第7讲 量率对应问题（进阶篇）专题讲义-人教版数学六年级上册奥数培优

第7讲 量率对应问题（进阶篇）专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 进阶核心 1：统一单位 “1”—— 多基准分率转化 当题目中出现多个分率，且每个分率的单位 “1” 不同时，必须选择一个公共量作为统一单位 “1”，将所有分率都转化为这个基准下的分率，才能进行加减运算或量率匹配。 两类常见场景 连锁分率转化：已知 A 是 B 的，B 是 C 的，求 A 是 C 的几分之几。 公式： 本质：连续以中间量为桥梁，逐层传递分率。 余下分率转总量分率：第一次用去全长的，第二次用去余下的，求第二次对应总量的分率。 公式： 剩余总量分率： 2. 进阶核心 2：抓不变量转化单位 “1” 当题目中数量发生增减、转移时，总有一个量保持恒定。将不变量设为单位 “1”，把其他量的分率都转化为以不变量为基准的分率，变化的数量必然对应分率的变化差，即可用量率对应求解。 三类不变量题型 不变量类型 常见场景 解题方法 总量不变 两桶油互相倾倒、班级间调人、物品转移 把总量设为单位 “1”，求变化前后部分量占总量的分率，数量差对应分率差 部分量不变 男生人数不变、水的质量不变、加盐 / 加水 把不变的部分量设为单位 “1”，求总量 / 另一部分对应不变量的分率，数量差对应分率差 差量不变 年龄差、同增同减相同数量 把差量设为单位 “1”，分别求两个量对应差量的分率 3. 进阶核心 3：倒推还原法（逆推法） 适用场景：已知最终剩余数量，经过多次 “用去几分之几多 / 少几” 的操作，求初始总量。 解题原则：从最后结果出发，从后往前逆推； 用去几分之几 → 剩余 → 逆推用除法：剩余量 ÷ “用去多几” → 剩余就少几 → 逆推先加几，再除 “用去少几” → 剩余就多几 → 逆推先减几，再除 关键：每一步的单位 “1” 都是上一步的剩余量，倒推时每一步都对应当时的单位 “1”。 4. 进阶核心 4：和差倍型量率对应 已知两个量的和（或差），以及两个量的分率关系，先统一单位 “1”，再套用公式： 和倍型： 差倍型： 5. 解题通用步骤 ① 标画分率：圈出所有分率，明确每个分率对应的单位 “1”； ② 判断类型：确定是统一单位 “1”、抓不变量、倒推还是和差倍型； ③ 统一基准：选择总量或不变量为统一单位 “1”，转化所有分率； ④ 量率匹配：找到已知数量对应的分率（差量对应分率差，总量对应分率和）； ⑤ 列式求解：用量率对应公式计算，代入原题检验。 例题讲解 【典型例题 1】统一单位 “1”（多步余下分率转化） 修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了余下的，第三天修了第二天余下的，还剩 60 米没修。这条公路全长多少米？ 【跟踪训练 1】 一堆煤，第一次运走总数的，第二次运走余下的，第三次运走第二次余下的，还剩 15 吨。这堆煤原有多少吨？ 【典型例题 2】抓不变量：总量不变 甲、乙两桶油共重 180 千克，从甲桶倒出给乙桶后，两桶油同样重。原来甲桶油重多少千克？ 【跟踪训练 2】 甲、乙两个仓库共存粮 240 吨，从乙仓库运出给甲仓库后，两个仓库存粮相等。原来乙仓库存粮多少吨？ 【典型例题 3】抓不变量：部分量不变 六（1）班原来女生人数占全班的，后来转来 2 名女生，这时女生人数占全班的。原来全班有多少人？ 【跟踪训练 3】 有含盐率为的盐水 200 克，加入多少克盐后，含盐率变为？ 【典型例题 4】倒推还原进阶（带数量调整） 一根铁丝，第一次用去全长的多 2 米，第二次用去余下的少 1 米，还剩 12 米。这根铁丝原来长多少米？ 【跟踪训练 4】 小明看一本书，第一天看了全书的多 3 页，第二天看了余下的少 2 页，还剩 24 页。这本书共有多少页？ 巩固练习 1. 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，两次共剪去全长的几分之几？ 2. 甲数的等于乙数的，甲数是乙数的几分之几？ 3. 甲、乙两人共有 120 元，甲把自己的给乙后，两人钱数相等。甲原来有多少钱？ 4. 六（2）班男生占全班的，转走 3 名女生后，男生占全班的。原来全班有多少人？ 5. 一堆西瓜，第一天卖出总数的多 4 个，第二天卖出余下的少 2 个，还剩 10 个。这堆西瓜原有多少个？ 6. 甲比乙多 20 元，甲的钱数是乙的。甲、乙各有多少钱？ 7. 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了剩下的，还剩 60 米。这条路全长多少米？ 8. 两筐苹果共重 80 千克，从第一筐取出放入第二筐，两筐一样重。第一筐原有多少千克？ 9. 一杯糖水，糖占糖水的，加入 10 克水后，糖占糖水的。原来糖水有多少克？ 10. 一根电线，第一次用去全长的少 1 米，第二次用去余下的多 1 米，还剩 7 米。这根电线原来长多少米？ 11. 甲、乙共有图书 100 本，甲的本数是乙的。甲、乙各有多少本？ 12. 小明比小红多 20 张邮票，小明的张数比小红多。小红有多少张邮票？ 真题训练 1.（小升初真题）一根绳子，第一次用去全长的，第二次用去余下的，两次共用去全长的几分之几？ 2.（希望杯真题）甲数的等于乙数的，甲数比乙数多 10。甲数是多少？ 3.（小升初真题）甲、乙两桶油共 60 千克，从甲桶倒出给乙桶后，两桶一样重。乙桶原有多少千克？ 4.（华杯赛初赛）某班女生占全班的，后来转来 2 名女生，这时女生占全班的。这个班现在有多少人？ 5.（小升初压轴题）一堆煤，第一天运走总数的多 6 吨，第二天运走余下的少 2 吨，还剩 14 吨。这堆煤原有多少吨？ 6.（重点中学分班考）有含盐率的盐水 350 克，加入多少克水后，含盐率变为？ 7.（走美杯真题）甲、乙两人共有钱若干，甲的钱数是乙的，如果乙给甲 12 元，两人钱数相等。甲、乙共有多少钱？ 8.（小升初真题）一根铁丝，第一次剪去它的，第二次剪去余下的，还剩 8 米。这根铁丝原来长多少米？ 9.（希望杯真题）小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩 60 页。这本书共有多少页？ 10.（华杯赛模拟题）两堆煤共重 72 吨，第一堆用去，第二堆用去，剩下的两堆一样重。原来第一堆重多少吨？ 11.（小升初真题）甲比乙多 30 元，甲用去，乙用去后，两人剩下的钱一样多。甲原来有多少钱？ 12.（思维训练题）甲、乙、丙三人共有邮票，甲的邮票数是乙、丙总数的，乙的邮票数是甲、丙总数的，丙有 60 张。三人共有多少张邮票？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 量率对应问题（进阶篇）专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 进阶核心 1：统一单位 “1”—— 多基准分率转化 当题目中出现多个分率，且每个分率的单位 “1” 不同时，必须选择一个公共量作为统一单位 “1”，将所有分率都转化为这个基准下的分率，才能进行加减运算或量率匹配。 两类常见场景 连锁分率转化：已知 A 是 B 的，B 是 C 的，求 A 是 C 的几分之几。 公式： 本质：连续以中间量为桥梁，逐层传递分率。 余下分率转总量分率：第一次用去全长的，第二次用去余下的，求第二次对应总量的分率。 公式： 剩余总量分率： 2. 进阶核心 2：抓不变量转化单位 “1” 当题目中数量发生增减、转移时，总有一个量保持恒定。将不变量设为单位 “1”，把其他量的分率都转化为以不变量为基准的分率，变化的数量必然对应分率的变化差，即可用量率对应求解。 三类不变量题型 不变量类型 常见场景 解题方法 总量不变 两桶油互相倾倒、班级间调人、物品转移 把总量设为单位 “1”，求变化前后部分量占总量的分率，数量差对应分率差 部分量不变 男生人数不变、水的质量不变、加盐 / 加水 把不变的部分量设为单位 “1”，求总量 / 另一部分对应不变量的分率，数量差对应分率差 差量不变 年龄差、同增同减相同数量 把差量设为单位 “1”，分别求两个量对应差量的分率 3. 进阶核心 3：倒推还原法（逆推法） 适用场景：已知最终剩余数量，经过多次 “用去几分之几多 / 少几” 的操作，求初始总量。 解题原则：从最后结果出发，从后往前逆推； 用去几分之几 → 剩余 → 逆推用除法：剩余量 ÷ “用去多几” → 剩余就少几 → 逆推先加几，再除 “用去少几” → 剩余就多几 → 逆推先减几，再除 关键：每一步的单位 “1” 都是上一步的剩余量，倒推时每一步都对应当时的单位 “1”。 4. 进阶核心 4：和差倍型量率对应 已知两个量的和（或差），以及两个量的分率关系，先统一单位 “1”，再套用公式： 和倍型： 差倍型： 5. 解题通用步骤 ① 标画分率：圈出所有分率，明确每个分率对应的单位 “1”； ② 判断类型：确定是统一单位 “1”、抓不变量、倒推还是和差倍型； ③ 统一基准：选择总量或不变量为统一单位 “1”，转化所有分率； ④ 量率匹配：找到已知数量对应的分率（差量对应分率差，总量对应分率和）； ⑤ 列式求解：用量率对应公式计算，代入原题检验。 例题讲解 【典型例题 1】统一单位 “1”（多步余下分率转化） 修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了余下的，第三天修了第二天余下的，还剩 60 米没修。这条公路全长多少米？ 【分析】三天分率的单位 “1” 逐层变化，先统一为以全长为单位 “1”，求出最后剩余 60 米对应的分率，再用量率对应求全长。 【详解】 第一天修完后，余下全长的： 第二天修完后，余下全长的： 第三天修完后，余下全长的： 剩余 60 米对应全长的，全长： （米） 【答案】米 【跟踪训练 1】 一堆煤，第一次运走总数的，第二次运走余下的，第三次运走第二次余下的，还剩 15 吨。这堆煤原有多少吨？ 【分析】逐步将每次剩余的分率统一为总数的分率，最后剩余 15 吨对应总吨数的分率。 【详解】 第一次余下总数的： 第二次余下总数的： 第三次余下总数的： 原有吨数：（吨） 【答案】吨 【典型例题 2】抓不变量：总量不变 甲、乙两桶油共重 180 千克，从甲桶倒出给乙桶后，两桶油同样重。原来甲桶油重多少千克？ 【分析】两桶油互相倾倒，总质量不变。先求现在甲桶的质量，再根据 “甲桶倒出后剩现在的质量”，倒推甲桶原来的质量。 【详解】 总质量 180 千克不变，现在两桶同样重，每桶重： （千克） 甲桶倒出后剩 90 千克，对应原来的： 原来甲桶重： （千克） 【答案】千克 【跟踪训练 2】 甲、乙两个仓库共存粮 240 吨，从乙仓库运出给甲仓库后，两个仓库存粮相等。原来乙仓库存粮多少吨？ 【分析】总存粮不变，先求现在乙仓库的存粮，再根据运出后的剩余分率，求原来乙仓库存粮。 【详解】 现在每个仓库存粮：（吨） 乙仓库运出后剩 120 吨，对应原来的： 原来乙仓库存粮：（吨） 【答案】吨 【典型例题 3】抓不变量：部分量不变 六（1）班原来女生人数占全班的，后来转来 2 名女生，这时女生人数占全班的。原来全班有多少人？ 【分析】整个过程男生人数不变，将男生人数设为单位 “1”，分别求出原来和现在全班人数对应男生的分率，分率差对应转来的 2 名女生，量率对应求出男生人数，再求原来全班人数。 【详解】 男生人数不变，设为单位 “1”。 原来女生占，男生占，原来全班是男生的： 现在女生占，男生占，现在全班是男生的： 全班增加的分率对应男生的： 对应增加 2 人，男生人数： （人） 原来全班人数： （人） 【答案】人 【跟踪训练 3】 有含盐率为的盐水 200 克，加入多少克盐后，含盐率变为？ 【分析】加盐过程中水的质量不变，先求水的质量，再根据后来的含水率求后来盐水总质量，差值为加入的盐。 【详解】 水的质量（不变）： （克） 后来含盐率，含水率为 后来盐水总质量： （克） 加入盐的质量： （克） 【答案】克 【典型例题 4】倒推还原进阶（带数量调整） 一根铁丝，第一次用去全长的多 2 米，第二次用去余下的少 1 米，还剩 12 米。这根铁丝原来长多少米？ 【分析】从最后剩余 12 米往前逆推，先根据第二次的情况求出第一次用完余下的长度，再根据第一次的情况求出全长；注意 “多用就加，少用就减” 的逆推原则。 【详解】 第一步：倒推第一次用完余下的长度 第二次用去余下的少 1 米，剩下 12 米。 说明如果第二次多用 1 米，就正好用去余下的，剩下的就少 1 米，即米，对应余下的。 第一次余下的长度： （米） 第二步：倒推全长 第一次用去全长的多 2 米，剩下 22 米。 说明如果第一次少用 2 米，就正好用去全长的，剩下的就多 2 米，即米，对应全长的。 全长： （米） 验证：全长 36 米，第一次用米，剩 22 米；第二次用米，剩 12 米，符合题意。 【答案】米 【跟踪训练 4】 小明看一本书，第一天看了全书的多 3 页，第二天看了余下的少 2 页，还剩 24 页。这本书共有多少页？ 【分析】从最后 24 页倒推，先求第一天余下的页数，再求全书页数。 【详解】 第二天看了余下的少 2 页，剩 24 页。 调整后剩余：（页），对应第一次余下的 第一次余下：（页） 第一天看了全书的多 3 页，剩 33 页。 调整后剩余：（页），对应全书的 全书页数：（页） 【答案】页 巩固练习 1. 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，两次共剪去全长的几分之几？ 【分析】先求第二次剪去的对应全长的分率，再与第一次分率相加。 【详解】 第二次剪去全长的： 两次共剪去： 【答案】 2. 甲数的等于乙数的，甲数是乙数的几分之几？ 【分析】设等式结果为 1，分别求出甲乙两数，再计算甲是乙的几分之几。 【详解】 设，则甲，乙 甲是乙的： 【答案】 3. 甲、乙两人共有 120 元，甲把自己的给乙后，两人钱数相等。甲原来有多少钱？ 【分析】总钱数不变，先求现在甲的钱数，再对应甲原来的分率求原数。 【详解】 现在各有：（元） 甲剩下原来的，对应 60 元 原来甲：（元） 【答案】元 4. 六（2）班男生占全班的，转走 3 名女生后，男生占全班的。原来全班有多少人？ 【分析】男生人数不变，设男生为单位 “1”，求前后全班的分率差，对应 3 名女生。 【详解】 原来全班是男生的： 现在全班是男生的： 分率差： 男生人数：（人） 原来全班：（人） 【答案】人 5. 一堆西瓜，第一天卖出总数的多 4 个，第二天卖出余下的少 2 个，还剩 10 个。这堆西瓜原有多少个？ 【分析】倒推法，先求第一天余下的数量，再求总数。 【详解】 第二天卖完剩 10 个，调整后：（个），对应余下的 第一次余下：（个） 第一天剩 16 个，调整后：（个），对应总数的 原有：（个） 【答案】个 6. 甲比乙多 20 元，甲的钱数是乙的。甲、乙各有多少钱？ 【分析】差倍型，分率差对应 20 元，求乙（单位 “1”）。 【详解】 甲比乙多的分率： 乙的钱数：（元） 甲的钱数：（元） 【答案】甲元，乙元 7. 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了剩下的，还剩 60 米。这条路全长多少米？ 【分析】先求剩余长度对应全长的分率，再量率对应求全长。 【详解】 第一天余下： 第二天余下全长的： 全长：（米） 【答案】米 8. 两筐苹果共重 80 千克，从第一筐取出放入第二筐，两筐一样重。第一筐原有多少千克？ 【分析】总质量不变，先求现在第一筐的质量，再对应原来的分率。 【详解】 现在每筐重：（千克） 第一筐剩下原来的，对应 40 千克 原来第一筐：（千克） 【答案】千克 9. 一杯糖水，糖占糖水的，加入 10 克水后，糖占糖水的。原来糖水有多少克？ 【分析】糖的质量不变，设糖为单位 “1”，求前后糖水的分率差，对应 10 克水。 【详解】 原来糖水是糖的：倍 现在糖水是糖的：倍 糖的质量：（克） 原来糖水：（克） 【答案】克 10. 一根电线，第一次用去全长的少 1 米，第二次用去余下的多 1 米，还剩 7 米。这根电线原来长多少米？ 【分析】倒推法，从最后 7 米往前逐步推算。 【详解】 第二次用完剩 7 米，调整后：（米），对应余下的 第一次余下：（米） 第一次用完剩 12 米，调整后：（米），对应全长的 全长：（米） 【答案】米 11. 甲、乙共有图书 100 本，甲的本数是乙的。甲、乙各有多少本？ 【分析】和倍型，总量和对应分率和，求乙（单位 “1”）。 【详解】 总本数对应乙的： 乙的本数：（本） 甲的本数：（本） 【答案】甲本，乙本 12. 小明比小红多 20 张邮票，小明的张数比小红多。小红有多少张邮票？ 【分析】差倍型，分率差对应 20 张，求小红（单位 “1”）。 【详解】 小红的张数：（张） 【答案】张 真题训练 1.（小升初真题）一根绳子，第一次用去全长的，第二次用去余下的，两次共用去全长的几分之几？ 【分析】先求第二次对应全长的分率，再求和。 【详解】 第二次用去全长的： 两次共用： 【答案】 2.（希望杯真题）甲数的等于乙数的，甲数比乙数多 10。甲数是多少？ 【分析】先求甲乙两数的比，再根据差量求甲数。 【详解】 → 甲比乙多 1 份，对应 10，甲数： 【答案】 3.（小升初真题）甲、乙两桶油共 60 千克，从甲桶倒出给乙桶后，两桶一样重。乙桶原有多少千克？ 【分析】总质量不变，先求甲桶原有质量，再求乙桶原有质量。 【详解】 现在每桶重：（千克） 甲桶原有：（千克） 乙桶原有：（千克） 【答案】千克 4.（华杯赛初赛）某班女生占全班的，后来转来 2 名女生，这时女生占全班的。这个班现在有多少人？ 【分析】男生人数不变，设男生为单位 “1”，求前后女生的分率差，对应 2 人。 【详解】 原来女生是男生的： 现在女生是男生的： 男生人数：（人） 现在全班人数：（人） 【答案】人 5.（小升初压轴题）一堆煤，第一天运走总数的多 6 吨，第二天运走余下的少 2 吨，还剩 14 吨。这堆煤原有多少吨？ 【分析】倒推法，从剩余 14 吨逐步往前推算。 【详解】 第二天剩 14 吨，调整后：（吨），对应余下的 第一次余下：（吨） 第一天剩 24 吨，调整后：（吨），对应总数的 原有：（吨） 【答案】吨 6.（重点中学分班考）有含盐率的盐水 350 克，加入多少克水后，含盐率变为？ 【分析】盐的质量不变，先求盐的质量，再求后来盐水总质量，差值为加的水。 【详解】 盐的质量：（克） 后来盐水质量：（克） 加入水：（克） 【答案】克 7.（走美杯真题）甲、乙两人共有钱若干，甲的钱数是乙的，如果乙给甲 12 元，两人钱数相等。甲、乙共有多少钱？ 【分析】总钱数不变，先求甲乙原来的分率差，对应 12×2 元。 【详解】 原来甲占总钱数的： 现在甲占总钱数的： 分率差：，对应 12 元 总钱数：（元） 【答案】元 8.（小升初真题）一根铁丝，第一次剪去它的，第二次剪去余下的，还剩 8 米。这根铁丝原来长多少米？ 【分析】先求剩余 8 米对应全长的分率，再量率对应。 【详解】 第一次余下： 第二次余下全长的： 原长：（米） 【答案】米 9.（希望杯真题）小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩 60 页。这本书共有多少页？ 【分析】统一单位 “1”，求剩余 60 页对应全书的分率。 【详解】 第二天看了全书的： 剩余分率： 总页数：（页） 【答案】页 10.（华杯赛模拟题）两堆煤共重 72 吨，第一堆用去，第二堆用去，剩下的两堆一样重。原来第一堆重多少吨？ 【分析】根据剩下的质量相等，求出两堆原来的质量比，再按比例分配。 【详解】 第一堆剩下：，第二堆剩下： 由题意： 总份数： 第一堆原有：（吨） 【答案】吨（或吨） 11.（小升初真题）甲比乙多 30 元，甲用去，乙用去后，两人剩下的钱一样多。甲原来有多少钱？ 【分析】根据剩下的钱相等，求出甲乙原来的钱数比，再根据差量求解。 【详解】 甲剩下：，乙剩下： → 差 1 份对应 30 元，甲原有：（元） 【答案】元 12.（思维训练题）甲、乙、丙三人共有邮票，甲的邮票数是乙、丙总数的，乙的邮票数是甲、丙总数的，丙有 60 张。三人共有多少张邮票？ 【分析】统一总邮票数为单位 “1”，分别求出甲、乙占总数的分率，再求丙的分率，量率对应。 【详解】 甲占总数的： 乙占总数的： 丙占总数的： 总数：（张） 【答案】张 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $