为甲6天，乙12天，乙休息1天，解得天，解析： ，，，，答案为5天。 四、分工合作问题 例题4：一项工程分为A、B两部分，A部分由甲单独做需6天完成，B部分由乙单独做需12天完成。若两人同时开始，甲做A部分，乙做B部分，谁先完成？完成时另一人还需几天才能完成自己的部分？ 答案：甲先完成，乙还需6天 解析：甲完成A部分需6天，乙完成B部分需12天，6<12，故甲先完成。甲完成时，乙已做6天，B部分剩余工作量=，乙还需天。 跟踪练习4：一批零件分两批加工，第一批由甲单独做需8小时，第二批由乙单独做需10小时。两人同时开始，甲做第一批，乙做第二批，完成时两人一共用了多少小时？ 答案：10小时 解析：甲8小时完成，乙10小时完成，乙用时更长，故总时间为10小时（乙完成时，甲已完成第一批并休息2小时）。 提升练习 1．一项任务，如果师傅单独做，需要8小时；如果徒弟单独做，需要10小时，现在师徒两人合作，多少小时能完成这项任务的？ 【答案】小时 【分析】根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出师傅的工作效率和徒弟的工作效率，两人合作需要的时间＝两人合作的工作总量÷（师傅的工作效率＋徒弟的工作效率），据此解答。 【详解】假设工作总量为1。 师傅的工作效率：1÷8＝ 徒弟的工作效率：1÷10＝ 1×÷（＋） ＝1×÷ ＝÷ ＝× ＝（小时） 答：小时能完成这项任务的。 2．临近新年，王阿姨和李阿姨两人接到了一批手工吉祥娃娃的订单，由王阿姨单独完成需要10天，由李阿姨单独完成需要15天，若二人合作，多长时间可以完成这批订单的？ 【答案】3天 【分析】把这批手工吉祥娃娃的订单总量看作单位“1”。王阿姨单独完成需要10天，王阿姨的工作效率为1÷10＝。李阿姨单独完成需要15天，李阿姨的工作效率为1÷15＝。 两人合作的工作效率为两人工作效率之和，即（），工作总量是，工作效率是（），用除以（）计算即可解答。 【详解】把这批手工吉祥娃娃的订单总量看作单位“1”。 1÷10＝ 1÷15＝ ÷（） ＝÷（） ＝÷ ＝×6 ＝3（天） 答：二人合作3天可以完成这批订单的 3．植树队要种400棵树。如果甲队单独种，种完需要10天；如果乙队单独种，种完需要8天。现在两队合种，5天能种完吗？ 【答案】能 【分析】把要种的树看作单位“1”，根据工作总量÷工作效率和＝工作时间，把甲乙合作的工作时间和5天作比较，如果比5天少，就能种完，反之则不能。 【详解】1÷（） ＝1÷ ＝（天） ＜5 答：5天能种完。 4．一项工程，甲单独做要30天，乙单独做的时间比甲少10天，现在两人一起做，中途乙休息了几天，结果从开始到结束一共用了15天，请问乙休息了几天？ 【答案】5天 【分析】把工程总量看作单位“1”，甲单独做需30天完成，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，甲的效率为1÷30＝；乙单独做的时间比甲少10天，即乙单独做需30－10＝20天，因此乙的效率为1÷20＝。 甲全程参与，没有休息，总工作时间为15天，根据“工作量＝工作效率×工作时间”，甲的工作量为：。工程总量为“1”，甲完成了，因此乙需要完成的工作量为。乙的效率为，根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，乙实际工作天数为：（天）。总工程从开始到结束用了15天，乙实际工作10天，因此乙休息的天数为：15－10＝5（天）。 【详解】把工程总量看作单位“1”。 1÷30＝ 30－10＝20（天） 1÷20＝ ＝ ＝ ＝ ＝10（天） 15－10＝5（天） 答：乙休息了5天。 5．修一条公路，甲、乙两队合作6天可以完成。现由甲队独修5天后，再由乙队独做3天，还剩全部工程的没有完成。已知甲队每天比乙队多修30米，这条公路长多少米？ 【答案】900米 【分析】将总工作量看成单位“1”，甲、乙两队合作6天可以完成，则两队的工作效率和是1÷6＝；“甲队独修5天后，再由乙队独做3天”可看成甲、乙两队合作3天，甲再做2天后还剩下。由此可得：甲队的工作效率是（1－－×3）÷2，乙队的工作效率＝两队的工作效率和－甲队的工作效率。最后根据工作效率差对应30米，求出总工作量。 【详解】（1－－×3）÷2 ＝（1－－）÷2 ＝÷2 ＝× ＝ 1÷6－ ＝－ ＝ 30÷（－） ＝30÷ ＝30×30 ＝900（米） 答：这条公路长900米。 6．甲、乙两个工程队合修一条公路，甲队单独修要8天完成，乙队单独修要10天完成，甲、乙两队合作多少天修完？ 【答案】天 【分析】把修这条路的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲队、乙队各自的工作效率，两队的工作效率相加即是合作工效；再根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”，即可求出两队合作修完需要的天数。 【详解】甲队的工作效率：1÷8＝ 乙队的工作效率：1÷10＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 答：甲、乙两队合作天修完。 7．甲、乙两工程队铺一条长2600米的公路，他们从两端同时施工。甲队每天铺70米，乙队每天铺60米，几天后能够铺完这条公路？ 【答案】20天 【分析】根据题意，设x天后能够铺完这条公路；甲队每天铺70米，x天铺70x米；乙队每天铺60米，x天铺60x米，甲队铺的米数＋乙队铺的米数＝这条路的总长度，列方程：70x＋60x＝2600，解方程，即可解答。 【详解】解：设x天后能够铺完这条公路。 70x＋60x＝2600 130x＝2600 x＝2600÷130 x＝20 答：20天后能够铺完这条公路。 8．在山西，酿醋工艺主要有熟料制醋和生料制醋两种。某醋业公司生产的陈醋采用的是山西酿醋界“醋大王”颜景宗传授的生料制醋工艺。该公司近期接到一笔订单，甲车间单独完成需要5天，乙车间单独完成需要6天，两个车间合作完成需要多少天？ 【答案】天 【分析】把这笔订单的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙车间各自的工作效率，两个车间的工作效率相加即是合作工效；再根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”，即可求出两个车间合作完成需要的天数。 【详解】甲的工作效率：1÷5＝ 乙的工作效率：1÷6＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 答：两个车间合作完成需要天。 9．完成一项工程，在保证质量的情况下，甲工程队单独完成需要8天，乙工程队单独完成需要10天，丙工程队单独完成需要15天。现在要求最多只能是两个工程队合作，必须在5天内完成，你认为应由哪两个工程队合作？几天可以完成？ 【答案】甲、乙；天 【分析】把这项工程的工作总量看作“1”，根据公式工作效率＝工作总量÷工作时间，甲工程队单独完成需要8天，甲工程队效率为：1÷8＝；乙工程队单独完成需要10天，乙队效率为：1÷10＝；丙工程队单独完成需要15天，丙队效率为：1÷15＝。因为＞＞，所以选择甲、乙两个工程队合作。根据合作完成时间＝工作总量÷两队效率和，所以用1除以（＋）计算即可。 【详解】把这项工程的工作总量看作“1”。 甲工程队：1÷8＝ 乙工程队：1÷10＝ 丙工程队：1÷15＝ ＞＞，所以选择甲、乙两个工程队合作。 1÷（） ＝1÷（） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 答：应由甲、乙两个工程队合作，天可以完成。 10．修一条隧道，甲工程队单独修需要15天，乙工程队单独修需要12天，为了尽快通车，甲工程队单独修了5天后，乙工程队进场一起修，还需要几天才能完成？ 【答案】天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲队、乙队各自的工作效率，两队的工作效率相加即是合作工效； 已知甲工程队单独修了5天，根据“工作量＝工作效率×工作时间”求出甲队单独修5天完成的工作量；再用工作总量“1”减去完成的工作量，求出剩下的工作量； 剩下的工作量由甲、乙两队合作完成，根据“合作工时＝合作工作量÷合作工效”，求出完成任务还需的天数。 【详解】甲队的工作效率：1÷15＝ 乙队的工作效率：1÷12＝ （1－×5）÷（＋） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（天） 答：还需要天才能完成。 11．一项工程，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成的时间和甲队单独完成的时间比为3∶2，现在这项工程先由甲、乙两队合作3天，剩下的由甲队继续完成。甲队还需要多少天才能完成这项工程？ 【答案】5天 【分析】根据题意，乙队单独完成的时间和甲队单独完成的时间比为3∶2，即乙单独完成的时间是甲队的，用甲队单独完成的时间×，求出乙队单独完成的时间，即10×＝15（天）；根据工作效率＝工作总量÷工作时间；把这项工程看作单位“1”，用1÷甲队单独完成的时间，即1÷10＝，求出甲队的工作效率；用1÷乙队单独完成的时间；即1÷15＝，求出乙队的工作效率；再用甲队工作效率＋乙队工作效率，求出甲队与乙队的工作效率和，再乘3，求出3天甲队与乙队完成这项工程的工作量；再用1减去甲队与乙队3天完成这项工程的工作量，求出剩下这项工程的工作量，再根据工作总量÷工作效率，用剩下这项工程的工作量除以甲队的工作量，即可解答。 【详解】10×＝15（天） [1－（＋）×3]÷ ＝[1－（＋）×3]÷ ＝[1－×3]÷ ＝[1－]÷ ＝÷ ＝×10 ＝5（天） 答：甲队还需要5天才能完成这项工程。 12．一项工程，甲、乙合作需要4小时，乙、丙合作需要5小时，现在由甲、丙合作2小时后，余下的由乙完成还需要6小时，请问甲单独完成这项工程需要多少小时？ 【答案】5小时 【分析】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，因此甲、乙效率和是，乙、丙效率和是，现在由甲、丙合作2小时后，余下的由乙完成还需要6小时，可以看成甲和乙合作2小时，乙和丙合作2小时，共完成工作总量的，此时乙工作了（2×2）小时，用剩余工作总量÷乙的对应时间＝乙的工作效率，甲、乙效率和－乙的工作效率＝甲的工作效率，工作总量÷甲的工作效率＝甲的工作时间。 【详解】甲和乙合作2小时，乙和丙合作2小时，完成的工作总量： 乙的工作效率： 甲的工作效率： 甲的工作时间：（小时） 答：甲单独完成这项工程需要5小时。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，先确定乙的工作效率。 13．工作犬可分为军警犬、搜救犬和服务犬等，它们是人类可靠的帮手。甲、乙两只警犬接到搜寻任务，警犬甲单独完成需要3小时，警犬乙单独完成需要5小时。现安排让甲、乙警犬一起搜寻，合作搜寻30分钟后将甲警犬带走，剩余任务由乙警犬单独完成，那么乙警犬完成此次任务一共用了多长时间？ 【答案】小时 【分析】首先总的搜寻任务为单位“1”，然后根据分数除法算出警犬甲和乙的效率，然后通过单位的转化将分钟化为小时，再根据等量关系“（甲的效率＋乙的效率）×时间”求出二者合作30分钟做出的工作，之后求出剩余的工作量，最后再除以乙犬的工作效率，得到乙所需要的时间，然后将时间相加，得到一共所需时间。 【详解】将这个搜寻任务看作“1” 警犬甲的效率：1÷3＝ 警犬乙的效率：1÷5＝ 30分钟＝小时 合作了30分钟完成了：（）× 警犬乙单独完成剩下的任务用了：（1－）÷（小时） ＋（小时） 答：乙警犬完成此次任务一共用了小时。 【点睛】本题主要考查工程问题中基础公式：工作效率×工作时间＝工作总量，以及相应的两个除法公式的运用；按过程分类，分别去计算出，每个过程的工作时间和工作量，是解决这类问题的关键。 14．搬运一个仓库的货物，单独做，甲需20小时，乙需24小时，丙需30小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物，丙帮助甲、乙各搬运几小时？ 【答案】丙帮助甲搬运了6小时；帮乙搬运10小时 【分析】根据题意，把一个仓库的货物看作单位“1”，先计算三人的工作效率，从整体上来看，整个工作的工作量为2，由甲乙丙三人共同完成，结合工作时间＝工作总量÷工作效率，则三人搬运的时间＝2÷（）＝16（小时），对于A仓库，甲搬了16小时，搬的量为，则剩余的是丙帮忙搬运的，则丙帮助甲搬运的时间＝（1－甲的工作效率×16）÷丙的工作效率，同理，丙帮助乙搬运的时间＝（1－乙的工作效率×16）÷丙的工作效率，分别代入数值计算即可。 【详解】1÷20＝ 1÷24＝ 1÷30＝ 2÷（） ＝2÷（） ＝2÷ ＝2×8 ＝16（小时） 丙帮助甲搬运的时间：（1－×16）÷ ＝（1－）×30 ＝×30 ＝6（小时） 丙帮助乙搬运的时间：（1－×16）÷ ＝（1－）×30 ＝×30 ＝10（小时） 答：丙帮助甲搬运了6小时，帮乙搬运10小时。 【点睛】本题工作过程比较复杂，因此按人物分类，从整体入手，计算出整个工作时间，是解决此题的关键。一般我们解决工程问题有两条途径，一个按过程分类，一个按任务分类，当过程较复杂时，选择按人物分类会让题目变得简单。 15．泥人面塑是以泥巴陶土为主料的一门传统民间艺术，有一批泥人面塑订单，张师傅单独做需要8天，比李师傅单独做多用天。现两人合作4天后，剩下的24个泥人面塑由张师傅单独去做，自始至终张师傅共做了多少个？ 【答案】408个 【分析】把工作总量看作单位“1”，首先根据求出张师傅和李师傅的工作效率，再用他们的工作效率和乘4得到合作的工作量对应的分率，用1减这个分率可得24对应的分率，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可得工作总量，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可得张师傅1天的工作效率再乘4再加24即可得解。 【详解】张师傅的工作效率： 李师傅单独做需要用的天数：（天） 李师傅的工作效率： 两人的工作效率和： 两人合作4天的工作量： 剩下的工作量： 需要做的泥人面塑总数量：（个） 张师傅1天制作的数量：（个） 张师傅4天制作的数量：96×4＝384（个） 张师傅一共制作的数量：384＋24＝408（个） 答：自始至终张师傅共做了408个。 16．故宫的修复工作正在持续不断地进行。按原计划甲、乙两组合作30天可以完成某宫殿的修复工作，后因甲组人员增加，乙组人员减少，导致甲组的工作效率是原来的，乙组的工作效率下降了50%，合作工期比原计划延后6天完成。若甲、乙两组人员未变动，则他们分别单独进行修复各需要多少天？ 【答案】甲组90天，乙组45天 【分析】把修复工作的工作总量看成单位“1”，原计划甲、乙合作的工作效率之和为。甲组的工作效率提高到原来的，乙组的工作效率下降了50%，30＋6＝36天完成，工作效率之和为，假设甲组、乙组的工作效率均提高到原来的，那么工作效率之和就提高到原来的，也就是，假设的情况与实际情况相比，相差的是乙原来工作效率的，对应，再根据分数除法的意义求出乙的工作效率，进而求出甲的工作效率，再用1分别除以乙和甲的工作效率，即可求出乙组和甲组单独完成全部修复工作要用多少天。 【详解】乙组的工作效率下降了50%，乙组的工作效率变为原来的。 最终共用了30＋6＝36（天） 所以此时甲、乙两组工作效率之和是1÷36＝ 如果甲组工作效率提高到原来的，乙组的工作效率也提高到原来的，此时甲、乙两组的工作效率之和是 乙组原来的工作效率为： （－）÷ 甲组原来的工作效率为： 乙组单独修复要用：1÷＝45（天） 甲组单独修复要用1÷＝90（天） 答：若甲、乙两组人员未变动，则他们分别单独进行修复各需要90天和45天。 【点睛】本题考查工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系以及分数除法的应用是解题的关键。 17．一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成。现在甲、乙二人合作几天后，乙有事离开了，余下的甲再做2天可完成。乙做了几天？ 【答案】4天 【分析】把工程总量看作单位“1”，甲单独9天完成，每天完成总量的1÷9＝。乙单独12天完成，每天完成总量的1÷12＝。甲最后单独做了2天，完成的工作量为：×2＝。 总工作量为“1”，因此两人合作完成的工作量为：。甲、乙每天一起完成的工作量为：。根据合作天数＝合作工作量÷合作效率和，把数据代入即可解答。 【详解】把工程总量看作单位“1”。 1÷9＝ 1÷12＝ ×2 ＝ （天） 答：乙做了4天。 18．甲、乙两个工程队合修一条长5千米的隧道，两队分别从隧道的两端同时向中间开凿，甲工程队每天凿140米，乙工程队每天凿180米。经过15天，能够将这条隧道修完吗？如果没有修完，两队还相距多少米？ 【答案】不能；200米 【分析】首先，计算出两个工程队每天共同凿开的距离，将两个工程队每天凿开的距离相加即可；然后，用每天合起来凿开的距离乘时间，求出总共凿开的距离；最后，总共凿开的距离和隧道的长度进行比较，判断是否能修完，如果没有修完，则用隧道的长度减去总共凿开的距离，就能求出两队还相距多少米。 【详解】5千米＝5000米 两队共同开凿的距离：（140＋180）×15 ＝320×15 ＝4800（米） 4800＜5000 剩余距离：5000－4800＝200（米） 答：不能够将这条隧道修完，两队还相距200米。 19．甲、乙两个工程队从燃气公司分别向花园小区和阳光小区铺设燃气管道。甲队每天铺设150米，乙队每天铺设220米，6天后，两个工程队一共铺设燃气管道多少米？ 【答案】2220米 【分析】根据工作总量＝工作效率工作时间，先用150米加上220米求出两个工程队一天一共铺设燃气管道多少米，再乘6天即可求出总工程量。 【详解】（150＋220）×6 ＝370×6 ＝2220（米） 答：两个工程队一共铺设燃气管道2220米。 20．苗苗家的小麦喜获丰收，村里来了两台收割机收小麦，苗苗家的小麦，甲收割机单独收割，需要6小时完成，乙收割机单独收割，需要7小时完成，如果爸爸让这两台收割机合作同时来收割这些小麦，几小时能收割完？ 【答案】小时 【分析】把小麦的面积看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷6＝，求出甲收割机的工作效率；1÷7＝，求出乙收割机的工作效率；再根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，用1÷甲收割机与乙收割机的工作效率和，即可解答。 【详解】1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（小时） 答：小时能收割完。 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级奥数培优讲义：第08讲 工程问题（一）：基本量关系与合作问题 知识点梳理 一、工程问题核心概念与公式 1. 基本概念 工作总量：一项工程的全部工作量（如“修一条路”“加工一批零件”等），通常设为单位“1”（若已知具体数量，可直接用具体值）。 工作效率：单位时间内完成的工作量（如“每天修10米”“每小时加工5个零件”），公式：工作效率=工作总量÷工作时间。 工作时间：完成工作总量所需的时间，公式：工作时间=工作总量÷工作效率。 2. 核心公式 基本关系：工作总量=工作效率×工作时间 变形公式： 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 二、核心题型与技巧 题型1：基础量计算（已知两个量求第三个量） 技巧：直接套用核心公式，若未给出具体工作总量，设总量为单位“1”，效率用分数表示（如“甲单独做10天完成”，则甲效率为）。 题型2：两人合作问题（同时工作，效率叠加） 技巧：合作时总效率=各效率之和，合作时间=工作总量÷（效率1+效率2）。 公式：合作时间= 题型3：多人合作与中途退出/休息问题（部分时间合作，部分时间单独工作） 技巧：分段计算工作量，或用“总工作量=合作部分工作量+单独部分工作量”列方程。 中途退出：设总时间为，先算合作时间的工作量，再算剩余工作量由剩余人完成的时间，总时间。 中途休息：设总时间为，甲工作天，乙工作天，列方程：甲工作量+乙工作量=1（总量）。 题型4：分工合作问题（各自完成部分工作量，总量为各部分之和） 技巧：先明确各部分工作量占比或具体值，再分别计算各部分所需时间，总时间以耗时较长的部分为准（若同时开始）。 公式：总工作量=甲完成工作量+乙完成工作量+... 三、常见错误提醒 1.概念混淆：误将“工作时间”当作“工作效率”（如“甲单独做10天完成”，甲效率是，而非10）。 2.总量设“1”计算错误：涉及分数运算时，通分或除法错误（如误算为是正确的，但若算成则错误）。 3.合作效率漏加：多人合作时，漏加某个人的效率（如甲效率，乙效率，合作效率误算为是正确的，漏加乙则错误）。 4.中途休息时间处理错误：将“休息时间”直接从总时间中减去，未按“实际工作时间=总时间-休息时间”计算工作量（如甲工作5天休息1天，6天内实际工作5天，而非6天）。 例题讲解 一、基础量计算 例题1：一项工程，甲单独做8天完成，求甲每天完成这项工程的几分之几？若这项工程总量为400米，甲每天修多少米？ 跟踪练习1：一项工程，乙单独做12天完成，乙的工作效率是多少？若乙每天完成50个零件，这项工程共有多少个零件？ 二、两人合作问题 例题2：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作几天可以完成？ 跟踪练习2：一批零件，甲每小时加工20个，乙每小时加工30个，两人合作加工1000个零件，需要几小时？ 三、中途休息问题 例题3：甲单独做5天完成，乙单独做10天完成，两人合作，甲休息1天，完成工程需几天？ 跟踪练习3：一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，两人合作，乙休息了1天，完成工程共用了多少天？ 四、分工合作问题 例题4：一项工程分为A、B两部分，A部分由甲单独做需6天完成，B部分由乙单独做需12天完成。若两人同时开始，甲做A部分，乙做B部分，谁先完成？完成时另一人还需几天才能完成自己的部分？ 跟踪练习4：一批零件分两批加工，第一批由甲单独做需8小时，第二批由乙单独做需10小时。两人同时开始，甲做第一批，乙做第二批，完成时两人一共用了多少小时？ 提升练习 1．一项任务，如果师傅单独做，需要8小时；如果徒弟单独做，需要10小时，现在师徒两人合作，多少小时能完成这项任务的？ 2．临近新年，王阿姨和李阿姨两人接到了一批手工吉祥娃娃的订单，由王阿姨单独完成需要10天，由李阿姨单独完成需要15天，若二人合作，多长时间可以完成这批订单的？ 3．植树队要种400棵树。如果甲队单独种，种完需要10天；如果乙队单独种，种完需要8天。现在两队合种，5天能种完吗？ 4．一项工程，甲单独做要30天，乙单独做的时间比甲少10天，现在两人一起做，中途乙休息了几天，结果从开始到结束一共用了15天，请问乙休息了几天？ 5．修一条公路，甲、乙两队合作6天可以完成。现由甲队独修5天后，再由乙队独做3天，还剩全部工程的没有完成。已知甲队每天比乙队多修30米，这条公路长多少米？ 6．甲、乙两个工程队合修一条公路，甲队单独修要8天完成，乙队单独修要10天完成，甲、乙两队合作多少天修完？ 7．甲、乙两工程队铺一条长2600米的公路，他们从两端同时施工。甲队每天铺70米，乙队每天铺60米，几天后能够铺完这条公路？ 8．在山西，酿醋工艺主要有熟料制醋和生料制醋两种。某醋业公司生产的陈醋采用的是山西酿醋界“醋大王”颜景宗传授的生料制醋工艺。该公司近期接到一笔订单，甲车间单独完成需要5天，乙车间单独完成需要6天，两个车间合作完成需要多少天？ 9．完成一项工程，在保证质量的情况下，甲工程队单独完成需要8天，乙工程队单独完成需要10天，丙工程队单独完成需要15天。现在要求最多只能是两个工程队合作，必须在5天内完成，你认为应由哪两个工程队合作？几天可以完成？ 10．修一条隧道，甲工程队单独修需要15天，乙工程队单独修需要12天，为了尽快通车，甲工程队单独修了5天后，乙工程队进场一起修，还需要几天才能完成？ 11．一项工程，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成的时间和甲队单独完成的时间比为3∶2，现在这项工程先由甲、乙两队合作3天，剩下的由甲队继续完成。甲队还需要多少天才能完成这项工程？ 12．一项工程，甲、乙合作需要4小时，乙、丙合作需要5小时，现在由甲、丙合作2小时后，余下的由乙完成还需要6小时，请问甲单独完成这项工程需要多少小时？ 13．工作犬可分为军警犬、搜救犬和服务犬等，它们是人类可靠的帮手。甲、乙两只警犬接到搜寻任务，警犬甲单独完成需要3小时，警犬乙单独完成需要5小时。现安排让甲、乙警犬一起搜寻，合作搜寻30分钟后将甲警犬带走，剩余任务由乙警犬单独完成，那么乙警犬完成此次任务一共用了多长时间？ 14．搬运一个仓库的货物，单独做，甲需20小时，乙需24小时，丙需30小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物，丙帮助甲、乙各搬运几小时？ 15．泥人面塑是以泥巴陶土为主料的一门传统民间艺术，有一批泥人面塑订单，张师傅单独做需要8天，比李师傅单独做多用天。现两人合作4天后，剩下的24个泥人面塑由张师傅单独去做，自始至终张师傅共做了多少个？ 16．故宫的修复工作正在持续不断地进行。按原计划甲、乙两组合作30天可以完成某宫殿的修复工作，后因甲组人员增加，乙组人员减少，导致甲组的工作效率是原来的，乙组的工作效率下降了50%，合作工期比原计划延后6天完成。若甲、乙两组人员未变动，则他们分别单独进行修复各需要多少天？ 17．一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成。现在甲、乙二人合作几天后，乙有事离开了，余下的甲再做2天可完成。乙做了几天？ 18．甲、乙两个工程队合修一条长5千米的隧道，两队分别从隧道的两端同时向中间开凿，甲工程队每天凿140米，乙工程队每天凿180米。经过15天，能够将这条隧道修完吗？如果没有修完，两队还相距多少米？ 19．甲、乙两个工程队从燃气公司分别向花园小区和阳光小区铺设燃气管道。甲队每天铺设150米，乙队每天铺设220米，6天后，两个工程队一共铺设燃气管道多少米？ 20．苗苗家的小麦喜获丰收，村里来了两台收割机收小麦，苗苗家的小麦，甲收割机单独收割，需要6小时完成，乙收割机单独收割，需要7小时完成，如果爸爸让这两台收割机合作同时来收割这些小麦，几小时能收割完？ 学科网（北京）股份有限公司 $