4.3用一元一次方程解决问题精讲精练2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 以六步流程为框架，整合四大类问题数量关系，通过典例提炼设元技巧与检验方法，形成“步骤-模型-应用”三阶训练体系，培养模型意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |列方程步骤|1例|审设列解验答六步法，强调等量关系寻找与双检验|从通用流程到操作细节，构建解题基础框架| |常见数量关系|2例|行程（相遇/追及）、工程（总量设1）等四大类公式与等量关系|按问题类型拆解数量关系，形成可迁移模型| |设元与检验|1例|直接/间接设元技巧，非负整数等实际意义验证|技巧层面优化解题路径，完善逻辑闭环|

4.3　用一元一次方程解决问题 答案： 　　解析：设快递员 名，由题意得 ，解得 ，所以包裹有 （件）．故选 ． 　　解析：设女生有 人，则男生有 人．由题意得 ，即 ，解得 ．故选 ． 　　解析：设进价为 元．按标价的八折出售，售价为 （元）．由获利 25%，得 ，即 ，解得 ． 　　解析：设个位数字为 ，则十位数字为 ．原数可表示为 ，新数可表示为 ．由题意得 ，即 ，解得 ，所以原数为 ． 　　解析：设最小的数为 ，则另外两个数分别为 ，．由题意得 ，即 ，解得 ． 　　解析：设甲组分得 棵，则乙、丙两组分别分得 棵、 棵．由题意得 ，即 ，解得 ．故选 ． 　　解析：设人数为 人．"人出八，盈三"表示物价为 钱；"人出七，不足四"表示物价为 钱．所以 ，解得 ，物价为 53 钱．故选 ． 　　解析：设儿子今年 岁，则父亲今年 岁．5 年后父亲 岁，儿子 岁．由题意得 ，即 ，解得 ． 　　解析：把全程看作 1．野鸭 7 日飞完全程，每天飞 ；大雁 9 日飞完全程，每天飞 ．相向而行，相遇时两者路程之和为 1，所以 ．故选 ． 　　解析：设乙出发 小时后追上甲，此时甲共走了 小时．由追及问题的等量关系得 ，即 ，解得 ． （1）140 元；（2）八折　　解析：（1）按标价的九折出售，售价为 （元），所以利润为 （元）． （2）设应按标价打 折销售．由利润率为 20%，得 ，即 ，解得 ．答：应按标价打八折销售． 　　解析：快马 天追上慢马时，快马走了 里；慢马先走 12 天，共走 里．追上的等量关系是两者路程相等，所以 ．（解得 ，即快马 20 天可以追上慢马）故选 ． （1）3 小时；（2）2.5 小时　　解析：（1）设两车出发后经过 小时相遇．由 ，即 ，解得 ． （2）设出发后经过 小时两车相距 70 km（相遇前）．此时两车共走了 （km），由 ，即 ，解得 ． （1）24 元；（2）13 吨　　解析：（1）8 吨不超过 10 吨，应交水费 （元）． （2）因为 10 吨的水费为 （元），30＜45，所以用水量超过 10 吨．设这个月用水 吨（），由题意得 ，即 ，解得 ． 16 名　　解析：设应安排 名工人加工 A 部件，则加工 B 部件的工人为 名，每天可加工 B 部件 个．由"2 个 A 部件和 1 个 B 部件配成一套"，得 ，即 ，解得 ．答：应安排 16 名工人加工 A 部件，10 名工人加工 B 部件． 　　解析：设个位数字为 ，则十位数字为 ．原数为 ，新数为 ．由题意得 ，即 ，解得 ，所以原数为 ． （1）；（2）20，21，27，28　　解析：（1）同一行相邻的两个数相差 1，相邻两行相同位置的数相差 7，所以这 4 个数分别为 ，，，，它们的和为 ． （2）由 ，即 ，解得 ，所以这 4 个数是 20，21，27，28． 4 天　　解析：设还需要 天才能完成这项工程．甲先单独做 2 天，完成工作量的 ；甲、乙合作的工作效率为 ．由题意得 ，即 ，解得 ． 　　解析：设长方形的宽为 cm，则长为 cm．由长方形的周长为 40 cm，得 ，即 ，解得 ，所以长为 12 cm．长方形的面积为 （）． （1）甲超市；（2）400 元；（3）乙超市　　解析：（1）甲超市：（元）；乙超市：（元）．因为 270＜280，所以到甲超市购物花费较少． （2）设购买原价为 元的商品时两家花费相同（）．甲超市花费 元，乙超市花费 元．由题意得 ，即 ，解得 ． （3）甲超市：（元）；乙超市：（元）．因为 440＜450，所以到乙超市购物花费较少． （1）14；（2） 秒；（3）1 秒或 秒　　解析：（1）． （2）运动 秒后，点 P 表示的数为 ，点 Q 表示的数为 ．相遇时 ，即 ，解得 ． （3）相遇前相距 9 个单位长度：，即 ，解得 ；相遇后相距 9 个单位长度：，解得 ． （1）套餐一；（2）100 分钟；（3）套餐二　　解析：（1）套餐一：（元）；套餐二：（元）．因为 18＜26，所以选择套餐一更省钱． （2）设每月通话 分钟时两种套餐费用相同．由题意得 ，即 ，解得 ． （3）套餐一：（元）；套餐二：（元）．因为 32＜36，所以选择套餐二更省钱． 70 吨　　解析：设第一天运走 吨，则第二天运走 吨．由题意得 ，即 ，解得 ．答：第一天运走物资 70 吨． 10 小时　　解析：把一池水的容量看作 1，则进水管每小时进水 ．设单开出水管 小时可把满池水放完，则出水管每小时放水 ．前 2 小时进水管与出水管同时开着，进水 ，放水 ；后 4 小时只开进水管，进水 ．由题意得 ，即 ，解得 ． 小华 10 岁，爷爷 50 岁　　解析：设今年小华 岁，则爷爷 岁．10 年后小华 岁，爷爷 岁．由题意得 ，即 ，解得 ，所以爷爷今年 岁． 24 cm　　解析：设锻造后的长方体铁块的高为 cm．由锻造前后体积不变，得 ，即 ，解得 ．答：锻造后的长方体铁块的高为 24 cm． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3　用一元一次方程解决问题 精讲精练含答案 知识精讲 要点同步精讲 要点一　列方程解应用题的一般步骤 列方程解应用题的一般步骤： （1）审：弄清题意，分清已知量与未知量，找出题目中的等量关系； （2）设：设未知数，一般求什么就设什么（也可设间接未知数），并写明单位； （3）列：根据等量关系列出方程； （4）解：解这个方程，求出未知数的值； （5）验：检验所得的解是否符合题意、是否符合实际意义（如人数、件数应为非负整数）； （6）答：写出答案（包括单位名称）． 注意： （1）设未知数时必须写清单位，如"设宽为 cm"； （2）方程的解必须检验：既要检验是否是所列方程的解，又要检验是否符合实际意义； （3）寻找等量关系是列方程的关键，常用的方法有：抓住关键词（"多""少""倍""共""剩"等）、利用基本数量关系、借助表格或示意图分析． 【例1】某商场销售一款台灯，每盏进价为 400 元，标价为 600 元．若按标价的八折出售，每盏台灯的利润是多少元？利润率是多少？ 解：按标价的八折出售，售价为 （元），所以每盏台灯的利润为 （元）； 利润率为 ．答：每盏台灯的利润是 80 元，利润率是 20%． 【总结】销售问题中的基本数量关系：售价＝标价×折扣÷10，利润＝售价－进价，利润率＝利润÷进价×100%．打折时"八折"即按标价的 80% 出售，列式时不要把折扣与百分数混淆． 要点二　常见数量关系与等量关系 （1）行程问题： 路程＝速度×时间；相遇问题（相向而行）：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的距离，即 ；追及问题（同向而行）：快者走的路程－慢者走的路程＝追及开始时两者之间的距离，即 ． （2）工程问题： 工作总量＝工作效率×工作时间．通常把工作总量看作 1，若甲单独完成需 a 天，则甲的工作效率为 ；两队合作的工作效率为 ．等量关系：各部分工作量之和＝工作总量 1． （3）配套问题： 若 2 个甲部件与 1 个乙部件配成一套，则等量关系为乙部件总数×2＝甲部件总数（即甲、乙部件数量之比为 2∶1）；一般地，若 m 个甲部件配 n 个乙部件，则甲、乙部件数量之比为 m∶n． （4）分段计费问题： 总费用＝各段费用之和．解题时先判断所给数值落在哪一段（常先算出第一段的最大费用再比较），再设未知数列方程． 【例2】A、B 两地相距 300 km，甲车从 A 地出发开往 B 地，速度为 60 km/h；同时乙车从 B 地出发开往 A 地，速度为 40 km/h．问两车出发后经过多少小时相遇？ 解：设两车出发后经过 小时相遇．把 A、B 两地之间的距离看作全程，等量关系为"甲车路程＋乙车路程＝300 km"． 由题意得 ，即 ，解得 ．答：两车出发后经过 3 小时相遇． 【总结】相遇问题的等量关系是"路程和等于总路程"，也可以用速度和列方程：．画线段图能把"相向而行"的过程直观地表示出来，是分析行程问题的好帮手． 要点三　设未知数的技巧与解的检验 （1）直接设元与间接设元： 求什么就设什么，叫直接设元；当直接设元列方程比较困难时，可以设与所求量密切相关的量为未知数，先求出它再求目标量，这叫间接设元．例如：若一个两位数的十位数字为 ，个位数字为 ，则这个两位数可表示为 ． （2）解的检验： 应用题的解必须符合实际意义：时间、路程、费用等不能为负数；人数、件数、车辆数等必须是非负整数；若解不符合实际，则应舍去或重新审题． 【例3】一项工作，甲单独做需 10 天完成，乙单独做需 15 天完成．（1）甲、乙两人合作，需要多少天完成？（2）甲先单独做 5 天，余下的由甲、乙两人合作完成，还需要多少天才能完成这项工作？ 解：（1）设甲、乙两人合作需要 天完成．把工作总量看作 1，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ． 由题意得 ，即 ，解得 ．答：甲、乙两人合作需要 6 天完成． （2）设还需要 天完成．甲先单独做 5 天，完成工作量的 ，余下的两人合作，由题意得 ，即 ，解得 ．答：还需要 3 天才能完成这项工作． 【总结】工程问题常把工作总量看作 1，"先做的部分＋后做的部分＝1"是列方程的基本等量关系．注意合作时的工作效率是各队工作效率之和，不要把"还需多少天"误认为是"共用了多少天"． 典题精练 基础知识巩固 知识点　列方程解应用题的基本步骤与常见数量关系 1.（25-26学年七上•江苏南通启东•期中）某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送 10 件，还剩 6 件；若每个快递员派送 12 件，还差 6 件，那么该分派站现有包裹（　　） 60 件　　 66 件　　 68 件　　 72 件 2.（25-26学年七上•江苏盐城阜宁•期末）某班共有学生 46 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 5 人，则该班女生有（　　） 15 人　　 16 人　　 17 人　　 18 人 3.（25-26学年七上•江苏扬州邗江•期中）某商品标价为 200 元，若按标价的八折出售，仍可获利 25%，则该商品的进价为______元． 4.（25-26学年七上•江苏常州溧阳•期末）一个两位数，个位数字与十位数字之和为 12，若交换个位数字与十位数字的位置，所得的新数比原数大 36，则原来的两位数是______． 5.（25-26学年七上•江苏盐城亭湖区•期中）在月历中，任意框出同一个竖列上的相邻三个数，若算出它们的和是 51，则这三个数中最小的数是______． 6.（25-26学年七上•江苏镇江京口•期中）某校将 180 棵树苗按 的比例分配给甲、乙、丙三个小组，则甲组应分得树苗（　　） 30 棵　　 45 棵　　 60 棵　　 90 棵 7.（25-26学年七上•江苏淮安淮阴•期末）《九章算术》"盈不足"章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 钱，则会多出 3 钱；若每人出 7 钱，则还少 4 钱．设人数为 人，则下面列出的方程正确的是（　　） 　　 　　 　　 8.（25-26学年七上•江苏宿迁泗阳•期中）今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，5 年后父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，则儿子今年______岁． 9.（2025•江苏连云港中考）《九章算术》中有一个问题："今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？"（凫：野鸭．所提问题即"野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？"）如果设经过 天能够相遇，根据题意，得（　　） 　　 　　 　　 10.（25-26学年七上•江苏连云港赣榆•期中）甲以 5 km/h 的速度步行，先出发 1 小时后，乙骑车以 15 km/h 的速度沿同一路线追赶，则乙出发______小时后追上甲． 知识点　行程、工程、销售与配套问题 11.（25-26学年七上•江苏南京鼓楼区•期中改编）某商场销售一款台灯，每盏进价为 400 元，标价为 600 元．（1）若按标价的九折出售，每盏台灯的利润是多少元？（2）若商场希望每盏台灯的利润率为 20%，则应按标价打几折销售？（用方程解答） 12.（2025•天津中考）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题："今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．"意思是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里．慢马先走 12 天，快马几天可以追上慢马？设快马 天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） 　　 　　 　　 13.（25-26学年七上•江苏徐州云龙区•期中）A、B 两地相距 420 km．甲车从 A 地出发开往 B 地，速度为 80 km/h；同时乙车从 B 地出发开往 A 地，速度为 60 km/h．（1）两车出发后经过多少小时相遇？（2）出发后经过多少小时，两车相距 70 km（相遇前）？（用方程解答） 14.（25-26学年七上•江苏扬州高邮•期末）为鼓励居民节约用水，某市规定：每户每月用水量不超过 10 吨的部分，每吨收费 3 元；超过 10 吨的部分，每吨收费 5 元．（1）若小明家某月用水 8 吨，应交水费多少元？（2）若小明家某月交水费 45 元，则他家这个月用水多少吨？（用方程解答） 15.（25-26学年七上•江苏无锡惠山区•期末）某车间有 26 名工人，每名工人每天可加工 100 个 A 部件或 80 个 B 部件．已知 2 个 A 部件和 1 个 B 部件配成一套，为使每天加工的 A、B 两种部件恰好配套，应安排多少名工人加工 A 部件？（用方程解答） 16.（25-26学年七上•江苏盐城盐都区•期中）有一个两位数，它的十位数字比个位数字大 3．若把这两个数字交换位置，所得的新数与原数的和是 121，求原来的两位数．（用方程解答） 17.（25-26学年七上•江苏常州武进区•期中改编）如图是 2026 年 3 月的月历，用一个方框框出 4 个数（如图中阴影部分所示），这 4 个数中最小的一个为 ．（1）用含 的代数式表示这 4 个数的和；（2）若这 4 个数的和是 96，求这 4 个数． 18.（25-26学年七上•江苏苏州工业园区•期中）一项工程，甲队单独做需要 12 天完成，乙队单独做需要 8 天完成．现在先由甲队单独做 2 天，然后甲、乙两队合作完成剩下的工程，还需要多少天才能完成这项工程？（用方程解答） 19.（25-26学年七上•江苏南京秦淮区•期末）如图，用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个长方形，使它的长比宽多 4 cm，求这个长方形的面积．（用方程解答） 20.（2025•江苏南京外国语学校•期末改编）甲、乙两家超市新年期间推出如下表的购物优惠方案： 超市 优惠方案 甲超市 购物总价不超过 200 元时，不予优惠；超过 200 元时，全部按九折付款 乙超市 购物总价不超过 200 元时，不予优惠；超过 200 元时，超过的部分按八折付款 （1）若购买原价为 300 元的商品，到哪家超市购物花费较少？请通过计算说明； （2）当购买原价为多少元的商品时，到两家超市购物的花费相同？（用方程解答） （3）若购买原价为 500 元的商品，到哪家超市购物花费较少？请通过计算说明． 21.（2025•江苏徐州十三中•期中）如图，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 和 ． （1）求 A，B 两点间的距离； （2）点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t 秒．当 t 为何值时，点 P 与点 Q 相遇？ （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，点 P 与点 Q 之间的距离为 9 个单位长度？ 22.（25-26学年七上•江苏无锡滨湖区•期末改编）某通讯公司推出两种手机套餐，收费标准如下表： 套餐 月租费 通话费 套餐一 无 每分钟 0.3 元 套餐二 20 元 每分钟 0.1 元 （1）若某月通话 60 分钟，选择哪种套餐更省钱？请通过计算说明； （2）当每月通话时间为多少分钟时，两种套餐的费用相同？（用方程解答） （3）若某月通话 120 分钟，选择哪种套餐更省钱？请通过计算说明． 23.（25-26学年七上•江苏泰州高港区•期中）某运输队要运送一批物资，共 240 吨．第一天运走了一部分，第二天运走的物资比第一天的 2 倍少 15 吨，还剩 45 吨没有运走．求第一天运走物资多少吨．（用方程解答） 24.（25-26学年七上•江苏南通如皋•期末改编）一水池有进水管和出水管各一个．单开进水管 5 小时可将空池灌满．某次灌水时，先打开进水管 2 小时，后发现出水管没有关闭，于是关闭出水管，再继续灌水 4 小时才把水池灌满．求单开出水管多少小时可把满池水放完．（用方程解答） 25.（25-26学年七上•江苏苏州吴中区•期中改编）今年小华的年龄是爷爷年龄的 ，10 年后小华的年龄是爷爷年龄的 ，求今年小华和爷爷的年龄各是多少岁．（用方程解答） 26.（25-26学年七上•江苏南京建邺区•期末）如图，一个长方体铁块的长为 20 cm，宽为 15 cm，高为 8 cm．现把它锻造成一个底面为边长 10 cm 的正方形的长方体铁块（体积不变），求锻造后的长方体铁块的高．（用方程解答） 学科网（北京）股份有限公司 $