奥数培优专题03 分数乘法实际问题（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（人教版）

本讲义聚焦分数乘法实际问题核心知识点，系统梳理单位“1”判断、求一个数的几分之几基本模型、连续求几分之几、比多/少几分之几及线段图分析五大考点，为后续分数除法、百分数应用题学习奠定基础，构建完整知识支架。 该资料以知识体系表格梳理和解题口诀记忆为特色，通过分层例题（基础、提高、奥数型）培养几何直观（数学眼光）与模型思想（数学思维），分层精练与精准解析助力课中教学效率提升，课后学生可自主查漏补缺，强化应用意识。

专题三 分数乘法实际问题 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点1：单位“1”的判断 3 考点2：求一个数的几分之几基本模型 4 考点3：连续求一个数的几分之几（连乘） 5 考点4：比一个数多/少几分之几问题 7 考点5：画线段图分析分数应用题 8 第三部分 易错避坑指南 9 易错点1：找错单位“1” 9 易错点2：分率和具体量混淆 10 易错点3：多/少几分之几分率搞反 10 易错点4：连乘问题单位“1”混淆 10 易错点5：同率涨跌误以为价格不变 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 ◎ 基础夯实篇 11 ◎ 能力进阶篇 11 ◎ 思维跃迁篇 12 第五部分 精准解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版六年级上册分数乘法的实际应用核心内容，围绕单位“1”判断、求一个数的几分之几基本模型、连续求一个数的几分之几、比一个数多/少几分之几、线段图分析五大考点展开，建立分数乘法应用题的标准解题模型，掌握画线段图分析数量关系的方法，培养应用意识和模型思想，为后续分数除法、百分数应用题学习奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 单位“1”的判断 分率句中“的”前、“比/占/是”后的量，是分数应用题的核心 关键词定位法 分率句倒装时找错单位“1”，混淆多个单位“1” 求一个数的几分之几基本模型 单位“1”×对应分率=对应量，分数乘法应用题基础模型 模型套用法、量率对应法 分率和具体量不对应，带单位分数误用乘法 连续求一个数的几分之几（连乘） 多个单位“1”，分步确定每步单位“1”，连续乘对应分率 分步找“1”法、连乘计算法 混淆不同单位“1”，直接用第一个单位“1”乘所有分率 比一个数多/少几分之几问题 两种解法：①单位“1”±单位“1”×分率；②单位“1”×(1±分率) 两种解法互验法 多加少减搞反，分率对应错误 画线段图分析方法 先画单位“1”线段，平均分份，标分率和具体量，找数量关系 线段图建模法、数形结合法 线段图分率标错位置，比较量和单位“1”长度画反 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 单位“1”定位法 所有分数应用题第一步 找“的”前→找“比/占/是”后→确定单位“1” 的前比后是单位1，先找单位1再做题 基本模型解题法 求一个数的几分之几类题目 确定单位“1”→找对应分率→单位“1”×分率=对应量 求一个数的几分之几，单位1乘分率 连乘问题解法 连续求一个数的几分之几类题目 第一步找第一个单位“1”算中间量→第二步找第二个单位“1”算结果 连续求几分之几，步步找单位1，连乘算结果 多或少几分之几解法 比一个数多/少几分之几类题目 方法一：先算差量再加/减；方法二：先算对应分率再乘，两法互验 比1多就加，比1少就减，两种方法互检验 线段图分析法 复杂分数应用题辅助分析 画单位“1”线段→平均分份→画比较量→标量和分率→找关系列式 分数题画线段，先画单位1，再标量和率 三、奥数思维提升 1. 模型思想：分数乘法应用题标准模型 核心要点：建立“单位“1”×对应分率=对应量”的基本解题模型，所有分数乘法应用题都可以统一到这个模型下，形成标准化解题流程，提升解题速度和准确率。 示例：求20的是多少，直接套用模型，单位“1”是20，对应分率，20×=12，直接得到结果，不需要再重新分析数量关系。 2. 对应思想：量率对应是核心 核心要点：分数应用题中每个分率都对应一个具体的量，每个具体量也对应一个分率，量率一一对应是解决分数应用题的核心，找对对应关系是解题关键。 示例：男生比女生多，多的人数对应女生人数的，不是男生人数的，找对分率对应的单位“1”和具体量，才能正确列式。 3. 数形结合思想：线段图化抽象为直观 核心要点：通过画线段图将抽象的分率和文字描述的数量关系直观化，把文字应用题转化为图形，帮助理清量和率的对应关系，降低复杂题目的理解难度。 示例：比一个数多的问题，画单位“1”线段平均分成3份，比较量画4份，直观看到比较量对应分率是，不需要死记公式。 4. 转化思想：复杂题转化为基本模型 核心要点：连续求几分之几、比一个数多或少几分之几的复杂问题，都可以转化为基本的“求一个数的几分之几”模型，化复杂为简单，化未知为已知。 示例：比20多的数，转化为求20的(1+)=是多少，直接套用基本模型计算，复杂问题变简单。 5. 变中不变思想：单位“1”变化时的不变量 核心要点：分数应用题中单位“1”可能变化，但题目中的不变量（如总人数、总长度）是解题突破口，抓住不变量可以解决复杂的分数问题。 示例：商品先涨价再降价，虽然分率相同，但单位“1”变化，价格变化，抓住两次单位“1”的不同分步计算，避免错误。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点1：单位“1”的判断 典型例题 1（基础型） 题目：指出分率句中的单位“1”：男生人数是女生人数的。 思路点拨： ① 找关键词“是”，后面的量是女生人数； ② 找“的”字，前面的量是女生人数； ③ 因此单位“1”是女生人数。 【答案】女生人数 【知识点睛】“的”字前面、“是/比/占”字后面的量是单位“1”，是分数应用题解题第一步。 典型例题 2（提高型） 题目：指出分率句中的单位“1”：现价比原价降低了。 思路点拨： ① 找关键词“比”，后面的量是原价； ② 降低的是指降低的部分是原价的； ③ 因此单位“1”是原价。 【答案】原价 【知识点睛】“比”字后面的量是单位“1”，分率是单位“1”的几分之几。 典型例题 3（奥数型） 题目：甲的等于乙的，这句话中两个分率的单位“1”分别是什么？ 思路点拨： ① 是“甲的”，“的”前是甲，单位“1”是甲； ② 是“乙的”，“的”前是乙，单位“1”是乙； ③ 两个分率单位“1”不同，分别是甲和乙。 【答案】的单位“1”是甲，的单位“1”是乙 【知识点睛】一道题中可能有多个不同的单位“1”，每个分率对应自己的单位“1”。 考点2：求一个数的几分之几基本模型 典型例题 1（基础型） 题目：20的是多少？ 思路点拨： ① 单位“1”是20，求它的，用乘法计算； ② 列式20×，先约分20和5约分为4和1，4×3=12； ③ 结果是12。 【答案】12 【知识点睛】求一个数的几分之几是多少，用乘法，单位“1”×对应分率=对应量。 典型例题 2（提高型） 题目：六（1）班有45人，男生占全班人数的，男生有多少人？ 思路点拨： ① 单位“1”是全班人数45人，男生对应分率是； ② 列式45×=27人； ③ 男生有27人。 【答案】27人 【知识点睛】基本分数乘法应用题，找准单位“1”和对应分率，相乘即可得到结果。 典型例题 3（奥数型） 题目：一本书120页，小明第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了多少页？ 思路点拨： ① 单位“1”是全书120页，两天一共看了全书的+=； ② 列式120×=70页； ③ 两天一共看了70页，也可以分别算两天页数再相加验证。 【答案】70页 【知识点睛】可以先算分率和，再用单位“1”乘总分率，也可以分别计算再求和，结果一致。 考点3：连续求一个数的几分之几（连乘） 典型例题 1（基础型） 题目：20的的是多少？ 思路点拨： ① 第一步：先算20的，20×=15； ② 第二步：再算15的，15×=10； ③ 结果是10，也可以直接连乘20××=10。 【答案】10 【知识点睛】连续求一个数的几分之几，分步确定每步的单位“1”，依次相乘即可。 典型例题 2（提高型） 题目：农场有鸡60只，鸭的只数是鸡的，鹅的只数是鸭的，鹅有多少只？ 思路点拨： ① 第一步：鸭的只数，单位“1”是鸡，60×=50只； ② 第二步：鹅的只数，单位“1”是鸭，50×=30只； ③ 鹅有30只，连乘60××=30只结果一致。 【答案】30只 【知识点睛】连乘应用题每一步的单位“1”不同，注意区分，不要直接用第一个单位“1”乘所有分率。 典型例题 3（奥数型） 题目：一根绳子长40米，第一次用去全长的，第二次用去余下的，还剩多少米？ 思路点拨： ① 第一次用后余下的长度：单位“1”是全长，余下分率1-=，40×=30米； ② 第二次用后剩下的长度：单位“1”是余下的30米，剩下分率1-=，30×=20米； ③ 还剩20米。 【答案】20米 【知识点睛】连续求剩余的问题，每一步的对应分率是1减去用去的分率，分步计算注意单位“1”变化。 考点4：比一个数多/少几分之几问题 典型例题 1（基础型） 题目：比20多的数是多少？ 思路点拨： ① 方法一：先算多的部分20×=5，再加20，20+5=25； ② 方法二：对应分率1+=，20×=25； ③ 两种方法结果一致，都是25。 【答案】25 【知识点睛】比一个数多几分之几，两种方法可以互相验证，结果一致。 典型例题 2（提高型） 题目：某工厂九月份用电800度，十月份比九月份节约，十月份用电多少度？ 思路点拨： ① 方法一：先算节约的度数800×=80度，800-80=720度； ② 方法二：对应分率1-=，800×=720度； ③ 十月份用电720度。 【答案】720度 【知识点睛】比一个数少几分之几，先算差量再减，或者先算对应分率再乘，两种方法互验。 典型例题 3（奥数型） 题目：一件商品原价100元，先涨价，再降价，现价是多少元？ 思路点拨： ① 涨价后的价格：单位“1”是原价100元，涨价后分率1+=，100×=110元； ② 降价后的价格：单位“1”是涨价后的110元，降价后分率1-=，110×=99元； ③ 现价99元，比原价低，不要误以为价格不变。 【答案】99元 【知识点睛】先涨后降相同分率，单位“1”发生变化，结果和原价不同，必须分步计算。 考点5：画线段图分析分数应用题 典型例题 1（基础型） 题目：画线段图表示“男生比女生多”，并说明画法。 思路点拨： ① 先画单位“1”女生人数的线段，平均分成4份； ② 再画男生人数的线段，比女生长1份，共5份； ③ 标注“女生”“男生”，多的1份标注“多”。 【答案】线段图：女生画4等份，男生画5等份，多的1份标 【知识点睛】画线段图先画单位“1”，平均分成和分母相同的份数，再画比较量。 典型例题 2（提高型） 题目：根据线段图列式：单位“1”是30吨，比较量比单位“1”少，求比较量。 思路点拨： ① 单位“1”是30吨，比较量对应分率是1-=； ② 列式30×(1-)=20吨； ③ 比较量是20吨。 【答案】30×(1-)=20吨 【知识点睛】线段图直观展示量率对应，根据分率列式计算，降低理解难度。 典型例题 3（奥数型） 题目：画线段图分析：一本书，第一天看了，第二天看了余下的，还剩40页，求全书页数。 思路点拨： ① 先画全书线段，平均分成3份，第一天看1份，剩下2份； ② 余下的2份平均分成2份，第二天看1份，剩下1份，对应40页； ③ 1份是40页，全书3份共120页。 【答案】全书120页 【知识点睛】线段图可以帮助理清复杂的数量关系，找到具体量对应的分率，为分数除法学习铺垫。 第三部分 易错避坑指南 易错点1：找错单位“1” 错误示例：分析“男生比女生多”时，错误认为单位“1”是男生人数。 正确分析：“比”字后面的量是女生人数，多的是女生人数的，因此单位“1”是女生人数，不是男生。 修正方法：牢记口诀“的前比后是单位1”，做分数题第一步先圈出关键词，确定单位“1”再列式。 易错点2：分率和具体量混淆 错误示例：绳子长10米，用去米，错误列式10×=5米。 正确分析：后面带单位“米”，是具体长度，不是分率，应该直接用10-=9.5米，不能用乘法。 修正方法：看分数后面有没有单位，带单位是具体量，直接加减；不带单位是分率，才用单位“1”乘分率。 易错点3：多/少几分之几分率搞反 错误示例：求比20少的数，错误列式20×(1+)=24。 正确分析：“少”对应分率是1减分率，应该是20×(1-)=16，“多/涨/增加”用1加分率，“少/降/节约”用1减分率。 修正方法：列式前先读题，看到“多”就加、“少”就减，写完再核对一遍题目描述。 易错点4：连乘问题单位“1”混淆 错误示例：鸭是鸡的，鹅是鸭的，算鹅的数量时错误用鸡的数量×。 正确分析：的单位“1”是鸭的数量，不是鸡的数量，必须先算出鸭的数量，再乘得到鹅的数量。 修正方法：每一步列式前先问自己：这个分率是谁的几分之几？是谁的就乘谁，不要跳步。 易错点5：同率涨跌误以为价格不变 错误示例：商品先涨价再降价，错误认为现价和原价相等。 正确分析：两个的单位“1”不同，涨的是原价的，降的是涨价后价格的，降的钱数更多，现价比原价低。 修正方法：分率相同但单位“1”不同时，结果一定不同，必须分步计算，不要想当然。 第四部分 分层进阶专题精练 ◎ 基础夯实篇 1. 分率句“黑兔只数是白兔的”中，单位“1”是____ 2. 30的是____ 3. 比40多的数是____ 4. 六（1）班有50人，女生占全班人数的，女生有____人 5. 25的的是____ 6. 一根绳子长8米，用去，还剩____米 7. 判断：甲比乙多，就是乙比甲少。（ ） 8. 分率句“现价比原价降低了”中，单位“1”是____，现价是原价的____ ◎ 能力进阶篇 9. 果园有苹果树120棵，梨树棵数是苹果树的，桃树棵数是梨树的，桃树有多少棵？ 10. 一件衣服原价200元，现在降价销售，现价多少元？ 11. 小明有60张邮票，小红的邮票比小明多，小红有多少张邮票？ 12. 一堆煤重12吨，第一天运走总数的，第二天运走总数的，两天一共运走多少吨？ 13. 一本书180页，第一天看了全书的，第二天看了余下的，第二天看了多少页？ 14. 长方形长20厘米，宽比长短，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 15. 判断：3米的和1米的一样长。（ ） ◎ 思维跃迁篇 16. 一件商品原价200元，先涨价，再降价，现价多少元？ 17. 甲、乙、丙三个数，甲数是60，乙数比甲数多，丙数比乙数少，丙数是多少？ 18. 一桶油，第一次用去全部的，第二次用去余下的，还剩10千克，这桶油原来重多少千克？（画线段图分析） 19. 甲仓存粮120吨，乙仓存粮比甲仓多，丙仓存粮比乙仓少，丙仓存粮多少吨？ 20. 兄弟三人，老大比老二大，老二比老三小，老大年龄是老三的几分之几？ 第五部分 精准解析 ◎ 基础夯实篇解析 1. 【答案】白兔只数 思路点拨： ① “的”前是白兔只数，“是”后是白兔只数； ② 因此单位“1”是白兔只数。 【知识点睛】“的前比后”是找单位“1”的基本方法。 2. 【答案】12 思路点拨： ① 单位“1”是30，求它的，30×=12； ② 结果是12。 【知识点睛】求一个数的几分之几用乘法计算。 3. 【答案】45 思路点拨： ① 比40多，对应分率1+=； ② 40×=45。 【知识点睛】比一个数多几分之几，用单位“1”乘（1+分率）。 4. 【答案】20 思路点拨： ① 单位“1”是全班50人，女生对应分率； ② 50×=20人。 【知识点睛】基本分数乘法应用题，单位“1”乘对应分率。 5. 【答案】10 思路点拨： ① 先算25×=20，再算20×=10； ② 连乘结果为10。 【知识点睛】连续求几分之几，分步计算或直接连乘。 6. 【答案】4 思路点拨： ① 剩下分率1-=，8×=4米； ② 还剩4米。 【知识点睛】求剩余量，用单位“1”乘剩余分率。 7. 【答案】× 思路点拨： ① 甲比乙多，单位“1”是乙，甲是乙的； ② 乙比甲少几分之几，单位“1”是甲，少的是÷=，不是； ③ 说法错误。 【知识点睛】单位“1”不同，分率不同，不能直接反过来。 8. 【答案】原价， 思路点拨： ① “比”后是原价，单位“1”是原价； ② 降低，现价是原价的1-=。 【知识点睛】比单位“1”少几分之几，对应分率是1减分率。 ◎ 能力进阶篇解析 9. 【答案】60棵 思路点拨： ① 梨树：120×=90棵； ② 桃树：90×=60棵； ③ 桃树有60棵。 【知识点睛】连乘应用题分步找单位“1”，依次计算。 10. 【答案】180元 思路点拨： ① 降价，现价是原价的； ② 200×=180元。 【知识点睛】比一个数少几分之几，两种方法互验结果。 11. 【答案】72张 思路点拨： ① 小红比小明多，对应分率； ② 60×=72张。 【知识点睛】比一个数多几分之几，单位“1”乘（1+分率）。 12. 【答案】7吨 思路点拨： ① 两天共运走+=； ② 12×=7吨。 【知识点睛】可以先算总分率，再乘单位“1”，也可以分别计算再相加。 13. 【答案】30页 思路点拨： ① 第一天后余下：180×(1-)=150页； ② 第二天看：150×=30页。 【知识点睛】连续求几分之几，注意第二步单位“1”是余下的页数。 14. 【答案】300平方厘米 思路点拨： ① 宽比长短，宽是20×(1-)=15厘米； ② 面积=长×宽=20×15=300平方厘米。 【知识点睛】先求宽，再算面积，注意宽的单位“1”是长。 15. 【答案】√ 思路点拨： ① 3米的是3×=米； ② 1米的是1×=米，长度相等； ③ 说法正确。 【知识点睛】求一个数的几分之几用乘法，结果相等则长度一样。 ◎ 思维跃迁篇解析 16. 【答案】198元 思路点拨： ① 涨价后：200×(1+)=220元； ② 降价后：220×(1-)=198元； ③ 现价198元，比原价低。 【知识点睛】同率涨跌单位“1”变化，分步计算，结果不等于原价。 17. 【答案】60 思路点拨： ① 乙数：60×(1+)=72； ② 丙数：72×(1-)=60； ③ 丙数是60。 【知识点睛】连续比多比少，每步单位“1”变化，分步计算。 18. 【答案】30千克 思路点拨： ① 线段图：全书3份，第一次用1份剩2份，第二次用余下的1份剩1份，对应10千克； ② 1份是10千克，全书3份：10×3=30千克； ③ 这桶油原来30千克。 【知识点睛】线段图分析剩余问题，找到剩余量对应的分率，倒推总量。 19. 【答案】120吨 思路点拨： ① 乙仓：120×(1+)=140吨； ② 丙仓：140×(1-)=120吨； ③ 丙仓存粮120吨。 【知识点睛】连续比多比少，分步计算，注意单位“1”变化。 20. 【答案】1 思路点拨： ① 设老三年龄为单位“1”，老二比老三小，老二是1-=； ② 老大比老二大，老大是×(1+)=1； ③ 老大年龄是老三的1，即年龄相等。 【知识点睛】设单位“1”分步计算，多个单位“1”依次转化。 1 学科网（北京）股份有限公司 $