黑龙江省大庆第一中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷（五四学制）

2025-2026学年黑龙江省大庆一中九年级（上）开学数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点(    ) A. B. C. D. 2.如图，将矩形ABCD沿BD折叠得到，折叠后与AB交于点E，已知，则的大小为(    ) A. B. C. D. 3.若，则在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是(    ) A. B. C. D. 4.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是(    ) A. B. C. D. 5.考查函数的图象，当时，x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 或 6.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是(    ) A. B. C. D. 7.下列说法中正确的是(    ) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 8.已知a和b是方程的两个解，则的值为(    ) A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 9.如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点不与点A，B重合，作于点E，于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是(    ) A. B. C. D. 10.如图，点A、B在双曲线上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线交于点E，连接OA、OB，若，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11.若，则______. 12.反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为      . 13.已知n边形的内角和是它的外角和的3倍，则      . 14.某口袋中有红色、黄色、黑色的小球共50个，这些小球除颜色外都相同，通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在，则袋中红色球是______个． 15.如图是某物体的三视图，则此物体的体积为      结果保留 16.如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源.木杆BC两端的坐标分别为，则木杆BC在x轴上的投影长为      . 17.已知菱形ABCD边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为______. 18.如图，在平面直角坐标系中，点，，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，则点C的坐标为______. 19.如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段OA交于点B，作轴于点M，交于点C，延长OC交于点D，作轴于点N，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的是      填序号 20.如图四边形ABCD是矩形，，，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：：3，连接DG、BE、BG，求的最小值      . 三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题8分 解方程： ； 22.本小题8分 已知关于x的一元二次方程有实数根. 求a的取值范围； 方程的两个实数根，满足，求实数a的值. 23.本小题9分 某中学为了培养学生课外阅读的好习惯，举办了“我爱阅读”活动.学校提供四类书籍供学生阅读，A：文学，B：科技，C：数理，D：历史.为了解该校九年级学生在校期间的阅读情况，随机抽取了九年级若干学生进行调查每名学生仅选择一类书，并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图根据图表信息回答以下问题： 参与调查的学生共有______人，补全条形统计图； 在扇形统计图中，“D：历史类”对应的圆心角的度数是______； 若九年级学生共有1200人，请估计九年级选择科技书的学生人数； 已知选择B类的学生中恰好有2名女生、4名男生，现从中抽取2名学生参加学校科学实验比赛，请用列表法或画树状图的方法，求所选取的两名学生恰好是一男一女的概率. 24.本小题8分 如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结 求证： 若，，求BF的长. 25.本小题8分 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎.某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个. 求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率. 为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动.已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个.当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 26.本小题10分 直线与双曲线交于点并分别与x轴、y轴交于点C、 直接写出______，______； 根据图象直接写出不等式的解集为______； 若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 27.本小题9分 某数学小组用三角形纸片对折叠进行了探究.如图，在三角形纸ABC中，，，，CD是的中线，P是BC上的动点不与点B，C重合，将沿PD折叠，点B落在点E处，PE交线段CD于点 【初步感知】 求证：； 【深入探究】 在折叠过程中，试探究是否能成为直角三角形.若能，求出PC的长；若不能，请说明理由. 【拓展延伸】 在折叠过程中，当的边恰好过AC的中点时，直接写出PC的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：由条件可知； A.，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； B.，此反比例函数的图象也一定经过此点，故选项符合题意； C.，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； D.，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； 故选： 根据反比例函数图象上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 2.【答案】B  【解析】解：在矩形ABCD中，，， ，， 由折叠可知：， ， ， 故选： 根据矩形的性质可得，，由平行线的性质及直角三角形的性质求出，根据折叠的性质可得，进而可求解． 本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，由折叠得是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：， 的图象在第二、四象限， ， 的图象在第一三象限， 故选： 根据一次函数的图象性质：图象是直线，当时，直线经过第一、三象限；当时，直线经过第二、四象限． 反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限，可得到答案． 此题主要考查了一次函数的图象性质与反比例函数的图象性质，熟记图象性质是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：设有x个队参赛，则 故选： 设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解． 5.【答案】D  【解析】解：由题意，， 当时，y随着x的增大而减小， 当时，， 又当时，， 当时，或， 故选： 依据题意，首先根据反比例函数的比例系数确定其增减性，然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可． 本题主要考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象的知识，解题的关键是根据反比例函数的比例式确定其增减性，难度不大． 6.【答案】D  【解析】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分， 画树状图得： 共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况， 可配成紫色的概率是： 故选： 由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意所选每种情况必须均等，注意概率=所求情况数与总情况数之比． 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【解答】 解：对角线相等的平行四边形是矩形， 不正确； 对角线互相垂直的矩形是正方形， 不正确； 平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， 不正确； 矩形的对角线互相平分且相等， 正确； 故选 8.【答案】D  【解析】解：由条件可知：，， ， ， 故选： 先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 9.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 连接CM，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFME是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可得到EF的值，再利用直角三角形的性质即可得到CP的值． 【解答】 解：如图，连接CM交EF于P点． ，，， ， ，，， 四边形CFME是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段EF的值最小， 此时，， 即， 解得， 点P是EF的中点，， 故选 10.【答案】C  【解析】解：过点E作轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF， 由条件可知， 轴，轴，轴， ， 由条件可知，在FH上的高相等， ， 四边形DHFB为平行四边形， ， 轴， ， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ：AD：AB：：1：3：1， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 双曲线经过第二象限， ， 故选： 过点E作轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF，先证明四边形DHFB为平行四边形，则，证明≌，则，再证明≌，则，ED：AD：AB：：1：3：1，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：由条件可设，，代入中， 得到， 故答案为： 可通过设未知数的方法，将x和y用同一个未知数表示，再代入到要求的式子中进行计算． 本题主要考查比例的性质及代数式的求值相关知识点，熟练掌握以上知识点是关键． 12.【答案】答案不唯一  【解析】解：由所给函数图象可知， 因为点A的坐标为， 所以点可在反比例函数的图象上． 将点代入得， ， 所以k的值可以是 故答案为：答案不唯一 根据所给点A坐标，得出一个在反比例函数图象上点的坐标，据此可解决问题． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数系数k的几何意义，能根据题意得出符合要求的反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． 13.【答案】8  【解析】解：根据题意得， 解得， 故答案为： 根据多边形内角和定理、外角和定理列出，然后计算即可． 本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理、外角和定理是解题的关键． 14.【答案】10  【解析】解：小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在， 口袋中红色球的个数可能是个． 故答案为： 根据题意得出摸出红球的频率，继而根据频数=总数频率计算即可． 本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15.【答案】  【解析】解：由三视图知， 该物体是由下部分为底面直径为10、高10的圆柱， 上部分是底面直径为10，高为5的圆锥组成的． 体积 故答案为： 由已知中的三视图，可以判断出该物体是由下部分为底面直径为10、高10的圆柱，上部分是底面直径为10，高为5的圆锥组成的，代入圆柱、圆锥的体积公式，即可得到答案． 本题考查的知识点是由三视图还原实物图，圆柱和圆锥的体积，其中根据三视图准确分析出几何体的形状及底面半径、高等关键数据是解答本题的关键． 16.【答案】6  【解析】解：如图，设AB交x轴于点D，AC交x轴于点E，作轴于点N，交BC于点M， 木杆BC两端的坐标分别为，， ， ∽， ， 即， 解得， 木杆BC在x轴上的投影长为 故答案为： 利用平行投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解是解决此类问题的基本方法． 17.【答案】  【解析】解，设菱形的对角线长为m和n， 菱形ABCD的面积， ， 菱形边长为5， ， ， ， 都为正值， ，， 一元二次方程为：， 故答案为： 本题涉及菱形的性质以及一元二次方程根与系数的关系韦达定理首先利用菱形的面积公式和对角线与边长的关系，求出两条对角线的和与积，再根据韦达定理确定一元二次方程． 本题巧妙结合菱形的性质面积公式、对角线与边长关系和一元二次方程根与系数的关系韦达定理，体现了几何与代数知识的综合运用，关键在于通过菱形性质求出两根之和与两根之积，进而构造方程． 18.【答案】  【解析】解：如图所示：过点C作轴于点M， 则， 四边形ABCD为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ，， ， ； 故答案为： 由AAS可证≌，可得，，即可求解． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握辅助线的作法是解题的关键． 19.【答案】①③④⑤  【解析】解：①如图，过点B作于H， 轴， ， ， 由相似三角形面积比等于相似比的平方， 得， 点B在上， ； 点A在上， ， ， 即， ， 同理，轴，轴， ， ∽， 可得， ， 又公共角， 故∽ ， 根据“内错角相等，两直线平行”， 得， 故①正确． ②由①得∽， 相似比为， 则， 故②错误． ③点A，点D在反比例函数和的图象上， ， ，   ； 故③正确； ④设， 直线OA 的解析式为， 代入，得， 即， 故OA解析式为 联立OA与的方程组， 解得第一象限，， 即， 、D纵坐标均为， 轴； 又轴， ，即， 故④正确． ⑤设， 则； ， 则， 由②得， 故，， ， ， 故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 通过设点坐标，利用反比例函数 k的几何意义、相似三角形判定与性质、矩形判定及性质，对每个结论逐一推导验证：先依据k的几何意义判断；再通过相似三角形推导线段比例与角的关系，判断；接着确定直线解析式并联立方程求点坐标，结合矩形性质判断；最后利用相似三角形和线段关系验证，同时分析的比例是否为 本题需综合运用反比例函数k的几何意义、相似三角形判定与性质、矩形性质等知识，通过设点坐标转化为线段长度与面积的计算，逐一验证结论．解题关键是利用参数表示点坐标，结合函数与几何性质推导关系． 20.【答案】  【解析】解：延长AD至H，使并过G作直线于 在矩形ABCD中，，，；在矩形CEGF中， ，， ， ， 即： ∽ ， ， 又， ∽ ， 为DH垂直平分线． 连接GH， 综上：， 当G在线段BH上时，取最小值 动点E在AD上运动，带动矩形CEFG的变化，由瓜豆原理可知G点的运动轨迹是一直线．又注意到∽，且相似比为3：1，所以将BE缩小3倍解决． 本题通动态变化问题，考核了相似，垂直平分线全等，最短路径，勾股定理等知识点，研究瓜豆原理的一道好题． 21.【答案】，；   ，  【解析】， ， ， 或， ，； ， ， ， ， ， 移项，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； 利用直接开平方法求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 22.【答案】且；     【解析】由题意得：且， 解得：且； 由题意得：， ， ， 解得：，舍， 经检验，是原方程的解， 一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则据此即可求解； 若一元二次方程的两个根为，，则 本题考查一元二次方程根与系数的关系．根的判别式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23.【答案】60，图见解析；   ；   120人；    【解析】解：人， 数理的人数为：人， 如图： 用360度乘以D的人数占比得：， 圆心角的度数是 人， 答：选择科技书的人数为120人； 列表如下： 男1 男2 男3 男4 女1 女2 男1 男2男1 男3男1 男4男1 女1男1 女2男1 男2 男1男2 男3男2 男4男2 女1男2 女2男2 男3 男1男3 男2男3 男4男3 女1男3 女2男3 男4 男1男4 男2男4 男3男4 女1男4 女2男4 女1 男1女1 男2女1 男3女1 男4女1 女2女1 女2 男1女2 男2女2 男3女2 男4女2 女1女2 共有30种等可能的结果，其中一男一女的结果有16种． 一男一女 用A的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出C的人数，再补全统计图即可； 用360度乘以D的人数占比即可得到答案； 用1200乘以样本中B的人数占比即可得到答案； 先列表得到所有等可能性的结果数，再找到所选取的两名学生恰好是一男一女的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键． 24.【答案】证明见解析；     【解析】证明：在菱形ABCD中，点E在边BC上，AC菱形的对角线， ，，，， ， 在与中， ， ≌， ， ， 又， ∽， ， ； 解：由得：∽， ， ，， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， 利用菱形的性质得，，，，证明≌，得，再证明，证明∽，即可证明； 由∽，结合，得，得，由，得∽，可得，得，即可计算． 本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． 25.【答案】3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为；   每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元．  【解析】解：设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为； 设每个玩偶降价y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为x，根据某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 设每个玩偶降价y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26.【答案】，     或  ; ， 在中，令，解得，则B的坐标是 令，解得：，则C的坐标是 故，，， ，即是等腰直角三角形， ， 过A作轴于点则是等腰直角，， 当D在线段不与O重合上时，两个三角形一定不能相似； 当D在线段OC的延长线上时，设D的坐标是，则， ， 当∽时，，即， 解得：， 则D的坐标是； 当∽时，，即， 解得：， 则D的坐标是 则D的坐标是或  【解析】解：把代入得：，解得： 把代入，得： 故答案是：，5； 解集为：或， 故答案是：或； 见答案. 【分析】把A的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式，即可求得b和m的值； 根据图象即可直接写出，即反比例函数的图象在一次函数的图象上部的部分x的取值； 求得的边长，点D在x轴的正半轴上，可以分D在线段OC上不在O点或线段OC的延长线上两种情况讨论，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得． 本题是一次函数、反比例函数与相似三角形的判定与性质的综合应用，注意到是本题的关键． 27.【答案】证明见解析；  能成为直角三角形．PC的长为或理由见解析；  当的边恰好过AC的中点时，PC的长为3或  【解析】证明：，，， ， 是的中线， ， 由折叠的性质得：， ， ∽， ， ； 解：能成为直角三角形．PC的长为或理由： ①当时，如图， 由题意得：，， 由得：，， 在中，， 设，则， ， ，，， ， ， 或不合题意，舍去， ； ②当时，过点D作于点H，如图， 由题意得：， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 为AB的中点， 为的中位线， ，， ， 综上，能成为直角三角形．PC的长为或 解：当的边恰好过AC的中点时，PC的长为3或理由： ①当PE边经过AC的中点G时，连接DG，如图， 为AC的中点，D为AB的中点， 为中位线， ，，， ， 由题意得：， ， ， ； ②当DE边经过AC的中点G时，如图， 为AC的中点，D为AB的中点， 为中位线， ， ， 由题意得：，， ， ， ， 综上，当的边恰好过AC的中点时，PC的长为3或 利用勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； 利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理得到设，则，则，，，，利用勾股定理求得x值，则结论可求；②当时，过点D作于点H，利用三角形的中位线定理和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论； 利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当PE边经过AC的中点G时，连接DG，利用三角形的中位线定理，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可得出结论；②当DE边经过AC的中点G时，利用三角形的中位线定理，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可得出结论． 本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，折叠的性质，三角形的中位线，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $