精品解析：黑龙江省大庆市靓湖学校2026-2027学年九年级上学期9月综合练习（开学）数学试卷

大庆市靓湖学校九年级九月份数学学科综合练习 答题时间：120分钟 总分：120分 一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 2. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦的定义得到，则可设BC=，AB=，通过勾股定理算出AC，再计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴设BC=，AB=， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，熟练掌握三角函数在直角三角形中的边角关系是解题的关键． 3. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，先根据最长边之比得出相似比，再结合周长之和求解较小三角形的周长即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的最长边分别为和， ∴它们的相似比为 ∴它们的周长比为， 设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为， ∵它们的周长之和为， ∴， 解得， ∴较小三角形的周长为， 故选：A． 4. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 6. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 7. 已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 8. 我国魏晋时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解时，用四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形面积是100，小正方形面积是4，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，正切值的计算．根据正方形的面积得到，，根据赵爽弦图之间线段的关系，设，则，由勾股定理得到，作交的延长线于点，则四边形是矩形，结合正切值的计算方法即可求解． 【详解】解：∵用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形， ∴， ∴，，， ∴， ∵大正方形的面积是， ∴， ∵小正方形的面积是， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，（负值舍去）， ∴， 作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，在中，，，，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，设的面积为运动时间为，则下列图象能反映y与x之间关系的是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，，当时，如图所示，即可求解． 【详解】当时，，图象为开口向上的抛物线； 当时，如下图所示， ，图象为开口向下的抛物线； 故选B． 【点睛】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 10. 对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题． 【详解】解：令， 如图所示，则的值为函数较大的值， ∴比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值． 联立方程   解得 ∴时，解得，， 当时，解得： ∴当时，或 故选：A 【点睛】本题主要考查函数比较大小的问题，正确画出函数图象是解答本题的关键． 二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 12. 写出一个函数表达式，当时，随的增大而增大，这个函数表达式可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意当时，随增大而增大的要求，选择初中常见函数类型，确定参数即可得到符合要求的函数，答案不唯一． 【详解】解：选择一次函数进行构造，设函数表达式为，其中， ∵ 时，随的增大而增大， ∴ 一次项系数满足， ∴当，，即可得到符合条件的函数表达式， 本题答案不唯一，，等均满足题意． 13. 如图，某滑雪运动员沿坡比为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为________米． 【答案】15 【解析】 【分析】由斜坡的坡比为，可知斜坡坡角为30°，然后运用正弦函数解答即可． 【详解】解：因为坡度比为，即， ∴ ， 由题意可知，运动员沿斜坡滑下30米， 则其下降的高度米． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，得出斜坡坡角的度数是解题关键． 14. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，先根据表格中值相等的点求出对称轴，再得到对应对称点的函数值即可得到结果． 【详解】解：由表格可得，当时，，当时，， ∵二次函数上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵关于直线的对称点为， 由表格可知时，， ∴当时，． 15. 二次函数，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴时，取得最大值为5， 时取得最小值为， ∵， ∴y的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 16. 大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 【答案】 【解析】 【分析】将代入抛物线解析式，求出正根后与表格对比，即可求出得分． 【详解】解：将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∵， ∴小明此次投掷的成绩得分为分． 17. 如图，点、分别在反比例函数，的图象上，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证得，根据相似三角形的性质得出，，则，得出． 【详解】解：如图，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、． ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 点在第二象限， ． 18. 如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接，分别与对角线交于点，，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为 __________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，由题干条件容易得出，相加即可；对于②，延长至点，使得，利用“半角”模型与正方形的性质容易证明与，则，，由三角形外角的性质可得；对于③，作于点，连接，，容易证明与，则，，同理，，因此是直角三角形，使用勾股定理计算出即可；对于④，取的中点，连接，利用直角三角形的性质与比例容易判断是等边三角形，通过导角可得，由直角三角形的性质和勾股定理可计算出． 【详解】解：对于①：∵正方形的周长是周长的倍， ∴， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 对于②：如图，延长至点，使得， 由①可得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； 对于③：如图，作于点，连接，， 由②可得，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， 在中，，故③正确； 对于④：如图，取的中点，连接， 由③可得，，， ∵， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 解得，故④错误； 综上，正确的结论为：①②③． 三、解答题：本题10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程． 19. 计算： 【答案】1 【解析】 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 21. 已知实数a，b是方程 的两根，求 的值． 【答案】﹣3． 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法进行计算． 【详解】∵实数a，b是方程的两根， ∴，， ∴===﹣3． 22. 2025年全明星篮球赛时隔24年将再次落户长春．小明和小张是篮球运动的爱好者，他们相约一起去现场观赛，现场的普通观赛区分为A、B、C三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．如果小明和小张都购买普通观赛区的门票，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小张不在同一区域观看比赛的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，再找到两人不在同一区域观看比赛的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能的结果，其中小明和小张不在同一区域观看比赛的结果有6种， ∴小明和小张不在同一区域观看比赛的概率为． 23. 如图，在菱形中，对角线与相交于点．过点作，过点作，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴, ∴， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用菱形的性质得到，即可证明其为矩形； （2）先结合和菱形的性质证明为等边三角形，从而可以得到，则，再利用勾股定理可以求得，结合（1）问的结论，利用矩形的性质和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵, ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，  由（1）可知，四边形是矩形， ∴,， ∴． 24. 如图，为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物的顶点A测得M点的俯角为，从建筑物的顶点C测得M点的俯角为，从建筑物的顶点A测得C点的仰角为．若已知建筑物的高度为20米， （1）求的度数． （2）求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】（1） （2）35米 【解析】 【分析】（1）根据题意结合平行线的性质可得的度数，再由平角的定义可得答案； （2）证明是等腰直角三角形，得到米，由勾股定理得米；求出，则可求出米，证明是等腰直角三角形，得到米，据此利用勾股定理可求出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，由题意得，，， 由题意得，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作于点F， 由题意得，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴由勾股定理得米； 在中，， ∴米， ∴米， 同理可证明是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， 答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米． 25. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，AC与DE交于点F． (1)求证：CE∥AD； (2)求证：AC2＝AB•AD； (3)若AC＝，AB＝8，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）欲证明CE∥AD，只要证明∠ACE=∠CAD即可； （2）由AC平分∠DAB得∠DAC=∠CAB，加上∠ADC=∠ACB=90°可迅速得出结论； （3）证明△AFD∽△CFE相似. 【详解】解：（1）∵E为AB中点，∠ACB＝90° ∴CE＝AB＝AE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠ECA， ∴CE∥AD； （2）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴ ∴AC2＝AB•AD； （3）由（2）证得，AC2＝AB•AD， ∵AC＝，AB＝8， ∴ ∵∠ACB＝90°，E为AB的中点， ∴CE＝AB＝4， ∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理，属于基础题．熟练掌握中位线定理与相似三角形的判定与性质是解答的关键． 26. 如图1是一座抛物线型拱桥，图2是其在直角坐标系中的侧面示意图．在正常水位时水面宽，此时水面离桥拱顶部的距离为． （1）按如图2所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）如图3，因某种需要，在桥拱顶部及桥的两端树立了三根支柱，，架设钢缆，在钢缆和桥面之间竖直悬挂若干安全绳，过相邻支柱顶端的钢缆具有相同的抛物线形状，且左、右两条抛物线关于轴对称，左面钢缆抛物线可以用表示． ①求左、右面两条钢缆的最低点之间的距离是多少？ ②求安全绳长度（钢缆和桥面之间距离）的最小值是多少？ 【答案】（1）y=-x2 （2）①12m；②2m． 【解析】 【分析】（1）由图可知，点A坐标为（-12，-6），点B坐标为（12，-6），点O坐标为（0，0），利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①将抛物线一般式变为顶点式，进而找到最低点，再利用对称性求出最低点之间的距离； ②令安全绳长度为wm，且w可表示为：w===，进而求出最小值． 【小问1详解】 解：由图可知，点A坐标为（-12，-6），点B坐标为（12，-6），点O坐标为（0，0） 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c 将A，B，O代入解析式，得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2 【小问2详解】 解：①∵= ∵＞0 当x=-6时，y有最小值，且最小值为1 ∵左、右两条抛物线关于轴对称 ∴最低点之间的距离为2×6=12m ②令安全绳长度为wm，则 w= = = ∵＞0 ∴当x=-4时，w有最小值，且最小值为2 故安全绳长度最小值为2m． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用，利用二次函数的性质并数形结合是解决问题的关键. 27. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线相交于点、点两点，点在轴的正半轴上，，为等边三角形，连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点的坐标及的面积； （3）在轴上是否存在点，使得以点A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）把的坐标为，代入中，求出的坐标为，再根据点在反比例函数的图象上，求出反比例函数的解析式即可； （2）延长与反比例函数的图象在第三象限交于点，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，求出点的坐标为，即可得到答案； （3）根据题意求出，分当轴时和当时两种情况进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：把的坐标为，代入中， 的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：延长与反比例函数的图象在第三象限交于点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， 点的坐标为， ； 【小问3详解】 解：是，理由如下： 为等边三角形，点与点关于原点对称， ，， ， ， 当轴时， ，， ， 点的坐标为， 点的坐标为； 当时， 则，， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 综上，点的坐标为或． 28. 如图，已知抛物线的顶点是． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上在第一象限的动点，过作轴，为垂足，求的最大值； （3）设点的坐标为，问在抛物线的对称轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用顶点坐标公式求解即可； （2）设，则，则，由此可求解； （3）过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，可得△，设，由，，可求，再将代入抛物线解析式即可求或． 【小问1详解】 的顶点是， ，， ，， ； 【小问2详解】 设，则， ， 当时，有最大值； 【小问3详解】 存在点，理由如下； 过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， △， ，， 设， ，， ， ， 或， 或； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市靓湖学校九年级九月份数学学科综合练习 答题时间：120分钟 总分：120分 一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 我国魏晋时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解时，用四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形面积是100，小正方形面积是4，那么（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，设的面积为运动时间为，则下列图象能反映y与x之间关系的是　　 A. B. C. D. 10. 对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 写出一个函数表达式，当时，随的增大而增大，这个函数表达式可以是__________． 13. 如图，某滑雪运动员沿坡比为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为________米． 14. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 15. 二次函数，当时，y的取值范围是________． 16. 大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 17. 如图，点、分别在反比例函数，的图象上，若，，则__________． 18. 如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接，分别与对角线交于点，，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为 __________． 三、解答题：本题10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程． 19. 计算： 20. 计算：． 21. 已知实数a，b是方程 的两根，求 的值． 22. 2025年全明星篮球赛时隔24年将再次落户长春．小明和小张是篮球运动的爱好者，他们相约一起去现场观赛，现场的普通观赛区分为A、B、C三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．如果小明和小张都购买普通观赛区的门票，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小张不在同一区域观看比赛的概率． 23. 如图，在菱形中，对角线与相交于点．过点作，过点作，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 如图，为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物的顶点A测得M点的俯角为，从建筑物的顶点C测得M点的俯角为，从建筑物的顶点A测得C点的仰角为．若已知建筑物的高度为20米， （1）求的度数． （2）求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到，参考数据：，）． 25. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，AC与DE交于点F． (1)求证：CE∥AD； (2)求证：AC2＝AB•AD； (3)若AC＝，AB＝8，求的值． 26. 如图1是一座抛物线型拱桥，图2是其在直角坐标系中的侧面示意图．在正常水位时水面宽，此时水面离桥拱顶部的距离为． （1）按如图2所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）如图3，因某种需要，在桥拱顶部及桥的两端树立了三根支柱，，架设钢缆，在钢缆和桥面之间竖直悬挂若干安全绳，过相邻支柱顶端的钢缆具有相同的抛物线形状，且左、右两条抛物线关于轴对称，左面钢缆抛物线可以用表示． ①求左、右面两条钢缆的最低点之间的距离是多少？ ②求安全绳长度（钢缆和桥面之间距离）的最小值是多少？ 27. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线相交于点、点两点，点在轴的正半轴上，，为等边三角形，连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点的坐标及的面积； （3）在轴上是否存在点，使得以点A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 28. 如图，已知抛物线的顶点是． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上在第一象限的动点，过作轴，为垂足，求的最大值； （3）设点的坐标为，问在抛物线的对称轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $