第3讲 单位“1”的转化（一）专题讲义-人教版数学六年级上册奥数培优

第3讲 单位“1”的转化（一）专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 单位 “1” 的基本概念 单位 “1”：将一个完整的量（如一段路程、一筐苹果、总人数等）看作一个整体，用自然数 1 表示，称为单位 “1”。 核心公式： 分率 = 部分量 ÷ 单位 “1” 的量 部分量 = 单位 “1” 的量 × 对应分率 单位 “1” 的量 = 部分量 ÷ 对应分率 关键原则：分率和部分量必须一一对应，即必须是同一个单位 “1” 下的分率和数量才能直接计算。 2. 基础分率互化（两个量之间的单位 “1” 转化） 已知甲、乙两个量的分率关系，可通过倒数或比例关系互换单位 “1”： 正向互化：若甲是乙的（），则乙是甲的（）。 例：甲是乙的，则乙是甲的。 “多 / 少” 型转化： 若甲比乙多，则甲是乙的；反过来乙比甲少。 若甲比乙少，则甲是乙的；反过来乙比甲多。 推导核心：“比谁就除以谁”，差量除以单位 “1” 的量。 3. 统一单位 “1”（多步分率的转化） 当题目中出现多个分率且对应不同单位 “1” 时，需将所有分率统一到同一个总量上。 常见场景：第一次用去全长的，第二次用去余下的，求第二次用去全长的几分之几。 转化方法：先求第一次余下的分率，再乘第二次的分率，即第二次对应全长的分率 = 。 核心思路：以最终的总量为统一基准，逐层将 “部分的分率” 转化为 “整体的分率”。 4. 抓不变量转化单位 “1”（重点） 当题目中某个量始终保持不变时，将这个不变量设为单位 “1”，再将其他量的分率都转化为以不变量为基准的分率，最后用量率对应求解。 常见的三类不变量： 总量不变：两个部分量互相转移，总和不变（如两桶油互相倾倒、班级总人数不变等）。 部分量不变：一个部分量恒定，另一个部分量变化（如男生人数不变、水的质量不变等）。 差量不变：两个量同时增加或减少相同数量，差值不变（如年龄差、同增同减的数量差）。 5. 解题通用步骤 ① 找出题目中所有分率，明确每个分率对应的单位 “1”； ② 判断单位 “1” 是否统一，不统一则选择总量或不变量作为统一基准； ③ 统一单位 “1” 后，找到已知数量对应的分率； ④ 根据量率对应公式求出单位 “1” 的量，再求解其他问题。 例题讲解 【典型例题 1】基础分率互化 甲数是乙数的，求： （1）乙数是甲数的几分之几？ （2）甲数比乙数少几分之几？ （3）乙数比甲数多几分之几？ 【分析】本题考查两个量之间的单位 “1” 转化，先设乙数为单位 “1” 求出甲数的分率，再根据 “比谁除以谁” 逐一转化。 【详解】 设乙数为单位 “1”，则甲数 = 。 （1）乙数是甲数的几分之几：单位 “1” 是甲数，用乙数 ÷ 甲数 （2）甲数比乙数少几分之几：单位 “1” 是乙数，用差量 ÷ 乙数 （3）乙数比甲数多几分之几：单位 “1” 是甲数，用差量 ÷ 甲数 【答案】（1）；（2）；（3） 【跟踪训练 1】 男生人数比女生多，求： （1）男生人数是女生的几分之几？ （2）女生人数是男生的几分之几？ （3）女生人数比男生少几分之几？ 【分析】先以女生人数为单位 “1”，求出男生对应的分率，再逐一转化单位 “1”。 【详解】 设女生人数为单位 “1”，则男生人数 = 。 （1）男生是女生的： （2）女生是男生的： （3）女生比男生少： 【答案】（1）；（2）；（3） 【典型例题 2】统一单位 “1”（多步分率转化） 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，两次一共剪去全长的几分之几？还剩全长的几分之几？ 【分析】第一次的单位 “1” 是全长，第二次的单位 “1” 是余下的长度。先把第二次的分率转化为以全长为单位 “1” 的分率，再计算总和与剩余。 【详解】 设全长为单位 “1”。 第一次剪去后余下的分率： 第二次剪去的对应全长的分率： 两次一共剪去全长的： 还剩全长的： 【答案】一共剪去全长的，还剩全长的 【跟踪训练 2】 一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天看了第二天余下的，第三天看了全书的几分之几？ 【分析】逐层转化单位 “1”，先求第一天余下的分率，再求第二天余下的分率，最后乘第三天的分率得到对应全书的分率。 【详解】 设全书为单位 “1”。 第一天余下： 第二天余下： 第三天看的对应全书分率： 【答案】 【典型例题 3】抓不变量：部分量不变 六（1）班原来男生人数占全班总人数的，后来转来 2 名女生，这时男生人数占全班的。原来全班有多少人？ 【分析】整个过程中男生人数不变，将男生人数设为单位 “1”，分别求出原来和现在全班人数对应男生的分率，分率差对应转来的 2 名女生，量率对应求出男生人数，再求原来全班人数。 【详解】 设男生人数为单位 “1”。 原来全班人数是男生的： 现在全班人数是男生的： 全班人数增加的分率： 对应增加的人数是 2 人，因此男生人数：（人） 原来全班人数：（人） 【答案】人 【跟踪训练 3】 科技书和故事书共 630 本，其中科技书占总数的，后来又买来一些科技书，这时科技书占总数的。又买来多少本科技书？ 【分析】故事书的数量不变，先求出故事书的数量，再根据后来的分率求出现在的总本数，最后减去原来的总数得到买来的科技书数量。 【详解】 故事书数量不变，先求故事书本数： （本） 后来故事书占总数的： 现在总本数：（本） 买来科技书：（本） 【答案】本 【典型例题 4】抓不变量：总量不变 甲、乙两桶油共重 180 千克，甲桶油的质量是乙桶的。从甲桶倒出一部分油给乙桶后，甲桶油的质量是乙桶的。从甲桶倒出了多少千克油？ 【分析】两桶油互相倾倒，总质量不变。将总质量设为单位 “1”，分别求出原来和现在甲桶油占总质量的分率，分率差对应倒出的油的质量。 【详解】 总质量 180 千克不变，为单位 “1”。 原来甲桶占总质量的： 原来甲桶质量：（千克） 现在甲桶占总质量的： 现在甲桶质量：（千克） 倒出的质量：（千克） 【答案】千克 【跟踪训练 4】 甲乙两个仓库共有粮食 240 吨，甲仓库存粮是乙仓库的。从乙仓库运多少吨粮食到甲仓库，才能使甲仓库存粮是乙仓库的？ 【分析】总存粮不变，统一为单位 “1”，分别求出原来和现在甲仓库的分率，分率差对应运送的粮食吨数。 【详解】 总质量 240 吨不变。 原来甲占总量的： 原来甲：（吨） 现在甲占总量的： 现在甲：（吨） 从乙运到甲的：（吨） 【答案】吨 巩固练习 1. 苹果的质量是梨的，梨的质量是苹果的几分之几？梨比苹果多几分之几？ 【分析】基础分率互化，设梨为单位 “1”，求出苹果分率后再转化单位 “1”。 【详解】 设梨的质量为单位 “1”，则苹果为。 梨是苹果的： 梨比苹果多： 【答案】梨是苹果的，梨比苹果多 2. 某工厂今年产值比去年减少，去年产值比今年多几分之几？ 【分析】先确定去年为单位 “1”，求出今年产值的分率，再转化单位 “1” 为今年。 【详解】 设去年产值为单位 “1”，今年产值： 去年比今年多： 【答案】 3. 一根水管，第一次截去全长的，第二次截去余下的，两次共截去全长的几分之几？ 【分析】统一全长为单位 “1”，先求第二次对应全长的分率，再相加。 【详解】 第一次余下： 第二次截去全长的： 两次共截去： 【答案】 4. 一堆沙子，第一天运走总数的，第二天运走余下的，第三天运走余下的，还剩总数的几分之几？ 【分析】逐层计算每次余下的分率，统一为总数的分率。 【详解】 第一天余下： 第二天余下： 第三天余下： 【答案】 5. 六（2）班男生占全班的，转走 3 名男生后，男生占全班的。原来全班有多少人？ 【分析】女生人数不变，设女生为单位 “1”，转化前后全班的分率，量率对应求解。 【详解】 女生人数不变，设女生为单位 “1”。 原来全班是女生的： 现在全班是女生的： 女生人数：（人） 原来全班：（人） 【答案】人 6. 有含盐率为的盐水 200 克，加入多少克盐后，含盐率变为？ 【分析】水的质量不变，先求水的质量，再求后来盐水总质量，差值为加入的盐。 【详解】 水的质量：（克） 后来盐水质量：（克） 加入盐：（克） 【答案】克 7. 甲乙两人共有零花钱 120 元，甲的钱数是乙的，甲给乙多少元后，甲的钱数是乙的？ 【分析】总钱数不变，统一总量为单位 “1”，求甲前后的分率差。 【详解】 总钱数 120 元不变。 原来甲占总钱数：，原来甲：（元） 现在甲占总钱数：，现在甲：（元） 甲给乙：（元） 【答案】元 8. 两筐苹果共重 80 千克，第一筐的质量是第二筐的，从第二筐拿多少千克放入第一筐，两筐质量相等？ 【分析】总质量不变，先求两筐原来的质量，再计算相等时的质量，求差值。 【详解】 总质量 80 千克，原来第一筐占： 第一筐原来：（千克） 相等时每筐：（千克） 拿的质量：（千克） 【答案】千克 9. 甲数的等于乙数的，甲数是乙数的几分之几？ 【分析】利用等式关系，设等式结果为 1，分别求出甲乙，再计算分率。 【详解】 设 则甲 = ，乙 = 甲是乙的： 【答案】 10. 一根铁丝，第一次用去全长的多 2 米，第二次用去余下的少 2 米，还剩 20 米。这根铁丝原来长多少米？ 【分析】倒推法，先根据第二次的情况求出第一次余下的长度，再求全长。 【详解】 第二次用去余下的少 2 米，剩下 20 米，说明米对应第一次余下的。 第一次余下的长度：（米） 第一次用去全长的多 2 米，剩下 30 米，说明米对应全长的。 全长：（米） 【答案】米 11. 小明看一本书，第一天看了全书的多 16 页，第二天看了余下的少 2 页，还剩 212 页。这本书共有多少页？ 【分析】倒推法，先求第一天余下的页数，再求全书页数。 【详解】 第二天看余下的少 2 页，剩 212 页，则页对应第一天余下的。 第一天余下：（页） 第一天看全书的多 16 页，余下 280 页，则页对应全书的。 全书：（页） 【答案】页 12. 甲、乙两个班人数相等，甲班男生人数是乙班女生的，乙班男生人数是甲班女生的。甲班女生人数是乙班女生的几分之几？ 【分析】两班总人数相等，即甲男 + 甲女 = 乙男 + 乙女，代入已知分率列方程求解。 【详解】 设乙班女生人数为单位 “1”，则甲班男生 = 。 设甲班女生为，则乙班男生 = 。 两班人数相等： 即甲班女生是乙班女生的。 【答案】 真题训练 1.（小升初真题）甲数比乙数多，乙数比甲数少几分之几？ 【分析】基础分率转化，设乙为单位 “1”，求出甲的分率，再计算少的分率。 【详解】 设乙数为 1，甲数 = 乙数比甲数少： 【答案】 2.（希望杯模拟）水结成冰体积增加，冰化成水体积减少几分之几？ 【分析】经典分率转化题，水和冰的单位 “1” 不同，注意区分基准量。 【详解】 设水的体积为 1，冰的体积 = 冰化成水减少： 【答案】 3.（小升初真题）修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了余下的，两天共修了 850 米。这条公路全长多少米？ 【分析】统一全长为单位 “1”，先求出第二天修的对应全长的分率，再计算两天一共的分率，量率对应求全长。 【详解】 第一天修完余下全长的： 第二天修了全长的： 两天一共修了全长的： 全长：（米） 【答案】米 4.（重点中学分班考）有一堆煤，第一次运走全部的，第二次运走余下的，第三次运走再余下的，这时还剩 24 吨。这堆煤原有多少吨？ 【分析】倒推法，每次余下的分率相乘，对应剩下的 24 吨。 【详解】 第一次余下： 第二次余下： 第三次余下： 原有：（吨） 【答案】吨 5.（华杯赛初赛）某小学六年级女生人数是男生的，后来转来 3 名女生，这时女生人数是男生的。现在全年级有多少人？ 【分析】男生人数不变，设男生为单位 “1”，分率差对应 3 人，求出男生后再算现在总人数。 【详解】 男生人数不变，设男生为单位 “1”。 原来女生：，现在女生： 分率差： 男生人数：（人） 现在总人数：（人） 【答案】人 6.（小升初真题）一杯糖水，糖占糖水的，加入 10 克糖后，糖占糖水的。原来糖水有多少克？ 【分析】水的质量不变，设水为单位 “1”，转化前后糖的分率，量率对应求解。 【详解】 原来糖占水的： 现在糖占水的： 水的质量：（克） 原来糖水：（克） 【答案】克 7.（走美杯真题）甲乙两袋大米共重 120 千克，甲袋大米的重量是乙袋的，从甲袋倒出 10 千克给乙袋后，甲袋是乙袋的几分之几？ 【分析】总质量不变，先求原来甲乙的质量，再计算现在的质量，最后求分率。 【详解】 总质量 120 千克，原来甲占： 原来甲：（千克），乙：80 千克 现在甲：千克，乙：千克 甲是乙的： 【答案】 8.（小升初压轴题）甲、乙两个工程队共有工人 360 人，甲队人数是乙队的。从甲队调多少人到乙队，乙队人数就是甲队的？ 【分析】总人数不变，统一总量为单位 “1”，求甲队前后的分率差。 【详解】 总人数 360 人不变。 原来甲占总人数：，原来甲：（人） 现在甲占总人数：，现在甲：（人） 调走人数：（人） 【答案】人 9.（希望杯真题）甲数的等于乙数的，甲数比乙数少 10，甲数是多少？ 【分析】先根据等式求出甲乙的比，再根据差量求出甲数。 【详解】 甲比乙少 1 份，对应 10，所以甲数： 【答案】 10.（重点中学自主招生）一根绳子，第一次剪去全长的多 2 米，第二次剪去余下的少 1 米，还剩 10 米。这根绳子原来长多少米？ 【分析】倒推法，从最后剩余的长度逐步往前推算全长。 【详解】 第二次剪去余下的少 1 米，剩下 10 米，说明米对应第一次余下的。 第一次余下：（米） 第一次剪去全长的多 2 米，余下 18 米，说明米对应全长的。 全长：（米） 【答案】米 11.（小升初真题）有两筐梨，第一筐梨的质量是第二筐的，如果从第二筐取出 10 千克放入第一筐，那么第一筐梨的质量是第二筐的。两筐梨共重多少千克？ 【分析】总质量不变，统一总量为单位 “1”，求出 10 千克对应的分率。 【详解】 总质量不变，为单位 “1”。 原来第一筐占总质量： 现在第一筐占总质量： 10 千克对应分率： 总质量：（千克） 【答案】千克 12.（思维训练题）甲、乙、丙三人共有邮票，甲的邮票数是乙、丙总数的，乙的邮票数是甲、丙总数的，丙有 60 张。三人共有多少张邮票？ 【分析】统一总邮票数为单位 “1”，分别求出甲、乙占总数的分率，再求丙的分率，量率对应。 【详解】 甲是乙丙总数的，则甲占总数的： 乙是甲丙总数的，则乙占总数的： 丙占总数的： 总数：（张） 【答案】张 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 单位“1”的转化（一）专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 单位 “1” 的基本概念 单位 “1”：将一个完整的量（如一段路程、一筐苹果、总人数等）看作一个整体，用自然数 1 表示，称为单位 “1”。 核心公式： 分率 = 部分量 ÷ 单位 “1” 的量 部分量 = 单位 “1” 的量 × 对应分率 单位 “1” 的量 = 部分量 ÷ 对应分率 关键原则：分率和部分量必须一一对应，即必须是同一个单位 “1” 下的分率和数量才能直接计算。 2. 基础分率互化（两个量之间的单位 “1” 转化） 已知甲、乙两个量的分率关系，可通过倒数或比例关系互换单位 “1”： 正向互化：若甲是乙的（），则乙是甲的（）。 例：甲是乙的，则乙是甲的。 “多 / 少” 型转化： 若甲比乙多，则甲是乙的；反过来乙比甲少。 若甲比乙少，则甲是乙的；反过来乙比甲多。 推导核心：“比谁就除以谁”，差量除以单位 “1” 的量。 3. 统一单位 “1”（多步分率的转化） 当题目中出现多个分率且对应不同单位 “1” 时，需将所有分率统一到同一个总量上。 常见场景：第一次用去全长的，第二次用去余下的，求第二次用去全长的几分之几。 转化方法：先求第一次余下的分率，再乘第二次的分率，即第二次对应全长的分率 = 。 核心思路：以最终的总量为统一基准，逐层将 “部分的分率” 转化为 “整体的分率”。 4. 抓不变量转化单位 “1”（重点） 当题目中某个量始终保持不变时，将这个不变量设为单位 “1”，再将其他量的分率都转化为以不变量为基准的分率，最后用量率对应求解。 常见的三类不变量： 总量不变：两个部分量互相转移，总和不变（如两桶油互相倾倒、班级总人数不变等）。 部分量不变：一个部分量恒定，另一个部分量变化（如男生人数不变、水的质量不变等）。 差量不变：两个量同时增加或减少相同数量，差值不变（如年龄差、同增同减的数量差）。 5. 解题通用步骤 ① 找出题目中所有分率，明确每个分率对应的单位 “1”； ② 判断单位 “1” 是否统一，不统一则选择总量或不变量作为统一基准； ③ 统一单位 “1” 后，找到已知数量对应的分率； ④ 根据量率对应公式求出单位 “1” 的量，再求解其他问题。 例题讲解 【典型例题 1】基础分率互化 甲数是乙数的，求： （1）乙数是甲数的几分之几？ （2）甲数比乙数少几分之几？ （3）乙数比甲数多几分之几？ 【跟踪训练 1】 男生人数比女生多，求： （1）男生人数是女生的几分之几？ （2）女生人数是男生的几分之几？ （3）女生人数比男生少几分之几？ 【典型例题 2】统一单位 “1”（多步分率转化） 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，两次一共剪去全长的几分之几？还剩全长的几分之几？ 【跟踪训练 2】 一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天看了第二天余下的，第三天看了全书的几分之几？ 【典型例题 3】抓不变量：部分量不变 六（1）班原来男生人数占全班总人数的，后来转来 2 名女生，这时男生人数占全班的。原来全班有多少人？ 【跟踪训练 3】 科技书和故事书共 630 本，其中科技书占总数的，后来又买来一些科技书，这时科技书占总数的。又买来多少本科技书？ 【典型例题 4】抓不变量：总量不变 甲、乙两桶油共重 180 千克，甲桶油的质量是乙桶的。从甲桶倒出一部分油给乙桶后，甲桶油的质量是乙桶的。从甲桶倒出了多少千克油？ 【跟踪训练 4】 甲乙两个仓库共有粮食 240 吨，甲仓库存粮是乙仓库的。从乙仓库运多少吨粮食到甲仓库，才能使甲仓库存粮是乙仓库的？ 巩固练习 1. 苹果的质量是梨的，梨的质量是苹果的几分之几？梨比苹果多几分之几？ 2. 某工厂今年产值比去年减少，去年产值比今年多几分之几？ 3. 一根水管，第一次截去全长的，第二次截去余下的，两次共截去全长的几分之几？ 4. 一堆沙子，第一天运走总数的，第二天运走余下的，第三天运走余下的，还剩总数的几分之几？ 5. 六（2）班男生占全班的，转走 3 名男生后，男生占全班的。原来全班有多少人？ 6. 有含盐率为的盐水 200 克，加入多少克盐后，含盐率变为？ 7. 甲乙两人共有零花钱 120 元，甲的钱数是乙的，甲给乙多少元后，甲的钱数是乙的？ 8. 两筐苹果共重 80 千克，第一筐的质量是第二筐的，从第二筐拿多少千克放入第一筐，两筐质量相等？ 9. 甲数的等于乙数的，甲数是乙数的几分之几？ 10. 一根铁丝，第一次用去全长的多 2 米，第二次用去余下的少 2 米，还剩 20 米。这根铁丝原来长多少米？ 11. 小明看一本书，第一天看了全书的多 16 页，第二天看了余下的少 2 页，还剩 212 页。这本书共有多少页？ 12. 甲、乙两个班人数相等，甲班男生人数是乙班女生的，乙班男生人数是甲班女生的。甲班女生人数是乙班女生的几分之几？ 真题训练 1.（小升初真题）甲数比乙数多，乙数比甲数少几分之几？ 2.（希望杯模拟）水结成冰体积增加，冰化成水体积减少几分之几？ 3.（小升初真题）修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了余下的，两天共修了 850 米。这条公路全长多少米？ 4.（重点中学分班考）有一堆煤，第一次运走全部的，第二次运走余下的，第三次运走再余下的，这时还剩 24 吨。这堆煤原有多少吨？ 5.（华杯赛初赛）某小学六年级女生人数是男生的，后来转来 3 名女生，这时女生人数是男生的。现在全年级有多少人？ 6.（小升初真题）一杯糖水，糖占糖水的，加入 10 克糖后，糖占糖水的。原来糖水有多少克？ 7.（走美杯真题）甲乙两袋大米共重 120 千克，甲袋大米的重量是乙袋的，从甲袋倒出 10 千克给乙袋后，甲袋是乙袋的几分之几？ 8.（小升初压轴题）甲、乙两个工程队共有工人 360 人，甲队人数是乙队的。从甲队调多少人到乙队，乙队人数就是甲队的？ 9.（希望杯真题）甲数的等于乙数的，甲数比乙数少 10，甲数是多少？ 10.（重点中学自主招生）一根绳子，第一次剪去全长的多 2 米，第二次剪去余下的少 1 米，还剩 10 米。这根绳子原来长多少米？ 11.（小升初真题）有两筐梨，第一筐梨的质量是第二筐的，如果从第二筐取出 10 千克放入第一筐，那么第一筐梨的质量是第二筐的。两筐梨共重多少千克？ 12.（思维训练题）甲、乙、丙三人共有邮票，甲的邮票数是乙、丙总数的，乙的邮票数是甲、丙总数的，丙有 60 张。三人共有多少张邮票？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $