2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考压轴题汇总（一元二次方程与二次函数）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数月考压轴，构建“概念-解法-应用-综合”四层逻辑体系，提炼考场优先级解法、固定套路等实用技巧，培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程解法|4例题+5变式|考场最优顺序：因式分解法→直接开平方法→配方法→公式法|从概念辨析到解法选择，形成“定义-技巧-应用”递进链| |根与系数关系|3例题+3变式|韦达定理核心公式及代数式转化|衔接判别式，构建方程根的性质研究体系| |二次函数图像性质|3例题+4变式|开口方向与最值关系、平移“左加右减”法则|从解析式到图像特征，强化数形结合思维| |实际应用|4例题+5变式|“设列解验答”固定套路、最值问题建模|方程与函数知识融合，体现数学语言的应用意识|

宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 第一次月考压轴题汇总（一元二次方程与二次函数） 目标导航 压轴题型 考查位置 核心难点 一元二次方程的概念 选择高频 核心考点：判断一元二次方程、根据定义求参数取值。 辨析 一元二次方程的四种 解答基础必考 解题优先级（考场最优顺序）：因式分解法→直接开平方法→配方法 解法 →公式法 根的判别式应用 选择、填空、 对于-元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式△=b2-4ac 解答高频 根与系数的关系（韦 中档必考 达定理)》 若aX2+bx+c=0(a≠0)两根为x、x,则：X+x,=- a 七2= 0 一元二次方程实际应 解答压轴基础 月考四大必考模型，固定解题套路：设未知数→列方程→解方程→验 用题 根（舍去不合题意根）→作答 二次函数概念与解析 基础选择 核心定义：y=ax+bx+c(a≠0)，最高次数为2，整式函数。 式辨析 二次函数图像与性质 高频重难点 开口方向：a>0开口向上，有最小值：a<0开口向下，有最大值； 二次函数图像平移与 填空必考 易错点：平移时混淆左右加减、忘记二次项系数不变。 对称 图像系数符号判断 中档选择压轴 根据 抛物线图像 判 断 a、b、c、△、a+b+c、a-b+c、2a+b等代数式符号。 二次函数实际应用 解答题 核心：利用二次函数求最大利润、最大面积、最大高度等最值问题。 1抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点横坐标=方程ax2+bx+c=0 的实数根；2.交点个数与△一一对应；3.方程ax2+bx+c=k的根 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 函数与方程的转化 数形结合核心 → 抛物线与直线y=k交点横坐标。 函数与不等式综合 解答题 必考考法：根据函数图像直接写不等式解集 N 典例精讲 【题型一】一元二次方程的概念辨析（选择高频） 【例1】.(26-27九年级上全国课后作业)下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（) A.ax2+bx+c=0 B.x2+1-y2=0 c.x2+1=2 D.x2-x-2=0 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件， 结合方程类型与未知数个数逐一判断. 【详解】解：A、当a=0时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程： B、方程含有x,y两个未知数，所以该方程不是一元二次方程： C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程： D、方程只含一个未知数x,x的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程. 【变式1】.(25-26九年级山东淄博期末)下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x+x3=2 B.x+3y=5 2 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 C.x+4x=3 D.x2+x=2 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此对各选 项逐一判断即可. 【详解】解：选项A中x+x=2,未知数最高次数为3，不满足条件，∴A错误； 选项B中x+3y=5,含有x,y两个未知数，不满足条件，B错误： 选项C中x2+4x=3,只含1个未知数x,未知数最高次数为2，且为整式方程，满足所有条件，.C正确： 选项D中2+x=2 ,分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，D错误 【变式2】.(25-26九年级山东威海期中)下列关于x的方程： @x+b+e=0:②3x-9r-(k+1=1:®x+3=:@(d+r-a=0:@+=-1⑧2-10：其中- 元二次方程的是() A.①②④ B.②④⑥ C.①③④ D.①④⑥ 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数 最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果， 【详解】解：①ax2+bx+c=0,由于题目未规定a≠0，当a=0时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程： 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ②3(x-9)2-(x+1}=1展开整理得：2x2-56x+241=0,则②是一元二次方程： ③x+3=是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程： ④(d2+1x2-a=0,由于a2≥0，则a2+1≥1，则④是一元二次方程； ⑤Vx+1=x-1是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程： ⑥x2=-10,满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程 【变式3】.(25-26九年级上山西晋城期末)已知1为一元二次方程x2-1011x+2026=0的一个根，则22-20221的 值为」 【答案】-4052 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键. 利用一元二次方程根的定义，得到2-1011=-2026，再整体代入2rP-20221=2(?-101)计算 【详解】解：1是一元二次方程x2-1011x+2026=0的一个根， ∴.2-10111+2026=0，即2-10111=-2026， ∴.22-2022t=2(t2-1011t)=2×(-2026)=-4052. 故答案为：4052 【题型二】一元二次方程的四种解法（解答基础必考） 【例2】.(24-25九年级上：辽宁朝阳期末)解方程 4 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (1)3x(x+)=2(x+): 2-ix-0. 【案1天-。号 ②5=5+2,5=52 2 2 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【详解】(1)解：3x(x+)=2x+), 移项，得3x(x+)-2x+)=0, 因式分解，得(x+)3x-2)=0, ∴.x+1=0,或3x-2=0, 2 解得：x=-1,=3, 所以方程的丙个银分别为≤=，名子 (2解：a=l6=5,e= △=8-4ac-（5-4x1x4)=4>0, ∴.方程有两个不相等的实数根， x-btB-4ac=5tv4V5±2 2a 2×1 2 5 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 3+2 5-2 .x= 2 【例3】.(26-27九年级上辽宁鞍山开学考试)解方程 (1)x2-x-12=1: (2)x2-4x-3=0. 【答案】④x=1+55=1-5 2= 2 (2)x=2+V7,x2=2-V7 【知识点】解一元二次方程一一配方法 【分析】(1)根据配方法解一元二次方程，即可求解. (2)根据配方法解一元二次方程，即可求解. 【详解】(1)解：x2-x-12=1, x2-x=13, 配方(--13+。 即士 2 4 2 (2)解：x2-4x-3=0, 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 x2-4x=3, 配方得(x-2}=3+2, (x-2}=7, 即x-2=±√7， x=2+V7,x2=2-V7 【例4】.(26-27九年级上全国课后作业)解下列方程： (1)4x2-20=0: (2)4(x+3)}2=25(x-22 【答案】()x=V5,=-V5 16.4 =3=7 【知识点】解一元二次方程一一直接开平方法 【详解】(1)解：4x2-20=0, 4x2=20, x2=5, x=±V5, 即x=5,x2=-V5； (2)解：4(x+3)}2=25(x-2)2, 7 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 2(x+3)=±5(x-2), 2(x+3)=5(x-2)或2(x+3)=-5(x-2）, 1 4 解得= 3,=7 【变式1】，(26-27九年级上全国课后作业)用适当的方法解下列方程： (1)(x+1)2=49: (2)2x2+3x-1=0: (3)x2-2x-8=0: (4(2x+3)=(3x+2)2. 【答案】(1)x=6,x2=-8 ②x=3+v7 ,53-7 4 (3)x=4,x2=-2 (④x=-1,x2=1 【知识点】解一元二次方程一一直接开平方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【详解】(1)解：直接开平方法： x+1=7, 六x=6,x2=-8」 (2)解：公式法： 8 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 △=32-4×2×(-1)=17. x=-3t公-3±7 2×2 ,3+7 4· (3)解：因式分解法： (x-4)(x+2)=0, .x=4,2=-2 (4)解：移项，平方差公式： (2x+3)2-(3x+2)2=0. [(2x+3)+(3x+2)][(2x+3)-(3x+2)]=0, 5(x+1)(-x+1)=0, x+1=0或-x+1=0, .x=-1,2=1 【变式2】.(26-27九年级上·全国课后作业)用公式法解下列方程： (1)x2-8x-5=0: (2xx-4v2)+8=0: 3)(3x-5)(x-2)=1: (4x(x+6)=2(x-8)」 9 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【答案】(x=4+V21,为2=4-V2i (2)x=x2=2V2 )x=11+3 .11-3 6，3= 6 (4)方程无实数根 【知识点】公式法解一元二次方程 【详解】(1)解：x2-8x-5=0 a=1,b=-8,c=-5 △=b2-4ac=（-8)2-4×1×(-5)=84 x=(-8Ev84_8±22-4t2 2×1 2 解得x=4+V21,x2=4-V21: (2)解：xx-4v2)+8=0 整理得，x2-4√2x+8=0 a=1,b=-4vV2,c=8 △=b2-4ac=（-4v2-4×1x8=0 -（42)±0」 ∴x= -=2√2 2×1 解得，=x=22: 10 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (3)解：(3x-5)(x-2)=1 整理得，3x2-11x+9=0 a=3,b=-11,c=9 △=b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13 x=-I)±i311±3 2×3 6 解得x=1+3 6 5-1 6 (4)解：x(x+6)=2(x-8) 整理得，x2+4x+16=0 a=1,b=4,c=16 △=b2-4ac=42-4×1×16=-48<0 .方程无实数根。 【变式3】，(25-26九年级上贵州遵义·期中)阅读材料，解答问题. 解方程：(4x-1)-10(4x-)+24=0. 解：把4r-1视为一个整体，设4x-1=y, 则原方程化为y2-10y+24=0, 解得=6，y2=4. ∴.4x-1=6或4x-1=4. 11 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考期中期脉 7 5 =4,= 4 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想， 请仿照材料解下列方程： (1)x4-3x2+2=0 (2(x2-2x}-5x2+10x-6=0 【答案】() x=1,x=-1,为=2，x=-V2 (2) x=1+V7,为2=1-V7,x=x4=1 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键. (1)设y=x,将方程转化为关于y的一元二次方程求解，再解关于x的方程： (2)设y=x-2x,将方程转化为关于y的一元二次方程求解，再解关于x的方程. 【详解】(1)解：设y=x,则原方程化为y2-3y+2=0, ∴(y-1)y-2)=0. ∴y-1=0或y-2=0 ∴y=1或y=2, x2=1或x2=2, 12 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 :原方程的解为x=1,x2=小，x=V2,x4=-√2： (2)解：原方程为(x2-2x-5x2+10x-6=0, 即(x2-2x}-5(x2-2x-6=0, 设y=x2-2x,则原方程化为y-5y-6=0, ∴.(y-6)(y+1)=0, ∴y-6=0或y+1=0, ∴y=6或y=1, ∴x2-2x=6或x2-2x=-1, 对于x2-2x=6,即x2-2x-6=0. :△=（-2)-4×1×(-6)=4+24=28， x-2±28_2±25-1±7. 2 2 对于x2-2x=-1,即x2-2x+1=0, (x-1)2=0, x3=x4=1, :原方程的解为x=1+V7,龙=1-V万，为=x=1. 【题型三】根的判别式应用（选择、填空、解答高频） 【例5】，(26-27九年级上·全国·课后作业)一元二次方程a2+bx+c=0有两个实数根，则根的判别式的值应是 13 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 A.正数 B.负数 C.非负数 D.零 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】明确一元二次方程的两个实数根包含相等与不等两种情况，结合根的判别式的取值范围判断. 【详解】解：一元二次方程a2+bx+c=0有两个实数根， 包括两个相等实数根和两个不相等实数根两种情况， 当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式b2-4ac>0. 当方程有两个相等的实数根时，根的判别式b2-4ac=0. 综上，根的判别式的值为非负数。 【例6】.(2026广东佛山一模)不解方程，判断一元二次方程2x2+5=7x的根的情况是 【答案】有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可. 【详解】解：一元二次方程2x2+5=7x .2x2-7x+5=0 .△=(-7)2-4×2×5=9>0 ∴.方程有两个不相等的实数根。 【变式1】.(26-27九年级上全国课后作业)关于x的一元二次方程3x2-4x+2=0中，根的判别式b2-4ac的值为 14 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 A.8 B.12 C.-8 D.-12 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据一元二次方程根的判别式公式计算即可得出结果. 【详解】解：在方程3x2-4x+2=0中，a=3,b=-4,c=2, 故b2-4ac=(-4)}-4×3×2=16-24=-8 【变式2】.(25-26九年级上·甘肃张掖阶段检测)定义新运算，对于任意实数m、n有m☆n=mn-m-n,则方程 2x☆(x+)=0的根的判别式的值为 【答案】9 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练根的判别式△=b2-4ac是解题关键.根据题意得出方程 2x☆(x+1)=0是2x2-x-1=0,再根据根的判别式公式求解即可. 【详解】解：根据题意2x☆(x+1)=2x(x+1)-2x-(x+1)=2x2-x-1=0, 则A=(-)2-4×2×(-)=9, 故答案为：9. 【变式3】.(2026四川南充三模)m为实数，关于x的方程为x2+(m-2)x+1=m. (1)判断方程根的情况. (2②)若方程的两根为七，戈，当2x-为=3时，求m的值. 15 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 【答案】()原方程总有两个实数根 (2)2或-1 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】(1)求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断： (2)求出一元二次方程的两个根，根据条件2x-x3=3列式即可求解. 【详解】(1)解：原方程为一元二次方程，可化为x+(m-2)x+1-m=0 △=(m-2)2-4×1×1-m) =m2-4m+4-4+4m =m2. 无论m为何实数，m都是非负数.即△≥0. ∴原方程总有两个实数根。 2②)解：由1)，原方程的根x=m-2壮m 2 ∴.x=1或x=1-m 若2x1-(1-m)=3,则2-1+m=3, m=2. 若2(1-m)-1=3,则2-2m-1=3, .m=-1 综上，m的值为2或-1. 16 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【题型四】根与系数的关系（韦达定理)（中档必考） 【例7】.(26-27九年级上全国课后作业)已知方程x2-4x-7=0的两根为：，x,则x+龙3=一，= 【答案】 -7 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 b 【分析】对于一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)，若两根为x,七，根据根与系数的关系可得，+名= a 【详解】解：：方程为x2-4x-7=0, .a=1,b=-4,c=-7, 6+3s b_-4 。=-1三4，x2=元=7、7 【例8】.(26-27九年级上·福建福州阶段检测)“若一元二次方程2+bx+c=0的两个实数根分别为、x2,则 。,·为。”此定理是由法国数学家弗朗索瓦韦达在16世纪赛出的，因此得名“韦达定理”·若 x2是一元二次方程(x-1(x-2)=m的两个实数根，求证：(：-(x2-1)≤0 【答案】证明：：(x-)(x-2)=m 整理得，x2-3x+2-m2=0, 白市达宠理可：+5=子了-3.5=2气-2-心 1 ∴(x-(x2-) =xx2-(x+x2)+1 =2-m2-3+1 17 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 =-m2 -m2≤0， .(:-1(:-1)≤0 【知识点】计算多项式乘多项式、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】首先由“韦达定理”得x+x=3,x6=2-m,然后将(x-x2-)展开后代入证明即可. 【详解】略 【变式1】，(26-27九年级上全国课后作业)设，x2是一元二次方程2x2-5x+1=0的两个根，利用根与系数的关系 求下列各式的值： (①)x+x2-x2; (②+号： 1,1 3x 【答案】(1)x+x32-xx2=2 四+号斗 1+L=5 3)xx 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、异分母分式加减法、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】(1)根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解， (2)根据完全平方公式变形，即可求解. 18 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 (3)先进行分式的加法计算，再代入求值. 【详解】(1)解：，x2是一元二次方程2x2-5x+1=0的两个根 5 1 x+名=22 51 +-5222: （2解：+-分 5 ..x+x =(x+x2)2-2x5 251 4 21 4 1 (3)解：：+=2= 2 1,1_+ 2=5 【变式2】.(25-26九年级上：广东韶关期末)【阅读材料】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两 根为x:则+=台，（马一日这就是一元二次方程根与系数的关系。根据上述材料，结合你所学的知识， 完成下列问题： ()【材料理解】一元二次方程2x2-5x-1=0的两根为，，则+x=一，x= 19 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (②【类比运用】已知关于：的一元二次方程-(2k+)x+2-2=0.若方程的两个实数根为5,5，清足 x+x2=2xx2+5,求k的值. 51 【答案】)2,2 (2)k=0或k=2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，关键是熟练应用知识点解题： (1)根据根与系数的关系求解即可： (2)根据根与系数的关系求解即可. 【详解】(1)解：a=2,b=-5,c=-1. 1 x+525=2 51 故答案为：22 (2)解：方程的两个实数根为x,x2, k2-2, .x+五=2k+l,x3=2 x+2=2xx2+5. 2+1=22-25. 即：k2-2k=0」 20 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 k(k-2)=0 解得：k=0或k=2, a[-(2+-4-2小-2+k+930. ∴.所求k值均符合题意。 【变式3】，(25-26八年级下江苏苏州期末)我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于x的一元二次方程a+r+c=0a≠0)的两个根是5，5，那么可推出+5=-台，5。，请运用这一结论， 解决下列问题： 【问题提出】 (①)若a,P是方程x2-4x+1=0的两根，则a+B=_,aB=_,(2a+l(2B+)=_: 【问题探究】 (2)如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根是x=2,名=3，那么关于y的一元二次方程 (2y-1)+b(2y-1)+c=0是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于x的方程x+bx+c=0(a≠0)的两根之和是p,两根之积是9，请求出关于1的方程 a(2t+)2+b(2t+1)+c=0(a≠0)的两根之积的值（用字母p,9表示）· 【答案】(1)4,1,13 (②)有实数根，方程的解为片=2，为=2 21 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 3)9-p+1 4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】(1)利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可： (2)设u=2y-1,则关于y的方程(2y-1)+b(2y-)+c=0可化为W2+bu+c=0,再利用题干给出的一元二次方程 根与系数关系求解即可； (3)设原方程ax2+br+c=0(a≠0)两根为，x2,得到x+为=p,x书=9，设关于t的方程两根为45，令x=2+1, 25*支1 得到4=戈-1 2，进而进行求解即可 【详解】(1)解：a,P是方程x2-4x+1=0的两根，a=1,b=-4,c=1. 根据根与系数关系，符a+月=合-手-4=日十 a 1 .(2a+I)(2B+l)=4ap+2a+2p+1=4ap+2(a+B)+1=4×1+2×4+1=13: (2)解：设u=2y-1,则关于y的方程(2y-旷+b(2y-1)+c=0可化为w2+bu+c=0, 方程x2+bx+c=0两根为X=2,x2=3, .41=2,42=3, 当u=2时，2y-1=2 3 解得= 2 当4=3时，2y-1=3, 解得2=2 22 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 3 “该方程有实数根，根为少=2，为=2 (3)解：设原方程2+br+c=0(a≠0)两根为，， 由题意，得+x2=卫，x2=9, 设关于t的方程两根为，4，令x=21+1, 变形得=号，则号6= x-1 2 两根之积： 4=s-9儿s-)_西-6+)19=p+ 4 4 4 9-p+1 两根之积为4一 【题型五】一元二次方程实际应用题（解答压轴基础） 【例9】·(26-27九年级上全国课后作业)某地有两人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，每轮传染中 平均一个人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了6个人 【知识点】传播问题（一元二次方程的应用） 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得2+2x+x(2+2x)=98,解方程即可. 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得2+2x+x(2+2x)=98 21+x)2=98 23 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 1+x)2=49, 1+x=7或1+x=-7 解方程，得X=6,X=-8(舍去)， 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人， 【例10】.(26-27九年级上全国课后作业)某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下 降，三月份的生产成本是289万元，假设每月生产成本的下降率相同.求每月生产成本的下降率. 【答案】每月生产成本的下降率为15% 【知识点】增长率问题（一元二次方程的应用） 【分析】设每月生产成本的下降率为x,根据题意，得400(1-x=289,解方程求解即可. 【详解】解：设每月生产成本的下降率为x,根据题意，得400(1-x=289, 故1-x=±17 209 解得x三0三15%，x=185(舍去) 答：每月生产成本的下降率为15%. 【例11】，(26-27九年级上·全国课后作业)如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm,宽30cm,正中央是一个 与整个封面长、宽比例相同的矩形画.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的5，上、下边衬等宽，左、右边衬 等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ 24 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【答案】上、下边衬的宽分别为20-85)cm,左、右边衬的宽分别为15-6V5)m 【知识点】与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【分析】由题意设中央的矩形的长和宽分别是4xcm和3xcm,要使四周的边衬所占面积是封面面积的，则中央矩形 的面积是封面面积的5，由此列出方程即可求解。 【详解】解：，封面的长、宽之比为4：3，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画， 中央的矩形的长、宽之比也应为4：3， 设中央的矩形的长和宽分别是4xcm和3xcm, 由题意得4x3x=。×40×30 整理得x2=80, 解得x=4W5或x=-4W5(不符合题意，舍去)， 40-16V5 则上、下边衬的宽分别为2 =(20-85)cm,左、右边衬的宽分别为2 30-125-15-65)em 【例12】.(23-24九年级上·全国·单元测试)一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须 在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间 1(S)和运动员距离水面的高度h(m)满足关系：h=10+2.51-52,那么他最多有多长时间完成规定动作？（结果保留根 号) 25 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【答案】 1+v17 4 【知识点】图表信息题（一元二次方程的应用） 【分析】由题意可得，把函数值5直接代入关系式即可求得的值，注意负值舍去 【详解】解：由题意可知，将5代入关系式中， 得到：10+2.51-52=5， 整理即：212-t-2=0 解得：44 4(负值舍去)， 1+17 答：运动员完成动作的时间最多不超过4一秒。 【点睛】本题考查一元二次方程的解法及应用，关键是读懂题意，将距离水面的最大值-5代入函数关系式，就可 以求出时间的最大值. 【变式1】，(26-27九年级上·全国课后作业)凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、 钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色.某种泥塑的制作成本为30 元件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件.若在此基础上每件泥塑的售价 每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件.该店为使月销售利润达到6000元，而且 尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元件？ 【答案】该泥塑的售价上涨10元/件 【知识点】营销问题（一元二次方程的应用） 【分析】根据月销售利润达到6000元列出一元二次方程并解方程，再根据题意即可得到答案. 【详解】解：根据题意得：(40+x-30)(400-10x)=6000, 26 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 解得x=10,x2=20 又要尽可能让顾客得到实惠， ∴.x=10」 答：该泥塑的售价上涨10元/件。 【变式2】.(26-27九年级上全国单元复习)如图所示，在△ABC中，AB=60厘米，BC=80厘米，∠B=90°，点 P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2 厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果卫、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，△PB的面积等于100 平方厘米？ 【答案】经过30-20W2)秒或57.5秒，△PBQ的面积等于10平方厘米 【知识点】动态几何问题（一元二次方程的应用） 【分析】设运动时间为秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可. 【详解】解：设运动时间为t秒， 当0<1≤40时，依题意，得2(60-)×21=100 601-12=100 解得4=30-20W2,4=30+20W2(不合题意，舍去)： 27 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 当40<1<60时，依题意，得2×80×(60-)=100 2400-401=100 解得1=57.5 :经过(30-20N2)秒或57.5秒，△PBQ的面积等于100平方厘米. 【变式3】.(2026江苏无锡二模)如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框 框出3个数， 日一二三四五六 2345678 910:1112131415 16171819202122 2324;2526272829 3031 (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为_： (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112.”小 亮反驳道：“这种情况是不存在的.”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由. 【答案】(1)123 (2)小亮说法正确，理由见解析 【知识点】数字问题（一元二次方程的应用） 【分析】(1)根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可： (2)设两人框的中间相同的数为x,根据题意列方程并解方程即可. 【详解】(1)解：当小明框出3个数为24,25,26，小亮框出3个数为17,24,31，此时他俩框出数的总和最大， 28 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ∴.最大值为24+25+26+17+31=123： (2)解：小亮的说法是正确的. 理由：设两人框的中间相同的数为x, 则可得方程(x-1)(x-7)=112, 即x2-8x-105=0, 解得=-7（负数舍去），x2=15, 但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去， 因此小亮说法正确。 【变式4】，(25-26九年级上·全国周测)如图，甲、乙从直径的两端点A、B分别按顺时针、逆时针的方向同时沿 圆周运动，甲运动的路程1cm与时间16)之间清足关系式1=+≥0)，乙以4om1s的速度匀速运动，半圈的 2 2 长度为21cm 甲A ()甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】()甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3$： (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s 【知识点】行程问题（一元二次方程的应用） 29 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21c,列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可 【详解】解：(1)由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm 3 E)2+1+4t=21, 解得4=3，=-14（不合题意，舍去） 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s (2)由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度 )2+31+41=3×21马 2 解得=7,5=-18（不合题意，舍去）· 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7$ 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键 【变式5】.(26-27九年级上全国课后作业)按要求完成下列各题： ()南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问 应该邀请多少支球队参加比赛？ (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行 110场比赛，求有多少支球队参加比赛. 【答案】(1)应该邀请6支球队参加比赛 (2)有11支球队参加比赛 30 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】(1)设应该邀请x支球队参加比赛，根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； (2)根据题意的数量关系列出一元二次方程即可. 【详解】(1)解：设应该邀请x支球队参加比赛， 赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛， 2(x-0=15 整理得，x2-x-30=0, 解得：=6，x=-5(不符合题意，舍去)， 答：应该邀请6支球队参加比赛， (2)解：设有y支球队参加比赛， :所有球队直接进行双循环赛，总共进行110场比赛， ∴.y0y-1)=110 整理得，y2-y-110=0. 解得，片=11，乃=-10（不符合题意，舍去）， 答：有11支球队参加比赛. 【题型六】二次函数概念与解析式辨析（基础选择） 【例13】·(26-27九年级上全国周测)下列各式中，y是x的二次函数的是() A.y=2x B.y=x3+1 C.y=x2+x D.y=3(x-1D(x+1)-3x2 【答案】C 31 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【知识点】二次函数的识别 【分析】依据二次函数的定义判断是否符合条件，需要化简的要化简为最简形式再判断. 【详解】解：A、y=2x中x的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意： B、y=x+1中x的最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； C、y=x+x符合二次函数要求，是二次函数，符合题意： D、化简得y=3(x2-)-3x2=-3,为常数函数，不是二次函数，不符合题意。 【变式1】，(26-27九年级上全国单元复习)下列函数中，一定是二次函数的是() 1 A.y=x(x-1) B.y=(x+42-x2 c.y=2 D.y=a2+6 【答案】A 【知识点】识别一次函数、二次函数的识别 【分析】明确二次函数的定义：形如y=r+br+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数是二次函数，以此为判断依 据，对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式，逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且 二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是 【详解】解：对选项A,y=x(x-)=x-x,是二次函数. 对选项B,y=(x+4)2-x2=8x+16,是一次函数，不是二次函数 对选项C,y=文是分式，不是整式，故不是二次函数： 对选项D,当a=0时，y=6是常数函数，不一定是二次函数」 【变式2】.(26-27九年级上北京课前预习)下列函数中，属于二次函数的是() 32 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 A.y=-6x+1 B.y=2x2_1 C.y=-x(2-x) D.y=22-2x 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件. 【详解】解：A、y=-6x+1,自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意： B、y=2x含分式，不是雪次函数。不符合题爵 C、y=-x(2-x)=x-2x,是二次函数，符合题意： D、y=2-2x=4-2x,自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意。 【变式3】.(26-27九年级上·全国课后作业)若函数y=a(a+l)x2+1是关于x的二次函数，则a的值不可能是 ) A.-2 B.-1或0 C.1 D.4 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义知，a(a+)≠0，解得a的值，在选项中逐个排除即可. 【详解】解：函数y=a(a+)x+1是关于x的二次函数， .a(a+l)≠0 ∴.a≠0且a≠-1. 33 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【题型七】二次函数图像与性质（高频重难点） 【例14】.(26-27九年级上福建福州阶段检测)关于二次函数y=(x-)+2的图象，下列描述错误的是() A.该抛物线开口向上 B.当x=1时，y有最小值2 C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.当x>1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【知识点】y=a(x-h)2+k的图象和性质 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项， 【详解】解：二次函数解析式为y=(x-)+2,a=1>0. ∴，抛物线开口向上，抛物线顶点坐标为（山，2），对称轴为直线x=1,A正确。 ∴.当x=1时，y有最小值2，B正确. 抛物线开口向上，对称轴为直线x=1, ∴，当x<1时，y随x的增大而减小，C正确 ∴.当x>1时，y随x的增大而增大，D错误。 【变式1】.(26-27九年级上福建福州阶段检测)已知4(-3，），B(-2,2),C(2,为)三点均在抛物线 y=-x2-2x+c上，则y,y,的大小关系为() A.片>y2>53 B.y2>y>为 C.y3>y2>y D.无法判断 【答案】B 【知识点】求自变量的值或函数值、y=ax+bx+c的图象与性质 34 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得少，2，，再比较大小即可求解。 【详解】解：将x=-3代入y=-x2-2x+c,得y=-(-3)-2×(-3)+c=-9+6+c=-3+c, 将x=-2代入，得y2=-(-2)2-2×(-2)+c=4+4+c=c, 将x=2代入，得为=-2-2×2+c=4-4+c=-8+c, .c>-3+c>8+c, 2>>. 【变式2】.(26-27九年级上全国单元复习)老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个 性质.甲：函数图象的顶点在x轴上：乙：当x<1时，y随x的增大而减小：丙：该函数图象的形状与函数y=x的 图象相同.己知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式： 【答案】y=(x-1(答案不唯一) 【知识点】y-a(x-h)2的图象和性质 【分析】根据三个性质确定二次函数的解析式形式和参数取值范围，即可写出符合要求的解析式. 【详解】解：，函数图象的顶点在x轴上， ∴.设二次函数的解析式为y=a(x-h), ,该函数图象的形状与y=x的图象相同， a=1, :当x<1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴.a>0, 35 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 .a=1,且对称轴x=h之1， .取h=1,可得满足所有性质的二次函数为y=(x-1)2 【变式3】.(26-27九年级上全国课后作业)已知抛物线y=(x-a)的对称轴为x=1. (1)求a的值： (2)若点M(,),N(x2,y)都在此抛物线上，且-1<x<0,1<x<2,试比较与的大小，并说明理由. 【答案】(1)a=1 (②)>2，理由如下： :抛物线y=(x-a的二次项系数为1>0， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大， -1<x<0,1<x2<2. 1<1-x<2,0<x2-1<1. ∴点M(:,)到对称轴的距离大于点N(2,2)到对称轴的距离， >y2. 【知识点】y=a(x-h)2的图象和性质 【分析】(1)根据抛物线的性质求解： (2)首先判断出抛物线开口向上，得到抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大，然后结合1<，<0,1<，<2求 解即可. 36 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【详解】(1)解：抛物线y=(x-a的对称轴为x=1, a=1: (2)略 【题型八】二次函数图像平移与对称（填空必考） 【例15】.(26-27九年级上全国课后作业)将抛物线y=2(x+)-3先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位 长度，得到的抛物线的解析式为 【答案】y=2(x-2)2+1 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据二次函数图像平移规则“左加右减，上加下减”，按平移顺序依次计算即可得到结果. 【详解】解：将抛物线y=2(x+)-3先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得到的抛物线的解析式为y=2(x-3+1)2-3+4=2(x-2)}+1. 【例16】.(2025九年级上山东青岛专题练习)将二次函数y=x2+bx+c的图象整体平移，使其顶点移至(-山，5)的 位置，则平移后的解析式为一 【答案】y=(x+1)+5 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移不改变二次项系数，并结合新顶点写出顶点式即 可 【详解】解：根据题意，得平移后的解析式为y=1[x-(-)]了+5=(x+)+5, 故答案为：y=（x+1)+5 37 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛二 【变式1】.(26-27九年级上全国课后作业)将抛物线y=ax2+bx-2(a,b是常数，a≠0)向下平移2个单位长 度后，得到的新抛物线恰好和抛物线y=r+x-4关于y轴对称，则a= —b= 1 【答案】 2'0.5 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、坐标与图形变化一一轴对称 【分析】先根据平移规律得到原抛物线平移后的表达式，再求出已知抛物线关于y轴对称的抛物线表达式，对比系数 即可得到a和b的值. 【详解】解：：原抛物线y=2+bx-2向下平移2个单位长度， ∴.平移后得到的抛物线为y=ax2+br-2-2=ar2+bx-4, 关于y轴对称的抛物线，横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴.只需将原抛物线中的x替换为一x, “抛物线y=+x-4关于y轴对称的抛物线为y-+(-)-4=-x-4, ,平移后的抛物线与轴对称后的抛物线是同一个抛物线， 1 :对比对应项的系数可得4=2，b=-1 1 【变式2】.(26-27九年级上全国课后作业)怎样移动抛物线y-2可以得到抛物线y=--1? 答：把抛物线y= 先向右平移—个单位长度，再向一平移一个单位长度，可以得到抛物线 y=二(x-1)2-1 2 【答案】 下 38 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”即可求解 【详解】解：抛物线》=2先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，可以得到抛物线y=(x--1, 【变式3】.(25-26九年级上北京期中)已知二次函数y=am+(b+1)x+b和一次函数y=x+1. (I)若对任意实数b,上述两个函数图像，总有两个相异交点A,B,求a的取值范围： (②)在(1)的条件下，若二次函数y=2+(b+)x+(b-)图像上M,N两点的横坐标，分别等于A,B的横坐标，且 1 M,N两点，关于直线y=-kx+ +2a+1对称，求b的最小值. 【答案】(1)0<a<1 4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一次函数与几何综合、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、其他 问题（仁次函数综合） 【分析】(1)令两个函数的函数值相等，得到一个关于x的一元二次方程，有两个交点意味着这个方程的判别式大 于0，从而得到a和b之间的关系.利用二次函数的性质，进一步求出a的取值范围： 1 1 (②)由对称的性质可得，线段Mw的中点在直线y=-+2+上，且MN与直线y=-c+2+垂直，从而得到a 和b之间的关系，利用韦达定理求出b的最小值. 【详解】(1)解：当两个函数图象相交时， x2+(b+I)x+b=x+1, 化简得，ax2+bx+b-1=0, 39 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考期中期脉 两个函数的图像有两个相异交点A,B, .方程的判别式△=b2-4ac>0, 代入得，b-4a(b-1)>0, 化简得，b2-4ab+4a>0, 设s=b2-4ab+4a,则该函数可以看作3关于b的二次函数， 由题意可知，对任意实数b,该二次函数的函数值均大于0，即其最小值大于0， 由顶点公式可得，s=b2-4ab+4a的对称轴为直线x=2a, 当b=2a时，函数取最小值(2a2-4a2a+4a=-4a2+4a, ∴.-4a2+4a>0, 化简得，a(a-l)<0. 当a<0时，a-1>0,即a>1,该不等式无解： 当a>0时，a-1<0,即a<1, 综上所述，0<a<1: (2)解：设点A横坐标为，点B横坐标为x,点M纵坐标为，点N纵坐标为2， ,点M和点N的横坐标分别等于点A和点B的横坐标， 点M的坐标为(：，)，点N的坐标为(2，y), 点A和点B是两个函数的交点， ∴.和x2是方程ax2+bx+b-1=0的解， 40 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 b-1 由韦达定理可得。马+名=名，化=么 a, 出完全平为就形.+-+-2(22-24， a ,点M,N在二次函数y=ax+(b+)x+(b-)图象上， 点M的坐标为(，a+(b+l)x+b-),点N的坐标为(，a+(b+1)x2+b-l, 设直线MN的函数解析式为y=Kx+m, 代入点M和点N的坐标得， ax2+(b+1)x+b-1=kx+mD ac,2+(b+1)x2+b-1=kx2+m② 将①-②得，K(x-x)=(x+x)(x-x)+(b+1(x-x), 由于x≠x2,故两边同除以(x-x)得，K=a(x+x)+b+1, 将气+与=名代入得，K=-合a+b+1=1, a 设点M和点N的中点为点E, 由中点公式可得，X=十立=-力 2 2a' (b2-2ab+2a .=乃+2=a(+5)+(b+3+x)+2b-2 a 46+8）+2-2 2 2 2 2a (bb ∴点E的坐标为2a2a ,点E也在直线MN上， 41 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 bb ·2020+m,解得，m=0 ∴.直线MN的函数解析式为V=x,此直线为一三象限的角平分线所在的直线，与之垂直的是二四象限的角平分线所 在的直线，即直线少=-x, 1 ,点M和点N关于直线y=-+ 2a2+1对称， 直线MN与直线y=-c+2a+垂直，同时点B在直线y=-c+, 2a2+1上， 1 “直线y=-+2+1与直线y=-x平行， 1 心k=1y即y=-x+ a2+1' 将点B的坐标代入得，一2a2a2d+1' 化简得，2ba2+a+b=0, 把它当作以a为主元的一元二次方程，则其判别式△≥0， 1-8盼0即 8 W2o. 1 由韦达定理可得，4+4=一2方： 由(1)得，0<a<1, .4>0,a2>0 42 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 26=4+8>0,解得，6<0 .b=-b, 代入①得，b≤2 ，即b-2 41 当b=一 2 时，a= 岭 4 2 符合题意， 6的最小值为2 4· 【点睛】本题是函数的综合题，考查二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，轴对称的性质以及一元二次方 程的根与系数的关系，掌握函数与方程之间的关系是解题关键. 【题型九】图像系数符号判断（中档选择压轴） 【例17】.二次函数y=ar+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac<0;②3a+c=0;③当x>-1时，y随x的增 大而减小.其中正确的有() A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】C 【知识点】y=x+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【详解】解：①，抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴.a>0,c<0,∴ac<0,结论①正确： 43 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ②，抛物线对称轴为直线x=1, b =1 2a ∴.b=-2a ,抛物线经过点（1,0)， ∴a-b+c=0, ∴a+2a+c=0,即3a+c=0,结论②正确； ③，抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x=1, ∴.当x<1时，y随x的增大而减小，结论③错误. 综上，正确的有①②，共2个， 故选C. 【例18】.(26-27九年级上全国课后作业)己知二次函数y=2+bx+c的图象如图，有下列结论：①abc>0;② 8a+c>0:③9a+3b+c<0,其中正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】D 【知识点】yx+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交y轴于负半轴分别得出a,b,C的大小，进而解答①： 44 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 再根据①可将抛物线的解析式化为y=a2-2ax+c(a≠0），然后根据x=-2时，y>0解答②；接下来根据抛物线的对 称性可知：（-1,0)关于对称轴的对称点是(3,0)，再结合当x=-1时，y<0,所以当x=3时，也有y<0,即可解答③ 【详解】解：由抛物线开口向上得a>0: 抛物线的对称轴为n1,则6：20’故6<03 2a ,抛物线交y轴于负半轴得C<0, ∴.abc>0,故①正确： 根据①可将抛物线的解析式化为y=m2-2ax+c(a≠0)， 由函数的图象知，当x=-2时，y>0,即4a-（4a)+c=8a+c>0,故②正确： 根据抛物线的对称性可知：（一1,0)关于对称轴的对称点是(3,0)， 当x=-1时，y<0 所以当x=3时，也有y<0,即9a+3b+c<0,故③正确. 所以正确的有3个。 【例19】.(2024广东清远二模)如图，抛物线y=2+br+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称.下列五个结 论：①abc>0;②la+q<b;③4a+2b>-1;④am2+bm≤a+b:⑤3a-c<0.其中正确的有() 45 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 y 4 3 2 -2-10123 3 .4 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】B 【知识点】y=x+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、 y=ax+bx+c的最值 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断①：由抛物线的对称轴得到4a+2b=0,即可判断 ③：由当x=1和当x=-1时的函数值即可判定②：由抛物线的最大值即可判断④；由a<0,c>0得到3a<0,-c<0 即可判断⑤. 【详解】解：由图象的开口向下得到a<0, b 对称轴为2 b=1,则2a 0,即b>0' 抛物线与y轴交于正半轴，则c>0, ∴.abc<0,故①错误； b 1得到b=2a,即2a+b=0则4a+2b=0 由2a .4a+2b>-1, 故③正确： 46 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 当x=1时，抛物线有最大值为y=a+b+c>0,则-(a+c)<b 当x=-1时，y=a-b+c<0,则(a+c)<b: 综上可知，a+d<b,故②正确： 当x=1时，抛物线有最大值为y=a+b+c: 当x=m时，抛物线y=am2+bm+c, ∴.am2+bm+c≤a+b+c,则am2+bm≤a+b,故④正确： a<0,c>0, ∴.3a<0,-c<0, ∴.3a-c<0, 故⑤正确： 综上所述，正确的结论是②③④⑤，共4个. 【变式1】.(2026山东济宁二模)已知二次函数y=2+br+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0; ②a-b+c<0:③4a+2b+c>0:④am+bm>a+b(m≠)，其中正确的是() A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【答案】A 47 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 【知识点】y=x+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、 y=ax+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答 的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可， 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a<0: ,对称轴为直线x=1, =1,即2a+b=0:故0正确： ,当x=1时，图象在x轴下方， .y=a-b+c<0,故②正确： ,对称轴为直线x=1, .x=2与x=0时的函数值相等， ,当x=0时，y=c>0 ∴.当x=2时，y=4a+2b+C>0,故③正确： ,抛物线开口向下， ,当x=l时，函数取得最大值y=a+b+c, ∴.当m≠1时，am2+bm+c<a+b+c,即am2+bm<a+b,故④错误. 综上所述，正确的结论是①②③. 【变式2】.(2026山东青岛模拟预测)如图，0是坐标原点，已知二次函数y=2+bx+c(a≠0)的图象与x轴 交于A,C两点，与y轴交于B点，顶点为D,对称轴为直线x=-2,其中A(2,0),B(0,C),且-3<c<-2.以下结 48 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 2 论：①bC<0:②了<h<l,③5a+c>0:④若点(1+mm)在该函数图象上，则点(-3-m)也在该函数图象上： 以上结论正确的个数是() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】①根据函数图象进行分析二次函数的参数取值即可： ②根据对称轴得出b=4a,根据点的坐标得出参数之间的关系，即可求解： ③根据当x=1时，y=a+b+c<0,进行判断即可： ④根据抛物线的对称性进行判断即可： 【详解】解：①由抛物线图象可得，抛物线开口向上， a>0 对称轴位于y轴左侧， .a,b符号相同， .b>0 抛物线与y轴交于负半轴， 49 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 c<0: ∴.abc<0,故①正确： ②，对称轴为直线x=-2, b .2a =-2, ∴.b=4a, 将A(2,0)代入解析式得，4a+2b+c=0, 即b+2b+c=0, .c=-3b. -3<c<-2, .-3<-3b<-2, 2 <h<1,故②正确： ③由A(2,0)可得，当x=1时，y=a+b+c<0, 由②得b=4a, .5a+c<0,故③错误： ①：1+m,3-m=-2,且两个点的纵坐标相等。 2 ∴两个点关于直线x=-2对称， :点(-1+m,n)在该函数图象上， 50 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 ∴点（-3-m,n）也在该函数图象上，故④正确： 综上正确的有3个 【变式3】.(25-26九年级上湖北荆门期末)如图，二次函数y=a2+bx+c的图象经过点A(-l,2),且与x轴交点 的横坐标分别为x,x,其中-2<x<-l,0<x<1,下列结论：①a+b+c<0:②2a-b<0:③b+8a<4ac:④ a+3b<0.其中正确的结论有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【知识点】y=x+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键。 由抛物线开口向下，结合图知，当时。y<得。h+c0即可判①，由对称轴直线三名孕的取值范 4ac-b2 国，可得2a的正负，即可别断②：由做物线的对称轴直线x二名山，得4今2，进而得办十8q4 b 即可判断@：由a<02a<0,可得6<0：即可判断④. 【详解】解：①-2<x<,0<x2<1 当x=1时，y<0 .a+b+c<0,结论①正确： 51 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 ②：抛物线与x轴交点的横坐标分别为、x2,其中-2<x<-1,0<x2<1, ：-1<+五<0 2 对称轴直线x=一 b=+五 2a2 -1<-<0. 2a a<0, ∴.2a<b<0, ∴.2a-b<0;故②正确： b ③·抛物线的对称轴直线x= >-1. 2a ∴抛物线的顶点纵坐标大于2， 4ac-b2 >2 4a a<0, ∴.4ac-b2<8a, .b+8a>4ac,故③错误： ④观察图形可知：a<0, b :2a 0 b<0 52 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 a+3b<0,结论④正确. 正确的结论有①②④共3个. 故选：C 【题型十】二次函数实际应用（解答题） 【例20】.(25-26九年级全国课前预习)某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增 加产量，如果月平均增长率为x,求十月份医用防护服的产量y(万件)与x之间的函数表达式。 【答案】y=60(x+1)2 【知识点】增长率问题（实际问题与二次函数） 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以( 1+月平均增长率)的平方，即可得解. 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为y=60(x+1)2. “十月份医用防护服的产量y(万件)与x之间的函数表达式为：y=60(x+1. 【例21】，(26-27九年级上全国课后作业)春节贴春联是中国的传统习俗，在春节来临前，某超市购进一种春联， 每副春联的进价是20元，并且规定每副春联的售价不少于25元，不超过38元.根据以往的销售经验，当每副春联的 售价定为25元时，日销售量为250副，每副春联的售价每提高1元，日销售量减少10副.当每副春联的售价定为多 少元时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ 【答案】当每副春联的售价定为35元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【知识点】销售问题（实际问题与二次函数） 【分析】设每副春联的售价为x元，日销售利润为少元，其中25≤x≤38，根据题意列出y关于x的二次函数，结合二 次函数的性质计算即可得出结果 53 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【详解】解：设每副春联的售价为x元，日销售利润为y元，其中25≤x≤38， 由题意得y=(x-20)[250-10(x-25)]=(x-20)(500-10x)=-10x2+700x-10000=-10(x-35)}+2250, -10<0,且25≤x≤38， ∴.当x=35时，y取得最大值为2250， 即当每副春联的售价定为35元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元. 【例22】.(26-27九年级上全国课后作业)如图所示，一个矩形的长为4cm,宽为3cm,如果将这个矩形的长与 宽都增加xcm,那么这个矩形的面积增加心m2.求y与x之间的关系式. 4cm xcm 3cm xcm 【答案】y与x之间的关系式为y=x2+7x. 【知识点】图形问题（实际问题与二次函数） 【分析】根据题意得，变化后的矩形的长为(4+)cm,宽为3+)cm,然后列式计算即可. 【详解】解：根据题意得，变化后的矩形的长为(4+x)cm,宽为(3+x)cm, .y=(4+x)(3+x)-4×3=12+7x+x2-12=x2+7x 【例23】.(25-26九年级上：宁夏固原期末)在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,动点E从点A出发，以每秒1个 单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接EP, ED,PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0<x≤3)，解答下列问题. 54 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 D B P (I)设△EPD的面积为S,用含x的函数关系式表示S:当x为何值时，S有最小值？最小值是多少？ (2)是否存在x的值，使得EP⊥DP?试说明理由 【答案】0S=2-2x+60<x5》:当x=2时，S4 ②存在，x=7-3 2时，EP1DP 【知识点】与图形有关的问题（一元二次方程的应用）、图形运动问题（实际问题与二次函数）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，勾股定理等；能根据二次函数的性质求解是解题的关键 (少根据周形得S=3x44:方6-小分3(4-，化筒后由=次函数的性预即可求解。 (2)由勾股定理得DE2=AD+AE2=16+x,EP2=BE2+BP2=(3-x2+x2,DP2=CP2+CD2=(4-x2+9, EP2+DP2=DE2,即可求解 【详解】(1)解：矩形ABCD中， ∴∠A=∠B=∠C=90°，BC=AD=4,CD=AB=3, 由题意得，AE=BP=x, .BE=3-x,CP=4-x, 8=3x4xx0-刘-×34-动 55 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 方-2x46 -2分+4， 0,0<x3 2 .当x=2时，S最小=4； 综上.5--2x+60<x5当x=2时.34=4： (2)解：存在，理由如下： ∠A=∠B=∠C=90° DE2=AD2+AE2=16+x2, EP2=BE2+BP2=(3-x2+x2. DP2=CP2+CD2=(4-x2+9, EP⊥DP, ..EP2+DP2 DE2, (3-x+x2+(4-x2+9=16+x2, 整理得x2-7x+9=0, 解用=7西5=2亚3价 2 放当x=7-V3 2时，EP1DP 56 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【变式1】，(25-26九年级上陕西安康期中)如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的 运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m,若以点O为原点，OA所 在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线 G:y=a(x-3)+2的一部分，小静恰在点C(0,c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线 C:y=x2+x+c+1的一部分. 12 88 Ay/m C, C 衣m 图1 图2 (1)求a,c的值. (2)小林在x轴上方lm的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙 包，求n的整数值， 1 【答案】(a=-g,c=l (2)n的整数值为4,5 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题（实际问题与二次函数） 【分析】(I)待定系数法求出抛物线表达式即可求出a的值，再利用x=0,求出函数值即可求出C的值. (2)根据题意确定B的坐标范围是(5，)~(7,1)，代入坐标求出n的取值范围，根据n为整数要求解即可. 【详解】(1)解：由题意，得B(6,1) 将B(6,)代入抛物线C:y=a(x-3)}'+2,得 1=9a+2 57 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 1 解得a= 9 抛物线9y=x-3+2, .x=0时，y=1, c=1 (2)解：，小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过lm的范围内可以接到沙包， ∴此时，点B的坐标范围是(5,1)~(7，) 当抛物线C,经过点(5，)时， n 5×25+×5+1+1, 8 8 解得n 5 当抛物线C2经过点(7,1)时， x49+8x7+1+1, I=-1 8 41 解得n= . sns 4 1 1 ,n为整数， ∴.符合条件的n的整数值为4,5. 【变式2】，(2026贵州安顺二模)某校数学小组开展以“喷泉”为主题的项目式学习. 58 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【研究背景】喷泉喷出的水柱路线所在的平面与地面垂直. 【收集数据】某次喷水中，水柱的高度y(单位：m)和其与喷水口的水平距离x(单位：m)的对应值如下表. 水平距离 0 4 6 x/m 水柱高度 1 2.2 2.6 2.2 y/m 【探索发现】水柱路线是抛物线y=am2+0.8x+l的一部分. 【建立模型】 (1)y与x的函数解析式为， (2)【应用模型】水柱的高度能否达到2.7m?请说明理由. (3)保持水柱形状不变(a不变)，改变喷水角度，使水柱路线的解析式变为y=2+x+1.现在距喷水口5m处有一 竖直档板，档板高度为2m.要求水柱越过档板，且水柱落地点与档板的水平距离小于5m,求k的取值范围 【答案】(1)y=-0.1x2+0.8x+1(x≥0) (2)水柱的高度不能达到2.7m,理由如下： …y=0.1x2+0.8x+1=0.1(x-4)2+2.6, .该抛物线的顶点坐标为(4,2.6)， 0.1<0 ∴.当x=4时，y取得最大值，最大值为2.6， ∴.水柱的高度最大高度为2.6m, 59 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .水柱的高度不能达到2.7m: (3)0.7<k<0.9 【知识点】喷水问题（实际问题与二次函数） 【分析】(1)利用待定系数法解答，即可： (2)求出抛物线的顶点坐标，即可： (3)分别求出改变喷水角度后，水柱路线过点(5,2)和(10,0)时，k的值，即可. 【详解】(1)解：把点(2,2.2)代入y=a2+0.8x+1得： 4a+1.6+1=2.2, 解得：a=0.1, ∴y与x的函数解析式为y=0.1x2+0.8x+1(x≥0)： (2)略 (3)解：根据题意得改变喷水角度后，水柱路线的解析式变为y=0.1x2+cx+1, ,距喷水口5m处有一竖直档板，档板高度为2m, 档板的顶端的坐标为(5,2)， 把点(5,2)代入y=0.1x2+c+1得：-2.5+5k+1=2, 解得：k=0.7, ,水柱落地点与档板的水平距离小于5m, ∴.与档板的水平距离为5m的点坐标为(10,0)， 60 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛二 把点(10,0)代入y=0.1x2++1得：-10+10k+1=0, 解得：k=0.9, .k的取值范围为0.7<k<0.9 【变式3】.(2026河南商丘·一模)【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼， 为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动， 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.经测量，拱门的宽AB=6m,拱门最高点P到地面AB的距离为4m, AC和BD垂直于地面，高度均为lm, G ①D D H 0 B衣 图1 图2 【问题解决】 ()求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式. (2)如图2，线段EF和GH分别表示大门两侧悬挂的灯笼.已知每个灯笼的长为1.1m(含挂线)，灯笼悬挂点G,E 到最高点P的水平距离均为l.2m. ①求灯笼底端H到地面AB的距离， ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校.若货车的高为2.7m,宽为2.4m 请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点P处移动的最小水平距离： 61 宋老师数学图文制作室 $初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 若不影响进车，请说明理由（参考数据：V0.6≈0.77）. 【答案】()y=- x2+4 3 (2)①2.42m,②0.43m 【知识点】拱桥问题（实际问题与二次函数） 【分析】(1)由题意，得点D的坐标为(3,1)，点P的坐标为(0,4)，设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为 1 y=m2+4,根据D(3,1)求出a=-3,即可求出函数解析式： (2)①根据题意可知点G的横坐标为1.2，将x=1.2代入函数解析式求出点G的纵坐标，减去灯笼的长即可： ②先判断出悬挂灯笼影响进车，令y=2.7+1.1=3.8,求出此时x的值，再用原灯笼悬挂点到最高点P的水平距离减去 x的值即可 【详解】(1)解：AB=6m,O为AB的中点， ∴.A0=OB=3m 由题意，得点D的坐标为(3,1)，点P的坐标为(0,4). 设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为y=ax2+4, 将点D6)代入，得1：6如+4解得a=写 :.大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为y=-，x2+4. 3 (2)解：①：灯笼悬挂点G到最高点P的水平距离为1.2m, ∴点G的横坐标为12， 62 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 1 当x=1.2时，y=-3×1.22+4=352. 3 ∴.3.52-1.1=2.42(m） ∴灯笼底端H到地面AB的距离约为2.42m ②由①得灯笼底端到地面的距离为2.42m,且2.7>2.42， ∴悬挂灯笼影响进车 令y=2741=38:有+4=38，解得x07负恤已合去) ∴1.2-0.77=0.43(m) ∴需要将两个灯笼向大门中心点P处移动的最小水平距离约为0.43m. 【变式4】.(2026广东深圳模拟预测)综合与实践·校本研学探究一一低空无人机物资空投的数学建模 【研学背景】 某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律.若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行 轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点， 【坐标系建构】 以投放口地面竖直投影为原点O,水平投放方向为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，单位：m, 无人机物资空投数学建模示意图 63 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ◆y(m) 无人机悬停投放口顶点(0，) 4.5 1.2 实训障碍墙 物资接收区MN 0 6 10 M N x(m) (1)【初战实测个案建模】 如图，首次试飞无人机悬停投放高度为4.5m,物资水平飞行18m后在N(18,0)处落地，求本次物资飞行抛物线的函数 解析式： (2)【校准实验定点标定】如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点 P(6,3.5),求此时无人机悬停投放口离地高度： (3)【全域探究·通用建模】 为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机爽角度，建立全新通用投放轨迹：y=如2+h>0),场地 中段6≤x≤10设有高1.2m实训障碍墙；地面物资接收区为线段MN,端点M(12,0),N(18,0):要求物资全程飞越障 碍墙且不触碰，落地点落在接收区MW内（含端点M,N),求投放口高度h的取值范围. 【答案】(1)y=- x+4.5 72 (2)此时悬停高度为4米 (3)投放高度h的取值范围是2.45<h≤4.05米 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题（实际问题与二次函数） 【分析】(1)由题意设抛物线顶点式y=m+4.5(a≠0)，将落地点(18,0)代入顶点式，即可求解： (②)由题意设抛物线顶点式y=7方+h,将P(6,3.5)代入顶点式，即可求解： 64 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (3)根据落地区间12≤x≤18，得出1.8≤h≤4.05，根据越障要求：当6≤x≤10时，y>1.2,进而求得h>2.45,即 可求解， 【详解】(1)解：由题意设抛物线顶点式y=a2+4.5(a≠0)， 将落地点(18,0)代入顶点式， 得324a=-4.5. 1 解得a=一72· ∴所求解析式为y= 722+4.5 答：本次物资飞行抛物线的函数解析式为少力 x2+4.5. (2)由题意设抛物线顶点式y= 72+h,将P(6,3.5)代入顶点式， 36 得72+h=3.5, 解得h=4 答：此时悬停高度为4米。 (③)0吟y=0则80+h=0,h=0r 1 80 ,落地区间12≤x≤18， .∴.1.8≤h≤4.05 ②越障要求：当6≤x≤10时，y>1.2 02+h>12,>02+12 65 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 1 80>0 ÷当6≤x≤10时，802+12随若x的增大而增大， 当h>x=10时80r+1.2=245, .h>2.45, 由①②得2.45<h≤4.05 答：投放高度h的取值范围是2.45<h≤4.05米. 【题型十一】函数与方程的转化（数形结合核心） 【例24】.(26-27九年级上·全国课后作业)如图，已知二次函数y=x+br+C的图象经过点(1,0)，(3,0)，(0,3).利 用图象解答： (1)方程ax2+bx+c=0的解是 (2)方程ax2+bx+c=-1的解是一 (3)方程ax2+bx+c=3的解是 (4方程ac2+bx+c=-2的解的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 66 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【答案】(1)x=1,x2=3 (2)x=x2=2 (3)x=0,x32=4 (4C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】(1)根据二次函数y=2+br+c的图象经过点(L,0),(3,0),结合图象可得答案： (2)根据二次函数y=ax+bx+C的图象得出当y=l时，x的值，再检验即可： (3)根据二次函数y=a2+bx+C的图象经过点(L,0),(3,0),(0,3),结合对称性可得答案： (4)根据三次函数y=2+bx+C的图象与直线y=-2没有交点可得答案， 【详解】(1)解：，二次函数y=心2+bx+c的图象经过点(L,0),(3,0), ,方程a2+bx+c=0的解是￥=1，x=3 (2)解：由图象可得：当y=1时，x=2, 则a2+bx+c=-1的解是x=x2=2 检验：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(L,0),(3,0),(0,3), a+b+c=0 .9a+3b+c=0 c=3 a=1 解得： b=-4 c=3 67 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∴.抛物线为y=x2-4x+3」 当y=x2-4x+3=-1时， 解得：=x2=2 (3)解：二次函数y=2+br+c的图象经过点(1,0)，(3,0)，(0,3)， ∴.抛物线的对称轴为直线x 1+3=2, 2 点(0,3)关于直线x=2的对称点为(4,3)， ∴方程a2+bx+c=3的解是x=0,x2=4. (4)解：：二次函数y=2+bx+c的图象与直线y=-2没有交点， ∴.方程a心2+br+c=-2没有实数根， 【例25】.(25-26九年级上河南省直辖县级单位阶段检测)某班“数学兴趣小组”对函数y=x-2x的图象和性 质进行了探究，探究过程如下，请补充完整. (I)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m=」 5 5 -3 -2 0 1 2 3 2 2 5 y 3 m 0 5 -1 0 3 4 4 (②)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分. 68 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 3 3-式和123 -2 (3)观察函数图象，写出两条函数的性质. (④)进一步探究函数图象发现： ①关于x的方程x2-2=0实数根为 ②关于x的方程x-2=a有4个实数根时，a的取值范围是 【答案】(1)0 (2) 如图所示，即为所求： 3 10 -2 (3) 观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称， ②当x>1时，y随x的增大而增大： 40x=-2,x=0,x=2,②-1<a<0 69 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【知识点】画yax+bx+c的图象、y=ax+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应 方程根的情况 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的 关键. (1)将x=-2代入函数解析式中求出m值，即可得出结论： (2)根据表格数据，描点补充完图形： (3)根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的增减性，此题得解： (4)①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到a的取值范围 【详解】(1)解：把x=-2代入函数y=x2-2x,得y=(-2)}-2×-2=4-2×2=4-4=0, ∴.m=0: (2)略 (3)略 (4)解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点， 对应的方程x2-2=0有3个实数根， 运用数形结合思想，得关于x的方程x-2=0实数根为=-2,5=0,5=2， ②由函数图象知： 70 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 关于x的方程x-2=a有4个实数根，即函数y=x-2x与直线y=a有四个交点， 运用数形结合思想，得满足题意的a的取值范围是-l<a<0 【变式1】.(25-26九年级上·天津静海期中)二次函数y=x+br+c的图象如图所示. -3 (1)写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根； (2)写出关于x的不等式am2+br+c<0的解集： (3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=k有两个不等的实数根，求k的取值范围， 【答案】()x=1,x2=3 (2)x<1或x>3 (3)k<2 71 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值 的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集.也考查了根的判别式和抛物线与x轴的交点问题， (1)根据抛物线与x轴的交点问题求解： (2)结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可： (3)利用直线y=k与抛物线y=ax+br+C有两个交点确定k的取值范围. 【详解】(1)：抛物线与x轴的交点坐标为(L,0),(3,0),即x=1或x=3时，y=0, “关于x的一元二次方程a2+bx+c=0的两个根为x=l,五=3， (2)当x<1或x>3时，y<0 关于x的不等式a2+r+c<0的解集为x<1或x>3: (3),抛物线顶点的纵坐标为2， .直线y=2与抛物线y=ax+bx+c只有一个交点， .当k<2时，直线y=k与抛物线y=r2+bx+c有两个交点， 即k<2时，关于x的一元二次方程a心+bx+C=k有两个不等的实数根， :k的取值范围为k<2. 【变式2】.(2024广东模拟预测)在人类用智慧架设的无数条从已知通向未知的道路中，方程求解是其中重要的 段路程.虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.我们熟悉的 求一元二次方程的解，既可以利用二次函数的图象估算近似解，也可以用配方法、公式法、因式分解法等方法求出精 确解.现以方程2x+x一2=0举例简述估算和精确计算分别是如何操作的： (1)【估算】我们通过下列步骤估计方程2x2+x-2=0的根所在的大致范围. 72 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 第一步：问题转化：方程2x2+x-2=0的根即为函数y=2x2+x-2与x轴的交点横坐标： 第二步：由以往的学习经验可以判断出函数y=2x2+x-2的图象是一条连续不断的曲线： 第三步：因为当x=0时，y=-2<0,当x=1时，y=1>0,所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在0,1之间， 所以可确定方程2x2+x-2=0的一个根所在的范围是0<x<1: 第四步：仿照第三步，可以估计2x2+x-2=0的另一个根x2所在的大致范围. 回答问题：请完成第四步，估计2x2+x-2=0的另一个根x2在哪两个连续的整数之间； (2)【精算】：请你选用配方法、公式法、因式分解法中的一种方法求出2x2+x-2=0的精确解： (3)已知函数y=x-2x+1的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有三个交点，其中两个交点在x轴的正半轴上， 个交点在x轴的负半轴上，请你仿照上面材料中的【估算】方法，估算方程：x-2x2+1=0的负根在哪两个连续整数 之间. 【答案】(1)在-2，-1之间 -1 44 (3)在-1,0之间 【知识点】解一元二次方程一一配方法、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、一元二次方程的解的估算 【分析】本题为阅读理解题，主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综 合应用.在解题时注意对题目中所给知识的正确理解，考查了阅读所给材料的理解和运用的能力，运用类比的方法， 有一定的难度，注意数形结合 (1)根据题意，通过计算x=-2时，y>0,当x=-1时，y<0即可下结论： (2)根据配方法求方程的根即可： (3)根据题意，通过计算x=-1时，y<0,当x=0时，y>0即可下结论 73 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【详解】(1)解：x=-2时，y=2×(-2}-2-2=4>0, x=-1时，y=2×(-1)2-1-2=-1<0, 所以2x2+x-2=0的另一个根x2在-2，-1之间. (2)解：采用配方法：2x2+x-2=0, x+x-1=0 2 .1217 x+4=16 1 .x+ Γ4 分平亚 44 (3)解：x=-1时，y=(-1°-2×(-)2+1=-2<0， x=0时，y=0-0+1=1>0, .x2-2x2+1=0的负根在-1,0之间. 【变式3】.(2024九年级广东·学业考试)学习小组探究一元二次方程的新解法. (1)运用函数与方程的思想，通过观察反比例函数y=与一次函数y=x-3的图象，可判断方程x-2x-3=0的根 的情况. 【解答过程】 ①： 74 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 六方程两边同时除以x,得x-3 2=0 移项，得x-3= :s3 ②： 观察函数图象，若③，则方程有两个不相等的实数根 (2)运用转化思想，将方程ax2+bx+c=0变形为(mr+n(px+q)=0后可得mx+n=0或px+q=0,从而解得原方程 的根为x=二 p,当a=时，方程的两根x,x可使a2+hx+c=0变形为@： 【实际应用】 运用从上方法可解方程2x2-6x=2,直接写出因式分解的结果② (3)运用数形结合的思想，从赵爽的《勾股图方注》解答，解x+2x-35=0为例，将其变形为x(x+2)=35,画出 四个长为x+2,宽为x的图形.以图1的方式拼成一个“空心大正方形”，由图中大正方形的面积为(x+x+2),还 可以表示四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35+4,可得方程2x+2=12,x=5, 不过这种做法只能得到方程的一个正根。 对于形如x+x=b的一元二次方程可用于构造图2来解，已知图2是一个由四个面积为3的全等的矩形构成，中间围 成的正方形面积为4，那么该方程的系数a,b分别为多少？并求得方程的一个正根，写出完整的解答过程. x+2 x+2 图1 图2 75 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (3)a=±2，b=3,方程的一个正根为1或3. 【知识点】因式分解法解一元二次方程、与图形有关的问题（一元二次方程的应用）、一次函数与反比例函数的交点问 题 【分析】(I)根据等式的性质和函数图象性质即可求解； (2)按照仿例即可求解： (3)按照仿例即可求解： 本题考查了函数图象与一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键. 【详解】(1)解：①由x2-2x-3=0得， x≠0： 之方程两边同时除以x得x-3-3=0. 移项，得x-3=3 3 设y= x’y=x-3 3 ∴观察函数y=x-3与y=图象， 76 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 1 寸寸之可可十子4：两函数图象有两个交点，则方程有两个不相等的实数根， -2 故答案为：x≠0，y=x-3,两函数图象有两个交点： (2)解：①当a=1时，方程的两根，2，可使ax2+bx+c=0, .(x-x)x-x2)=0, 故答案为：(x-)x-x)=0； ②2x2-6x=2, .2(x2-3x)=2, 2-x+…自 2引-2 22 o 77 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 为--0-, (3)解：，x2+ar=b, ..x(x+a)=b. 如图， x+a x+a x+a x+a x 设四个全等小矩形的长为x+a,宽为x,面积设为b,大正方形的面积是(x+x+)',其中它又等于四个矩形的面积 加中间小正方形的面积，即4×b+a2, ,图2是一个由四个面积为3的全等的矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴.b=3,a=4,解得：a=±2， 当a=2时，(x+x+2)}2=4×3+4, ∴.x+x+2=4,解得：x=1, ∴.方程的一个正根为1： 当a=-2时，(x+x-2)}=4×3+4, ∴.x+x-2=4,解得：x=3, ∴.方程的一个正根为3： ∴方程的一个正根为1或3 78 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【题型十二】函数与不等式综合 【例26】.(25-26九年级上·北京课后作业)抛物线C:片=mx2-4mx+2n-1与平行于x轴的直线交于A、B两点， 且A点坐标为(-1,2)，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2:②抛物线与y轴交点坐标为(0，-)：③ m> 5:④若抛物线C,:y2=a2(a≠0)与线段4B恰有一个公共点，则a的取值范围是 2≤a<2:⑤不等式 mx2-4mx+2n>0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 【答案】①③④ 【知识点】yx2+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点间题、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质. 根据二次函数的性质逐一判断即可. 【详解1解：①兆物线的对将轴为直骏=名细。2，放D确。 2a 2m ②当x=0时，y=2n-1,即抛物线与y轴交点坐标为(0,2n-),故②错误： ③把A点坐标（-l,2)代入抛物线解析式，整理得：2n=3-5m 再代入片=mx2-4mx+2n-l,整理得：片=mx2-4mx+2-5m 由已知抛物线与x轴有两个交点，则： b-4ac=(-4m)2-4m(2-5m）>0,整理得：36m2-8m>0,即4m(9m-2)>0, 79 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ,开口向上， m>0, .9m-2>0, 解得：m>2 99 而抛物线与y轴负半轴相交， .2-5m<0, 2 解得：m> 5 ..m2 ,故③正确： ④由抛物线的对称性，B点的坐标为B(5,2), 当抛物线C2:乃=m(a≠0)经过A点时a=2,此时抛物线C:乃=mr(a≠0)与线段AB有两个公共点， 2 当抛物线C,:5=r2(a≠0)经过B点时a=25, ,其与线段AB恰有一个公共点， 2 .2 ≤a<2,故④正确： ⑤，mx2-4mx+2n>0, ∴.mx2-4mx+2n-1>-1, 即不等式mx2-4mx+2n>0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值大于-1，故⑤错误： 故答案为：①③④. 80 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【例27】.(24-25九年级上全国期中)阅读下面的材料： 上课时，李老师提出这样一个问题：对于任意实数x,关于x的不等式x2-2x-1-a>0恒成立，求a的取值范围. 小捷的思路是原不等式等价于x2-2x-1>a,设函数y=x之-2x-l1,乃=a画出两个函数的图象（函数y的图象如图 所示)，于是原问题转化为求函数的图象在函数2的图象上时，a的取值范围. 请结合小捷的思路，解决问题： (I)对于任意实数x,关于x的不等式x2-2x-1-a>0恒成立，则a的取值范围是， (2四关于的方程x-4=4-3东 x在0<x<4范围内有两个不同的根，求。的取值范围。 【答案】(1)a<-2 (2)-1<a<3 【知识点】从函数的图象获取信息、y=ax+bx+c的图象与性质、其他问题（二次函数综合） 【分析】本题考查的是二次函数与不等式组，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键. (I)请结合小捷的思路回答：直接根据函数的顶点坐标可得出a的取值范围： (2)设=x-4x+3,乃=a,记函数乃在0<x<4内的图象为G,于是原问题转化为=a与G有两个交点时a的 取值范围，结合图象可得出结论 81 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【详解】(1)解：请结合小捷的思路回答：由函数图象可知，a<-2时，关于x的不等式x2-2x-1-a>0恒成立. 故答案为：a<-2」 (2)解决问题：将原方程转化为x2-4x+3=a, 设y=x-4x+3,=a,记函数在0<x<4内的图象为G, 于是原问题转化为=a与G有两个交点时a的取值范围， 结合图象可知，a的取值范围是：-1<a<3」 【变式1】.(25-26九年级上广东东莞阶段检测)如图，抛物线=-x2-x+2与x轴交于点A和点B,与y轴交于 点C,直线=x+2经过点A,C. (I)求点4，B,C的坐标： (2)不等式x+2>-x2-x+2的解集为一： (3)若点M在抛物线上，且S△Mc=2SACM,求点M的坐标. 82 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】（①A(-2,0),B(1,0),C(0,2) (2)x<-2或x>0 【知识点】求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、图象法解一元二次不等式、 根据交点确定不等式的解集、面积问题（二次函数综合） 【分析】(1)分别令x=0,y=0,解方程，即可得到抛物线与坐标轴的交点坐标： (2)观察图象，根据抛物线和直线的位置关系即可得解： (3)利用待定系数法得到直线BC的解析式，以及根据(1)中结论得到△ABC的面积，设M(m,-m2-m+2),根据 点M位于y轴左侧和右侧，分两种情况讨论，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,则N(m,-2m+2), MN=m2-m,根据割补法求△BCM的面积，得到关于m的方程，解方程即可得到答案。 【详解】(1)解：对于抛物线2=-x2-x+2, 令x=0,得y=2, .C(0,2). 令y=0,则-2-x+2=0,解得x=-2,为=1， .A(-2,0),B(1,0): (2)解：由图象可得x+2>-x2-x+2的解集为直线在抛物线上方时对应x的取值范围， 即x<-2或x>0: (3)解：：A(-2,0),B(1,0),C(0,2) 83 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 .AB=2+1=3,OC=2 :Sam-)4B00=x3x2=3, 2 SAANC =2SARCM 、3 :.S0w-2 设直线BC的解析式为y=c+b, [b=2 「k=-2 将点BL,0)C(0,2)的坐标代入，得：k+b=0解得b=2, .直线BC的解析式为y=-2x+2, 如图，当点M位于y轴左侧时，过点M作MNIy轴交直线BC于点N, 设M(m,-m2-m+2),则N(m,-2m+2), :MN=yw-yw=-2m+2-（m2-m+2)=m2-m, Sw=Sm-Saw=w[-）H(]- 六m2-m=3解得m-1± 2 m<0 84 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 ⊙ 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 取m馆 2P,此时mm+2=2+尼3 数[52 如图，当点M位于y轴右侧时，过点M作MNy轴交直线BC于点N, 设M(m,-m2-m+2),则N(m,-2m+2), MN=yw-yM=-2m+2-(-m2-m+2)=m2-m, .S.cw-5.ow-S.w-M-[xu-(x 之m2-m=3解得m=生E 2, m>0, 取m=1+ 2’-m2-m+2=-2-13, 西2- 85 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 【变式2】.(2023江苏泰州中考真题)阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务. 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式x-x-6<0的解集？ 通过思考，小丽得到以下3种方法： 方法1 方程x2-x-6=0的两根为本=-2，为=3，可得函数y=x-x-6的图像与x轴的两个交点横坐标为-2、 3,画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2-x-6<0的解集， 方法2不等式x2-x-6<0可变形为x2<x+6,问题转化为研究函数y=x与y=x+6的图像关系.画出函数图 像，观察发现：两图像的交点横坐标也是-2、3；y=x的图像在y=x+6的图像下方的点，其横坐标的范围是该不 等式的解集。 方法3当=0时，不醉式一定成立：当x>0时，不等式变为-1兰当<0时，不等式定为x1 x·问题转 化为研究函数y=x-1与y=x的图像关系 任务： (1)不等式x2-x-6<0的解集为. (2)3种方法都运用了一 的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可)； A.分类讨论B转化思想C特殊到一般 D数形结合 (3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答. 【答案】()-2<x<3 (2)D (3) .6 如图2，作函数y=x-与y=x的图像， 86 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 6 图2 不等式x2-x-6<0的解集为-2<x<3 【知识点】画一次函数图象、画yx+bx+c的图象、判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】(1)如图1，作y=x2-x-6的图像，由方法1可知，不等式x2-x-6<0的解集为-2<x<3； (2)由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法： 6 (3)如图2，作函数y=x-1与y=x的图像，由图像可得，2-x-6<0的解集为-2<x<0,或0<x<3,进而可得 x2-x-6<0的解集. 【详解】(1)解：如图1，作y=x-x-6的图像， y=x2-x-6 -2 03x 图1 由方法1可知，不等式x2-x-6<0的解集为-2<x<3, 故答案为：-2<x<3: 87 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 (2)解：由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法， 故选：D 6 (3)解：如图2，作函数y=x-1与y=的图像， y y=x-1 2 y= -2 3 图2 由图像可得，x2-x-6<0的解集为-2<x<0,或0<x<3, 综上，x2-x-6<0的解集为-2<x<3 【点睛】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像，解题的关键在 于理解题意并正确的作函数图象， 【变式31.(2026江鹰潭一快]如图，艳物线y方++e交x辅于4从-20叭、B两点：交y轴于点C0,-4), 直线y=r+m经过点B,C. (1)求抛物线和直线BC的解析式： 88 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ②)直接写出不等式)产+bx+C>心+m的解集 1 【答案】四直线BC的解析式为y=x-4:抛物线的解析式为y=2-x-4 (2)x<0或x>4 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集 【分】山少把4(2,0叭、C0,4)代入)-+：+c,求抛物线表达式，再求出B40,用特定系数法求出直 线表达式即可： (2)根据直线与抛物线交于B(4,0)、C(0,-4)两点，得出结论即可. 【详解】山)解：抛物线y=+h加+c经过4-20)、C0,两点。 0=，×(-2)}-2b+c 2 -4=C b=-1 解得： c=-4' ∴抛物线的解析式为y=)x2-x-4: 1 当y=0时，0=)x2-x-4, 2 解得：x=-2,x24, .B(4,0) :直线y=r+m经过点B,C, 89 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 0=4a+m 4=m a=1 解得： m=-4 .直线BC的解析式为y=x-4: (2)解：由(1)可知，直线与抛物线交于B(4,0)、C(0,4)两点， 《不等式)+x+c>+m的解集是0段之年 单元小则 一、单选题 1.(25-26九年级上宁夏中卫阶段检测)关于x的一元二次方程(k-)x2-4x+2=0有两个相等实数根，则k的取值 为() A.k=3 B.k=1 C.k=3且k≠1 D.k=-3 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当△>0时，方 程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根.根据一元二次方程有 两个相等实数根需满足判别式为零且二次项系数不为零，进行解答即可. 【详解】解：：方程(k-)x2-4x+2=0为一元二次方程， .k-1≠0，即k≠1， △=(-4)2-4×(k-1)×2=16-8(k-1)=0 解得：k=3, 90 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ,k=3满足k≠1， .k的取值为3 故选：A, 2. (26-27九年级上·福建福州阶段检测)用配方法解一元二次方程x2-4x-1=0,配方后所得的方程是() A.(x+2)}=5 B.(x-2}=5 C.(x+2)2=1 D.(x-2}=1 【答案】B 【详解】解：：x2-4x-1=0, .x2-4x=1, x2-4x+4=1+4, .(x-2)2=5 3.(26-27九年级上全国课后作业)如果关于x的方程(x-6)}'=m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围 是() A.m>3 B.m≥3 C.m>-4 D.m≥4 【答案】D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可， 【详解】解：：关于x的方程(x-6)=m+4可以用直接开平方法求解，(x-6≥0， .m+4≥0. 解得m≥4」 91 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 4.(26-27九年级上全国课后作业)已知二次函数y=x-3x+2,则其二次项系数、一次项系数b、常数项c分别 为() A.a=2,b=-3,c=1 B.a=2,b=3,c=1 C.a=1,b=3,c=2 D.a=1,b=-3,c=2 【答案】D 【详解】解：二次函数y=x2-3x+2为一般形式， ∴二次项系数a=1,一次项系数b=-3,常数项c=2. 5.(2627九年级上全回误后作)已加点432(gC,都在毯物线写上，则，，的大小送 系是() A.y<2< B.y3<y2<y C.<<2 D.y2<y3<y 【答案】D 1 【详解】解：片-3×(-3=3， 3= 24 3 .y2<< 6.(26-27九年级上全国课后作业)抛物线y=x2-4与x轴交于B,C两点，顶点为A,则△ABC的周长为() 92 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 A.45 B.45+4 C.12 D.2W5+4 【答案】B 【分析】先求出B(-2,0),C(2,0),A(0-4),再求出BC=4,AB=AC=V2+4=2V5,即可得出答案. 【详解】解：令x2-4=0, 解得：x=2, ,抛物线y=x2-4与x轴交于B、C两点，顶点为A, .B(-2,0).C(2,0).A(0,-4) .BC=4,AB=AC=V22+42=25, ∴△ABC周长=AB+BC+AC=4+4V5 7.(26-27九年级上全国单元复习)己知抛物线y=a2+bx+c(a≠0)，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错 误的是(). -1 0 1 2 3 0 3 4 3 m A.m=0 B.当x<1时，y随x的增大而减小 C.顶点坐标为(1,4) D.开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可. 【详解】解：由表可知，点(0,3)和(2,3)的纵坐标相同， 93 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 “抛物线的对称轴为直线x= 0+2=1,顶点坐标为0,4) ,当x=1时，y=4最大， ∴抛物线开口向下，当x<1时，y随x的增大而增大， 当x=3与x=-1时，到对称轴x=1的距离相等， ∴y值相等， ,x=-1时，y=0 x=3时，y=m=0 故选：B。 8.(26-27九年级上·全国单元复习)如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒 钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为() h/米 3 4 秒 A.4-26 B.8 C.4+2V6 D.9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可. 【详解】解：设抛物线的解析式为h=a(t-4)+3, 又它与h轴的交点坐标为(0,1)， 94 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 所以1=(0-4)}×a+3, 1 解得：a=一8， 所以抛物线的解析式为h=-4+3, 当h=0时，0=-4+3。 解得：4=4-2V6,5=4+26, 所以铅球落地点到出手点的时间为4+2V6)秒。 9.(25-26九年级上广东东莞阶段检测)已知二次函数y=m+br+c(a≠0)的图象如图所示，有如下结论：① abc>0:②2a+b=0;③9a+3b+c<0:④4ac-b<0;⑤a+b≥m(am+b)(m为任意实数)，则正确结论的个数 有() YA 1 x1 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C b 【分析】=次函数图象开口向下a<0,对称轴x=~2石在v轴右侧b>0:与y轴交点在正半轴c>0:根据对称轴 x=1可得出②的结论；根据图象的对称性，可知x=3和x=-1的值相同，代入可得出③的结论：图象与x轴有两个交 点，则b2-4ac>0:图象开口向下有最大值. 95 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ∴.a<0,b>0,c>0: .abc<0,故①错误，不符合题意： 对称轴为直线x=1, b 1, 2a ∴b=-2a, ∴.2a+b=2a-2a=0,故②正确，符合题意： 由图象可知，当x=3时，y<0, ∴.9a+3b+c<0,故③正确，符合题意： 图象与x轴有两个交点， b2-4ac>0, .4ac-b2<0,故④正确，符合题意： 图象开口向下，对称轴为x=1,顶点坐标为(l,a+b+c), ∴.二次函数图象有最大值a+b+C, ∴a+b+c≥am2+bm+c(m为任意实数)， ∴.a+b2am2+bm(为任意实数)， 即a+b≥m(am+b)(m为任意实数)，故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个. 96 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 二、填空题 10.(26-27九年级上·全国课后作业)一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字 交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为 【答案】31 【分析】设原来两位数的个位数字为x,根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量 关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果。 【详解】解：设原来两位数的个位数字为x,则十位数字为(x+2), 原来的两位数为10(x+2)+x=11x+20,交换个位和十位后的新两位数为10x+(x+2)=11x+2, 根据题意可得(11x+2)}-=11x+20+138, 14 解得x= -i（舍去)，2=1， .x=1, .十位数字为1+2=3， ·原来的两位数为31 11.(26-27九年级上·全国课后作业)关于x的一元二次方程2x2+x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为 【答案】8 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0建立关于k的方程，求解即可得到k的值. 【详解】解：：关于x的一元二次方程2x2+x-k=0有两个相等的实数根， .根的判别式△=b2-4ac=0 97 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 这里a=2,b=1,c=-k 将系数代入得2-4×2×(-)=0， 整理得1+8k=0. 解得k一1 8· 12.(26-27九年级上·全国课后作业)二次函数y=+bx+C的部分图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0 的解为 当y>0时，x的取值范围是 【答案】 x=-1,x2=3 -1<x<3 【分析】关于x的一元二次方程a2+bx+c=0的解即为二次函数y=2+br+c的图象与x轴的交点的横坐标，根据 函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可， 【详解】解：根据图象知，抛物线y=a2+bx+c与x轴的一个交点是(-l,0),对称轴是直线x=1. 设该抛物线与x轴的另一个交点是(m,0) +m=1, 则2 解得m=3, 即该抛物线与x轴的另一个交点是(3,0) 所以关于x的一元二次方程a2+bx+c=0的解为￥=-1，名2=3 98 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 观察图象可知，当y>0时，x的取值范围是-1<x<3. 13.(25-26九年级上·陕西安康阶段检测)用配方法解一元二次方程x2-2x-5=0时，将它化为(x+'=b的形式， 则2a+b的值为 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为(x+)'=b的形式，得到a和b的值，再代入计算2a+b即可 【详解】解：移项，得x2-2x=5, 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，得x2-2x+1=5+1, 整理得(x-1)2=6. .a=-1,b=6, ∴.2a+b=2×(-1)+6=4 14.(2026上海长宁·一模)若将抛物线y=2(x+m+5沿x轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在y 轴上，那么m的值为 【答案】-2 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，利用平移的性质得出平移后解 析式，进而得出其顶点坐标.令其横坐标为0求解. 【详解】解：原抛物线y=2(x+m)+5的顶点坐标为(-m,5) 沿x轴向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为y=2(x+m+2}+5,顶点坐标为(-m-2,5). 因为顶点落在y轴上， 所以横坐标-m-2=0, 99 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 解得m=-2. 故答案为：2 15.(26-27九年级上全国课后作业)若函数y=(m+3)x5m2+9为二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大， 则m= 【答案】-7 【分析】根据二次函数定义得x的次数为2，结合增减性要求得二次项系数小于0，解方程后结合不等式筛选得到m 的值. 【详解】解：：函数y=(m+3)x4sm2+9是二次函数， m2+5m-12=2(m+7)(m-2)=0解得m=-7或m=2 ,x<0时y随x的增大而增大， ∴.m+3<0 .m<-3, ∴.m=-7 16.(26-27九年级上·福建福州阶段检测)如图，抛物线y=a2+r+c的对称轴为直线x=1,则(a+c)」 b2 (填>、<或=). 100 第一次月考压轴题汇总（一元二次方程与二次函数） 压轴题型 考查位置 核心难点 一元二次方程的概念辨析 选择高频 核心考点：判断一元二次方程、根据定义求参数取值。 一元二次方程的四种解法 解答基础必考 解题优先级（考场最优顺序）：因式分解法→直接开平方法→配方法→公式法 根的判别式应用 选择、填空、解答高频 对于一元二次方程，判别式 根与系数的关系（韦达定理） 中档必考 若两根为，则：， 一元二次方程实际应用题 解答压轴基础 月考四大必考模型，固定解题套路：设未知数→列方程→解方程→验根（舍去不合题意根）→作答 二次函数概念与解析式辨析 基础选择 核心定义：，最高次数为2，整式函数。 二次函数图像与性质 高频重难点 开口方向：a>0开口向上，有最小值；a<0开口向下，有最大值； 二次函数图像平移与对称 填空必考 易错点：平移时混淆左右加减、忘记二次项系数不变。 图像系数符号判断 中档选择压轴 根据抛物线图像，判断等代数式符号。 二次函数实际应用 解答题 核心：利用二次函数求最大利润、最大面积、最大高度等最值问题。 函数与方程的转化 数形结合核心 1.抛物线与x轴交点横坐标 = 方程的实数根；2. 交点个数与一一对应；3. 方程的根 → 抛物线与直线交点横坐标。 函数与不等式综合 解答题 必考考法：根据函数图像直接写不等式解集 【题型一】一元二次方程的概念辨析（选择高频） 【例1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【变式3】．（25-26九年级上·山西晋城·期末）已知为一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【题型二】一元二次方程的四种解法（解答基础必考） 【例2】．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）解方程 (1)； (2)． 【例3】．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）解方程 (1)； (2)． 【例4】．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【题型三】根的判别式应用（选择、填空、解答高频） 【例5】．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程有两个实数根，则根的判别式的值应是（     ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 【例6】．（2026·广东佛山·一模）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）定义新运算，对于任意实数m、n有，则方程的根的判别式的值为__________． 【变式3】．（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【题型四】根与系数的关系（韦达定理）（中档必考） 【例7】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两根为，，则________，________． 【例8】．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）“若一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”．若、是一元二次方程的两个实数根，求证：． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式2】．（25-26九年级上·广东韶关·期末）【阅读材料】若关于的一元二次方程（）的两根为，，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两根为，，则_______，_______； (2)【类比运用】已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，满足，求的值． 【变式3】．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【题型五】一元二次方程实际应用题（解答压轴基础） 【例9】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某地有两人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【例10】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是289万元，假设每月生产成本的下降率相同．求每月生产成本的下降率． 【例11】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 【例12】．（23-24九年级上·全国·单元测试）一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号) 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【变式2】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【变式3】．（2026·江苏无锡·二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【变式4】．（25-26九年级上·全国·周测）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【变式5】．（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【题型六】二次函数概念与解析式辨析（基础选择） 【例13】．（26-27九年级上·全国·周测）下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27九年级上·北京·课前预习）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．或0 C．1 D．4 【题型七】二次函数图像与性质（高频重难点） 【例14】．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【变式1】．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【变式2】．（26-27九年级上·全国·单元复习）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 【变式3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的对称轴为． (1)求a的值； (2)若点都在此抛物线上，且，试比较与的大小，并说明理由． 【题型八】二次函数图像平移与对称（填空必考） 【例15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【例16】．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为_____． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线（，是常数，）向下平移个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于轴对称，则______，______． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）怎样移动抛物线可以得到抛物线？ 答：把抛物线先向右平移_____个单位长度，再向______平移_____个单位长度，可以得到抛物线． 【变式3】．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数和一次函数． (1)若对任意实数b，上述两个函数图像，总有两个相异交点A，B，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若二次函数图像上M，N两点的横坐标，分别等于A，B的横坐标，且M，N两点，关于直线对称，求b的最小值． 【题型九】图像系数符号判断（中档选择压轴） 【例17】．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【例18】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例19】．（2024·广东清远·二模）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】．（2026·山东济宁·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，是坐标原点，已知二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；以上结论正确的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型十】二次函数实际应用（解答题） 【例20】．（25-26九年级·全国·课前预习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【例21】．（26-27九年级上·全国·课后作业）春节贴春联是中国的传统习俗，在春节来临前，某超市购进一种春联，每副春联的进价是20元，并且规定每副春联的售价不少于25元，不超过38元．根据以往的销售经验，当每副春联的售价定为25元时，日销售量为250副，每副春联的售价每提高1元，日销售量减少10副．当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ 【例22】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加．求y与x之间的关系式． 【例23】．（25-26九年级上·宁夏固原·期末）在矩形中，，，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为x秒，解答下列问题．    (1)设的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？最小值是多少？ (2)是否存在x的值，使得？试说明理由． 【变式1】．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【变式2】．（2026·贵州安顺·二模）某校数学小组开展以“喷泉”为主题的项目式学习． 【研究背景】喷泉喷出的水柱路线所在的平面与地面垂直． 【收集数据】某次喷水中，水柱的高度（单位：）和其与喷水口的水平距离（单位：）的对应值如下表． 水平距离 0 2 4 6 … 水柱高度 1 … 【探索发现】水柱路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 (1)与的函数解析式为________． (2)【应用模型】水柱的高度能否达到？请说明理由． (3)保持水柱形状不变（不变），改变喷水角度，使水柱路线的解析式变为．现在距喷水口处有一竖直档板，档板高度为．要求水柱越过档板，且水柱落地点与档板的水平距离小于，求的取值范围． 【变式3】．（2026·河南商丘·一模）【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动． 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到地面的距离为，和垂直于地面，高度均为． 【问题解决】 (1)求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（含挂线），灯笼悬挂点，到最高点的水平距离均为． ①求灯笼底端到地面的距离． ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校．若货车的高为，宽为，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）． 【变式4】．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践·校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模 【研学背景】 某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点． 【坐标系建构】 以投放口地面竖直投影为原点，水平投放方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，单位：． 无人机物资空投数学建模示意图 (1)【初战实测·个案建模】 如图，首次试飞无人机悬停投放高度为，物资水平飞行后在处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式； (2)【校准实验·定点标定】如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点，求此时无人机悬停投放口离地高度； (3)【全域探究·通用建模】 为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹：，场地中段设有高实训障碍墙；地面物资接收区为线段，端点，；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区内（含端点，），求投放口高度的取值范围． 【题型十一】函数与方程的转化（数形结合核心） 【例24】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象经过点．利用图象解答： (1)方程的解是______； (2)方程的解是______； (3)方程的解是______； (4)方程的解的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根        B．有两个相等的实数根        C．无实数根        D．无法确定 【例25】．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________ … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 ．… (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①关于的方程实数根为___________； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________． 【变式1】．（25-26九年级上·天津静海·期中）二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 【变式2】．（2024·广东·模拟预测）在人类用智慧架设的无数条从已知通向未知的道路中，方程求解是其中重要的一段路程．虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．我们熟悉的求一元二次方程的解，既可以利用二次函数的图象估算近似解，也可以用配方法、公式法、因式分解法等方法求出精确解．现以方程举例简述估算和精确计算分别是如何操作的： (1)【估算】我们通过下列步骤估计方程的根所在的大致范围． 第一步：问题转化：方程 的根即为函数与x轴的交点横坐标； 第二步：由以往的学习经验可以判断出函数 的图象是一条连续不断的曲线； 第三步：因为当 时，，当时，，所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在0，1 之间，所以可确定方程 的一个根所在的范围是； 第四步：仿照第三步，可以估计 的另一个根所在的大致范围． 回答问题：请完成第四步，估计 的另一个根在哪两个连续的整数之间； (2)【精算】：请你选用配方法、公式法、因式分解法中的一种方法求出 的精确解； (3)已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有三个交点，其中两个交点在x轴的正半轴上，一个交点在x轴的负半轴上，请你仿照上面材料中的【估算】方法，估算方程：的负根在哪两个连续整数之间． 【变式3】．（2024九年级·广东·学业考试）学习小组探究一元二次方程的新解法． （1）运用函数与方程的思想，通过观察反比例函数与一次函数的图象，可判断方程的根的情况． 【解答过程】 ∵； ∴方程两边同时除以，得． 移项，得， ∴，； 观察函数图象，若，则方程有两个不相等的实数根． （2）运用转化思想，将方程变形为后可得或，从而解得原方程的根为，，当时，方程的两根，可使变形为． 【实际应用】 运用从上方法可解方程，直接写出因式分解的结果． （3）运用数形结合的思想，从赵爽的《勾股图方注》解答，解为例，将其变形为，画出四个长为，宽为的图形．以图1的方式拼成一个“空心大正方形”，由图中大正方形的面积为，还可以表示四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，可得方程，，不过这种做法只能得到方程的一个正根． 对于形如的一元二次方程可用于构造图来解，已知图是一个由四个面积为的全等的矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么该方程的系数，分别为多少？并求得方程的一个正根，写出完整的解答过程． 【题型十二】函数与不等式综合 【例26】．（25-26九年级上·北京·课后作业）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是________． 【例27】．（24-25九年级上·全国·期中）阅读下面的材料： 上课时，李老师提出这样一个问题：对于任意实数，关于的不等式恒成立，求的取值范围． 小捷的思路是原不等式等价于，设函数，画出两个函数的图象（函数y₁的图象如图所示），于是原问题转化为求函数的图象在函数的图象上时，的取值范围． 请结合小捷的思路，解决问题： (1)对于任意实数，关于的不等式恒成立，则的取值范围是． (2)关于的方程在范围内有两个不同的根，求的取值范围． 【变式1】．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． (1)求点的坐标； (2)不等式的解集为_____； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【变式2】．（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 通过思考，小丽得到以下3种方法： 方法1    方程的两根为，，可得函数的图像与x轴的两个交点横坐标为、，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集． 方法2    不等式可变形为，问题转化为研究函数与的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是、3；的图像在的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集． 方法3    当时，不等式一定成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系… 任务： (1)不等式的解集为_____________； (2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A.分类讨论    B.转化思想    C.特殊到一般        D.数形结合 (3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答． 【变式3】．（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； 一、单选题 1．（25-26九年级上·宁夏中卫·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则k的取值为（　　） A． B． C．且 D． 2．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与x轴交于B，C两点，顶点为A，则的周长为（     ） A． B． C．12 D． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 9．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 13．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 14．（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 16．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，抛物线的对称轴为直线，则______(填、或)． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 三、解答题 18．（26-27九年级上·四川成都）解方程： (1)； (2)． 19．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）解方程： (1) (2) (3) 20．（26-27九年级上·全国·周测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求的值． 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 22．（26-27九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 23．（2026·山东青岛·中考真题）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 24．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线（a，b，c是常数，）． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的两个点，则这两个点分别是________，该抛物线的解析式为______________． (2)若抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为k，，求证：． (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $