第一次阶段检测压轴题汇总（三角形+实数的初步认识）2026-2027学年八年级数学上册秋期复习+ 期考讲义专项（苏科版）

本讲义聚焦初中数学三角形与实数初步认识核心知识点，系统梳理全等三角形概念及判定、等腰三角形性质、角度与线段计算等几何内容，衔接实数分类、平方根与立方根辨析、无理数估算等代数知识，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过15类题型分类呈现，突出易错点如SSA不能判定全等、100°角只能为等腰三角形顶角等，结合例题与变式题训练。以几何综合题培养推理意识，规律探究题发展创新意识，助力教师课堂教学，学生可通过练习查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

第一次月考压轴题汇总（三角形+实数的初步认识） 压轴题型 考查位置 核心难点 基础概念辨析 选择题 1.全等图形、全等三角形概念：形状相同大小相等；2.全等三角形对应边、对应角；3.等腰三角形、等边三角形性质；4.线段垂直平分线、角平分线的性质定理。 全等三角形判定 填空 / 选择 考法：给出一组条件，补充一个条件使得△ABC≌△DEF；常考陷阱：两边及其中一边对角（SSA）不能判定。 角度计算 填空必考 易错提醒：如果给的角是 100°，只能作为顶角，不能做底角。 线段长度计算 填空 1. 全等三角形对应边相等；2. 线段垂直平分线上点到两端距离相等；3. 角平分线上点到角两边距离相等；4. 等腰三角形等角对等边 全等三角形基础证明 解答题，必考 1. 找目标：要证全等，锁定两个三角形；2. 找已知条件：标记相等边、相等角；3. 找隐藏条件：公共边、公共角、对顶角；4. 选判定定理，规范书写证明格式；5. 若要证线段 / 角相等：先证全等，利用全等性质得到结论。 等腰三角形证明 解答题 思路：证等角对等边；或者证三角形全等得到两边相等。 几何简单综合 月考压轴小大题 考法：全等 + 角平分线 / 垂直平分线综合；全等 + 等腰三角形角度线段混合计算； 实数分类与无理数识别 选择 易错：是有理数，不要看到根号就当成无理数 平方根、算术平方根、立方根概念辨析 高频填空选择 易错点：区分 “a 的平方根” 与 “”；本身只代表算术平方根，只有一个非负数。 求 x 的值 解方程，解答小题 估算无理数大小 填空 考法：判断在哪两个整数之间；估算的整数部分、小数部分。 实数简单计算 解答计算题 化简绝对值：先判断里面正负，负数去绝对值变相反数。 利用非负性求值 月考高频小题 两个非负数：；若两个非负数相加等于 0，则各自等于 0。 实数与数轴 选择/填空/解答 数轴法、估算法、平方（立方）比较法、作差法；实数与数轴上的点一一对应。 规律探究 选择/填空/解答 动态探究题（动点、变式、猜想证明） 【题型一】基础概念辨析（选择题） 【例1】．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 【例2】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【例3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）正方形网格中，位置如图，点O、A、B三点都是格点，则格点C、D、E、F中到两边距离相等的点是（    ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（ ） A．丰田 B．奥迪 C．雪铁龙 D．三菱 【变式2】．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列几种说法：全等三角形的对应边和对应角相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论错误的是（   ） A．是的角平分线 B． C． D． 【题型二】全等三角形判定（填空 / 选择） 【例4】．（25-26八年级上·江苏·期末）全等三角形的判定是几何证明的基础，下列各组条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【例5】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是____________． 【例6】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，，若要使，请添加一个条件______．（只需填写一个正确条件） 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，添加下列条件后能证明的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，，若要证明，则还要添加条件______就可以了． 【题型三】角度计算（填空必考） 【例7】．（2026·江苏徐州·二模）如图，，，，则_______． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的大小为______ 【变式2】．（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，将绕点O逆时针旋转一定角度得到，使得．若，，则________°． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，等边的边长为2，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接，，则的度数是________，当的周长最小时，的度数是________． 【题型四】线段长度计算（填空） 【例8】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是_______． 【例9】．如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于，，若，，则的长度是________ ． 【变式1】．已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 【变式2】．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，是中点，将沿折叠得，若，且，，则点到的距离为_________． 【题型五】全等三角形基础证明（解答题，必考） 【例10】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【例11】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，．求证：． 【例12】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且． (1)求证； (2)若，求的长． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，垂足分别为点D，E，相交于点O，．求证：． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 【题型六】等腰三角形证明（解答题） 【例13】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，．写出命题“若则”的逆命题，并证明该逆命题． 【例14】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，为中点，连接，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）是等边三角形，是边（端点除外）上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长； (2)如图2，是延长线上的点，，为的中点，连接，．求证：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形中，平分，． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时， ①求证：； ②若，，，则点到的距离是______． 【题型七】几何简单综合（月考压轴小大题） 【例15】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【例16】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图∶在中，点G为中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证∶； (2)求证∶． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，点E、F分别在、上，平分，，，连接交于点O．求证： (1)； (2)垂直平分． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）如图，在中，，垂足为，，证明根据小明的思考，请继续完成小明的证明； （2）如图，在中，平分，，证明． （3）在中，是的一点，下列说法正确的______．（填写所有正确的选项） A．若且，则； B．若平分且，则； C．若且、，则； D．若平分且、，则． 【题型八】实数分类与无理数识别（选择） 【例17】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）下列实数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【例18】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）下列六个数：，，，，0，，其中无理数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例19】．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）数字中有理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）实数，0，，2.5252252225…（相邻两个5之间的2的个数逐次加1），其中无理数的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法：①无理数包括正无理数、0、负无理数；②无理数与无理数的和仍然是无理数；③若一个数的平方等于它的算术平方根，则这个数是0或1；④正实数和负实数统称为实数；⑤有理数与数轴上的点一一对应．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，，0.31． 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}． 【题型九】平方根、算术平方根、立方根概念辨析（高频填空选择） 【例20】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A． B．8的立方根是 C． D．4的平方根是 【变式1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）下列说法：①64的平方根是，立方根是；②负数没有立方根；③16的算术平方根是4；④表示a的平方根，表示a的立方根；⑤一定是负数；其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）的平方根是___________；9的立方根是___________． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏·期中）实数27的立方根是__．9的平方根是__________. 化简：_____． 【题型十】求 x 的值（解方程，解答小题） 【例21】．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 【变式1】．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）求下列的值： (1)； (2)． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【题型十一】估算无理数大小（填空） 【例22】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：_______． 【例23】．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：3____  （用“”或“”填空）． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）比较大小：_____，_____． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）写出一个有理数，使，你写的为______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若有理数a满足，则有理数a的值可以是_____．（写出1个值即可） 【题型十二】实数简单计算（解答计算题） 【例24】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算：． 【变式1】．计算： 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【题型十三】利用非负性求值（月考高频小题） 【例25】．（2024八年级上·江苏宿迁·专题练习）已知实数x，y满足，则代数式的值为（   ） A． B．1 C．2012 D． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）已知，则的值为_____． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知a，b，c都是实数，且满足，且，求代数式的值． 【变式3】．【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 【题型十四】实数与数轴 【例26】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例27】．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 【例28】．实数在数轴上对应点的位置如图所示，若． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则S的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上A点表示的数为，B点表示的数是2，过点B作于点B，且（单位长度）以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的一个交点D表示的数为______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行2个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)数轴上另有两点分别表示实数和，且，求的平方根． 【题型十五】规律探究 【例29】．如图，是等边三角形，是线段上一点（不与点，重合），连接，点，分别在线段，的延长线上，且，点从运动到的过程中，周长的变化规律是（   ） A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．不变 【例30】．（24-25八年级上·江苏溧阳·阶段检测）有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是______． 【例31】．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知，为的平分线，、、…为的平分线上的若干点．如图1，连接、，图中有1对全等三角形；如图2，连、、、，图中有3对全等三角形；如图3，连接，图中有6对全等三角形，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到，再分别倍长，，得到，…按此规律，倍长n次后得到的的面积为__________． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）我们知道，对于，若，则从顶点出发的中线、高线和角平分线互相重合，简称“三线合一”．小亮在学完这个知识后进一步探究发现，若，这三条线互不重合，而且排列具有一定的规律．下图中，，若从顶点出发，分别作出中线、高线和角平分线，你能发现这三条线的排列规律吗？请你写出、、在上的排列顺序，并给出证明． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）14、、、、0.2020020002……这五个数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法：①同位角相等；②的算术平方根是；③无限小数都是无理数；④带根号的数都是无理数；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．其中是真命题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）已知三边不相等的三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足 那么这个三角形的最长边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 8．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（ ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，用直尺和圆规在边上找一点P，使得P到点A、C的距离相等，以下符合要求的作图是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，△中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则△的面积为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题 11．（25-26八年级上·江苏南京·期中）16的算术平方根是___________，9的立方根是___________． 12．（25-26八年级上·江苏常州·期末）若为正整数，且满足，则__________． 13．（2026八年级·江苏·专题练习）如图，梯形中，，，，，的垂直平分线交于E，连接，则四边形的周长为___． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，，的面积为50，则的面积为_____． 15．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，，若，，则的长度为__________． 16．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，垂直于的平分线交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为___________． 17．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，为的平分线，于，若的面积是，，，则的长是______． 三、解答题 18．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，，，，点在上，求证：． 19．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知与互为相反数，求的值． 20．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，D在边上，，过点D作的垂线，交于点E．求证：． 21．（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 22．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，数轴上从左至右依次有C，O，A，B四个点，分别对应的数字为x，0，1和，且． (1)求的长，并求x的值； (2)求的平方根． 23．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此V2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 24．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新） 如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 25．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于、两点，且a，b满足，直线平分，交x轴于D点． (1)若的中点为M，连接交于N，直接写出点A、B的坐标并求证：； (2)如图2，过点A作，垂足为E，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接，并作等腰，其中，连接并延长交y轴于G点，当P点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变；求出它的长度. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考压轴题汇总（三角形+实数的初步认识） 压轴题型 考查位置 核心难点 基础概念辨析 选择题 1.全等图形、全等三角形概念：形状相同大小相等；2.全等三角形对应边、对应角；3.等腰三角形、等边三角形性质；4.线段垂直平分线、角平分线的性质定理。 全等三角形判定 填空 / 选择 考法：给出一组条件，补充一个条件使得△ABC≌△DEF；常考陷阱：两边及其中一边对角（SSA）不能判定。 角度计算 填空必考 易错提醒：如果给的角是 100°，只能作为顶角，不能做底角。 线段长度计算 填空 1. 全等三角形对应边相等；2. 线段垂直平分线上点到两端距离相等；3. 角平分线上点到角两边距离相等；4. 等腰三角形等角对等边 全等三角形基础证明 解答题，必考 1. 找目标：要证全等，锁定两个三角形；2. 找已知条件：标记相等边、相等角；3. 找隐藏条件：公共边、公共角、对顶角；4. 选判定定理，规范书写证明格式；5. 若要证线段 / 角相等：先证全等，利用全等性质得到结论。 等腰三角形证明 解答题 思路：证等角对等边；或者证三角形全等得到两边相等。 几何简单综合 月考压轴小大题 考法：全等 + 角平分线 / 垂直平分线综合；全等 + 等腰三角形角度线段混合计算； 实数分类与无理数识别 选择 易错：是有理数，不要看到根号就当成无理数 平方根、算术平方根、立方根概念辨析 高频填空选择 易错点：区分 “a 的平方根” 与 “”；本身只代表算术平方根，只有一个非负数。 求 x 的值 解方程，解答小题 估算无理数大小 填空 考法：判断在哪两个整数之间；估算的整数部分、小数部分。 实数简单计算 解答计算题 化简绝对值：先判断里面正负，负数去绝对值变相反数。 利用非负性求值 月考高频小题 两个非负数：；若两个非负数相加等于 0，则各自等于 0。 实数与数轴 选择/填空/解答 数轴法、估算法、平方（立方）比较法、作差法；实数与数轴上的点一一对应。 规律探究 选择/填空/解答 动态探究题（动点、变式、猜想证明） 【题型一】基础概念辨析（选择题） 【例1】．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 【答案】D 【知识点】全等三角形的概念、全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．根据全等图形的判定和性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误； C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确． 故选：D． 【例2】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质，三角形三边关系等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据非负数的性质，求出a和b的值，再根据等腰三角形的性质分类讨论边长组合，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 【详解】解：∵，且，， ∴且， ∴，， 当腰长为2，底边为3时，三边为2、2、3， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 当腰长为3，底边为2时，三边为3、3、2， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 故此等腰三角形的周长为7或8， 故选A 【例3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）正方形网格中，位置如图，点O、A、B三点都是格点，则格点C、D、E、F中到两边距离相等的点是（    ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，将“到两边距离相等的点”转化为“在的平分线上的点”，通过图象即可找出符合条件的点． 【详解】解：由题意，可知该点在的平分线上， 通过图象可知，点E在的平分线上， 故选： C． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（ ） A．丰田 B．奥迪 C．雪铁龙 D．三菱 【答案】A 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、组成图形的三个图形不全等，故本选项符合题意； B、组成图形的四个圆形全等，故本选项不符合题意； C、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； D、组成图形的三个图形全等，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列几种说法：全等三角形的对应边和对应角相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的概念、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的定义，全等是指形状相同，大小相同，两个方面必须同时满足． 本题主要考查全等三角形的定义，根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，全等三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，①正确； ②、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故②错误； ③、全等三角形的周长相等，但周长的两个三角形不一定能重合，不一定是全等三角形，故③错误； ④、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故④正确； 故正确的是①④． 故选：D． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论错误的是（   ） A．是的角平分线 B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质、角平分线的尺规作图、等角对等边，勾股定理，掌握相关性质定理是解题的关键．根据角平分线的作法即可判断A；根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，即可判断B；根据含的直角三角形的性质和三角形面积公式即可判断C；根据含的直角三角形的性质结合勾股定理即可判断D． 【详解】解：由作法得是的平分线，故A选项的结论正确，不符合题意； ，， ， ， ， ，故B选项的结论正确，不符合题意； ， ， ， ，故C选项的结论正确，不符合题意； 设，则， ，， ， 解得（负值已舍去）， ， 即，故D选项的结论错误，符合题意． 故选：D． 【题型二】全等三角形判定（填空 / 选择） 【例4】．（25-26八年级上·江苏·期末）全等三角形的判定是几何证明的基础，下列各组条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别判断即可． 【详解】解：A、，，，三边对应相等，∴ ． B、，，，两角及其夹边对应相等，∴ ． C、，，，两边及其中一边的对角相等，属于，不能判定全等． D、，，，两角及其中一角的对边相等，∴ ． ∴ 不能判定全等的是C． 故选：C． 【例5】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，已知一组边相等及一个角相等，再添加一个角相等，或者一条边相等即可求解． 【详解】解：， ， ， 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加， 则； 故答案为：（答案不唯一） 【例6】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，，若要使，请添加一个条件______．（只需填写一个正确条件） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定方法，可添加条件：，再有条件，可利用证明． 【详解】解：可添加条件：，理由如下： 在和中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，添加下列条件后能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．首先根据等式的性质可得，结合，再分别添加四个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理进行分析即可．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， 另有． A、添加，根据不能判定，故本选项不符合题意； B、添加，根据不能判定，故本选项不符合题意； C、添加，只有两个条件，不能判定，故本选项不符合题意； D、添加，可得，根据能判定，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是______． 【答案】 【知识点】尺规作一个角等于已知角、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查尺规作图—作角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据作图得到，进而得到，即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴； 故答案为： 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，，若要证明，则还要添加条件______就可以了． 【答案】 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 添加条件，根据等式的性质可得，再利用判定即可． 【详解】解：依题意，还要添加条件， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 【题型三】角度计算（填空必考） 【例7】．（2026·江苏徐州·二模）如图，，，，则_______． 【答案】 /度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形的内角和，求出，根据两直线平行，内错角相等，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的大小为______ 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】此题考查了旋转、等边对等角、三角形内角和定理等知识．根据旋转的性质得到，，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： 【变式2】．（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，将绕点O逆时针旋转一定角度得到，使得．若，，则________°． 【答案】50 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，正确作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 连接，，，，与相交于点D，与交于点E，先由三角形的内角和求出，再由旋转的性质得到，，，，从而证得，得到，根据三角形的内角和得到，根据求得，即可解答． 【详解】解：连接，，，，与相交于点D，与交于点E， ∵，， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转一定角度得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：50 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，等边的边长为2，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接，，则的度数是________，当的周长最小时，的度数是________． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数． 【详解】解： 、都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点， ， 如图，作点关于的对称点，连接，，，则， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：；． 【题型四】线段长度计算（填空） 【例8】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是_______． 【答案】28 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形三边关系定理，求出x的取值范围，再结合x为奇数的条件确定x的值，进而计算周长 【详解】解：根据三角形的三边关系，可得，即． 由于为奇数，因此． ∴三角形的周长为． 故答案为：28． 【例9】．如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于，，若，，则的长度是________ ． 【答案】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线定义，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线． 延长至点，使得，连接，证明，得到，，结合，，可得，推出，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 为边上的中线， ， 又 ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】．已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 【答案】15 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况进行讨论，再根据三角形三边之间的关系，判断能否构成三角形，最后求出周长即可． 【详解】解：当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴不能构成三角形， 当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为． 【变式2】．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 【答案】8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴（负值已舍）． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，是中点，将沿折叠得，若，且，，则点到的距离为_________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，三角形的面积公式，连接，延长交于点，证明，进而结合勾股定理可得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， ∵折叠， ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴ ∴， ∵是中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴, 在中， ∴ 设点到的距离为， ∴ ∴ 故答案为：． 【题型五】全等三角形基础证明（解答题，必考） 【例10】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【知识点】两直线平行内错角相等、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，即可证明． 【详解】略 【例11】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，．求证：． 【答案】 证明：于点M，， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据于点M，得，根据得，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【例12】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且． (1)求证； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴； (2)4 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先由平行得到，再由即可证明； （2）可得，由得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，垂足分别为点D，E，相交于点O，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定， 先根据，得出，再利用即可证明． 【详解】略． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在与中 ∴； (2)3 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，然后利用证明即可； （2）首先求出，根据全等三角形的性质得，则． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 【答案】（1）B； （2）A； （3）证明：如图2，延长到M，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． (1)根据，，推出和全等即可． (2)根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可． (3)延长到，使，连接，根据边角边证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）是中线， ， 在和中， ； 故答案为：B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ； 故答案为：A； 【题型六】等腰三角形证明（解答题） 【例13】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，．写出命题“若则”的逆命题，并证明该逆命题． 【答案】逆命题为：在中，，若，则． 证明：延长至点，使，连接， 则垂直平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． 【知识点】写出命题的逆命题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查的是逆命题定义及证明，根据题意交换命题的条件和结论得出逆命题，再证明；延长至点，使，连接，证明是等边三角形，根据等边三角形性质得出结论即可． 【详解】逆命题为：在中，，若，则． 证明略 【例14】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 【答案】(1) 证明：∵于点D，于点E， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 故． (2)9 【知识点】等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为9． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，为中点，连接，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：，由（1）知， ∴ ∵F是CE边上的中点， ． 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半． （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，进而得出由垂直定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【详解】（1）解：，是边上的中线， ，， ； （2）略 【变式2】．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）是等边三角形，是边（端点除外）上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长； (2)如图2，是延长线上的点，，为的中点，连接，．求证：． 【答案】(1) ①证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ② (2) 证明：如图，过点作的平行线，交的延长线于点，连接、， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，，，通过等量代换可得，进而可证明，命题得证； ②作于点，由全等的性质可得，结合含角的直角三角形的性质和勾股定理可计算得，．根据垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，此时，则，最后利用求出； （2）过点作的平行线，交的延长线于点，连接、，容易证明，则，．结合平行与等边三角形的性质可证明，容易判断是等边三角形，由三线合一可证明． 【详解】（1）解：①略 ②解：如图，作于点， 由①可得， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴当点与点重合时，取得最小值，此时， ∵， ∴， ∴； （2）略 【变式3】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形中，平分，． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时， ①求证：； ②若，，，则点到的距离是______． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ①证明：过点C作于点E，过点C作于点F， 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，且， ∴， ∴， ∴； ②2 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，是解题的关键． （1）只需证明，即可求解； （2）①过点C作交于点E，过点C作交于点F，通过证明，即可求； ②由，，可得，，即得到，求得，即得点C到的距离． 【详解】（1）略 （2）解： ① 略 ②解：由①可知，，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C到的距离是． 故答案为：2． 【题型七】几何简单综合（月考压轴小大题） 【例15】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，． 是的角平分线，，， ． 是的垂直平分线， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ． (2)36 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）连接，．根据角平分线的性质定理得出，，根据是的垂直平分线，得出．证明，即可得． （2）根据全等三角形的性质得出，结合，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ． ． 的长为36． 【例16】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图∶在中，点G为中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证∶； (2)求证∶． 【答案】(1) 证明∶如图，连接， ∵G是的中点，， ∴， ∵平分，， ∴， 又， ∴， ∴； (2) 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． (1)连接，先利用线段垂直平分线的性质得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明，即可得证； (2)证明，得到，由(1)得，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）略． （2）略． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，点E、F分别在、上，平分，，，连接交于点O．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴； ∵，， ∴； 在和中， ， ∴； (2) 证明：由（1）知， ∴， 又∵平分， ∴，， 即垂直平分． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一等知识. （1）利用角平分线的定义得出，再由垂直的定义得出，即可证明． （2）由全等三角形的性质得出，再由三角形三线合一的性质即可得出垂直平分． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)的长为 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SSS综合（SSS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质．熟悉以上知识点，并灵活运用是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法进行判断即可； （2）利用作图符合判定全等三角形的方法，进行判断即可； （3）过点作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程即可． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序为②①③； 故答案为：②①③； （2）解：由作法得，，而为公共边， 所以根据“”可判断，则， 故答案为：①； （3）解：如图，过点作于点， 平分，，， ， ， ， 即，解得：， 的长为3． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）如图，在中，，垂足为，，证明根据小明的思考，请继续完成小明的证明； （2）如图，在中，平分，，证明． （3）在中，是的一点，下列说法正确的______．（填写所有正确的选项） A．若且，则； B．若平分且，则； C．若且、，则； D．若平分且、，则． 【答案】 （1）证明：如图，分别延长至，使得，，连接， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，分别在上取点，使得，， ∵， ∴， 即 ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）A、B、C 【知识点】三线合一、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． （）如图②，分别延长至，使得，，连接，可得，进而证明，得到，即可得，得到，即可求证； （）分别在上取点，使得，，同理证明，得到，即得，进而可得，即可得，即可求证； （）仿照（）、（）的方法，分别画出图形分别证明即可求解． 【详解】（）略 （）略 （）、如图，在上取，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 、如图，延长，使，，连接， ∵， ∴， 即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 、如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵、， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴，故选项正确； 、如图，取的中点，连接， ∵平分， ∴， 因条件无法证明， 故无法得到， ∴无法得到，故选项错误； ∴正确的说法是， 故答案为：． 【题型八】实数分类与无理数识别（选择） 【例17】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）下列实数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…这样有规律的数． 根据无理数（无限不循环小数）与有理数（整数和分数，含有限小数、无限循环小数）的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、698是整数，属于有理数，故选项不符合题意； B、1.99是有限小数，属于有理数，故选项不符合题意； C、是分数，属于有理数，故选项不符合题意； D、是开方开不尽的数，属于无理数，故选项符合题意； 故选：D． 【例18】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）下列六个数：，，，，0，，其中无理数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、无理数、实数的分类 【分析】此题考查无理数的定义，立方根，无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，据此判断每个数． 【详解】解：∵，为整数， ∴是有理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵3.1415是有限小数， ∴是有理数； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数； ∵0是整数， ∴是有理数； ∵3不是完全平方数， ∴是无理数. ∴无理数有和，共2个． 故选：C． 【例19】．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）数字中有理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、实数的分类 【分析】本题考查了实数分类，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如 ， 等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如 （0的个数一次多一个）．根据定义进行判断即可． 【详解】解：，，，是有理数； ，π是无理数； ∴数字中有理数有4个， 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）实数，0，，2.5252252225…（相邻两个5之间的2的个数逐次加1），其中无理数的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个实数：是无理数；0是有理数；是无理数；2.5252252225…（模式变化，无限不循环）是无理数． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数， ∴是无限不循环小数，为无理数； 0是整数，是有理数； 是无限不循环小数，为无理数； 2.5252252225…中相邻两个5之间的2的个数逐次加1，故小数部分无限且不循环，为无理数． ∴ 无理数共有3个． 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法：①无理数包括正无理数、0、负无理数；②无理数与无理数的和仍然是无理数；③若一个数的平方等于它的算术平方根，则这个数是0或1；④正实数和负实数统称为实数；⑤有理数与数轴上的点一一对应．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】无理数、实数与数轴、实数的分类、平方根概念理解 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数与数轴，算术平方根等知识，根据各自的定义和性质一一判断即可得出答案． 【详解】解： ①无理数包括正无理数、负无理数；则原说法错误； ②无理数与无理数的和不一定是无理数，例如，0是有理数，则原说法错误； ③若一个数的平方等于它的算术平方根，则这个数是0或1，说法正确． ④正实数和负实数以和0统称为实数；则原说法错误． ⑤实数与数轴上的点一一对应，则原说法错误； 综上，正确的有③， 故选：B 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，，0.31． 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}． 【答案】 ，， 故有理数集合：{，3.14，，0，，0.31}； 无理数集合：{，，，}； 正实数集合：{，3.14，，，0.31}． 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类、求立方根、求算术平方根，先根据立方根与算术平方根的定义进行化简，再根据实数的分类法则即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【题型九】平方根、算术平方根、立方根概念辨析（高频填空选择） 【例20】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A． B．8的立方根是 C． D．4的平方根是 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，平方根和立方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根， 若满足，那么a就叫做b的立方根，且，据此求解即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、8的立方根是2，原说法错误，不符合题意； C、，原说法错误，不符合题意； D、4的平方根是，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）下列说法：①64的平方根是，立方根是；②负数没有立方根；③16的算术平方根是4；④表示a的平方根，表示a的立方根；⑤一定是负数；其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①64的平方根是，立方根是4，因此①不正确； ②负数有立方根，因此②不正确； ③16的算术平方根是4，因此③正确； ④表示的算术平方根，表示的立方根，因此④不正确； ⑤不一定是负数，当时，；当时，，因此⑤不正确． 综上所述，正确的只有③，共1个， 故选：． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）的平方根是___________；9的立方根是___________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：的平方根是，9的立方根是， 故答案为：；． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏·期中）实数27的立方根是__．9的平方根是__________. 化简：_____． 【答案】 3 4 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根、平方根和算术平方根的概念，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据立方根、平方根和算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：27的立方根是；9的平方根是；， 故答案为：3，，4． 【题型十】求 x 的值（解方程，解答小题） 【例21】．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根与立方根的求解，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，通过移项、系数化为1等步骤，将方程转化为可直接开方的形式． （1） 先移项，将常数项移到等号右边，再把二次项系数化为1，最后根据平方根的定义开方求解； （2） 先把方程两边同时除以2，将三次项系数化为1，再根据立方根的定义求出的值，进而解得． 【详解】（1）解： 即 （2）解： 【变式1】．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）求下列的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查利用平方根的定义和立方根的定义解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）先整理，再利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； ∴ 或 （2）解：∵， ∴， ∴ 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是掌握利用平方根和立方根求方程的解． （1）利用开平方求方程的根即可； （2）利用立方根求方程的根即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值． (1)方程两边同时除以，再把两边同时开平方得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值； (2)把常数项移到等号右边，再把两边同时开立方得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值． 【详解】（1）解：， 方程两边同时除以得：， 两边同时开平方得：， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 两边同时开立方得：， 移项可得：， 合并同类项得：． 【题型十一】估算无理数大小（填空） 【例22】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：_______． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的大小估算，无理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先估算出，即可得出答案． 【详解】解：, ， ， ， 故答案为：． 【例23】．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：3____  （用“”或“”填空）． 【答案】< 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的比较大小，通过比较平方根的大小，由于14大于9，根据平方根的性质，大于即3，因此3小于． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）比较大小：_____，_____． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、求一个数的立方根、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了实数比较大小，关键是熟练应用实数比较大小的方法； ①先计算的值，再与比较； ②先比较与7的大小，再根据负数比较法则得出结论. 【详解】解：对于①： ∵ ， ， ∴ ； 对于②： ∵， ∴ ， 即： ， 故答案为：，. 【变式2】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）写出一个有理数，使，你写的为______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，计算，得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若有理数a满足，则有理数a的值可以是_____．（写出1个值即可） 【答案】2 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，准确估算和是解题关键．根据无理数和 的近似值，确定a的取值范围，再选择满足条件的有理数． 【详解】解：，， ∵，a为有理数， ∴a可以是2（答案不唯一，如3或4也可）． 故答案为：2． 【题型十二】实数简单计算（解答计算题） 【例24】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． 先计算立方根和算术平方根，乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解原式 ． 【变式1】．计算： 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、求一个数的立方根、实数的性质 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根与立方根的计算是关键；计算算式中的算术平方根、绝对值及立方根即可求解． 【详解】解：原式= ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算是解题的关键． （1）先计算立方根、算术平方根和乘方运算，再求和即可； （2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根和化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】绝对值非负性、求一个数的立方根、实数的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）分别计算乘方，化简绝对值，算术平方根以及立方根，然后合并同类项即可； （2）先计算乘法、算术平方根，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算，化简绝对值，算术平方根，立方根，二次根式的加减运算等知识．熟练掌握实数的混合运算的运算法则并正确的计算是解题的关键． 【题型十三】利用非负性求值（月考高频小题） 【例25】．（2024八年级上·江苏宿迁·专题练习）已知实数x，y满足，则代数式的值为（   ） A． B．1 C．2012 D． 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）已知，则的值为_____． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】利用非负数的性质，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出x与y的值，再代入计算的值． 【详解】解：∵是算术平方根，是平方数， ∴，． ∵， ∴， ，． 解得，． ∴． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知a，b，c都是实数，且满足，且，求代数式的值． 【答案】212 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、已知式子的值，求代数式的值 【分析】利用非负性求出的值，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查非负性，代数式求值．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键． 【变式3】．【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、数字问题(二元一次方程组的应用)、绝对值非负性 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法． （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，则的取值范围是； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ； （3）解：， ， ， ， ． 【题型十四】实数与数轴 【例26】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算及实数与数轴，熟练掌握无理数的估算及实数与数轴是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：因为，所以， 所以根据数轴可知只有B选项符合题意； 故选B． 【例27】．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 【答案】 【知识点】估计算术平方根的取值范围、实数与数轴 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示实数的点可能是点， 故答案为：． 【例28】．实数在数轴上对应点的位置如图所示，若． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求一个数的平方根、实数与数轴 【分析】本题考查的是实数与数轴，求平方根； （1）根据数轴可得，进而化简绝对值，即可求解； （2）根据（1）得出，再求平方根，即可求解． 【详解】（1）解：由所给数轴可知，， 所以，， 则． （2）由（1）知， 所以的平方根是． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则S的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，结合数轴，点应在3~4之间（E靠近4），即可得出，据此确定S的取值范围． 【详解】解：正方形面积，，点E在数轴上A右侧（A表示1），则E表示． 结合数轴，点应在3~4之间（E靠近4）， ∴， ∴， ∴， 选项B中符合条件，其余选项不符合， 故选B． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上A点表示的数为，B点表示的数是2，过点B作于点B，且（单位长度）以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的一个交点D表示的数为______． 【答案】 【知识点】实数与数轴 【分析】利用数轴知识和实数的性质解答． 本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握实数的性质，数轴知识． 【详解】解：根据题意得， ， ， 点D表示的数为， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行2个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)数轴上另有两点分别表示实数和，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3)平方根为 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、实数与数轴、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查实数与数轴，绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值，解题的关键是掌握与实数相关的概念． （1）根据比小2，即可解答； （2）结合（1），把的值代入计算即可； （3）求出，，代入，可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意：， 故答案为：； （2）解：当时， ； （3）解：， ，， 解得，， ， 的平方根，即16的平方根为． 【题型十五】规律探究 【例29】．如图，是等边三角形，是线段上一点（不与点，重合），连接，点，分别在线段，的延长线上，且，点从运动到的过程中，周长的变化规律是（   ） A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．不变 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质运用“”可证，由全等三角形的性质可得，可得周长，再根据的变化情况即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ∴周长， ∵在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小， ∴在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大． 故选：A． 【例30】．（24-25八年级上·江苏溧阳·阶段检测）有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是______． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查规律探索问题，根据题干中的数据总结规律可知第n个数的符号为，分母为，分子为，即可得出答案． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； ， 第个数是； 故答案为：． 【例31】．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知，为的平分线，、、…为的平分线上的若干点．如图1，连接、，图中有1对全等三角形；如图2，连、、、，图中有3对全等三角形；如图3，连接，图中有6对全等三角形，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形类规律探索、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，明确题意，准确找出规律是解题的关键，根据题意可得如图1，,共有对全等三角形；如图2：,，，共有对全等三角形；如图3：,,,,,,共有对全等三角形，由此发现规律，即可得到答案． 【详解】解：如图1：∵为的平分线， ∴, ∵, ∴, ∴共对全等三角形； 同理，如图2：,， ∴, ∵, ∴, ∴共对全等三角形； 同理，如图3：,,,,,,共有对全等三角形， 由此发现，第个图形，全等三角形有对， ∴第个图形中有对全等三角形， 故选：B． 【变式2】．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到，再分别倍长，，得到，…按此规律，倍长n次后得到的的面积为__________． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索，根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的7倍，依此规律可得结论． 【详解】解：连接，，， 根据等底等高的三角形面积相等，可得，，，，，，，的面积都相等， ∴， 同理， ， ， 以此类推，． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）我们知道，对于，若，则从顶点出发的中线、高线和角平分线互相重合，简称“三线合一”．小亮在学完这个知识后进一步探究发现，若，这三条线互不重合，而且排列具有一定的规律．下图中，，若从顶点出发，分别作出中线、高线和角平分线，你能发现这三条线的排列规律吗？请你写出、、在上的排列顺序，并给出证明． 【答案】 解：如下图所示，排列顺序是、、， 证明：如下图所示，在上截取， 是的中线， ， ， ， 平分， ， 在和中，， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在点的右侧； ， ， ，， ，， ， ， ， ， 点在点的右侧． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、用SAS证明三角形全等（SAS）、大（小）边对大（小）角定理 【分析】在上截取，可证，根据全等三角形的性质可知，根据三角形内角和定理和平角的定义可知，根据大角对大边可证；根据直角三角形的两个锐角互余，可证，可证． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边之间的关系，解决本题的关键是根据中，可得：，根据三角形中角之间的关系，找到边之间的大小关系． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边和的夹角， ． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故B选项不符合题意； 当时，则，，故C选项不符合题意； 当，，不能判定；故D选项符合题意； 故选D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）14、、、、0.2020020002……这五个数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】实数的分类、无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是明确无理数是无限不循环小数，包括开方开不尽的数、含的数、有规律但不循环的无限小数． 根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数的类型即可． 【详解】解：14是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，所以是无理数； 因为，是整数，属于有理数； 是一个无限不循环小数，属于无理数 ，该数是有规律但不循环的无限小数，属于无理数． 综上，、、是无理数，共3个， 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了对算术平方根，平方根，立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出每个的值，再判断即可． 【详解】解：A．9的算术平方根是3，正确； B．4的平方根是，正确； C．27的立方根是3，不是，错误； D．立方根等于1的数是1，即若，则，正确． 故选C． 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法：①同位角相等；②的算术平方根是；③无限小数都是无理数；④带根号的数都是无理数；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．其中是真命题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、两直线平行同位角相等、判断命题真假 【分析】此题考查了真假命题的判断，平行线的性质，算术平方根，无理数的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据平行线的性质，算术平方根，无理数的定义等逐项求解判断即可． 【详解】解：①同位角相等需两直线平行，否则不一定，故错误； ②的算术平方根是，故正确； ③无限不循环小数是无理数，故错误； ④带根号的数不一定是无理数，故错误； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，故正确． ∴真命题为②和⑤，共2个． 故选：B． 6．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）已知三边不相等的三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足 那么这个三角形的最长边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查三角形三边关系，算术平方根和绝对值非负性等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 通过方程求出a和b的值，再根据三角形三边关系得到c的范围，结合c是最长边的条件，即可确定c的取值范围． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵最长边为c， ∴， 即这个三角形的最长边c的取值范围是． 故选：B 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【知识点】估计算术平方根的取值范围、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三线合一、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质 【分析】连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴， 故选：B． 9．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，用直尺和圆规在边上找一点P，使得P到点A、C的距离相等，以下符合要求的作图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图． 根据尺规作图的方式逐一判断即可． 【详解】 解：A．，可知，但无法判断P到点A、C的距离是否相等； B．，作的是的垂直平分线，即P到点A、C的距离相等； C．，可知平分，但无法判断P到点A、C的距离是否相等； D．，作的是的垂直平分线，但无法判断P到点A、C的距离是否相等； 故选：B． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，△中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则△的面积为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形面积与线段比例的关系，解题关键是利用中点、底的比例设面积未知数，联立方程推导．连接辅助线，利用线段比例与三角形面积的关系来求解． 【详解】解：已知，， 故， 是中点， ， 连接，设，， ， （等底同高的三角形面积相等）， 因此，四边形的面积为， ， （同高，底的比为， 是中点， （等底同高）， ； ， 因此有：①， ， （同高，底的比为， ； ， 因此有：②， 由，得， 将其代入①：， ， 代入②：， ， ， ， 由，代入， 得， 故选：． 二、填空题 11．（25-26八年级上·江苏南京·期中）16的算术平方根是___________，9的立方根是___________． 【答案】 4 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义． 根据算术平方根和立方根的定义即可求解． 【详解】解：16的算术平方根是4；9的立方根是， 故答案为4，． 12．（25-26八年级上·江苏常州·期末）若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，通过平方法估算的范围即可． 【详解】解：计算 ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为6． 13．（2026八年级·江苏·专题练习）如图，梯形中，，，，，的垂直平分线交于E，连接，则四边形的周长为___． 【答案】17 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．由的垂直平分线交于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得，即可得四边形的周长为，继而求得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于E， ∴， ∵，，， ∴四边形的周长为： ． 故答案为：17． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，，的面积为50，则的面积为_____． 【答案】75 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作，垂足为，由角平分线的性质可得，得出，再求解即可． 【详解】解：作，垂足为，如图， 是的角平分线，，， ， ， 的面积为50， ， ， 故答案为：75． 15．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，，若，，则的长度为__________． 【答案】3 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，由得到，，即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，垂直于的平分线交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为___________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键． 先证明，从而可得到，然后先求得的面积，接下来，可得到的面积． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，的面积为， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，为的平分线，于，若的面积是，，，则的长是______． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，如图，过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵为的平分线，于， ∴， ∵的面积是， ∴， 即 ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 18．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，，，，点在上，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ， ， ，即． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．证明，推出，根据角的和差关系等量代换即可得证． 【详解】略 19．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知与互为相反数，求的值． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、利用算术平方根的非负性解题、加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据互为相反数两数之和为0及非负数的性质列出方程组，求出，代入计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ， 则． 故答案为：1． 20．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，D在边上，，过点D作的垂线，交于点E．求证：． 【答案】 证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（等边对等角）， ∴（等量代换）， ∴（等角对等边）． 【知识点】垂线的定义理解、等腰三角形的性质和判定、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等角的余角相等，由垂线的定义可得，再由等边对等角并结合等角的余角相等得出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 21．（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、利用平方根解方程 【分析】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可. 【详解】（1）解：， ， ， 解得或； （2）解：， ， 解得：． 22．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，数轴上从左至右依次有C，O，A，B四个点，分别对应的数字为x，0，1和，且． (1)求的长，并求x的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】（1）利用数轴两点间距离公式求出的长、的长，利用列出方程即可求出x的值； （2）把x的值代入代数式求值，再根据平方根的意义求出平方根即可． 此题考查了数轴上两点间的距离、平方根等知识，熟练掌握数轴上两点间的距离和平方根的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵A，B对应的数字为1和， ∴， ∵C，O对应的数字为x，0， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当时，， ∵1的平方根是， ∴的平方根是． 23．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此V2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算及相反数的定义，结合已知条件估算出各数分别在哪两个连续整数之间是解题的关键． （1）分别估算后求得a，b的值，然后将其代入计算即可； （2）估算出的值后再结合已知条件确定x，y的值，然后代入中再根据相反数的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， 的小数部分为，的整数部分为， ； （2）解：， ， ，即， ∵x是整数，且， ， 则， 那么的相反数为． 24．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新） 如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； (3) 证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即； (4) 【知识点】三角形三边关系的应用、不等式的性质 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边之间的关系是解题的关键． （1）根据题意，利用三角形的三边关系及不等式的基本性质即可求解； （2）延长交于点，利用三角形的三边关系及同向不等式相加，即可得出结论； （3）延长交于点，延长交于点，利用三角形的三边关系及同向不等式相加，即可得出结论； （4）利用（2）的结论和三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 （4）解：由（2）得，， ， ， ∴， ∴， 即； 在中，； 在中，； 在中，； ∴， ∴， 即； 综上，， 故答案为：． 25．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于、两点，且a，b满足，直线平分，交x轴于D点． (1)若的中点为M，连接交于N，直接写出点A、B的坐标并求证：； (2)如图2，过点A作，垂足为E，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接，并作等腰，其中，连接并延长交y轴于G点，当P点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变；求出它的长度． 【答案】(1)，， ∵直线分别交x轴、y轴于、两点，且a，b满足， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵点M是中点， ∴， ∴， ∵直线平分， ∴， ∴，， ∴， ∴． (2)， 理由：延长交于点C， ∵平分， ∴， ∵于点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． (3)的长不变， 【分析】（1）根据非负数的性质求出点A、B的坐标，然后得出是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，再根据角平分线的定义求出，然后根据直角三角形的两锐角互余的性质与三角形的一个外角等于与它不相邻对的两个内角的和求出，，利用等角对等边得到； （2）延长交于点C，得，得到，再证得到，从而得到； （3）过点F作，垂足为H，证明，根据全等三角形对应边相等可得、，再证，，，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的长不变， 如图，过点F作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义及等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $