专题一 因式分解常见的三种简单应用&多知道一点 特殊的因式分解法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（湘教版2024 湖南专版）

专题一因式分解常见的 类型1简便运算（教材P18复习题T5变式） 1.利用因式分解进行简便运算： 1)-23.7×号+号×1.3-23×号： (2)日×502-日×498， (3)8962+208×896+1042. 类型2化简求值（教材P8习题T4变式） 2.先因式分解，再求值： (1)("m-(m2),其中m=一6n=4: (2)ga6+a28+ai,其中a+b=2,ab=2, 10数学八年级上册(X) 三种简单应用【回归教材】 （3)2a+56+4a+3b3-8a+3,其中a2+2b=4. 类型3判断整除的说理问题（教材P13习题 T4变式) 3.小明说：“对于大于0的任意整数n,代数式 (2n十1)2一(2n一1)2都能被8整除.”你同 意他的说法吗？说明你的理由. 4.对于一个三位正整数，若十位上的数字减去 个位上的数字之差恰好等于百位上的数字， 则称这个三位数为“极差数”.例如，对于三 位数451,5一1=4，则451是“极差数”；对于 三位数110,1一0=1，则110是“极差数”.求 证：任意一个“极差数”一定能被11整除， 多知道一点 特殊的 类型1十字相乘法（教材P15例1,2变式） 1.阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2一 x一3的方法如图所示， xx (1)二次项系数2=1×2； (2)常数项一3=一1×3=1×（一3），验算 “交叉相乘之和”： ①1×3+2×(-1)=1； ②1×(-1)+2×3=5； ③1×(-3)+2×1=-1； ④1×1+2×(-3)=-5. (3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于 一次项的系数一1. 所以2x2-x-3=(x+1)(2x-3). 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三 项式分解因式的方法叫作“十字相乘法”. 仿照上面的方法，将下列各式因式分解： (1)2x2-5x-3; (2)2x2+7x+3; (3)3x2+5x-12; (4)3a2+5a-8. 类型2分组分解法（教材P15例3变式） 2.观察探究性学习小组甲、乙两名同学进行的 因式分解： 甲：x2-xy十4x-4y =(x2-xy)十(4x-4y)(分成两组) =x(x一y)十4(x-y)(直接提公因式) =(x-y)(x十4)（再提公因式）. 式分解法【教材拓展】 乙：a2-b2-c2+2bc =a2-(b2十c2-2bc)(分成两组) =a2一(b-c)2(直接用完全平方公式) =(a十b-c)(a-b+c)(再用平方差公式). 请你在他们的解法的启发下，把下列各式分 解因式： (1)x2-2xy+y2-9; (2)m3-2m2-4m+8. 类型3添项法与拆项法 3.(教材P19复习题T9拓展)阅读与思考： 在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果 添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式 分解的方法称之为“添项法”.如： a4+4=a4+4+4a2-4a2 =(a4+4a2+4)-4a2 =(a2+2)2-(2a)2 =(a2+2+2a)(a2+2-2a) 参照上述方法，我们可以对a3十b因式分解，下 面是因式分解的部分解答过程. a+b*=ai+a2b-a2b+63 =(a3+a2b)-(a2b-b3) =a(a+b)-b(a2-b2) 任务： (1)请根据以上阅读材料将α3+b因式分解 的过程补充完整； 第1章因式分解11 (2)请按照阅读材料提供的方法，将下列各 式因式分解： ①4x4+1; ②x4+x2+1. 4.【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多 项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进 行因式分解。 例1：因式分解：x2+6x一7. 解：原式=(x2十6x+9)一16=(x+3)2-42= (x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1). 例2：因式分解：x3十5x-6. 解：原式=(x3一x)十(6x一6)=x(x十1)(x 1)+6(x-1)=(x-1)[x(x+1)+6]= (x-1)(x2+x+6). 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决 下列问题： (1)因式分解：x2+14x-15= (2)运用拆项法分解因式：x3一8x十7； (3)已知a,b,c为三角形ABC的三边长，a2十 b+c2一4a-4b-6c+17=0,求三角形 ABC的周长. 12数学八年级上册(X) 类型4换元法（教材P12“做一做”变式） 5.阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解 决数学问题的有力工具.下面是对多项式 (x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解的 解题思路： 将“x2-2x”看成一个整体，设x2-2x=m, 则原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m十 1)2, 再将“m”还原为“x2一2x”即可. 解题过程如下： 解：设x2-2x=m, 则原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+ 1)2=(x2-2x+1)2. 问题： (1)以上因式分解的结果是否彻底？如果不 彻底，请写出正确的解答过程. (2)请你模仿以上方法，将下列多项式因式 分解： ①(x2+6x)(x2+6x+18)+81; ②(x2+x)(x2+x+2)+(x2+x+1)(x2+ x-1)+1.参考答案 第1章因式分解 1.1多项式的因式分解 1.D 2.解：(1)不是因式分解.理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式.(2)不是因式分 解.理由：它是整式的乘法.(3)是因式分解.理由：等式右边是两个多项式的乘积形式， 且(a-3)2=a2-6a十9，符合因式分解的定义.a2-6a十9的因式为a-3. 3.整式的乘法因式分解4.D 5.解：(1)正确.因为(x+1)(x-1)=x2-1.(2)不正确.因为(x十y)(x-2y)=x2一xy -2y2≠x2-xy+2y2. 6.B7.D8.x2一1（答案不唯一） 9.解：小峰的说法正确.理由如下：右边虽然是乘积的形式，但不是两个整式的乘积，所 以这种变形不是因式分解. 1.2提公因式法 第1课时提公因式法（一） 名师导学 ①相同②括号外面 【例1】解：(1)原式=m(a十b).(2)原式=2y·3x-2y·y=2y(3x-y).(3)原式=3ab ·4a2b-3ab·2a+3ab·b=3ab(4a2b-2a+b).(4)原式=5xy·5xy+5xy·2y-5xy =5xy(5xy+2y-1). 【例2】-5xy(xy-2y2+3x) 1.C2.D3.A4.C5.(1)a(x-y)(2)3x(x-3)(3)xy(x+2) 6.解：(1)原式=9xy·3y-9xy·2x2=9xy(3y-2x2).(2)原式=-(a2-ab)=-a(a -b).(3)原式=4x2y2+12xy=4x2y(y+3.x2). 7.C8.D9.C10.12【变式题】96 11.解：(1)原式=3a2b·2b-3ab·5b+3a2b=3ab(2b-5b+1).(2)原式=4xy2· xy+4xy2·2xz-4xy2·3z=4xy2(xy+2xz-3x).(3)原式=-(8a3b-4a2b+2ab) =-2ab(4a2-2a+b). 12.解：U=IR1+IR2+IR3=I(R1十R2+R3)=2.5×(19.7+32.4+35.9)=220(V). 即U的值为220. 13.解：(1)-2(2)-2m3+3m2+m-9=-2m3+2m2+m2+m-9=-2m(m2-m) 十m2+m-9=-2m十m2+m-9=m2-m-9=1-9=-8.(3)因为m+2-m+1-m =m(m2-m一1)=m”·(1-1)=0,所以无论m取何值，代数式m+2-m+1一m”的 值都为定值0. 第2课时提公因式法（二） 名师导学 【例1】解：(1)原式=(a+b)(x+y).(2)原式=5√5xy-5√5xy·2xy=5√5xy(1 2xy).(3)原式=a(m-2)-b(m-2)=(m-2)(a-b).(4)原式=3a(x-y)2-(x-y)2 =(x-y)2(3a-1).(5)原式=16(m-n)2+12(m-n)3=4(m-n)2·4+4(m-n)2· 3(m-n)=4(m-n)2(4+3m-3n). 【例2】b(a-3)(b+1) 1.C2.B3.B4.(m-n)(m-n+1) 5.解：(1)原式=(a-b)(2m-3n).(2)原式=x(x-y)2-y(x-y)2=(x-y)2(x-y) =(x-y)3.(3)原式=(m-n)3+2n(m-n)2=(m-n)2[(m-m)+2n]=(m-n)2(m十n). 6.解：(1)原式=√2x(x-2).(2)原式=3√3ab·2a+3√3ab·b=3√3ab(2a+b). 7.B8.C9.5 10.解：(1)原式=√6xy2·√6xy-√6xy2=√6xy(W6xy-1).(2)原式=(x2+xy)-(xz +yz)=x(x十y)-z(x+y)=(x+y)(x-x).(3)原式=4b(3a+1)-3(3a+1)=(3a+ 1)(4b-3).(4)原式=a2(a+2b)+2ab(a+2b)=a(a十2b)(a+2b)=a(a+2b)2. 11.解：有.因为A=x(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1),B=x2-x-6+6=x2-x= 一1 x(x一1)，所以多项式A,B的公因式为x一1. 12.解：(1)提公因式法两(2)原式=(1十x)[1+x+x(1+x)十x(1十x)2+…+ x(1+x)"-1]=(1+x)2[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)-2]…=(1+x)m+1. 1.3公式法 第1课时用平方差公式因式分解 名师导学 ②x2-y2=(x十y)(x-y) 【例1】解：(1)原式=(4+5y)(4-5y).(2)原式=xy(x2-y2)=xy(x十y)(x-y). (3)原式=[a+2(a+b)][a-2(a+b)]=-(3a+2b)(a+2b). 【例2】B 1.B2.A3.-198000 4.(+2)(x-合 ）(2)(3b+4a)(3b-4a)(3)(y+4)(y-2)(4)8xy 5.C6.(x2+2)(x十√2)(x-√2)7.D 8.解：(1)原式=3a(x2-y2)=3a(x+y)(x-y).(2)原式=a2(x-y)-16(x-y)=(x -y)(a2-16)=(x-y)(a+4)(a-4). 9.D10.C11.(1)2(2)25 12.解：(1)原式=9a(x-y)-4b(x-y)=(x-y)(9a2-4b)=(x-y)(3a+2b)(3a- 2b).(2)原式=(a+3b)(a-3b)一(a-3b)=(a-3b)(a+3b-1).(3)原式=3(m一16) =3(m2+4)(m2-4)=3(m2+4)(m+2)(m-2). 13.解：剩余部分的面积为a2-4b=(a+2b)(a-2b)=(13.2+2×3.4)×(13.2-2× 3.4)=128(cm). 14.解：(1)这两个数是“神秘数”.理由如下：因为28=82一62,2012=5042一5022，所以 28,2012是“神秘数”.(2)是4的倍数.理由如下：(2k+2)2-(2k)2=(2k十2+2k)(2k +2一2)=(4k十2)×2=4(2k+1).因为为非负整数，所以4(2k+1)是4的倍数. 第2课时用完全平方公式因式分解 名师导学 x2士2xy+y2=(x±y) 【例1】解：(1)原式=(a+5)2.(2)原式=n(m2-12mn+36n2)=n[m2-2·m·6n+ (6n)2]=n(m-6n)2.(3)原式=-(x2-2xy十y2)=-(x-y)2. 【例2】解：原式=(a2-4)2+2·(a2-4)·3+32=(a2-4十3)2=(a2-1)2=[(a十 1)(a-1)]2=(a+1)2(a-1)2. 1.C2.B3.x+4(2)3z-2)2(3a+102(④(m-7) 4.(1)a(b+1)(2)-3(x-1)2 5.解：(1)原式=-(y3-6xy2+9x2y)=-y(y2-6xy+9x2)=-y[y2-2·y·3x+ (3.x)2]=-y(y-3x)2.(2)原式=4x2(x2+2xy2+y)=4.x2[x2+2·x·y2+(y2)2] =4x2(x十y2)2. 6.D 7.解：原式=(4m2)2-2·4m2·1+12=(4m2-1)2=[(2m+1)(2m-1)]2=(2m+ 1)2(2m-1)2. 8.C9.D10.D【变式题】A11.A 12.解：(1)原式=2x[(x2+1)2-4x2]=2x(x2+1+2x)(x2+1-2x)=2x(x十1)2(x 1)2.(2)原式=(a2-2a)2+2·(a2-2a)·1+12=(a2-2a十1)2=(a-1)4. 13.解：因为x2+y2-4x十6y十13=0，所以x2-4x十4+y2+6y十9=0.所以(x-2)2 +(y十3)2=0.所以x一2=0，y+3=0,解得x=2,y=-3.当x=2,y=-3时，原式= (x-3y)2=[2-3×(-3)]2=121. 14.解：(1)不彻底(2)(a-2)4.(3)设x2-2x=y.原式=y(y+2)+1=y2+2y+1= (y十1)2=(x2-2x十1)2=(x-1)4. 专题一因式分解常见的三种简单应用【回归教材】 1.解：1)原式=号×(-23.7+1.3-2号）=号×(-23.7+1.3-26)=号× 2 (-25)=-20.(2)原式=名×(502-4980)=号×(502+498)X(502-498)=号× 1000×4=500.(3)原式=8962+2×104×896+1042=(896+104)2=10002= 1000000. 2.解：1)原式=(m+”2）(士”-”2”）=m,当m=-n=4时，原式= -6×4=-六.(2②原式=司a6c2+2a6+8)=合a6(a+60,当a+6=2,ab=2时， 原式=号×2×2=4.(3)原式=2a+88(a2+2b-4).因为a2+26=4,所以a2+2b-4 =0.所以原式=0. 3.解：同意小明的说法.理由如下：原式=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]= 8n.所以对于大于0的任意整数，代数式(2n+1)2一(2n一1)2都能被8整除. 4.证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c,则该数为 100a+10b+c.由题意，得a=b-c,所以100a+10b+c=100(b-c)+10b+c=100b 100c+10b+c=110b一99c=11(10b一9c).所以100a十10b十c能被11整除.所以任意 一个“极差数”一定能被11整除. 多知道一点特殊的因式分解法【教材拓展】 1.解：(1)原式=(2x+1)(x-3).(2)原式=(2x十1)(x十3).(3)原式=(x+3)(3x 4).(4)原式=(3a+8)(a-1). 2.解：(1)原式=(x-y)2-9=(x-y+3)(x-y-3).(2)原式=m2(m-2)-4(m-2) =(m-2)(m2-4)=(m-2)2(m十2). 3.解：(1)原式=a3+a2b-a2b十b=(a3十a2b)-(a2b-b3)=a2(a+b)-b(a2-b)= a2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)(a2-ab+b2).(2)①原式=4x+1+4x2-4x2= (4x4十4x2+1)-4x2=(2x2+1)2-4x2=(2x2+1+2x)(2x2+1-2x).②原式=x4+ x2+1+x2-x2=(x+2x2+1)-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x). 4.解：(1)(x+15)(x-1)(2)原式=(x3-x)-(7x-7)=x(x十1)(x-1)-7(x-1) =(x-1)[x(x+1)-7]=(x-1)(x2+x-7).(3)因为a2+b+c2-4a-4b-6c+17 =0,所以(a2-4a十4)十(b-4b+4)+(c2-6c十9)=0.所以(a-2)2十(b-2)2+(c- 3)2=0.所以a=2,b=2,c=3.所以三角形ABC的周长为2十2十3=7. 5.解：(1)不彻底.正确的解答过程如下：设x2一2x=m,则原式=m(m十2)+1=m2+ 2m+1=(m十1)2=(x2-2x+1)2=[(x-1)2]2=(x-1)4.(2)①设x2+6x=m,则原 式=m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+9)2=(x2+6.x+9)2=[(x+3)2]2=(x+ 3)4.②设x2+x=y,则原式=y(y十2)+(y+1)(y-1)+1=y2+2y十y2-1+1=2y2 +2y=2y(y+1)=2(x2+x)(x2+x+1)=2x(x+1)(x2+x+1). 第1章章末复习 思维导图 乘积(x十y)(x一y)(x士y)2 考点整合 1.B2.73.D4.D5.A6.B 7.(1)9(m+2n)(m-2n)(2)(a-1)2 3(合m-3)”8.7或-1 9.解：(1)原式=6ab·2a-6ab·3b-6ab·4a2=6ab(2a-3b-4a2b).(2)原式=x(x -y)十y(x-y)=(x-y)(x十y).(3)原式=2x·x2-2x·4xy十2x·4y2=2x(x2- 4xy十4y2)=2x(x-2y)2.(4)原式=(a-b)2-6(a-b)+9=(a-b)2-2·(a-b)·3 +32=(a-b-3)2.(5)原式=x2-(y2+4y十4)=x2-(y+2)2=(x十y+2)(x-y 2).(6)原式=[3(m十n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m +n)(m+2n). 10.解：(1)原式=2026×(2026一2025)=2026×1=2026.(2)原式=(13.25+6.75) ×(13.25一6.75)=20×6.5=130.(3)原式=（一2）100×[(-2)+1]=-2100.(4)原式 =(2.2+17.8)2=202=400. 11.解：剩余阴影部分的面积为元R2一4πr2=π(R2一4r2)=π(R十2r)(R一2r).将R= 6.8dm,r=1.6dm代入，得剩余阴影部分的面积为π(R+2r)(R-2r)=π×(6.8+2× 1.6)×(6.8-2×1.6)=36π(dm2).答：剩余阴影部分的面积为36πdm2. 一3