第01讲  分数的拆分与巧算（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

窗学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第01讲分数的拆分与巧算 六年级奥数培优讲义 4000a00000000t0004s800a 知识点梳理 知识点一、分数拆分（核心：把一个分数拆成多个分数的和/差） 分数拆分的关键是利用“单位分数”（分子为1的分数）的特性，常考“拆成单位分数” 或“逆向凑单位分数”。 1.基本概念 单位分数：分子是1，分母是正整数的分数，如吃、青。 分数拆分：将一个非单位分数（或单位分数）拆成2个及以上单位分数的和或差，且分母为 不同正整数。 2.核心公式（必记) 拆成2个不同单位分数：合=+ 示例：克=专+启房=言+动 拆成多个单位分数：先按“拆2个”的公式拆1次，再将其中一个单位分数继续拆，以 此类推。 示例：专=专+寺+安（先拆特+合，再拆陪片+安】 3.常见题型 题型1：指定分母拆单位分数 例：将立拆成2个不同单位分数的和（答案：市+京立+产等）。 题型2：逆向拆分（凑分） 例：合+立+六=？（可拆成2-专+青-+年-言，最终得品）。 知识点二、分数巧算（核心：简化运算，避免硬算） 分数巧算依赖“运算定律”和“裂项、凑整”等技巧，核心是“凑简单数”“消去重复 项”。 窗学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.凑整法（利用加法交换律/结合律） 方法要点：将和为整数、或和为简单分数（如、1）的分数结合计算。 示例：+号+=（径+）+青=1+青=号。 2.裂项相消法（最高频考点） 核心逻辑：将一个分数拆成“两个分数的差/和”，计算时消去中间重复项，只留首尾。 常见类型： a.裂差（分母为两个数的乘积，分子为两数的差）：叶可=古-点(d为两分母的差) 示例：☆之++之=(1-)+（传-）+（传-）=1-=是 6.裂和（分母为两个数的乘积，分子为两数的和）：=古十中 示例：是+4=（修+）+（传+）=+号+=品. 3.提取公因式法 方法要点：当多个分数（或分数与整数）有相同公因式时，先提取公因式再计算。 示例：号×房+号×青=号×（信+）=号×1=号。 4.基准数法 方法要点：多个分数相加时，找一个接近所有分数的“基准数”（如1、)，先算“基准数 ×个数”，再调整差值。 示例：专+吾+号（基准数设为1） 计算：1×3-（传+名+）=3-=器。 5.代数法（换元法） 方法要点：用字母（如b)代替重复出现的复杂分数式子，简化运算。 示例：计3++)×（传++）-（位+专++）×（传+） 设a=青+，则原式变追+a)×(a+)-(传+a+)×a=六（展开后消去重复项） 例题讲解 画学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一、分数拆分专题 基础题（直接应用公式） 例1：将完拆成2个不同单位分数的和。 跟踪练习1：将品拆成2个不同单位分数的和（至少写出1组答案）。 例2：将酷拆成3个不同单位分数的和。 跟踪练习2：将；拆成3个不同单位分数的和（至少写出1组答案）。 进阶题（逆向拆分与灵活应用） 例3：计算启+立+元+元。 跟踪练习3：计算立+品+品+2。 例4：已哈+吉=0，求整数a,b的所有组合。 跟踪练习4：已知+言=立，求整数ab的所有组合(a<b)。 二、分数巧算专题 基础题（裂项相消与凑整） 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 例5：计算十3+4+…+g0。 跟踪练习5：计算☆2+文+…+1以20。 例6：计算是++。 跟踪练习6：计算4+名十效。 进阶题（复杂裂项与代数法） 例7：计算+十7+…+19x2。 跟踪练习7：计算十+…十29。 例8：计能+号+)×（信++）-（传+青++）×（传+） 跟踪练习8：计传+子+)×（保+吉+）-（传+主++）×（保+） 挑战题（综合技巧） 例9：计算2x十2+…+w。 画学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 跟踪练习9：计算衣+X+…十。 例10：计算}+号+站+号+…+8器。 跟踪练习10：计算+竞+号+…+器。 提升练习 1.计第：名品*品0是号 2.计算。 +++6++4++6 5 画学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.计算。 24+6+6+…+8 1 4.计算。 +4×1+1.25x17.6+36.1÷0.8+2.63×12.5 1+3+51+ 5.观察下列等式： 1安3片女 1 请将以上三个等式两边分别相加得： 1+1+1=1-1+1-1+11=1-1=3 1×2'2×33×42233444 1 (1)猜想并写出：n+ 、=（）。 (2) 1+1+1 1×22×33×4 2016×2017 =()。 3)探完并计0：466d8 1 …十 2016×2018 =(）。 11.1.11.1.11.1 (4)计算：4+2+24+40+60+84+i2+4+180 ”十一 十 6 窗学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.简便计算。 11111 1.3.7.15.31 26122030 2481632 7.神机妙算。 (1)8×3÷[1÷(3g-2.95)] 2)×39+子 2×25+2× (3) 2016+2016+2016+2016+2016 1×2 2×3 3×4 4×55×6 (4)2018÷201 2018十 1 2019·2020 5)片品+0-是+号 8.计第：中2写12494t12四 1 1 71 9.1+32+51+ 9+11+13+15+17+19 6122030 42 56 72 90 110 7 .0z0飞…03319名中℃1 68Z 60Z 6I IIgI .0IX6×8++9×市×8+b×8×Z+SX3XI:iHTT 9 五 0z×61x8I++S*×8,bxx+x7XⅪ：荨卡0I LE L 说旦重点与辣孔 U0)·XXXZ·MMM 创右@六年级奥数培优讲义：第01讲分数的拆分与巧算 知识点梳理 知识点一、分数拆分（核心：把一个分数拆成多个分数的和/差） 分数拆分的关键是利用“单位分数”（分子为1的分数）的特性，常考“拆成单位分数” 或“逆向凑单位分数”。 1.基本概念 单位分数：分子是1，分母是正整数的分数，如吃。 分数拆分：将一个非单位分数（或单位分数）拆成2个及以上单位分数的和或差，且分母为 不同正整数。 2.核心公式（必记) 拆成2个不同单位分数：清=市十中 示例：2=青+言专=言+动 拆成多个单位分数：先按“拆2个”的公式拆1次，再将其中一个单位分数继续拆，以 此类推。 示例：支=专+号+安（先拆特+言，再拆酷为+）】 3.常见题型 题型1：指定分母拆单位分数 例：将立拆成2个不同单位分数的和（答案：+年+产等）。 题型2：逆向拆分（凑分〉 例：音+立+六=？（可拆成-专+青-主+全-吉，最终得品）。 知识点二、分数巧算（核心：简化运算，避免硬算） 分数巧算依赖“运算定律”和“裂项、凑整”等技巧，核心是“凑简单数”“消去重复 项”。 1.凑整法（利用加法交换律/结合律） 方法要点：将和为整数、或和为简单分数（如、1）的分数结合计算。 示例：+青+=（径+）+青=1+青=号。 2.裂项相消法（最高频考点） 核心逻辑：将一个分数拆成“两个分数的差/和”，计算时消去中间重复项，只留首尾。 常见类型： a裂差（分母为两个数的乘积，分子为两数的差）：而=合一(d为两分母的差) 示例：2++=(1-)+（传-）+（传-）=1-=是。 6.裂和（分母为两个数的乘积，分子为丙数的和）：龄=吉+南 示例：是+4=（位+）+（传+）=+号+=品。 3.提取公因式法 方法要点：当多个分数（或分数与整数）有相同公因式时，先提取公因式再计算。 示例：号×号+号×青=号×（传+）=号×1=号。 4.基准数法 方法要点：多个分数相加时，找一个接近所有分数的“基准数”（如1、），先算“基准数 ×个数”，再调整差值。 示例：专+吾+乡（基准数设为1） 计算：1×3-（售+音+）=3-0=器。 5.代数法（换元法） 方法要点：用字母（如a、b)代替重复出现的复杂分数式子，简化运算。 示例：计算3+专+)×（传++）-（侵+专+子+）×（传+） 设a=专+，则原式变+a)×(a+)-(侵+a+)×a=六（展开后消去重复项） 例题讲解 一、分数拆分专题 基础题（直接应用公式） 例1：将完拆成2个不同单位分数的和。 解题步骤： 应用公式格=本+南，得市=方+痴。 验证：六+动-品+本如=品=市。 跟踪练习1：将品拆成2个不同单位分数的和（至少写出1组答案）。 答案：立+六（或克+高、frac{1}{15}+frac{1}30}等） 解析： 用分数拆分基本公式吉=帝+，令n=10: 第一步：计算中=立； 第二步：计算0中=六； 验证：品+品=品+品=品=市，符合要求。 例2：将船拆成3个不同单位分数的和。 解题步骤： 先拆成2个单位分数：言=奇十克。 再将安继续拆：克=有十6。 最终结果：洁=号+转十860 易错点：拆分时需确保分母递增且不同，避免重复(=立+立错误)。 跟踪练习2：将特拆成3个不同单位分数的和（至少写出1组答案）。 答案：合+方十 解析： 分两步拆分，先拆2个，再拆其中1个： 第-步：用公式拆合为2个单位分数：诗=合+危（因=，=方）： 第二步：再拆克为2个不同单位分数：方=方+7=方+6； 组合：吉=+方+，分母均不同且为正整数，符合要求。 进阶题（逆向拆分与灵活应用） 例3：计算名+立+六+元。 解题步骤： 观察分母规律：6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6。 逆向拆分：=合一市，得： 者=克-青， 立=青-， 分=子-月， 动=青-。 相加消去中间项：支-吉=专。 跟踪练习3：计算立+品+动+夜。 答案：寺 解析： 用“逆向拆分（裂差）”技巧，先观察分母规律： 分解分母：12=3×4,20=4×5,30=5×6,42=6×7； 裂差公式：=合一本，将每-项拆分： 克=-，六=-诗，动=自-名，夜=名-： 消去中间项：（传-）+（保-）+（传-）+（合-）=青-： 计算结果：诗-为=景=责。 例4：已知哈+÷=六，求整数a、b的所有组合。 解题步骤： 设a<b,根据公式站=立+0，得a=11,b=110。 同理，通过分母因数分解(10=1×10=2×5)，可得其他组合： a=12,b=60(0=立+品)， a=15,b=30(0=+元)。 易错点：需穷举所有可能的因数对，避免遗漏。 跟踪练习4：已哈+吉=立，求整数a、b的所有组合(a<b)。 答案：(13,156)、(14,84)、(15,60)、(16,48)、(18,36)、(20,30)、(24,24)（舍去a=b), 共6组 解析： 通过“分母因数分解”找所有可能，步骤如下： 公式推导：立=吉+君=能，即ab-12a-12b=0, 两边加144得胤a-12Xb-12=144; 找144的正因数对(d,d2),且d1<d2(因a<b,故a-12<b-12): 144=1×144=2×72=3×48=4×36=6×24=8×18=9×16=12×12; 计算a、b: d1=1,d2=144:a=12+1=13,b=12+144=156; d1=2,d2=72:a=14,b=84; 依次类推，最终得到所有组合（舍去a=b=24,因要求a<b)。 二、分数巧算专题 基础题（裂项相消与凑整） 例5：计算☆+十女4+…+0 解题步骤： 应用裂差公式南=贵一，得： (1-)+(传-)+…+(6-)。 消去中间项，结果为1-6=品。 跟踪练习5：计算☆十文+…+200 答案：8 解析： 用“裂差相消”，核心是消去中间重复项： 裂差每一项：☆=1-含，=支-青，…，19以0=-六： 相加消项：1-专+号-专+…+-六，中间够到时全部消去： 结果：1-六=号。 例6：计算点+品4+品0 解题步骤 应用裂和公式妈=方+本，得： 嘉=生+诗， 品4=专+字， 品=是+片。 相加得+号+圣+合=多。 易错点：裂和时分子需等于分母两数之和，否则无法直接应用公式。 跟踪练习6：计算+品+六。 答案：别 解析： 用“裂和”技巧，因分子=分母两数之和： 观察分子：7=3+4,9=4+5,11=5+6，符合裂和公式=分+中a; 裂和拆分： 4=青+子，=+，热=+： 合并计算：+（保+）+（传+）+合=专++号+吉： 通分计算：吉=韶，支=品，子=最，名=品 总和：诗++号+名=（传+）+()+号=为++号=1+号= 进阶题（复杂裂项与代数法） 例7：计算☆+十文+…+19。 解题步骤： 观察分母差2，应用裂差公式购=生×信-)，得： 是×[(1-)+（传-）+…+（的-贵】。 计算得×(1-分)=是。 跟踪练习7： 计算☆+动+…+0 答案： 解析： 用“分母差为2的裂差”，需先提取： 裂差公式：分母差d=2,故冲2=分×（合-）月 拆分每一项： ☆=克×(1-)，嘉=支×（传-），…，=支×(-)： 提取2并消项： 是×[1-号+号-+…+-]=×(1-)： 计算结果：×引=7。 例8： 计+专+)×（传++）-(+++)×（传+）。 解题步骤： 设a=专+是，b=+a,则原式变为： bx(a+)-(b+)×a 展开后消去ab项，得船×(b-)=青×支=六。 跟踪练习8：计得++)×（保+吉+）-（传+主+专+）×（任+） 答案： 解析： 用“换元法”简化重复式子： 设重复部分为变量：令a=+号，b=青+a(即b=青+子+号)： 改写原式： 原式=bx(a+)-(b+)×a 展开计算： 展开后=ab+合b-ab-名a=(b-d(消去ab项)； 代入b-a=专： 名×青=市0 挑战题（综合技巧） 例9：计算十2X+…+x0o 解题步骤： 应用三重裂项公式++=专×[一a+a小，得： ×[(位之-女)+（安-4）+…+(-】 消去中间项，结果龙×传-立)=品。 跟踪练习9： 1 计算3十4+…+90 答案：号 解析： 用“三重裂项”技巧，拆分后消去中间项： 三重裂项公式：叶+=专×南一i +1或+2]9 拆分每一项： 2=专×(-)， 4=×(安-4)， 9=×(-k): 提取并消项： ×[-高+-…-成]=×（修-）： 计算结果：：×（合-立）=专×器=器。 例10：计算2+号+号+号+…+9器。 解题步骤 观察分子规律：5=2×2+1,11=3×3+2，.，9899=99×99+98。 拆分每-项：号=1-向心 原式变99×1-[☆+☆+…+g。 计算得99-（1-)=98。 跟踪练习10：计算+节+号+…+器。 答案：13克（或） 解析： 第一步：拆解单一项，推导通用公式 观察分子与分母的关系（分母为连续两数乘积，分子=分母-1）： 第1项：号，分6=2×3，分子5=2×3-1，故号=1-； 第2项：节，分母12=3×4，分子11=3×4-1，故量=1-； 最后一项：器，分母240=15×16，分子239=15×16-1，故器=1-1560 由此得通用公式：第k项（对应分母m×(m+1))=1-1frac{1}{m×(m+1)}(m从2开始取 值)。 第二步：确定总项数 分母从“2X3”(对应\frac{5}{6})到“15×16”（对应1frac{239}{240}),m的取值 为2到15，总项数=15-2+1=14项。 第三步：改写原式，分组简化 将每一项代入通用公式，原式拆为“1的和”与“分数和”的差： 原式&=（1-)+（1-4)+…+（1-156)） -1+1比…+1-（京++…+赢）=14-（安+高+…+） 14个1 第四步：裂差相消，计算分数和 用“裂差公式”=声一点，拆分括号内的和： 嘉=方-，赢=青-，…， 156=-6 中间项全部消去（专与-青与-主……六与-抵消），剩余： 十…+=支-站=最-t=6 第五步：计算最终结果 代入第三步的式子： 原式=14-孟=13品（或张） 提升练习 1.计算： 1+57+911131517 26122030425672 【答案】9 【分析】观察分数特征：发现每个分数的分子比分母大1，且分母可写成两个连续自然数的 乘积，如2=1×2,6=2×3等。进行分数拆分：根据上述特征，将每个分数拆分成两个分数 相加的形式，如=1一片，。十等，这样便于后续计算时通过归减相互抵消简化运第。 计算得出结果：将拆分后的式子展开，通过加减相互抵消，最终得出结果。 【群解18子品08号 =〔--GG-》-Gg+ =1-1+1+1_1-1+1+1_1111111,1 223344556677889