第05讲 分数、百分数应用题（一）：量率对应与单位“1”的转化（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

六年级奥数培优讲义：第05讲 分数、百分数应用题（一）：量率对应与单位“1”的转化 知识点梳理 知识点一、基础概念回顾 1.分数、百分数应用题的核心是“量率对应”，即找到具体数量（简称“量”）与它所对应的分率（简称“率”）之间的关系，以及准确确定“单位‘1’”的量。 2.单位“1”：题目中作为参照标准的量，通常表示“整体”，可视为“1”（或100%）。常见标志词：“是”“占”“比”“相当于”后面的量（如“男生人数是女生的”，单位“1”是“女生人数”）。 量：具体的数值（如“男生有24人”，24是量）。 率：量占单位“1”的分率（如“男生占全班的”，是率）。 3.量率对应基本关系： 量 = 单位“1”的量 × 对应率 单位“1”的量 = 量 ÷ 对应率 对应率 = 量 ÷ 单位“1”的量 知识点二、单位“1”的确定与转化 1.单位“1”的确定方法： 找标志词：“是、占、比、相当于”后接的量（如“苹果比梨多”，单位“1”是“梨的数量”）。 整体与部分：整体是单位“1”（如“一堆煤用去”，单位“1”是“这堆煤的总量”）。 2.单位“1”的转化技巧： 统一单位“1”：当题目中出现多个单位“1”时，将其转化为同一单位“1”（通常选不变量或总量为单位“1”）。 3.比例转化法：若A是B的，则B是A的（如“男生是女生的”，则女生是男生的）。 知识点三、核心题型与技巧 题型1：已知单位“1”求量（正向应用） 核心技巧：直接用“单位‘1’的量 × 对应率”计算。 题型2：已知量求单位“1”（逆向应用） 核心技巧：用“量 ÷ 对应率”计算，关键是找到已知量对应的分率。 题型3：单位“1”的转化（多个单位“1”统一） 核心技巧：确定不变量为统一单位“1”，用分率表示其他量，再列量率对应关系。 题型4：复杂量率对应（多个分率对应同一单位“1”） 核心技巧：画线段图分析，标注各部分量对应的分率，找已知量与总率的关系。 知识点四、常见错误提醒 1.单位“1”判断错误：误将“比”后的量当作部分量（如“今年比去年增产”，错把“今年产量”当单位“1”，正确应为“去年产量”）。 2.量率不对应：已知量与分率不匹配（如“用去后还剩20米”，错用“20 ÷ ”求总量，正确应为“20 ÷ (1 - )”）。 3.转化时比例错误：A是B的，错认为B比A多（正确应为B比A多，如A是B的，B比A多）。 例题讲解 一、已知单位“1”求量 核心技巧：单位“1”的量 × 对应率 = 量。 例题1 一堆煤有240吨，用去了，用去了多少吨？ 答案：144吨 解析：单位“1”是“这堆煤的总量（240吨）”，对应率是“用去的”，量 = 240 × = 144吨。 详解：题目中“一堆煤有240吨”是单位“1”的量，“用去了”表示用去的量占单位“1”的。根据量率对应关系“量 = 单位‘1’×对应率”，直接计算：240 × = 144（吨）。 跟踪练习1 六年级（1）班有45人，女生占，女生有多少人？ 答案：18人 解析：单位“1”是“全班人数（45人）”，对应率是“女生占”，量 = 45 × = 18人。 详解：全班人数45人是单位“1”，女生人数对应的分率是，因此女生人数 = 45 × = 18（人）。 二、已知量求单位“1” 核心技巧：量 ÷ 对应率 = 单位“1”的量。 例题2 一袋大米，吃了后还剩10千克，这袋大米原来有多少千克？ 答案：30千克 解析：剩余量10千克对应率是“1 - = ”，单位“1”的量 = 10 ÷ = 30千克。 详解：“吃了”表示吃了的占总量（单位“1”）的，则剩余量占总量的1 - = 。已知剩余量10千克对应率，根据“单位‘1’ = 量 ÷ 对应率”，总量 = 10 ÷ = 30（千克）。 跟踪练习2 一件衣服降价后售价为90元，原价是多少元？ 答案：120元 解析：售价90元对应率是“1 - = ”，原价 = 90 ÷ = 120元。 详解：“降价”表示现价是原价（单位“1”）的1 - = 。已知现价90元对应率，原价 = 90 ÷ = 120（元）。 三、单位“1”的转化 核心技巧：统一单位“1”，用分率表示各量。 例题3 甲班人数是乙班的，乙班人数是丙班的，已知丙班有60人，甲班有多少人？ 答案：40人 解析：先以丙班为单位“1”，乙班 = 60 × = 50人；再以乙班为单位“1”，甲班 = 50 × = 40人。 详解：题目中有两个单位“1”（乙班、丙班），需分步转化。丙班60人是单位“1”，乙班人数是丙班的，则乙班人数 = 60 × = 50（人）；再以乙班50人为单位“1”，甲班是乙班的，甲班人数 = 50 × = 40（人）。 跟踪练习3 A校学生人数是B校的，B校学生人数比C校少，C校有2000人，A校有多少人？ 答案：1200人 解析：先求B校：C校2000人是单位“1”，B校 = 2000 × (1 - ) = 1600人；再求A校：A校 = 1600 × = 1200人。 详解：“B校比C校少”中，C校是单位“1”，B校对应率为1 - = ，B校人数 = 2000 × = 1600（人）；A校是B校的，A校人数 = 1600 × = 1200（人）。 四、复杂量率对应 核心技巧：画线段图，标注量与率的对应关系。 例题4 一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩60页没看，这本书共有多少页？ 答案：240页 解析：第二天看的分率 = (1 - ) × = ，剩余率 = 1 - - = ，全书页数 = 60 ÷ = 240页。 详解：单位“1”是“全书页数”。第一天看了，余下1 - = ；第二天看了余下的，即全书的 × = 。两天后剩余率为1 - - = ，对应剩余量60页。根据“单位‘1’ = 量 ÷ 对应率”，全书页数 = 60 ÷ = 240（页）。 跟踪练习4 一根绳子，第一次剪去，第二次剪去余下的，还剩4米，绳子原长多少米？ 答案：12米 解析：第二次剪去的分率 = (1 - ) × = ，剩余率 = 1 - - = ，原长 = 4 ÷ = 12米。 详解：第一次剪后余下1 - = ，第二次剪去余下的，即原长的 × = 。剩余率为1 - - = ，对应剩余4米，原长 = 4 ÷ = 12（米）。 提升练习 一、已知单位“1”求量 1.果园里有苹果树300棵，梨树的棵数是苹果树的，梨树有多少棵？ 答案： 180棵 解析： 单位“1”是苹果树的棵数（300棵），梨树对应率是，梨树棵数 = 300 × = 180棵。 详解： 题目中明确苹果树有300棵，梨树是苹果树的。这里“是”字后面的苹果树棵数就是单位“1”，已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少，用乘法计算。所以梨树的棵数为300 × = 180棵。 2.某工厂一月份生产机器200台，二月份比一月份增产，二月份生产机器多少台？ 答案： 220台 解析： 单位“1”是一月份产量（200台），二月份对应率是1 + = ，二月份产量 = 200 × = 220台。 详解： “二月份比一月份增产”，是把一月份的产量看作单位“1”，那么二月份的产量就是一月份的（1 + ）。已知一月份生产200台，所以二月份生产200 × (1 + ) = 200 × = 220台。 3.一本书共240页，小明第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了多少页？ 答案： 100页 解析： 单位“1”是全书页数（240页），第一天对应率，第二天对应率，两天共看对应率 = ，两天共看页数 = 240 × = 100页。 详解： 两天看的都是“全书的”几分之几，所以单位“1”都是全书的240页。第一天看了240 × = 40页，第二天看了240 × = 60页。两天一共看了40 + 60 = 100页。也可以先算两天一共看了全书的几分之几： = = ，再用240 × = 100页。 二、已知量求单位“1” 4.一根绳子，用去了，正好用去了10米，这根绳子原长多少米？ 答案： 25米 解析： 用去的10米对应率是，单位“1”（原长）= 10 ÷ = 25米。 详解： “用去了”是指用去的长度占绳子原长（单位“1”）的，而这对应的实际长度是10米。已知部分量（10米）和它对应的分率（），求单位“1”的量，用除法计算。所以原长为10 ÷ = 10 × = 25米。 5.一袋大米，吃了后，还剩15千克，这袋大米原来有多少千克？ 答案： 60千克 解析： 剩余15千克对应率是1 - = ，单位“1”（原重）= 15 ÷ = 60千克。 详解： “吃了”表示吃了的占总量（单位“1”）的，那么剩下的就占总量的1 - = 。已知剩下15千克，这15千克对应的分率就是。所以原来大米的重量为15 ÷ = 15 × 4 = 60千克。 6.一件商品打八折（即按原价的）出售，售价为120元，这件商品的原价是多少元？ 答案： 150元 解析： 售价120元对应率是（或80%），单位“1”（原价）= 120 ÷ = 150元。 详解： “打八折出售”意味着现价是原价的80%（即），这里原价是单位“1”。已知现价（120元）是原价的，求原价，用除法。所以原价 = 120 ÷ = 120 × = 150元。 7.修一条路，已经修了全长的，离中点还有15千米，这条路全长多少千米？(提示：中点是全长的) 答案： 210千米 解析： 15千米对应率是 = = ，单位“1”（全长）= 15 ÷ = 210千米。 详解： 这条路的全长是单位“1”。中点是全长的，已经修了全长的，那么离中点的距离占全长的。先通分计算： = ， = ，所以 = 。这对应的实际距离是15千米。因此，全长为15 ÷ = 15 × 14 = 210千米。 三、单位“1”的转化 8.甲数是乙数的，乙数是丙数的，已知丙数是100，甲数是多少？ 答案： 60 解析： 先以丙数为单位“1”，乙数 = 100 × = 80；再以乙数为单位“1”，甲数 = 80 × = 60。 详解： 题目中有两个单位“1”：“甲数是乙数的”中乙数是单位“1”；“乙数是丙数的”中丙数是单位“1”。已知丙数是100，我们可以先求出乙数。乙数是丙数的，所以乙数 = 100 × = 80。然后，甲数是乙数的，所以甲数 = 80 × = 60。 9.A的等于B的，如果A是60，那么B是多少？ 答案： 90 解析： A的 = 60 × = 30，即B的 = 30，B = 30 ÷ = 90。 详解： 首先，根据“A是60”，可以求出“A的”是多少：60 × = 30。题目说“A的等于B的”，也就是B的等于30。这里B是单位“1”，已知B的是30，求B，用除法：30 ÷ = 90。 10.学校图书馆里，故事书的本数是科技书的，科技书的本数是连环画的，已知连环画有240本，故事书有多少本？ 答案： 150本 解析： 先求科技书：连环画240本是单位“1”，科技书 = 240 × = 180本；再求故事书：科技书180本是单位“1”，故事书 = 180 × = 150本。 详解： 本题涉及三个量，连环画 → 科技书 → 故事书，逐步转化单位“1”。已知连环画有240本，“科技书的本数是连环画的”，所以科技书的本数为240 × = 180本。接着，“故事书的本数是科技书的”，所以故事书的本数为180 × = 150本。 11.甲、乙、丙三人，甲的钱数是乙的，乙的钱数是丙的，甲比丙少100元，丙有多少元？ 答案： 200元 解析： 以丙为单位“1”，乙 = 丙，甲 = 乙 = 丙 = 丙。甲比丙少1 - = ，对应100元，丙 = 100 ÷ = 200元。 详解： 这里乙是连接甲和丙的中间量。我们把丙的钱数看作单位“1”。因为“乙的钱数是丙的”，所以乙 = 丙。又因为“甲的钱数是乙的”，所以甲 = × 乙 = × 丙 = 丙。已知“甲比丙少100元”，即丙 - 甲 = 100元，也就是丙 - 丙 = 丙 = 100元。所以丙的钱数为100 ÷ = 200元。 四、比多比少问题 12.小红有50元钱，小明比小红多，小明有多少元？ 答案： 60元 解析： 单位“1”是小红的钱数（50元），小明对应率是1 + = ，小明钱数 = 50 × = 60元。 详解： “小明比小红多”，这里单位“1”是小红的钱数（50元）。“多”表示小明的钱数是小红的1 + = 。所以小明有50 × = 60元。 13.某村去年水稻产量是1200吨，今年比去年增产二成（即），今年产量是多少吨？ 答案： 1440吨 解析： 单位“1”是去年产量（1200吨），今年对应率是1 + = 1.2（或），今年产量 = 1200 × 1.2 = 1440吨。 详解： “增产二成”就是增产20%，即今年产量比去年多。单位“1”是去年产量1200吨。所以今年产量是去年的1 + = = 1.2倍。因此，今年产量为1200 × 1.2 = 1440吨。 五、复杂量率对应与综合 14.甲数比乙数多，乙数是100，甲数是多少？ 答案： 125 解析： 单位“1”是乙数（100），甲数对应率是1 + = ，甲数 = 100 × = 125。 详解： “甲数比乙数多”，乙数是单位“1”（100）。那么甲数就是乙数的1 + = 。所以甲数 = 100 × = 125。 15.一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，还剩6米，这根绳子原长多少米？ 答案： 24米 解析： 第一次剪后余下1 - = 。第二次剪去余下的，即剪去全长的 = 。剩余率 = 1 - - = 。原长 = 6 ÷ = 24米。 详解： 这是“余下的几分之几”的问题。把绳子原长看作单位“1”。第一次剪去全长的，那么余下全长的1 - = 。第二次剪去的是“余下的”，也就是剪去的，即 = （全长的）。所以总共剪去了 = ，还剩下全长的1 - = 。这对应的长度是6米。因此，原长为6 ÷ = 24米。 16.一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的，两天共看了90页，这本书共有多少页？ 答案： 300页 解析： 第一天看了。第二天看了余下的，即(1 - ) × = = 。两天共看 = ，对应90页。全书页数 = 90 ÷ = 225页？（修正：90 ÷ = 225？不，90 ÷ () = 90 ÷ = 90 × = 225？哦，不，我算错了。应该是：） 答案： 225页 (修正解析中的计算错误) 解析： 第一天看了。第二天看了余下的 = (1 - ) × = = 。两天共看 = ，对应90页。全书页数 = 90 ÷ = 225页。 详解： 设全书页数为单位“1”。第一天看了全书的，剩下全书的1 - = 。第二天看了剩下的，也就是 × = （全书的）。所以两天一共看了全书的 = 。已知两天共看了90页，这90页对应全书的。因此，全书页数为90 ÷ = 90 × = 225页。 17.学校运来一批煤，一月份用去全部的，二月份用去剩下的，这时还剩下10吨，这批煤共多少吨？ 答案： 25吨 解析： 一月份后剩下1 - = 。二月份用去剩下的，即 = 。二月份后剩下 = （或 = = ）。对应10吨，总量 = 10 ÷ = 25吨。 详解： 把这批煤总量看作单位“1”。一月份用去全部的，那么剩下全部的1 - = 。二月份用去“剩下的”，也就是用去的，即 = （总量的）。所以二月份后还剩下总量的 = 。这对应的煤的重量是10吨。因此，这批煤的总量为10 ÷ = 10 × = 25吨。 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级奥数培优讲义：第05讲 分数、百分数应用题（一）：量率对应与单位“1”的转化 知识点梳理 知识点一、基础概念回顾 1.分数、百分数应用题的核心是“量率对应”，即找到具体数量（简称“量”）与它所对应的分率（简称“率”）之间的关系，以及准确确定“单位‘1’”的量。 2.单位“1”：题目中作为参照标准的量，通常表示“整体”，可视为“1”（或100%）。常见标志词：“是”“占”“比”“相当于”后面的量（如“男生人数是女生的”，单位“1”是“女生人数”）。 量：具体的数值（如“男生有24人”，24是量）。 率：量占单位“1”的分率（如“男生占全班的”，是率）。 3.量率对应基本关系： 量 = 单位“1”的量 × 对应率 单位“1”的量 = 量 ÷ 对应率 对应率 = 量 ÷ 单位“1”的量 知识点二、单位“1”的确定与转化 1.单位“1”的确定方法： 找标志词：“是、占、比、相当于”后接的量（如“苹果比梨多”，单位“1”是“梨的数量”）。 整体与部分：整体是单位“1”（如“一堆煤用去”，单位“1”是“这堆煤的总量”）。 2.单位“1”的转化技巧： 统一单位“1”：当题目中出现多个单位“1”时，将其转化为同一单位“1”（通常选不变量或总量为单位“1”）。 3.比例转化法：若A是B的，则B是A的（如“男生是女生的”，则女生是男生的）。 知识点三、核心题型与技巧 题型1：已知单位“1”求量（正向应用） 核心技巧：直接用“单位‘1’的量 × 对应率”计算。 题型2：已知量求单位“1”（逆向应用） 核心技巧：用“量 ÷ 对应率”计算，关键是找到已知量对应的分率。 题型3：单位“1”的转化（多个单位“1”统一） 核心技巧：确定不变量为统一单位“1”，用分率表示其他量，再列量率对应关系。 题型4：复杂量率对应（多个分率对应同一单位“1”） 核心技巧：画线段图分析，标注各部分量对应的分率，找已知量与总率的关系。 知识点四、常见错误提醒 1.单位“1”判断错误：误将“比”后的量当作部分量（如“今年比去年增产”，错把“今年产量”当单位“1”，正确应为“去年产量”）。 2.量率不对应：已知量与分率不匹配（如“用去后还剩20米”，错用“20 ÷ ”求总量，正确应为“20 ÷ (1 - )”）。 3.转化时比例错误：A是B的，错认为B比A多（正确应为B比A多，如A是B的，B比A多）。 例题讲解 一、已知单位“1”求量 核心技巧：单位“1”的量 × 对应率 = 量。 例题1 一堆煤有240吨，用去了，用去了多少吨？ 跟踪练习1 六年级（1）班有45人，女生占，女生有多少人？ 二、已知量求单位“1” 核心技巧：量 ÷ 对应率 = 单位“1”的量。 例题2 一袋大米，吃了后还剩10千克，这袋大米原来有多少千克？ 跟踪练习2 一件衣服降价后售价为90元，原价是多少元？ 三、单位“1”的转化 核心技巧：统一单位“1”，用分率表示各量。 例题3 甲班人数是乙班的，乙班人数是丙班的，已知丙班有60人，甲班有多少人？ 跟踪练习3 A校学生人数是B校的，B校学生人数比C校少，C校有2000人，A校有多少人？ 四、复杂量率对应 核心技巧：画线段图，标注量与率的对应关系。 例题4 一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩60页没看，这本书共有多少页？ 跟踪练习4 一根绳子，第一次剪去，第二次剪去余下的，还剩4米，绳子原长多少米？ 提升练习 一、已知单位“1”求量 1.果园里有苹果树300棵，梨树的棵数是苹果树的，梨树有多少棵？ 2.某工厂一月份生产机器200台，二月份比一月份增产，二月份生产机器多少台？ 3.一本书共240页，小明第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了多少页？ 二、已知量求单位“1” 4.一根绳子，用去了，正好用去了10米，这根绳子原长多少米？ 5.一袋大米，吃了后，还剩15千克，这袋大米原来有多少千克？ 6.一件商品打八折（即按原价的）出售，售价为120元，这件商品的原价是多少元？ 7.修一条路，已经修了全长的，离中点还有15千米，这条路全长多少千米？(提示：中点是全长的) 三、单位“1”的转化 8.甲数是乙数的，乙数是丙数的，已知丙数是100，甲数是多少？ 9.A的等于B的，如果A是60，那么B是多少？ 10.学校图书馆里，故事书的本数是科技书的，科技书的本数是连环画的，已知连环画有240本，故事书有多少本？ 11.甲、乙、丙三人，甲的钱数是乙的，乙的钱数是丙的，甲比丙少100元，丙有多少元？ 四、比多比少问题 12.小红有50元钱，小明比小红多，小明有多少元？ 13.某村去年水稻产量是1200吨，今年比去年增产二成（即），今年产量是多少吨？ 五、复杂量率对应与综合 14.甲数比乙数多，乙数是100，甲数是多少？ 15.一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，还剩6米，这根绳子原长多少米？ 16.一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的，两天共看了90页，这本书共有多少页？ 17.学校运来一批煤，一月份用去全部的，二月份用去剩下的，这时还剩下10吨，这批煤共多少吨？ 学科网（北京）股份有限公司 $