精品解析：广西南宁新民中学2026-2027学年高三上学期开学质量检测数学试题

2026年秋季学期高三上数学科开学质量检测试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法求出，再利用复数模的意义求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 2. 已知向量满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 【详解】因为. 3. 为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（ ） A. 估计样本数据的中位数为75分 B. 样本中得分低于80分的人数大约为35人 C. 估计样本数据的众数为70分 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于，解得，故D错误； 由于前三组累计频率为， 前四组累计频率为， 故中位数在第四组内，设中位数为， 则，解得，故A正确； 得分低于80分的频率为， 故样本中低于80分的人数大约为人，故B错误； 由直方图知，估计样本数据的众数值为，故C错误． 4. 已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由双曲线方程可知一条渐近线方程为， 代入点可得，即， 所以双曲线的离心率为. 5. 已知为奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数的性质可知，由三角函数的性质可知，由指数的运算可知，即可得答案. 【详解】因为，且 ， ， 综上，. 7. 若圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的2倍，记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台的结构特征及相关公式计算． 【详解】圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为，则下底面半径为， 由圆台的母线与下底面成角，可知圆台的高为，则母线长为， 则，， 则． 8. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数， 由，设， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 则有， 问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示： 由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点， 即函数有两个零点， 所以实数a的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用周期公式计算；选项B，代入看是否满足对称轴方程；选项C，通过解不等式确定的范围，结合正弦函数单调性判断；选项D，先求出的表达式，再代入值判断是否为零点. 【详解】选项A，的最小正周期为，所以A正确； 选项B，因为，所以的图象关于直线对称，所以B正确； 选项C，由，可得，则在上单调递增，所以C正确； 选项D，，，所以D不正确. 故选：ABC. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 为钝角 【答案】BD 【解析】 【分析】求抛物线准线方程判断A；利用抛物线定义求解判断B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求解判断CD. 【详解】如图： 对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误； 对于B，，而，则，B正确； 显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 则，，， 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，则， 结合，则为钝角，D正确. 11. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递减 B. 当时，函数的最小值为2 C. 若在处取得极值，则 D. 若对任意，恒成立，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性、极值、最值，结合恒成立问题分离参数得到恒成立，逐一判断各选项即可 【详解】对于A项，，当时，令，得到， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，故A错误； 对于B项，，令，得到， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 函数的最小值为，故B正确； 对于C项，若在处取得极值，则，即， 验证：时，两侧导数符号改变，确为极值点，故C 正确； 对于D项，，即恒成立， 令，则， 时，， 故，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知各项都不为的等比数列满足，则其公比________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据等比数列的基本量计算解方程即得公比的值. 【详解】由，得，因，则得,解得 故答案为：. 13. 直线与圆交于A、B两点，若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】先计算圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得所求值. 【详解】由圆，得圆心，半径. 所以圆心到直线的距离. 又因为，所以， 即，化简得，解得或. 故答案为：或. 14. 如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有______． 【答案】72 【解析】 【分析】对进行分类，再利用分步计数原理，进行求解. 【详解】分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有种； ②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有种．故不同的涂色方法有种． 故答案为：72 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出. （2）利用正弦定理角化边，再利用已知求出三角形面积. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，得，而，且， 则，解得， 所以的面积. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程. （2）分析函数的单调性，可得函数的最小值. 【小问1详解】 因为：，所以切点坐标为：， 又，，即为所求切线的斜率. 所以切线方程为：，化简得： 【小问2详解】 ，（） 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在区间上的极小值为，也是最小值. 17. 已知椭圆的短轴长为2，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积. 【小问1详解】 由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． （1）证明：平面； （2）若，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1）取的中点为，连接， 又为的中点，则且， 又正方形中，为的中点，则且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形可证得结论； （2）取的中点为，的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量法求二面角的正弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取的中点为，的中点为，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又四边形为正方形，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的正弦值为． 19. 某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲同学第局赢的概率为 （1）求乙同学第局赢的概率； （2）求； （3）若存在，使 成立，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由全概率公式得到甲同学第局赢的概率，从而得到答案； （2）得到为等比数列，得到通项公式，得到答案； （3）参变分离，利用导函数得到函数单调性，要求的最小值，即求的最大值，分为偶数和奇数两种情况，得到为最大值，得到答案 【小问1详解】 由题意甲同学第局赢的概率为， 所以乙同学第局赢的概率为 ； 【小问2详解】 由已知时，， 所以 ，又， 所以数列 是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以 ； 【小问3详解】 即， 令，则， 易知是减函数，，所以时，，单调递减， 显然 ，因此要求的最小值，即求的最大值， 又 ， 为偶数时，，随着的增大，减小，所以， 为奇数时，，随着的增大，增大，所以， 所以是 中的最大值， 所以，故k的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高三上数学科开学质量检测试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 1 2. 已知向量满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 3. 为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（ ） A. 估计样本数据的中位数为75分 B. 样本中得分低于80分的人数大约为35人 C. 估计样本数据的众数为70分 D. 4. 已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的2倍，记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 为钝角 11. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递减 B. 当时，函数的最小值为2 C. 若在处取得极值，则 D. 若对任意，恒成立，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知各项都不为的等比数列满足，则其公比________. 13. 直线与圆交于A、B两点，若，则______． 14. 如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值． 17. 已知椭圆的短轴长为2，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． （1）证明：平面； （2）若，平面平面，求二面角的正弦值． 19. 某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲同学第局赢的概率为 （1）求乙同学第局赢的概率； （2）求； （3）若存在，使 成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $