4.3用一元一次方程解决问题题型分类解答题专题训练2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 以题型分类为框架，系统整合行程、古代、销售盈亏问题，通过典例提炼一元一次方程建模方法，强化从实际问题抽象等量关系的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |行程问题|6题|设速度/时间/路程为未知数，依据路程=速度×时间列方程，分类处理追及/相遇/水流等情境|从具体运动情境抽象数量关系，建立方程模型解决动态问题| |古代问题|6题|抓住“盈”“不足”等量关系，设人数/物价为未知数列方程|以传统数学文化为载体，强化等量关系转化能力| |销售盈亏问题|6题|设产品数量，结合成本、利润、售价关系列方程或不等式|连接经济生活实际，培养数据分析与决策能力|

4.3用一元一次方程解决问题 题型分类解答题专题训练 一、行程问题 1．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的倍． (1)若乙先骑行千米，甲才开始从地出发，则甲出发小时恰好追上乙，求甲骑行的速度； (2)若甲、乙同时从地出发，则乙到达地比甲晚了分钟，求甲骑行的速度． 2．在一条笔直的公路上，甲、乙两人骑车从相距500米的A、B两地同时出发．甲从A地出发，每分钟行驶300米，乙从B地出发，每分钟行驶200米．问：经过多少时间，两人相距5000米？ 3．李斌和张强在周末骑自行车从长炼出发去临湘玩，出发前他俩一起算了一下：   如果每小时骑10km，上午10时才能到达；如果每小时骑15km，则上午9时40分就能到达．求长炼到临湘的路程． 4．客车从甲地，货车从乙地同时相对开出．小时后，客车距离乙地还有全程的，货车超过中点千米．已知客车比货车每小时多行千米，甲乙两地间的路程是多少千米？ 5．一条河的岸边有A、B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中的划船速度为每小时6千米，则乙在静水中的划船速度为每小时多少千米？ 6．一群驴友排成一列在野外旅游，队长在队伍中，数了一下他前后的人数，发现前面的人数是后面的两倍，他往前超了7位驴友，发现前面的人数和后面的人数一样． (1)这群驴友一共有多少人？ (2)这群驴友要过一座320米长的独木桥，为安全起见，相邻两个驴友间保持固定的距离，行走速度为5米/分，从第一位驴友刚上桥到全体通过独木桥用了106分钟时间，请问相邻两位驴友间的距离是多少米？ 二、古代问题 7．《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六． 问：人数、鸡价各几何？ 译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元．有几人？鸡的价格是多少元？ 8．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？ 9．《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？请你用一元一次方程的知识解决． 10．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 11．《九章算术》卷第七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数，琎价各是多少？ 12．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高数学成就．《九章算术》中记载：今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文：有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？ 三、销售盈亏问题 13．某工厂计划生产，两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 种产品 种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利14万元，问，两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案？ 14．某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹，已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)快递站购进甲、乙两种智能分拣机器人共5台，要求每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台，有几种采购方案？ (3)甲种机器人的价格为每台1万元，乙种机器人的价格为每台0.8万元，在（2）的条件下，如何采购，两种机器人的总价格最小？ 15．某工厂生产某种产品，每天的生产成本包括固定成本和原料及加工成本．已知该工厂正常运转的固定成本为120万元/月，该产品的原料及加工成本合计为6万元，当月产量超过时，由于规模采购议价，超过的部分每吨原料及加工成本还可以减少0.5万元．设每月的生产成本为y万元（包括固定成本与原料及加工成本），每月的生产量为． (1)求y关于x的函数解析式； (2)若该工厂每吨产品的出厂价为8万元，则当每月生产多少吨产品时，工厂可每月获利80万元？ 16．丹寨县的苗绣蜡染入选贵州省第一批非物质文化遗产名录，某店选中A，B两款苗绣蜡染装饰品，进价和售价如下表： 类别 A 款 B款 进价（元/个） 70 68 售价（元/个） 80 75 (1)第一次该店用1520元购进了A，B两款苗绣蜡染装饰品共22个，求这两款装饰品分别购进的数量． (2)第二次该店进货时，计划购进两款苗绣蜡染装饰品共36个，且A 款进货数量不超过B款进货数量的一半．应如何设计进货方案，才能使销售完这批苗绣蜡染装饰品获得的利润最大？并求出最大利润． 17．开心玩具厂某天生产某种玩具的总成本为C（元），生产数量为n（件）．生产总成本由固定成本与可变成本相加而成，其中固定成本为3000元，生产每件玩具的可变成本为50元． (1)试求出生产总成本C与生产数量n之间的函数关系式（不要求写出自变量n的取值范围）； (2)如果该天的生产总成本是46000元，那么这一天生产了多少件该种玩具？ (3)若该种玩具每件的售价为110元，且该天生产的该种玩具全部售出，试写出这一天的利润P（元）关于这一天生产数量n（件）的函数关系式，并求出这一天至少生产多少件该种玩具，才能不亏本． 18．某工厂生产一种产品，生产总成本y（元）与生产数量x（件）成一次函数关系．已知生产10件时，总成本为800元；生产20件时，总成本为1500元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当该产品的销售单价为100元/件时，该产品能够全部售出．若工厂希望通过生产并全部售出该产品获得2000元利润，请问应将生产数量设定为多少件？（利润销售总价生产总成本） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的方法，理解题目数量关系，掌握方程解决实际问题的方法是解题的关键． （1）根据题意，设乙的速度为，则甲的速度为，由题目中的数量关系列方程求解即可； （2）设乙的速度为，则甲的速度为，根据数量关系列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙的速度为，则甲的速度为， 由题意可得：， 解得，， ∴. 答：甲骑行的速度为． （2）解：设乙的速度为，则甲的速度为，分钟小时， 由题意可得：， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲骑行的速度为． 2．经过9或11或45或55分钟，两人相距5000米 【分析】本题重点考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示甲、乙两人各自行驶的距离是解题的关键．分（1）两人背向而行时，设两人相距5000米时，经过x分钟，根据两人行驶的路程的和加上500米等于5000米可列方程求解即可；（2）两人相向而行时，设两人相距5000米时，经过y分钟，根据两人行驶的路程的和减去500米等于5000米可列方程求解即可；（3）两人同向而行时，设经过t分钟，两人相距5000米，分两种情况求t的值，一是甲、乙两人同向而行，开始时乙在甲前面，可列方程求解；二是甲、乙两人同向而行，且甲在乙前面，可列方程求解即可． 【详解】解：（1）两人背向而行时，设两人相距5000米时，经过x分钟， 根据题意得， 解得， 所以，两人相距5000米时，经过9分钟； （2）两人相向而行时，设两人相距5000米时，经过y分钟， 根据题意得， 解得， 所以，两人相距5000米时，经过11分钟， （3）两人同向而行时，设经过t分钟，两人相距5000米， 若甲、乙两人同向而行，开始时乙在甲前面，则， 解得； 若甲、乙两人同向而行，开始时乙在甲后面，则， 解得， 答：经过55分钟或经过45分钟，两人相距5000米． 综上所述，经过9或11或45或55分钟，两人相距5000米． 3．10km 【详解】设长炼到临湘的路程是xkm，根据题意可求出速度不同所产生的时间差，以时间做为等量关系可列方程求解． 解：设长炼到临湘的路程是xkm 答：长炼到临湘的路程是10km． 4．甲乙两地间的路程是千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据题意设甲乙两地间的路程是千米，利用速度路程时间，结合客车比货车每小时多行千米，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲乙两地间的路程是千米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲乙两地间的路程是千米． 5．乙在静水中的划船速度为每小时10千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关． 设乙在静水中的划船速度为每小时x千米，根据相向时，两船路程和等于A、B两地距离， 同向时，两船路程差等于A、B两地距离，列出方程即可解答． 【详解】解：设乙在静水中的划船速度为每小时x千米， ， 解得：， 答：乙在静水中的划船速度为每小时10千米． 6．(1)43人 (2)5米 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键． （1）根据题意假设队长前面有人，则后面有人，利用他往前超了7位驴友，发现前面的人数和后面的人数一样得出等式求出即可； （2）设相邻两个驴友间的距离是米，根据题意，表示出这群驴友行走的总距离进而得出等式求出即可． 【详解】（1）解：设队长前面有人，则后面有人，由题意，得： ， 解得：， ∴（人）； 答：这群驴友一共有43人； （2）设相邻两个驴友间的距离是米，由题意，得： ， 解得：； 答：相邻两位驴友间的距离是5米． 7．9人；70元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意可知，鸡的总价、总人数是不变的，总人数元元=总人数元元，设一共有x人，列方程为，然后解出方程即可． 【详解】解：设一共有x人．根据题意得： ， 解得， ∴（元） 答：有9人；鸡的价格是70元． 8．天 【分析】首先设经过天相遇，根据题意可得等量关系：野鸭天的路程＋大雁天的路程，再根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设经过天相遇， 根据题意，得∶ ， 解得：． 答：经过天相遇． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 9．人数有21人，羊价是171元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 可设买羊人数为未知数，等量关系为：买羊人数买羊人数，把相关数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价． 【详解】解：设有x个人，根据题意，得： ， 解得：， （元）， 答：人数有21人，羊价是171元． 10．孩童人数为6人，梨的数量为36个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（盈亏问题），熟练掌握“根据不变量（梨的数量）列方程”是解题的关键． 设孩童人数为未知数，根据梨的数量不变列方程，求解后再计算梨的数量． 【详解】解：设庭前孩童有人，由题意可得 ， ， ， ， 梨的数量：（个）， 答：孩童人数为6人，梨的数量为36个． 11．人数是42，琎价是17钱 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．设有x人合伙购物，物价为y钱，根据“每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱”即可得出关于x的方程组，解方程组即得答案． 【详解】解：设有x人合伙买琎石，根据题意，得： ， 解得：， （钱）， 答：有42人合伙购物，物价为17钱． 12．有个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是钱． 【分析】以鸡价不变为等量关系，设人数为未知数列方程求解． 【详解】解：设共有个人共同出钱买鸡， 每人出钱时盈余钱，每人出钱时不足钱，且鸡价固定， ， 解得， 鸡的价钱为 （钱）． 答：有个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是钱． 13．(1)生产A产品8件，生产B产品2件 (2)工厂有3种生产方案 【分析】（1）设生产种产品件，则生产种产品件，根据“工厂计划获利14万元”列出方程即可得出结论； （2）设生产产品件，则生产产品件，根据题意，列出一元一次不等式组，求出y的取值范围，即可求出方案． 【详解】（1）解：设生产种产品件，则生产种产品件， 依题意得：， 解得：， 则， 答：生产产品8件，生产产品2件； （2）解：设生产产品件，则生产产品件 根据题意得，， 解得：． ∵为非负整数， ∴或3或4， ∴或7或6， 答：共有3种方案． 14．(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)一共有3种方案 (3)采购2台甲种机器人，3台乙种机器人 【分析】（1）设乙种机器人每小时分拣x件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹，根据甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件列方程求解； （2）设购进甲种机器人y台，根据每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台列不等式组求解即可； （3）设总价为W万元，根据题意列出一次函数解析式，利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣x件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹，根据题意得：， 解得， 则， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设购进甲种机器人y台，由题意得： ， 解得． ∵y为整数， ∴或3或4， ∴一共有3种方案； （3）解：设总价为W万元，则． ∵， ∴当y取最小值时，W取最小值．即当时，W的最小值为4.4万元，此时，采购2台甲种机器人，3台乙种机器人． 15．(1)y关于x的函数解析式为； (2)当每月生产产品时，工厂可每月获利80万元． 【分析】（1）分两种情况，分别计算成本即可； （2）每吨产品的出厂价为8万元，则总出厂价为万元，分两种情况根据（1）y关于x的函数解析式列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∵正常运转的固定成本为120万元/月，该产品的原料及加工成本合计为6万元， ∴， 当时， ∵当月产量超过时，由于规模采购议价，超过的部分每吨原料成本还可以减少0.5万元， ∴． 综上所述，y关于x的函数解析式为； （2）解：当时，根据题意得：， 解得（不合题意，舍去）； 当时，根据题意得：， 解得； ．当每月生产产品时，工厂可每月获利80万元． 16．(1)购进A款苗族蜡染装饰品12个，购进B款苗族蜡染装饰品10个 (2)当购进A款苗族蜡染装饰品12个，B款苗族蜡染装饰品24个时，销售完这批苗绣蜡染装饰品获得的利润最大，最大利润为288元 【分析】（1）设购买A款苗族蜡染装饰品个，则购买B款苗族蜡染装饰品个，根据“该店用1520元购进了A，B两款苗绣蜡染装饰品共22个，”建立方程求解，即可解题； （2）设购进A款苗族蜡染装饰品个，则购进B款苗族蜡染装饰品个，销售完这批苗绣蜡染装饰品获得的利润为W元，根据“A款进货数量不超过B款进货数量的一半，”建立不等式求出的取值范围，再整理出利润的表达式，结合一次函数的增减性求解，即可解题． 【详解】（1）解：设购买A款苗族蜡染装饰品个，则购买B款苗族蜡染装饰品个， 根据题意得：， 解得，   ， 答：购进A款苗族蜡染装饰品12个，购进B款苗族蜡染装饰品10个； （2）解：设购进A款苗族蜡染装饰品个，则购进B款苗族蜡染装饰品个，销售完这批苗绣蜡染装饰品获得的利润为W元． A款进货数量不超过B款进货数量的一半， ，解得， ∴， ∵，   ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W最大，， 答：当购进A款苗族蜡染装饰品12个，B款苗族蜡染装饰品24个时，销售完这批苗绣蜡染装饰品获得的利润最大，最大利润为288元． 17．(1)； (2)860； (3)函数关系式为，至少生产50件 【分析】（1）首先根据总成本固定成本可变成本，得到第一问的函数关系式； （2）再代入已知总成本，解方程得到第二问的生产数量； （3）最后根据利润=总收入-总成本得到利润函数，利用不亏本即利润不小于0，解不等式得到最低生产数量． 【详解】（1）解：由题意可知，固定成本为3000元，生产n件玩具的可变成本为元， 因为总成本固定成本可变成本，所以． （2）解：把代入，得， 解得， 答：这一天生产了860件该种玩具． （3）解：由题意，总收入为元，总成本为元， 利润总收入总成本， 因此， 不亏本时需要满足，即， 解得， 答：利润关于的函数关系式为，这一天至少生产50件该种玩具才能不亏本． 18．(1)（为正整数） (2)应将生产数量设定为70件 【分析】（1）设与的函数关系式为（），根据“生产10件时，总成本为800元；生产20件时，总成本为1500元”即可得到函数关系式； （2）根据题目给出的利润计算公式列出一元一次方程，求解方程即可得到生产数量． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为（）， 把和代入解析式得， 解得， 因此与的函数关系式为（为正整数）； （2）解：设生产数量为件，根据题意得， 将代入上式得， 整理得， 解得． 答：应将生产数量设定为70件． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $