精品解析：广西南宁市第二中学2027届高三上学期入学考数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若球O的表面积为，则该球球面上两点间距离的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.82 6. 已知直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知是奇函数，则的单调递增区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 定义变换，；变换，记，代表三次复合变换．若角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则（ ） A. C的焦距为6 B. 的面积为 C. C的渐近线方程为 D. 双曲线是等轴双曲线 11. 如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点，O，分别为底面与底面的中心，以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设集合 ，集合，记为中所有点构成的几何体，则（ ） A. B. 是圆锥 C. 的体积大于 D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数与的最小正周期相等，则_________． 13. 设椭圆与的离心率相等，则______． 14. 某海滨旅游路线全线共设有14个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留1个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有_________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点在抛物线上． （1）求的方程； （2）过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 16. 如图，在三棱台中，平面，，，． （1）证明：平面． （2）若H为的中点，求与平面所成角的正切值． 17. 某物流园区使用无人配送车完成园区内的末端配送，为比较算法与算法的运行效果，技术人员分别随机抽取采用这两种算法完成的个订单，记录从无人车出发到订单送达所用的时间（单位：分钟）．将配送时长分为，，，，，，共六组，得到如下频率分布直方图．园区规定：配送时长少于分钟的订单为准时订单．以配送时长位于各区间的频率代替配送时长位于该区间的概率，假设每个订单是否准时送达相互独立． （1）求采用算法时，个订单准时送达的概率． （2）从总体中随机选取个订单，其中个采用算法，个采用算法．设这个订单中准时订单的个数为，求的分布列． （3）为兼顾算法测试与配送效率，调度中心提出两个方案：方案一为“动态调度方案”，即第个订单采用算法，若该订单准时送达，则第个订单仍采用算法，否则第个订单改用算法；方案二为这个订单均采用算法．设方案一中这个订单中准时送达的个数为，方案二中这个订单中准时送达的个数为．有人认为，，判断这一观点是否正确，并说明理由． 18. 定义：在数列中，若（m为非零常数），则称存在对数系，常数m为的对数系数． （1）判断数列是否存在对数系．若存在，求出对数系数；若不存在，请说明理由． （2）已知数列存在对数系，且，，，． （i）求的通项公式． （ii）证明：． （iii）证明：． 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有三个极值点，记为，，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，故集合的元素个数为． 2. 若向量，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，当时，，， 所以在点处的切线方程为，即. 4. 若球O的表面积为，则该球球面上两点间距离的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】设该球半径为R，因为球O的表面积为， 所以， 则该球球面上两点间距离的最大值为4. 5. 随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.82 【答案】D 【解析】 【分析】由全概率公式及互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】记事件表示：“选取的花卉处于水肥适宜土壤”， 事件表示：“选取的花卉处于干旱缺水土壤”， 事件表示：“选取的花卉正常开花”， 则有, , , 所以 . 6. 已知直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 7. 已知是奇函数，则的单调递增区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数性质求出的解析式，再利用二次函数单调性求出即可. 【详解】当时，，则， 又∵是奇函数，∴，即， 即， 当时，二次函数，开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为， 当时，二次函数，开口向下，对称轴为， 故单调递增区间为， 综上所述，的单调递增区间为. 8. 定义变换，；变换，记，代表三次复合变换．若角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用与定义得到.，再利用正切的两角差公式计算即可. 【详解】因为， 所以，因为， 所以，所以. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的共轭复数、复数的模，复数的乘法除法逐项分析即可. 【详解】因为，所以，可得， 可得，得到 . 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则（ ） A. C的焦距为6 B. 的面积为 C. C的渐近线方程为 D. 双曲线是等轴双曲线 【答案】AB 【解析】 【分析】首先利用双曲线的第一定义，结合，得到；对A选项利用余弦定理求得焦距即可；B选项已知三角形两边和夹角，利用求解即可；C选项，利用，，求出，于是得到渐近线方程即可；D选项，代入，可知，于是不是等轴双曲线. 【详解】由双曲线的标准方程，得. 由双曲线的定义结合可知. 又因为，所以. A选项，由余弦定理可知 于是. 所以，即焦距为6，A正确. B选项， 的面积为，所以B正确. C选项，因为，，所以， 所以渐近线方程为，C错误. D选项，代入，可得 . 因为，所以不是等轴双曲线，D错误. 11. 如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点，O，分别为底面与底面的中心，以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设集合 ，集合，记为中所有点构成的几何体，则（ ） A. B. 是圆锥 C. 的体积大于 D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A新定义的简单应用代入检验即可; 选项B考查了学生的数学建模的思想，能不能把二次函数对应的抛物线旋转得到旋转体; 选项C在B选项分析基础上,对图形进行处理，找到旋转体圆锥，求出圆锥体积比较可得; 选项D距离公式应用，转化为二次函数求最大值问题. 【详解】选项A. 原点 |0|1,|0|1,|0|1,属于; ，不等式成立,选项A正确; 选项B. 设 设,分别为平面直角坐标系的横轴和纵轴, 满足,根据抛物线定义,可知这是以轴为对称轴的抛物线的一部分(题目中有限定条件)，在空间里，以轴为轴,旋转抛物线得到旋转抛物面, 就是由该抛物面围成的几何体,该几何体是曲面体,B选项错误； 选项C. ， 根据B选项的分析，取该几何体的轴截面，轴截面形状为抛物线,以轴为轴,对应的旋转体为圆锥,,,， ， 即：,选项C正确； 选项D. ，, , 即：,选项D正确. 【点睛】本题考查了学生对新定义问题的理解，和对于平面图形到立体图形的数学建模能力，以及距离转化函数的最值问题的数学应用能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数与的最小正周期相等，则_________． 【答案】4 【解析】 【详解】由题意得，解得. 13. 设椭圆与的离心率相等，则______． 【答案】3 【解析】 【详解】由题可知，椭圆的离心率为， 当即时，椭圆的离心率， 当时，，则椭圆的离心率无解. 综上，. 14. 某海滨旅游路线全线共设有14个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留1个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有_________种． 【答案】56 【解析】 【分析】先明确需保留的个驿站形成个可插入空位，从中选5个插入关停驿站，直接得出符合要求的关停方案数为组合数. 【详解】全线共14个驿站，起点和终点永久保留，因此可供选择关停的中途驿站总数为个. 总共要关停5个中途驿站，因此正常运营的中途驿站数量为个； 由于要求关停的驿站不能相邻（任意2个关停驿站间至少留1个运营驿站）， 关停的驿站只能插入这7个运营驿站的内部空隙中. 7个元素共形成个空隙， 问题等价于从8个空隙中任选5个放入关停的驿站，对应的组合数为， 即不同的站点关停方案共有个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点在抛物线上． （1）求的方程； （2）过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出的值，即可求解； （2）根据条件，由（1）可得直线l的方程，联立直线与抛物线方程，再利用根与系数间的关系和抛物线的定义，即可求解. 【小问1详解】 将点的坐标代入，得，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 由（1）得的焦点为， 所以直线l的方程为，设，． 由，消得， 则，，， 所以． 16. 如图，在三棱台中，平面，，，． （1）证明：平面． （2）若H为的中点，求与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以． 因为，，， 所以由可得， 则，所以． 因为，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得出线线垂直，进而利用三角形相似求出，由勾股定理得出垂直关系，进而利用线面垂直判定定理得出结论； （2）利用面面平行找出线面角，构造辅助线，利用几何法找出线面角，计算相关线段长度，求出线面角的正切值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面， 所以与平面所成的角即为与平面所成的角． 如图，取上靠近点A的三等分点M，连接，， 则，， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角． 因为，，， 所以， 即与平面所成角的正切值为． 17. 某物流园区使用无人配送车完成园区内的末端配送，为比较算法与算法的运行效果，技术人员分别随机抽取采用这两种算法完成的个订单，记录从无人车出发到订单送达所用的时间（单位：分钟）．将配送时长分为，，，，，，共六组，得到如下频率分布直方图．园区规定：配送时长少于分钟的订单为准时订单．以配送时长位于各区间的频率代替配送时长位于该区间的概率，假设每个订单是否准时送达相互独立． （1）求采用算法时，个订单准时送达的概率． （2）从总体中随机选取个订单，其中个采用算法，个采用算法．设这个订单中准时订单的个数为，求的分布列． （3）为兼顾算法测试与配送效率，调度中心提出两个方案：方案一为“动态调度方案”，即第个订单采用算法，若该订单准时送达，则第个订单仍采用算法，否则第个订单改用算法；方案二为这个订单均采用算法．设方案一中这个订单中准时送达的个数为，方案二中这个订单中准时送达的个数为．有人认为，，判断这一观点是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）方案一中，的所有可能取值为、、．， ， ， 所以． 方案二中，由题意可知，所以． 因为，所以题中观点不正确. 【解析】 【分析】（1）把前3组准时送达的频率相加，即为所求概率； （2）先求得1个订单采用算法准时送达的概率为，记采用算法的个订单中准时送达的个数为，采用算法的个订单中准时送达的个数为，则，然后根据，求概率及分布列； （3）求出，，再由判断题中观点不正确. 【小问1详解】 根据题意可得个订单采用算法准时送达的频率为， 所以个订单采用算法准时送达的概率为． 【小问2详解】 同（1）可得个订单采用算法准时送达的概率． 记采用算法的个订单中准时送达的个数为，采用算法的个订单中准时送达的个数为，则，，． 的所有可能取值为、、、， ， ， ， ， 所以的分布列为 【小问3详解】略 18. 定义：在数列中，若（m为非零常数），则称存在对数系，常数m为的对数系数． （1）判断数列是否存在对数系．若存在，求出对数系数；若不存在，请说明理由． （2）已知数列存在对数系，且，，，． （i）求的通项公式． （ii）证明：． （iii）证明：． 【答案】（1）存在对数系，其对数系数为． （2）（i） （ii）证明：由（i）得， 因为，所以． （iii）证明：由（ii）得． 设，则， 所以， 所以． 因为，所以，即． 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算法则可得，由此确定存在对数系，其对数系数为； （2）（i）设，由题得，设，则，，，是以2为首项，3为公差的等差数列，进一步求得，再利用叠加法求得，；（ii）由，证明；（iii）由得，进一步得，然后利用错位相减法求得，即可证明． 【小问1详解】 因为， 所以存在对数系，其对数系数为． 【小问2详解】 （i）设．因为存在对数系，所以． 设，则， ，， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列，， 所以当时，， 即．因为，所以． 又满足，所以． （ii）略 （iii）略 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有三个极值点，记为，，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）证明：当时，，则． 令，得，在上单调递减，令，得，在上单调递增， 所以，即． （2）（ⅰ） （ⅱ）证明：不妨设． 由（ⅰ）知，当时，有三个极值点，且1为其中一个极值点，则， 且，，等式两边取对数并整理得，，． 设，则， 则，则在上单调递减，在上单调递增， 先证，即证，因为，且在上单调递增，所以只需证，即证． 令，， 则， 则在上单调递减，所以，则，则，则． 再证，即证，因为，且在上单调递减，所以只需证，即证． 令，，则，则在上单调递增，所以，则，则，所以． 故 【解析】 【分析】 (1) 消去参数后转化为纯指数函数不等式证明，通过求导研究函数单调性求出最大值，完成不等式放缩证明； (2)(i) 问对原函数求导因式分解后，把三个极值点问题转化为方程有两个不等于 1 的实根，借助数形结合得到参数的取值范围； (ii) 问确定一个极值点为 1，剩余两根做极值点偏移，分别证明两根和大于 2、积小于 1，判断两个因式符号，从而证出乘积小于 0. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由，得或， 因为有三个极值点，所以有三个异号零点， 所以关于的方程有两个不等于1的解． 易知不是方程的解，设，则． 令，得或，在，上单调递减，令，得，在上单调递增． 当时，，若，则，若，则． 当时，，若，则，若，则． 所以，即的取值范围是． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $