3.1 勾股定理的探究 教学设计 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理的发现，通过情境创设中测量直角三角形边长并计算平方，引导学生猜想三边平方关系，再以三边为边画正方形求面积的探索活动，搭建从具体测量到抽象定理的学习支架，衔接直角三角形概念与定理探究。 该资料以“测量—猜想—验证—归纳”为主线，通过小组合作在方格纸中画直角三角形并计算正方形面积，培养学生几何直观和推理意识。例题与练习结合数轴应用等情境，渗透数形结合思想发展模型意识，帮助学生经历定理发现过程提升数学思维，为教师提供可操作的探究式教学流程和分层训练素材。

3.1勾股定理的探究(1)----勾股定理的发现 【教学目标】 1.经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想. 2.能利用勾股定理求直角三角形中未知边的长. 【教学重点和难点】 重点:探索并发现勾股定理，能利用勾股定理求直角三角形中未知边的长. 难点:探索并发现勾股定理 【教学过程】 一、情境创设 直角三角形是一种特殊的三角形，我国古代将其较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，这一章将学习这三者之间的一种特殊关系 用刻度尺量一下：AC= ;BC= ;AB== ; 则AC2= ;BC2= ;AB2== ; 猜想：AC2、BC2、AB2之间有什么数量关系？ 二、新知讲解 ㈠探索活动1 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形， S正方形ACFG= ； S正方形BCIH= ； S正方形ABDE= ；（可独立思考后小组讨论） 所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ S正方形ABDE、S正方形ACFG、S正方形BCIH的关系是 ； ㈡探索活动2 问题：任意一个直角三角形都能得到类似的结论吗? 1、操作：在右侧的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法找出三个正方形面积之间的关系？并与同学交流。 2、计算： 数量关系 第1小组 第2小组 第3小组 第4小组 3猜想、根据上面的活动，可以猜想:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 直角三角形这一特殊的三边关系，我国古代称之为勾股定理，据《周髀算经》记载:西周时期的商高(约前1100)在与周公(约前1100)的对话中，就提出了“勾三股四弦五”.勾股定理的证明从古至今已有数百种方法，公元3世纪初，我国数学家赵爽(3世纪前期)用剪拼图形的方法完成了证明. 4、总结：于是，我们得到：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和 斜边的平方. 即：如图，Rt△ABC中，∵∠C=90°， ∴a2+b2=c2 勾股定理的作用：只要知道直角三角形三边中的任意两条边长，就可以求出 第三条边长. 三、例题讲解 例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边长. 例2 在数轴上画出对应的点. 尝试练习： 1.(书本第88页练习第1题)求图中x的值. 2.(书本第89页练习第2题)求图中x，y的值. 第3题 第2题 3.(书本第89页练习第3题)求图中x的值. 4.如图，点O为数轴原点，数轴上点A表示的数为1，过点A作AB⊥OA，使AB＝1．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（　　） A．； B．2； C．1； D． 四.拓展延伸 请你猜想钝角三角形三边的平方之间有什么关系？ 五.课堂小结 (1)现在你对直角三角形有哪些认识? (2)勾股定理揭示了“形”与“数”的内在联系，你还能举例说明这种联系吗？ 六、当堂练习： 1．（2025春•肇庆月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边在三角形外部作正方形，若以AC和BC为边的正方形面积分别为5和3，则以AB为边的正方形面积S的值为 　 　 ． 第3题 第1题 第2题 2．（2025秋•秦都区月考）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则网格中△ABC的周长为 ． 3．（2025秋•同步）如图，设每个小方格的面积为1，画出图中以格点为端点且长度分别为，，的线段． 4．（2024秋•贵阳校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，设AB＝c，BC＝a，AC＝b． （1）已知a＝8，b＝15，求c； （2）已知c＝13，b＝5，求a． 5.（2025秋•平谷区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F． （1）求证：AE＝DE； （2）如果AE＝4，BD＝3，求EF的长． 3.1勾股定理的探究(1)----勾股定理的发现参考答案与试题解析 【教学过程】 一、情境创设 直角三角形是一种特殊的三角形，我国古代将其较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，这一章将学习这三者之间的一种特殊关系 用刻度尺量一下：AC= ;BC= ;AB== ; 则AC2= ;BC2= ;AB2== ; 猜想：AC2、BC2、AB2之间有什么数量关系？ AC2+BC2=AB2 二、新知讲解 ㈠探索活动1 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形， S正方形ACFG= 16 ； S正方形BCIH= 9 ； S正方形ABDE= 25 ；（可独立思考后小组讨论） 所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ S正方形ABDE、S正方形ACFG、S正方形BCIH的关系是 ； ㈡探索活动2 问题：任意一个直角三角形都能得到类似的结论吗? 1、 操作：在右侧的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法找出三个正方形面积之间的关系？并与同学交流。 2、 2、计算： 数量关系 第1小组 第2小组 第3小组 第4小组 3、根据上面的活动，可以猜想:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 直角三角形这一特殊的三边关系，我国古代称之为勾股定理，据《周髀算经》记载:西周时期的商高(约前1100)在与周公(约前1100)的对话中，就提出了“勾三股四弦五”.勾股定理的证明从古至今已有数百种方法，公元3世纪初，我国数学家赵爽(3世纪前期)用剪拼图形的方法完成了证明. 4、归纳：于是，我们得到：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和 等于 斜边的平方. 即：如图，Rt△ABC中，∵∠C=90°， ∴a2+b2=c2 勾股定理的作用：只要知道直角三角形三边中的任意两条边长，就可以求出 第三条边长. 三、例题讲解 例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边长. 解：（1）由勾股定理得122+52＝c2， 即c2＝169 ∵c＞0， ∴c13； （2）由勾股定理得22+b2＝52， 即b2＝21， ∵b＞0， ∴b． 例2 在数轴上画出对应的点. 解：如图所示： 首先过O作垂线，再截取AO＝2，然后连接A和表示1的点B，再以O为圆心，AB长为半径画弧，与原点右边的坐标轴的交点为． 尝试练习： 1.(书本第88页练习第1题)求图中x的值. x x17 x9 2.(书本第89页练习第2题)求图中x，y的值. 第3题 第2题 x y x x 3.(书本第89页练习第3题)求图中x的值. 4.如图，点O为数轴原点，数轴上点A表示的数为1，过点A作AB⊥OA，使AB＝1．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（　A　） A．； B．2； C．1； D． 四.拓展延伸 请你猜想钝角三角形三边的平方之间有什么关系？ 五.课堂小结 (1)现在你对直角三角形有哪些认识? (2)勾股定理揭示了“形”与“数”的内在联系，你还能举例说明这种联系吗？ 六、当堂练习： 1．（2025春•肇庆月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边在三角形外部作正方形，若以AC和BC为边的正方形面积分别为5和3，则以AB为边的正方形面积S的值为 　8　 ．第3题 第1题 第2题 2．（2025秋•秦都区月考）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则网格中△ABC的周长为 ． 解：由勾股定理得：，，， ∴△ABC的周长为：． 3．（2025秋•同步）如图，设每个小方格的面积为1，画出图中以格点为端点且长度分别为，，的线段． 解：∵每个小方格的面积为1， ∴设每个小方格的边长为1， ∴，，， 如图所示：线段AB，AC，AD即为所求． 4．（2024秋•贵阳校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，设AB＝c，BC＝a，AC＝b． （1）已知a＝8，b＝15，求c； （2）已知c＝13，b＝5，求a． 解：（1）在△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得：c2＝a2+b2＝82+152＝289， ∵c＞0， ∴c＝17； （2）在△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得：a2＝c2﹣b2＝132﹣52＝144， ∵a＞0， ∴a＝12． 5．（2025秋•平谷区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F． （1）求证：AE＝DE； （2）如果AE＝4，BD＝3，求EF的长． （1）证明：∵AD平分∠BAC交BC于点D， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠CAD， ∴∠DAB＝∠ADE， ∴AE＝DE； （2）解：∵DE∥AC，∠C＝90°， ∴∠EDB＝∠C＝90°， ∵AE＝4， ∴DE＝AE＝4， ∵BD＝3， ∴BE5， ∵DF⊥AB， ∴S△BDEDE•BD， ∴DF， ∴EF． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $