专题2.6 实数的初步认识42道压轴题型专训（7大题型）2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学讲义围绕“实数的初步认识”构建知识体系，通过7大题型框架系统梳理平方根、立方根的性质及应用，结合对比表格呈现算术平方根规律（如0.0625至62500的算术平方根变化），以实际问题情境（如正方形面积计算）强化概念与几何直观的联系。 讲义亮点在于压轴题型的分层设计，既有利用平方根解方程的基础题，也有“混天绫围长方形”的实际应用题和华罗庚求立方根的规律探究题，培养运算能力与模型意识。每题标注来源（如期中、阶段检测），教师可精准把握学情，学生能通过题型归类提升解题思维，实现分层复习目标。

专题2.6 实数的初步认识42道压轴题型专训（7大题型） 目录 目录 【经典例题一 求代数式的平方根】 1 【经典例题二 平方根和立方根的实际应用】 1 【经典例题三 与平方根和立方根有关的规律问题】 4 【经典例题四 利用平方根解方程】 8 【经典例题五 已知一个数的平方根或立方根，求这个数】 12 【经典例题六 算数平方根和立方根的综合应用】 17 【经典例题七 实数的性质】 21 【经典例题一 利用算数平方根的非负数性解题】 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的加法运算． 由于平方、绝对值和算术平方根都具有非负性，且它们的和为零，因此每个部分都必须为零，从而可求出，，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及有意义的条件、求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则原式， 解得， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 则的平方根为， 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段测试）已知：，则_________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质得，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 所以，． 4．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，______，的值为______． 【答案】 【分析】利用非负数的性质求出与的值，代入原式拆项变形，再计算即可求出值． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 5．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）已知实数，满足，求的值 【答案】 【分析】根据非负数的性质列方程组求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：根据算术平方根和绝对值的非负性， 得，， 解得，， 则． 【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握非负性并准确计算是解答本题的关键． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据非负性解得x、y的值，再计算． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ． 【经典例题二 平方根和立方根的实际应用】 7．（23-24八年级上 江苏南京）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是（    ）． A．4 B．8 C．10 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确把握定义是解题关键．直接利用已知得出立方体的体积，进而利用立方根的定义得出答案． 【详解】解：棱长为的正方体的体积为：， 一个正方体，它的体积是棱长为的正方体的体积的8倍， 这个正方体的体积为：， 这个正方体的棱长为：． 故选：A． 9．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，由七排小正方形（每个小正方形的边长为1）拼成一个图案．将原图案中所有的小正方形重拼成两个正方形，则其中较大的正方形边长为________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是运用面积去估算边长．根据题图可知，原图案面积为，设重拼后较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，根据原图案和重拼后的图案面积相等可得，根据，且、均为整数进行判断，由此即可得解． 【详解】解：观察图形可知，共有个小正方形， 每个小正方形的边长为， 原图案面积为， 设重拼后较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，其中，且、均为整数， 则有：， 当时，，则有，不是整数，故此情况不满足题意，故舍去； 当时，，则有，不是整数，故此情况不满足题意，故舍去； 当时，，则有，是整数，故此情况满足题意； 当时，，则有，故此情况不满足题意，故舍去； 综上，较大的正方形边长为． 故答案为：． 10．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知半径为的球的体积是，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是_______． 【答案】3 【分析】设这种容器的半径为，根据题目所给体积公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设这种容器的半径为， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了立方根的应用，解题的关键是根据题意列出方程，熟练掌握立方根的定义，根据立方根的定义解该方程． 11．（25-26八年级上·北京·期中）动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20m (2)能，理由： 设宽为，则长为． 可得：， 解得：（因为长度为正，舍去负根）， 长为：， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 【分析】本题考查了正方形和长方形的周长与面积计算，解题的关键是根据面积公式求出边长（长、宽），再计算周长． （1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：因为， 所以正方形的边长为． 所以正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是． （2）略 12．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； (2)仿照明杰的方法求238328的立方根． 【答案】(1)，，两，1 (2)的立方根是62 【分析】（1）先根据立方根和平方根的定义求解64的平方根和立方根，再根据范例推测立方根的位数，根据个位数推出立方根的个位数字． （2）按照题目提供的步骤，先确定238328的立方根是几位数，再根据238328的个位数推断立方根的个位数，最后通过范围界定确定立方根的十位数． 【详解】（1）解：∵ ∴64的平方根是，立方根是； ∵， ∴是个两位数， ∵， ∴个位数字是1， （2）解：∵，且， ∴ ∴的立方根是两位数； ∵的个位数字是8，而． ∴能确定的个位数字是2． 如果划去后面的三位数，得到数238，而． ∴， ∴， ∴， ∴的立方根的十位数字是6， ∴的立方根是62， 验证：． 【经典例题三 与平方根和立方根有关的规律问题】 13．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 14．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段测试）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 15．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之，被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位． 利用算术平方根的概念进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 17．（23-24八年级上·四川南充·阶段检测）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 18．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 【经典例题四 利用平方根解方程】 19．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知都小于1且大于0，根据平方根求得的值即可求解． 【详解】解：∵ ∴都小于1且大于0 （负值舍去） 故选D 【点睛】本题考查了求一个数的平方根，判断的范围是解题的关键． 20．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（    ） A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．是19的算术平方根 D．是19的平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据求平方根的方法解方程，求一个数的算术平方根和平方根，先解方程得到，再根据平方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是19的算术平方根， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 21．（25-26八年级上·广西桂林·期中）关于x的方程：是一元一次方程，则有理数a的值为____． 【答案】1或或0 【分析】一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式． 【详解】解：由题意得：或， 解得：或或0． 当时，原方程为，是一元一次方程， 当时，原方程为，是一元一次方程， 当时，，原方程为，是一元一次方程， 故答案为1或或0． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义．熟记相关结论即可． 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式、利用平方根解方程，熟练掌握平方差公式是解题关键．令，则，利用平方差公式计算可得，再利用平方根解方程即可得． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 【答案】(1)这块长方形空地的周长为160米 (2)宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为米，则宽为米，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y米，则长为米，正方形花坛1的边长为米，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为米，则宽为米， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为米，则长为米，正方形花坛1的边长为米， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 24．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了展开式的系数规律． 第2行 第3行 第4行 第5行 【应用体验】 (1)的展开式为 ； (2)利用上面的规律计算： ① ； ② ； (3)若， ①求的值． ②求的值． (4)当代数式的值为1时，求a的值． 【答案】(1) (2)①；②32 (3)①1；② (4)或1 【分析】（1）根据“杨辉三角”的系数规律进行解答即可； （2）①根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案；②根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案； （3）①令即可求出答案；②分别令和列出式子，两式相减即可求出答案； （4）根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， （2）解：① ； ② （3）解：①当时， ， ②当时， ①， 当时， ②， 得到， ∴ （4） 当代数式的值为1时，则， ∴， ∴或， 解得或1 【经典例题五 已知一个数的平方根或立方根，求这个数】 25．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故选：C． 26．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据平方根及立方根的定义求得x，y的值，然后代入中计算即可． 本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：的平方根是x， ， 的立方根是， ， 或， 故选：D 27．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 28．（23-24八年级上·北京·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有． 【答案】①② 【分析】根据立方根、平方根的定义可判断①②；利用开平方法解方程后可判断③的解的情况；利用特殊值法可判断④． 【详解】①，则， 即， ∴，在实数范围内有解，故选项①正确； ②，则， ∴在实数范围内的解有两个，故选项②正确； ③，整理得：， 配方得：， 开方得：或(舍去)， ∴， ∴原方程在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误； ④当时，； 当时，； 当时，；故选项④错误； 综上，①②正确， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了完全平方公式，开平方解方程，是信息给予题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为， 所以或， ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程． 【答案】 解：∵一个数的算术平方根为，平方根为， ∴或． ①当时，解得， ∴． ∵算术平方根为非负数， ∴不符合题意； ②当时，解得， ∴， ∴这个数为． 综上所述，这个数为． 【分析】本题考查算术平方根及平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义进行判断并改正即可． 【详解】略 30．（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵的立方根为3， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 【经典例题六 算数平方根和立方根的综合应用】 31．（24-25八年级上·山东聊城·阶段测试）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 32．（23-24八年级上·山东滨州·阶段测试）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 33．（25-26八年级上·江苏·阶段测试）已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于和的等式，求出、的值后代入计算，最后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， 将，代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 34．（23-24八年级上·山东德州·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根以及算术平方根的计算，比较简单，注意运算时解方程要进行验算，确保计算的正确；区分算术平方根与平方根，一个正数的平方根有两个，但是算术平方根只有一个，并且是正的． 根据平方根的概念，可推出和的值，然后得到关于a和b的二元一次方程组，可解出a和b的值，再代入中得出的值即可得出答案． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是6， ∴， 解得：； ∴， ∴的平方根为； 故答案为． 35．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 36．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段测试）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ， 的立方根是2， ， ， ， 的算术平方根为． 【经典例题七 实数的性质】 37．（25-26八年级上·重庆·期中）对实数进行如下操作：先将其乘以2，再将所得的结果加上5，称为第一次操作，记结果为，将第一次操作的结果按相同规则再操作一次，得到第二次操作的结果，记为，以此类推，重复操作．记，则下列说法中正确的个数是（   ） ①当时，，； ②若，则； ③若为整数，则是偶数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】当时，分别计算、、、、的值，进而得到的值，可判断①；根据操作的结果用表示出和，再根据列出方程，可判断②；若为整数，则是奇数，是奇数……依此类推，都是奇数，进而得到的奇偶性，可判断③，即可得出结论． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， ∴， ∴，，故①正确； ， ， ， ， ， ， ∴， ∵ ∴， 解得，故②正确； ∵为整数， ∴是奇数， ∴是奇数…… 依此类推，都是奇数， ∵， ∴是2026个奇数的和， ∴是偶数，故③正确； 综上，正确的个数是3个． 38．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据实数的性质和立方根的概念，需逐一判断各选项的正确性. 本题考查实数的性质，立方根的意义. 【详解】解：∵ 选项A：若，则或， ∴ A错误. ∵ 选项B：若，如但， ∴ B错误. ∵ 选项C：若，则或， ∴ C错误. ∵ 选项D：若，两边立方得，且在实数范围内立方根唯一， ∴ D正确. 故选：D 39．（25-26八年级上·上海·期中）已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离．解题关键是数轴上两点间的距离等于它们表示的两数差的绝对值，也可以“大减小”，分类讨论． 设点B表示的数为x，根据数轴上点与点关于原点对称，得点A表示的数为，根据点表示的数是．分当时，当时，写出长的表达式，再根据建立方程，解答即可． 【详解】解：设点B表示的数为x， ∵数轴上点与点关于原点对称， ∴点A表示的数为． ∵点表示的数是． 当时， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． 当时， ∴． ∴． 解得． ∴． 故答案为： 或． 40．（24-25八年级上·福建厦门·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号_____． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，其中一个解介于和之间；④对于任意的，恒有． 【答案】 【分析】逐个判断命题，利用奇次幂、偶次幂的实数解性质判断，讨论时和时，的值，即可判断的解的范围，举特殊值反例判断． 【详解】解：对于，是奇数，任意正数在实数范围内都存在奇数次方根，因此方程在实数范围内有解，故正确． 由方程得，是正偶数，在实数范围内有两个解，因此解不止一个，故正确． 当时，， 当时，， ∴在之间，存在实数，使得成立， ∴在实数范围内有解，其中一个解介于和之间，故正确． 举反例：当时，，，此时，不满足，因此错误． 综上，正确命题的序号为． 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． (1)若，则的算术平方根为______； (2)若，其中是x的平方根，则x的值为______． 【答案】(1)3 (2)4 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答． 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为3， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得：， ∵m，n是x的平方根， ∴， 故答案为：4． 42．（25-26八年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1， (2)1或 (3)2或0或 【分析】本题考查了绝对值，实数的运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）把a的值代入计算即可； （2）分两种情况讨论：当时，当时，分别化简绝对值即可； （3）分四种情况讨论：当，时，当，时，当，时，当，时，分别化简绝对值即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：1，； （2）当时，； 当时，； 即当实数a不等于零时，的值是1或； （3）当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为2或0或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 实数的初步认识42道压轴题型专训（7大题型） 目录 目录 【经典例题一 求代数式的平方根】 1 【经典例题二 平方根和立方根的实际应用】 1 【经典例题三 与平方根和立方根有关的规律问题】 2 【经典例题四 利用平方根解方程】 3 【经典例题五 已知一个数的平方根或立方根，求这个数】 5 【经典例题六 算数平方根和立方根的综合应用】 7 【经典例题七 实数的性质】 8 【经典例题一 利用算数平方根的非负数性解题】 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段测试）已知：，则_________． 4．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，______，的值为______． 5．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）已知实数，满足，求的值 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知与互为相反数，求的值． 【经典例题二 平方根和立方根的实际应用】 7．（23-24八年级上 江苏南京）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是（    ）． A．4 B．8 C．10 D． 9．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，由七排小正方形（每个小正方形的边长为1）拼成一个图案．将原图案中所有的小正方形重拼成两个正方形，则其中较大的正方形边长为________． 10．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知半径为的球的体积是，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是_______． 11．（25-26八年级上·北京·期中）动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 12．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； (2)仿照明杰的方法求238328的立方根． 【经典例题三 与平方根和立方根有关的规律问题】 13．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段测试）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则_____． 17．（23-24八年级上·四川南充·阶段检测）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 18．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【经典例题四 利用平方根解方程】 19．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（    ） A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．是19的算术平方根 D．是19的平方根 21．（25-26八年级上·广西桂林·期中）关于x的方程：是一元一次方程，则有理数a的值为____． 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知，那么的值为______． 23．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 24．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了展开式的系数规律． 第2行 第3行 第4行 第5行 【应用体验】 (1)的展开式为 ； (2)利用上面的规律计算： ① ； ② ； (3)若， ①求的值． ②求的值． (4)当代数式的值为1时，求a的值． 【经典例题五 已知一个数的平方根或立方根，求这个数】 25．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 26．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 27．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）若与互为相反数，则的值为______． 28．（23-24八年级上·北京·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有． 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为， 所以或， ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程． 30．（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【经典例题六 算数平方根和立方根的综合应用】 31．（24-25八年级上·山东聊城·阶段测试）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 32．（23-24八年级上·山东滨州·阶段测试）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 33．（25-26八年级上·江苏·阶段测试）已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 34．（23-24八年级上·山东德州·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是______． 35．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 36．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段测试）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【经典例题七 实数的性质】 37．（25-26八年级上·重庆·期中）对实数进行如下操作：先将其乘以2，再将所得的结果加上5，称为第一次操作，记结果为，将第一次操作的结果按相同规则再操作一次，得到第二次操作的结果，记为，以此类推，重复操作．记，则下列说法中正确的个数是（   ） ①当时，，； ②若，则； ③若为整数，则是偶数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 38．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 39．（25-26八年级上·上海·期中）已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为______． 40．（24-25八年级上·福建厦门·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号_____． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，其中一个解介于和之间；④对于任意的，恒有． 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． (1)若，则的算术平方根为______； (2)若，其中是x的平方根，则x的值为______． 42．（25-26八年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $