4.1 认识三角形 题型专练-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

**基本信息** 以“概念理解-性质应用-综合拓展”为逻辑主线，通过25个题型、100+例题系统构建三角形认知体系，突出直观想象与逻辑推理的核心素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形基础|6题型/6典例|定义辨析三步法、图形计数分类法|从定义到表示再到要素识别，形成概念认知链| |线段与角性质|7题型/7典例|三线性质转化法、面积桥接策略|以中线/高线/角平分线为核心，构建性质应用网络| |边角关系|8题型/8典例|三边关系不等式模型、内外角转化公式|从静态关系到动态计算，实现从直观到抽象的过渡| |综合应用|4题型/4典例|折叠变换不变量法、多知识点交叉验证|整合前面模块，培养综合解题与模型构建能力|

湘教版（2024）八年级上册 4.1 认识三角形 题型专练 【题型1】三角形的定义及表示方法 【典例】三角形是（     ） A.由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的1图形 B.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C.任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D.由在同一平面内的三条线段所组成的图形 【举一反三1】图中以为边的三角形有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】以下由四位同学描述三角形的四种不同的说法，正确的是（   ） A.由三个角组成的图形叫三角形 B.由三条线段组成的图形叫三角形 C.由三条直线组成的图形叫三角形 D.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形 【举一反三3】如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作           ，读作           ．其中，顶点A所对的边为           还可用           表示；顶点B所对的边为           还可用           表示；顶点C所对的边为           还可用           表示． 【举一反三4】看图填空，如图： （1）如图中共有　　个三角形，它们是　　　　　　　　　　　； （2）△BGE的三个顶点分别是　　　，三条边分别是　　　　　　　　，三个角分别是　　　　　　　　　　　. 【举一反三5】图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【举一反三6】如图所示： (1)图中有几个三角形？把它们一一说出来． (2)写出的三个内角． (3)含边的三角形有哪些 【题型2】识别三角形有关边和角 【典例】如图，小强用，，表示的，，的对边，则正确的是　　 A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示，的对边是　　 A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在△ABC中，的对边是          ，在中，的对边是          ，在中，边的对角是          ．    【举一反三3】如图，在△BEC中，边的对角           ． 【举一反三4】在下面一组图形中： （1）各图形中分别有几个三角形？ （2）说出各个图形中以B为顶点的角所对的边． 【举一反三5】如图所示， （1）图中有几个三角形？ （2）说出△CDE的边和角． （3）AD是哪些三角形的边？∠C是哪些三角形的角？ 【题型3】数三角形的个数 【典例】如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（     ） A.3个 B.4个 C.6个 D.9个 【举一反三1】如图，在△ABC中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（    ）    A.5 B.6 C.7 D.8 【举一反三2】如图，以为边的三角形的个数是　　 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三3】数一数图中共有（    ）个三角形． 【举一反三4】如图，由16个大小相同的小等腰直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，则图中共有      个各种大小的三角形． 【举一反三5】如图，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【题型4】三角形按边分类 【典例】下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】三角形按边可分为（　　） A.等腰三角形，直角三角形，锐角三角形 B.直角三角形，不等边三角形 C.等腰三角形，不等边三角形 D.等腰三角形，等边三角形 【举一反三2】有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A.①对，②不对 B.②对，①不对 C.①、②都不对 D.①、②都对 【举一反三3】一个三角形三个内角度数的比是，按角分，这是一个       三角形；按边分，这是一个       三角形． 【举一反三4】设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为          ． 【举一反三5】已知△ABC的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断△ABC的形状． 【题型5】判断任意三条线段可否组成三角形 【典例】已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（　　） A.a+1，b+1，c+1 B.2a，2b，2c C.a2，b2，c2 D.|a﹣b|+1，|b﹣c|+1，|c﹣a|+1 【举一反三1】用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（　　） A.1 cm、2 cm、3 cm B.4 cm、4 cm、8 cm C.2 cm、6 cm、5 cm D.3 cm、5 cm、9 cm 【举一反三2】若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是            （填序号）． 【举一反三3】已知n为整数，若一个三角形的三边长分别是，，6n，则所有满足条件的n值的和为        ． 【举一反三4】小刚要从长度分别为，，，的四根木棒中选出三根围成一个三角形，那么他应该选择哪三根木棒？为什么？ 【题型6】已知两条边，分析第三条边的取值范围或整数值 【典例】在同一平面内，线段AB＝10，BC＝7，则AC长为(     ) A.AC＝17 B.AC＝17或3 C.3＜AC＜17 D.3≤AC≤17 【举一反三1】若一个三角形的两边长分别为4 cm、9 cm，则它的第三边的长可能是（　　） A.8 cm B.5 cm C.4 cm D.14 cm 【举一反三2】三角形的三边长分别是3，1﹣2a，8．则数a的取值范围是（　　） A.﹣5＜a＜﹣2 B.﹣5＜a＜2 C.5＜a＜11 D.0＜a＜2 【举一反三3】如果三条线段、、，可组成三角形，且，，是偶数，则的值为         ． 【举一反三4】已知三角形三边长满足，且，，则的取值范围是     ． 【举一反三5】如果一个三角形的一边长为5 cm，另一边长为2 cm，若第三边长为x cm． （1）第三边x的范围为　　　　． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 【举一反三6】已知△ABC的三边长分别是，，． (1)求的取值范围； (2)若三角形的周长是大于的正整数，求的值； 【题型7】三角形三边关系应用 【典例】有a，b两根小棒如图所示，现要将a，b两根小棒中的一根剪成两段与另外一根围成三角形，那么下面剪法中，一定能围成三角形的是（　　） A.a小棒任意剪一刀 B.b小棒任意剪一刀 C.a小棒正中间剪一刀 D.b小棒正中间剪一刀 【举一反三1】平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是 （    ）    A.1 B.2 C.7 D.8 【举一反三2】已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，它的周长为      ． 【举一反三4】三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有        个． 【举一反三5】已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 【题型8】与非负数的综合运用 【典例】已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长为（    ） A.23 B.31 C.23或31 D.18 【举一反三1】已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知a、b、c是△ABC的三边长，满足|a﹣6|+（b﹣1）2＝0，c为偶数，则c＝　　． 【举一反三3】已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+|c﹣7|＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长． 【举一反三4】已知a，b为等腰三角形的两边之长，它们满足等式，求此等腰三角形的周长． 【题型9】识别（作出）三角形的高线 【典例】如图，△ABC中AB边上的高线为（　　） A.AD B.CE C.AF D.BG 【举一反三1】如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（　　） A.①和② B.①和③ C.②和③ D.只有②正确 【举一反三2】下面四个图形中，过△ABC的顶点作高，以下作法正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，是的         边上的高；在中，是         上的高，还是         的高；是         的         边上的高． 【举一反三4】如图，在△ABC中，． (1)指出图中边、上的高； (2)作出边上的高； (3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来； 【题型10】中线的定义与重心 【典例】如图，将△ABC折叠，使点和点重合，展开后得到点，连接，则是（   ） A.角平分线 B.高线 C.中线 D.任意一条线段 【举一反三1】如图所示，有一条线段是△ABC（AB<AC）的中线，该线段是（      ） A.线段AD B.线段AE C.线段 AF D.线段MN 【举一反三2】如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为（　　） 【举一反三3】如图，已知在△ABC中，，是边上的高，请用尺规作图法， 求作△ABC的重心．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型11】三角形的角平分线 【典例】三角形的角平分线是（　　） A.直线 B.射线 C.线段 D.射线或线段 【举一反三1】如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线（　　） A.△ABE B.△ADF C.△ABC D.△ABC，△ADF 【举一反三2】下列说法中正确的是(　　) A.三角形的角平分线和中线都是线段 B.三角形的角平分线和中线都是射线 C.三角形的角平分线是射线,而中线是线段 D.三角形的角平分线是线段,而中线是射线 【举一反三3】如图，若，则为      的角平分线，为       的角平分线．    【举一反三4】如图，已知△ABC，按下列要求画图：               画出的平分线，并指出相等的角； 【举一反三5】如图，在中，是高，，分别是，的角平分线，它们相交于点，，，求和的度数.    【题型12】三角形的中线与周长 【典例】如图，在周长为的△ABC中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在△ABC中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A.5 B.3 C.4 D.2 【举一反三2】如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（   ） A.22 B.18 C.28 D.20 【举一反三3】等腰三角形一腰的中线把三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为      ． 【举一反三4】如图，△ABC的周长为，，是边上的中线，的周长比的周长大2，则的长为      ．    【举一反三5】如图，中，，D为的中点，的周长比的周长大2，且的边长是方程的解，求三边的长． 【举一反三6】如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60 cm和40 cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝x cm） 【题型13】三角形中线均分三角形面积 【典例】在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（　　） A.中线 B.高线 C.角平分线 D.某一边的垂直平分线 【举一反三1】有一块三角形土地．现在要在这块地上一半种粮食，一半种蔬菜，则下列各线段中，可以把这块地分成面积相等的两部分的是（　　） A.一边上的中线 B.一边上的高 C.一条角平分线 D.以上都不对 【举一反三2】如图，在△ABC的中线AD、CE相交于点F，若四边形BDFE的面积是2，则△ACF的面积是　　． 【举一反三3】如图，△ABC的三条中线AD、BE、CF交于点O，请找出图中所有面积相等的三角形． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6 cm，AC＝4 cm，则等于多少？ 【题型14】三角形面积计算与等面积法 【典例】如图，在中，，是三角形的高，若，，，则线段的长为（   ） A. B.4 C.5 D.6 【举一反三1】如图，已知△ABC的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，三角形内的线段相交于点,已知,.若的面积=2，则四边形的面积等于（       ） A.4 B.5 C.6 D.7 【举一反三3】在下列方格纸中标出△ABC的高AD，如果小正方形的边长为1，则△ABC的面积是　　． 【举一反三4】如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为           【举一反三5】如图，△ABC中，AB、AC边上的高分别是CE、BD．已知AB＝10 cm，CE＝4 cm，AC＝5 cm，求BD的长度． 【题型15】综合 【典例】下列说法：（1）三角形的角平分线、中线、高都是线段；（2）直角三角形只有一条高；（3）三角形的中线可能在三角形外部；（4）三角形的高都在三角形内部且交于一点．其中说法正确的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积＝△BCE的面积； ②∠AFG＝∠AGF； ③∠FAG＝2∠ACF； ④AF＝FB． A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.③④ 【举一反三2】①△ABC的顶点就是；②三角形一边的对角也是另外两边的夹角；③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段；④三角形的角平分线就是三角形内角的平分线．以上说法中，正确的是（    ） A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 【举一反三3】如图，△ABC中，是的角平分线，是△ABC的高．若，，则        度． 【举一反三4】如图，在△中，为边上的高，点为边上的中点，连接．若，△的面积为20，求的长． 【举一反三5】如图，在△ABC中，是高，是角平分线．若，，求的度数． 【题型16】三角形内角和定理 【典例】△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C等于（　　） A.30° B.67°30′ C.60° D.77°30′ 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列说法不正确的是（　　） A.与∠1互余的角只有∠2 B.∠A与∠B互余 C.∠1＝∠B D.若∠A＝2∠1，则∠B＝30° 【举一反三2】在△ABC中，若∠A＝2∠B＝50°，则∠C＝　　． 【举一反三3】如图，已知交于点，且，则     ． 【举一反三4】如图，中，，是上一点，是上一点，，相交于点，，，求和的度数． 【题型17】三角形按角分类 【典例】现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（　　） A.3 B.4或5 C.6或7 D.8 【举一反三1】在△ABC中．若，则△ABC是（   ） A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【举一反三2】若三角形的三个内角∠A、∠B、∠C满足∠A＞3∠B，∠C＜2∠B，则这个三角形是（　　） A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【举一反三3】△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是　　三角形． 【举一反三4】说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．          【题型18】利用三角形内角和定理求角的度数 【典例】如图，在中，．且．则的度数为（    ）         A. B. C. D. 【举一反三1】将一副三角板如图摆放，则图中的度数是（   ）              A. B. C. D. 【举一反三2】如图，（   ）            A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在中，于点，        °． 【举一反三4】如图所示，在△ABC中，． 求证：是直角三角形．       【题型19】三角形高线、角平分线的夹角 【典例】如图，在△ABC中，，，分别是△ABC的中线和角平分线．若，则的度数为（   ）              A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在中，，的角平分线与交于点，过点作边上的高，交于点，若，则的度数为（   ）                A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在△ABC中，，平分，若，则         ． 【举一反三3】在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B． （1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B＝40°，∠C＝60°，则∠EAD的度数为　　；（只写答案，不写解答过程） （2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系且说明理由； （3）小明继续探究，如图2在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请直接写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系． 【题型20】三角形内角和与平行线 【典例】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）                  A. B. C. D. 【举一反三1】如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ）                 A. B. C. D. 【举一反三2】将一副三角板如图放置，使点A在DE上，∠D＝60°，∠B=45°，BC∥DE，则∠ACF的度数为            【举一反三3】将一副三角板如图放置，∠ABE＝30°，∠DAC＝45°，若DA∥BC，则∠EBC的度数为      .       【举一反三4】如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝40°，∠C＝57°． （1）分别求∠DAB、∠EAC及∠BAC的度数； （2）通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？ 【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠B＝80°，求∠BEA的度数． 【题型21】三角形内角和与翻折 【典例】如图，将纸片△ABC沿折叠，使点落在点处，若，，则为（）               A. B. C. D. 【举一反三1】如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝100°，则∠C的度数为（　　） A.40° B.41° C.42° D.43° 【举一反三2】如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ）                   A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕．若，则        ．      【举一反三4】如图，△ABC中，平分，将△ABC沿折叠，点B的对应点刚好落在边上，点在点E左侧，若，，则      ．       【举一反三5】把△ABC纸片沿折叠，点落在四边形的外部，已知，求的度数．      【题型22】三角形外角的概念 【典例】图中，∠1是△ABC的外角的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，下列角中是△ACD 的外角的是（ ）          A.∠EAD B.∠BAC C.∠ACB D.∠CAE 【举一反三2】三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的       ．        【举一反三3】如图，是   和   的外角；以为一边长的三角形有     个．        【题型23】利用三角形外角的性质，求角的度数 【典例】将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ）           A. B. C. D. 【举一反三1】如图，已知∠AGB＝7°，一条光线从点A出发后射向GB边，若光线与GB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°﹣7°＝83°，当∠A＜83°时，光线射到GB边上的点A1后，经GB反射到线段AG上的点A2，易知∠1＝∠2．若A1A2⊥AG，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝76°；若光线从点A出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小角＝（　　） A.5° B.6° C.7° D.8° 【举一反三2】如图，与的大小关系是（   ）         A. B. C. D.不能确定 【举一反三3】如图，已知△ABC的一个外角等于，则的度数是       ． 【举一反三4】如图，点D是△ABC边BC延长线上一点，∠ACD＝120°，∠B＝20°，求∠A的度数． 【举一反三5】如图是一个零件的形状，按要求∠A＝30°，∠B＝45°，∠C＝90°，一个工人师傅测得∠AOB＝161°，根据你的经验判定这个零件是否合格？并说明理由． 【题型24】三角形内外角的角平分线夹角 【典例】如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为（   ）                A. B. C. D.随点，的移动而变化 【举一反三1】如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ）                A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在△ABC中，的平分线与的平分线交于点，与△ABC的外角的平分线交于点，则           ．             【举一反三3】如图，在△ABC中，，的平分线与的平分线交于点E，与的平分线交于点F，则      （用含的代数式表示）． 【举一反三4】如图①，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的平分线，已知∠B＝20°，∠C＝50°． （1）求∠EAD的度数； （2）你发现∠EAD与∠B，∠C之间有何关系？ （3）若将“题中的条件∠B＝20°”改为“∠ABC＝100°”，如图②，其他条件不变，则∠EAD与∠ABC，∠C之间又有何关系？请说明理由； （4）若将“题目中的条件∠B＝20°，∠C＝50°”改为“∠EAD＝35°，∠BAC＝50°”，其它条件不变，求∠ABC，∠C的度数． 【题型25】综合应用 【典例】如图，沿折叠使点落在点处，分别是平分线，若，则为（　　）    A. B. C. D. 【举一反三1】若等腰三角形一个底角的平分线将它分割成两个等腰三角形，则原等腰三角形顶角的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时           ．          【举一反三3】如图，将绕点顺时针旋转，得到，若，，求的度数．       【举一反三4】如图，已知：DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝80°，∠A＝50°，求：∠EDC与∠BDC的度数． 湘教版（2024）八年级上册 4.1 认识三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】三角形的定义及表示方法 【典例】三角形是（     ） A.由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的1图形 B.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C.任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D.由在同一平面内的三条线段所组成的图形 【答案】B 【解析】解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形， 故选：B． 【举一反三1】图中以为边的三角形有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】解：以为边的三角形有，共3个， 故选：C． 【举一反三2】以下由四位同学描述三角形的四种不同的说法，正确的是（   ） A.由三个角组成的图形叫三角形 B.由三条线段组成的图形叫三角形 C.由三条直线组成的图形叫三角形 D.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形 【答案】D 【解析】解：三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形， 故A，B，C错误，D正确， 故选D. 【举一反三3】如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作           ，读作           ．其中，顶点A所对的边为           还可用           表示；顶点B所对的边为           还可用           表示；顶点C所对的边为           还可用           表示． 【答案】△ABC 三角形ABC BC a AC b AB c 【解析】解：如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC，读作三角形ABC．其中，顶点A所对的边为BC还可用a表示；顶点B所对的边为AC还可用b表示；顶点C所对的边为AB还可用c表示． 故答案为：△ABC；三角形ABC；BC；a；AC；b；AB；c． 【举一反三4】看图填空，如图： （1）如图中共有　　个三角形，它们是　　　　　　　　　　　； （2）△BGE的三个顶点分别是　　　，三条边分别是　　　　　　　　，三个角分别是　　　　　　　　　　　. 【答案】（1）4；△ABC、△EBG、△AEF、△CGF （2）B、G、E；BE、EG、BE；∠B、∠BEG、∠BGE 【解析】（1）如图中共有4个三角形，它们是△ABC、△EBG、△AEF、△CGF， 故答案为：4；△ABC、△EBG、△AEF、△CGF； （2）△BGE的三个顶点分别是B、G、E，三条边分别是BE、EG、BE，三个角分别是∠B、∠BEG、∠BGE， 故答案为：B、G、E；BE、EG、BE；∠B、∠BEG、∠BGE. 【举一反三5】图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】解：图中共有6个三角形，分别是△ABD，△ABE，△ACB，△ADE，△ADC，△AEC． 【举一反三6】如图所示： (1)图中有几个三角形？把它们一一说出来． (2)写出的三个内角． (3)含边的三角形有哪些 【答案】(1)图中有7个三角形，即 (2)的三个内角是 (3)含边的三角形有 【解析】解：（1）图中有7个三角形， 分别为：； （2）在中， 它的三个内角是； （3）由（1）知图中有7个三角形，即， 含边的三角形有 【题型2】识别三角形有关边和角 【典例】如图，小强用，，表示的，，的对边，则正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】用，，表示的，，的对边正确的图是： 故选：A． 【举一反三1】如图所示，的对边是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】的对边是．故选C． 【举一反三2】如图，在△ABC中，的对边是          ，在中，的对边是          ，在中，边的对角是          ．    【答案】 【解析】解：由图可知：在△ABC中，的对边是，在中，的对边是， 在中，边的对角是， 故答案为：，，． 【举一反三3】如图，在△BEC中，边的对角           ． 【答案】/ 【解析】解：：在△BEC中，边的对角是， 故答案为：． 【举一反三4】在下面一组图形中： （1）各图形中分别有几个三角形？ （2）说出各个图形中以B为顶点的角所对的边． 【答案】解：（1）①图中三角形的个数有3个；②图中三角形的个数有6个；③图中三角形的个数有8个； （2）①图中以B为顶点的角所对的边是AC和AD；②图中以B为顶点的角所对的边是AC、AD、AE； ③图中以B为顶点的角所对的边是AE、AD、AC、CE、CD． 【举一反三5】如图所示， （1）图中有几个三角形？ （2）说出△CDE的边和角． （3）AD是哪些三角形的边？∠C是哪些三角形的角？ 【答案】解：（1）图中有：△ABD，△ADC，△ADE，△EDC，△ACB，共5个； （2）△CDE的边：CD，CE，DE， 角：∠C，∠CDE，∠DEC； （3）AD是△ADB，△ADE，△ADC的边； ∠C是△ABC，△ADC，△DEC的角． 【题型3】数三角形的个数 【典例】如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（     ） A.3个 B.4个 C.6个 D.9个 【答案】D 【解析】解：可以组成的三角形有：，，△ADE，，，△BDE，，，共9个， 故选：D． 【举一反三1】如图，在△ABC中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（    ）    A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】解：如图所示，   图中有共8个三角形， 故选：D． 【举一反三2】如图，以为边的三角形的个数是　　 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】、、、四个三角形是以为边的三角形， 故选：D． 【举一反三3】数一数图中共有（    ）个三角形． 【答案】44 【解析】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个； 由二个小三角形组成的三角形数量为16个； 由四个小三角形组成的三角形数量为8个； 由八个小三角形组成的三角形数量为4个； 则共有个， 故答案为：44． 【举一反三4】如图，由16个大小相同的小等腰直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，则图中共有      个各种大小的三角形． 【答案】27 【解析】解：最小的等腰直角三角形有16个， 由4个小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有7个， 由9个小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有3个， 由16个小的等腰直角三角形拼成的等腰直角三角形有1个， ∴一共有（个）． 故答案为：27． 【举一反三5】如图，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【答案】4个三角形,三角形的个数与四边形的边数相等 【解析】解：为四边形内一点，连接、、、可以得到4个三角形； 三角形的个数与四边形的边数相等． 【题型4】三角形按边分类 【典例】下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 【举一反三1】三角形按边可分为（　　） A.等腰三角形，直角三角形，锐角三角形 B.直角三角形，不等边三角形 C.等腰三角形，不等边三角形 D.等腰三角形，等边三角形 【答案】C 【解析】三角形按边分类分为不等边三角形和等腰三角形．故选C． 【举一反三2】有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A.①对，②不对 B.②对，①不对 C.①、②都不对 D.①、②都对 【答案】B 【解析】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形． 故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确． 故选：B． 【举一反三3】一个三角形三个内角度数的比是，按角分，这是一个       三角形；按边分，这是一个       三角形． 【答案】锐角 等腰 【解析】解：因为三角形的内角和是，且三角形三个内角的度数比是， 所以这个三角形的三个内角度数分别为：． 故按角分这是一个锐角三角形，按边分这是一个等腰三角形． 故答案为：锐角，等腰． 【举一反三4】设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为          ． 【答案】等腰三角形 【解析】解：∵ ∴； ∴ 则 ∵、、是三角形的三边长， ∴； ∴ ∴此三角形的形状为等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 【举一反三5】已知△ABC的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断△ABC的形状． 【答案】△ABC为等腰三角形 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC为等腰三角形． 【题型5】判断任意三条线段可否组成三角形 【典例】已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（　　） A.a+1，b+1，c+1 B.2a，2b，2c C.a2，b2，c2 D.|a﹣b|+1，|b﹣c|+1，|c﹣a|+1 【答案】C 【解析】∵△ABC的三边长分别为a，b，c， ∴a+b＞c， ∴a+1+b+1＞c+1， ∵a＜b＜c， ∴a+1＜b+1＜c+1， ∴以a+1、b+1、c+1为边长能组成三角形， 故A不符合题意； ∵a+b＞c， ∴2a+2b＞2c， ∵a＜b＜c， ∴2a＜2b＜2c， ∴以2a、2b、2c为边长能组成三角形， 故B不符合题意； ∵a＜b＜c， ∴a2＜b2＜c2， ∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，2ab的值不确定， ∴a2+b2与c2的大小关系不确定， ∴以a2+b2与c2为边长不一定能组成三角形， 故C符合题意； ∵a＜b＜c， ∴|a﹣b|+1＝b﹣a+1，|b﹣c|+1＝c﹣b+1，|c﹣a|+1＝c﹣a+1， ∴|a﹣b|+1+|b﹣c|+1＝c﹣a+2， ∴|a﹣b|+1+|b﹣c|+1＞|c﹣a|+1， ∵|a﹣b|+1＜|c﹣a|+1，|b﹣c|+1＜|c﹣a|+1， ∴以|a﹣b|+1，|b﹣c|+1、|c﹣a|+1为边长能组成三角形， 故D不符合题意． 故选：C． 【举一反三1】用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（　　） A.1 cm、2 cm、3 cm B.4 cm、4 cm、8 cm C.2 cm、6 cm、5 cm D.3 cm、5 cm、9 cm 【答案】C 【解析】A.1+2＝3，长度是1 cm、2 cm、3 cm的三根木棒不能做成三角形框架，故A不符合题意； B.4+4＝8，长度是4 cm、4 cm、8 cm的三根木棒不能做成三角形框架，故B不符合题意； C.2+5＞6，长度是5 cm、2 cm、6 cm的三根木棒能做成三角形框架，故C符合题意； D.3+5＜9，长度是3 cm、5 cm、9 cm的三根木棒不能做成三角形框架，故D不符合题意． 故选：C． 【举一反三2】若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是            （填序号）． 【答案】②③④ 【解析】解：∵；∴符合题意的只有②③④． 故答案为：②③④． 【举一反三3】已知n为整数，若一个三角形的三边长分别是，，6n，则所有满足条件的n值的和为        ． 【答案】48 【解析】解：根据三角形三边之间的关系， 当最大时，可得： 解得： 当最大时，可得： 解得 ∴ ∵为整数； ∴为 ∴所有满足条件的n值的和为： 故填：48. 【举一反三4】小刚要从长度分别为，，，的四根木棒中选出三根围成一个三角形，那么他应该选择哪三根木棒？为什么？ 【答案】小刚应选择长度分别为，，的三根木棒，理由见解析 【解析】解：小刚应选择长度分别为，，的三根木棒． 理由：从长度分别为，，，的四根木棒中选出三根有种情况： ①选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒围不成三角形； ②选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒围不成三角形； ③选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒围不成三角形； ④选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒可以围成三角形， 综上所述，小刚应该选择长度分别为，，的三根木棒． 【题型6】已知两条边，分析第三条边的取值范围或整数值 【典例】在同一平面内，线段AB＝10，BC＝7，则AC长为(     ) A.AC＝17 B.AC＝17或3 C.3＜AC＜17 D.3≤AC≤17 【答案】D 【解析】解：若点A，B，C三点共线，则AC=3或17； 若三点不共线，则根据三角形的三边关系，应满足大于3而小于17． 所以3≤AC≤17． 故选D． 【举一反三1】若一个三角形的两边长分别为4 cm、9 cm，则它的第三边的长可能是（　　） A.8 cm B.5 cm C.4 cm D.14 cm 【答案】A 【解析】设第三边长为x cm，则由三角形三边关系定理得9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13． 只有8 cm符合不等式． 故选：A． 【举一反三2】三角形的三边长分别是3，1﹣2a，8．则数a的取值范围是（　　） A.﹣5＜a＜﹣2 B.﹣5＜a＜2 C.5＜a＜11 D.0＜a＜2 【答案】A 【解析】解：8﹣3＜1﹣2a＜3+8，即5＜1﹣2a＜11，解得：﹣5＜a＜﹣2． 故选A． 【举一反三3】如果三条线段、、，可组成三角形，且，，是偶数，则的值为         ． 【答案】4或6 【解析】解：∵如果三条线段、、，可组成三角形，且，， ∴， 又∵c为偶数， ∴c的值为4或6． 故答案为：4或6 【举一反三4】已知三角形三边长满足，且，，则的取值范围是     ． 【答案】/ 【解析】解：∵三角形三边长满足， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： 【举一反三5】如果一个三角形的一边长为5 cm，另一边长为2 cm，若第三边长为x cm． （1）第三边x的范围为　　　　． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 【答案】解：（1）根据三角形两边的和大于第三边，则x＜5+2，即x＜7． 根据三角形两边的差小于第三边，则5﹣2＜x，即3＜x． 综上所述3＜x＜7． 故答案为：3＜x＜7． （2）∵第三边的长为奇数， ∴第三边的长为5 cm． ∴三角形的周长＝5+5+2＝12（cm）． ∵两条边的长为5 cm，另外一条边的长为2 cm， ∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 【举一反三6】已知△ABC的三边长分别是，，． (1)求的取值范围； (2)若三角形的周长是大于的正整数，求的值； 【答案】(1)； (2) 【解析】解：（1）根据题意得： 的取值范围为：； （2） 、、、、 ∵三角形的周长是大于的正整数， ∴当时，三角形的周长为； 的值是； 【题型7】三角形三边关系应用 【典例】有a，b两根小棒如图所示，现要将a，b两根小棒中的一根剪成两段与另外一根围成三角形，那么下面剪法中，一定能围成三角形的是（　　） A.a小棒任意剪一刀 B.b小棒任意剪一刀 C.a小棒正中间剪一刀 D.b小棒正中间剪一刀 【答案】D 【解析】解：由题图知在△ABC中，，， ∴小棒a的长度为． ∵小棒b的长度， ∴小棒a无论怎样剪，都不能和小棒b围成三角形，故选项A、C，不符合题意； 当小棒b剪成两根长度分别为1和5的小棒，小棒a的长度为3时． ∵，∴不能围成三角形， 故选项B不符合题意； 当对小棒b正中间剪一刀时，两根长度分别为3和3的小棒，由三角形三边关系可知，此时3根小棒一定能围成三角形，故选项D符合题意； 故选：D． 【举一反三1】平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是 （    ）    A.1 B.2 C.7 D.8 【答案】B 【解析】解：如图，如图，设这个凸四边形为，连接，并设，    在中，，即， 在中，，即， 所以 观察四个选项可知，只有选项B符合． 故选：B． 【举一反三2】已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：A、，不能组成三角形，故A选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故B选项不符合题意； C、，能组成三角形，故C选项符合题意； D、，不能组成三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三3】已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，它的周长为      ． 【答案】 【解析】解：当腰为11时，11＋11>5，11-11<5，所以能构成三角形，周长是：11＋11＋5＝27cm；当腰为5时，5＋5<11，所以不能构成三角形， 故答案为：27cm． 【举一反三4】三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有        个． 【答案】3 【解析】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过6.5； 根据三角形各边为整数，所以任何一边都大于1，且小于6，故三边可选的数字为2、3、4、5； 根据各边不相等可得，三边可以为：2、3、4；2、4、5；3、4、5； 故这样的三角形共有3个， 故答案为：3． 【举一反三5】已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 【答案】(1)； (2) 【解析】解：（1）由三角形三边关系可知： ，，， ∴原式； （2）∵，， ∴， ∵三角形得周长为偶数，为奇数， ∴； 【题型8】与非负数的综合运用 【典例】已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长为（    ） A.23 B.31 C.23或31 D.18 【答案】B 【解析】解：， ，， 解得：，， ， 若以a，b的值为等腰三角形的两边长，则只能是为底边，为腰， 其周长， 故选：． 【举一反三1】已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 【举一反三2】已知a、b、c是△ABC的三边长，满足|a﹣6|+（b﹣1）2＝0，c为偶数，则c＝　　． 【答案】6 【解析】∵|a﹣6|+（b﹣1）2＝0， ∴a﹣6＝0，b﹣1＝0， 解得a＝6，b＝1， 根据三角形的三边关系，得6﹣1＜c＜6+1，即：5＜c＜7， 又∵c为偶数， ∴c＝6． 故答案为：6． 【举一反三3】已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+|c﹣7|＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长． 【答案】解：∵（b﹣5）2+|c﹣7|＝0， ∴，解得， ∵a为方程|a﹣3|＝2的解， ∴a＝5或1， 当a＝1，b＝5，c＝7时，1+5＜7， 不能组成三角形，故a＝1不合题意， ∴a＝5， ∴△ABC的周长＝5+5+7＝17， 【举一反三4】已知a，b为等腰三角形的两边之长，它们满足等式，求此等腰三角形的周长． 【答案】该三角形的周长是13或14 【解析】解：∵， ∴， ∴， 当a为腰，b为底时，三边为：4、4、5，，满足三角形的条件， ∴三角形的周长为； 当a为底，b为腰时，三边为：4、5、5，，满足三角形的条件， ∴三角形的周长为． ∴该三角形的周长是13或14． 【题型9】识别（作出）三角形的高线 【典例】如图，△ABC中AB边上的高线为（　　） A.AD B.CE C.AF D.BG 【答案】B 【解析】如图，∵CE⊥BA延长线于E， ∴△ABC中AB边上的高线是线段CE． 故选：B． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（　　） A.①和② B.①和③ C.②和③ D.只有②正确 【答案】D 【解析】根据题意知，从△ABD的一个顶点D向底边AB作垂线，垂足A与顶点D之间的线段叫做三角形的高．即AD是△ABD的高，即②正确． 故选：D． 【举一反三2】下面四个图形中，过△ABC的顶点作高，以下作法正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：由三角形高的定义可知，四个选项中，只有D选项中的作法是作的△ABC的高， 故选：D． 【举一反三3】如图，是的         边上的高；在中，是         上的高，还是         的高；是         的         边上的高． 【答案】/ / 或 / 【解析】解：∵， ∴是的上的高； ∵， ∴是的上的高，是的上的高，是的上的高； ∵， ∴是的边上的高， 故答案为：；；或； ； 【举一反三4】如图，在△ABC中，． (1)指出图中边、上的高； (2)作出边上的高； (3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来； 【答案】(1)见解析；(2)图见解析；(3)个，见解析 【解析】解：（1）边上的高是，边上的高是； （2）如图，即为所求作； （3）在（2）的条件下，图中有个直角三角形，分别是、、， 答：在（2）的条件下，图中有个直角三角形，分别是、、； 【题型10】中线的定义与重心 【典例】如图，将△ABC折叠，使点和点重合，展开后得到点，连接，则是（   ） A.角平分线 B.高线 C.中线 D.任意一条线段 【答案】C 【解析】解：由折叠知，， ∴E是边的中点，∴是的中线， 故选：C． 【举一反三1】如图所示，有一条线段是△ABC（AB<AC）的中线，该线段是（      ） A.线段AD B.线段AE C.线段 AF D.线段MN 【答案】C 【解析】解：由三角形中线的定义可知：AF是BC边上的中线． 故选：C． 【举一反三2】如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为（　　） 【答案】2 【解析】∵AE是△ABC的中线，EC＝4， ∴BE＝EC＝4， ∵DE＝2， ∴BD＝BE﹣DE＝4﹣2＝2． 故答案为：2． 【举一反三3】如图，已知在△ABC中，，是边上的高，请用尺规作图法， 求作△ABC的重心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点O即为所求的△ABC的重心， 理由：∵，是边上的高， ∴AD为BC的中线， 根据作法得：BE是AC的中线， ∴点O即为△ABC的重心． 【题型11】三角形的角平分线 【典例】三角形的角平分线是（　　） A.直线 B.射线 C.线段 D.射线或线段 【答案】C 【解析】三角形的角平分线是线段， 故选：C． 【举一反三1】如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线（　　） A.△ABE B.△ADF C.△ABC D.△ABC，△ADF 【答案】D 【解析】∵∠2＝∠3， ∴AE是△ADF的角平分线， ∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4，即∠BAE＝∠CAE， ∴AE是△ABC的角平分线． 故选：D． 【举一反三2】下列说法中正确的是(　　) A.三角形的角平分线和中线都是线段 B.三角形的角平分线和中线都是射线 C.三角形的角平分线是射线,而中线是线段 D.三角形的角平分线是线段,而中线是射线 【答案】A 【解析】解：三角形的角平分线和中线都是线段．故选A． 【举一反三3】如图，若，则为      的角平分线，为       的角平分线．    【答案】 【解析】解：∵， ∴平分，平分， ∴为的角平分线，为△CAM的角平分线， 故答案为：，． 【举一反三4】如图，已知△ABC，按下列要求画图：               画出的平分线，并指出相等的角； 【答案】， 【解析】解：BD是的平分线．． 【举一反三5】如图，在中，是高，，分别是，的角平分线，它们相交于点，，，求和的度数.    【答案】， 【解析】解：   ∵，∴， ∴， ∵在中，是高， ∴在中，， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴, 所以，，. 故答案为 ； 【题型12】三角形的中线与周长 【典例】如图，在周长为的△ABC中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵是边上的中线，， ∵△ABC周长为， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三1】如图，在△ABC中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A.5 B.3 C.4 D.2 【答案】A 【解析】解：∵为中线，∴， ∵的周长，的周长， ∴与的周长之差为， 故选：A． 【举一反三2】如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（   ） A.22 B.18 C.28 D.20 【答案】A 【解析】解：∵的周长为20，∴， ∵，∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵，∴的周长是． 故选：A． 【举一反三3】等腰三角形一腰的中线把三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为      ． 【答案】或． 【解析】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设，∴． 由题意得：或，解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，，符合三角形的三边关系， 当时，即此时等腰三角形的三边为，，符合三角形的三边关系， 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故答案为：或． 【举一反三4】如图，△ABC的周长为，，是边上的中线，的周长比的周长大2，则的长为      ．    【答案】4 【解析】解：∵△ABC的周长为，，∴， ∵的周长比的周长大2， ∴，∴，， 故答案为：4． 【举一反三5】如图，中，，D为的中点，的周长比的周长大2，且的边长是方程的解，求三边的长． 【答案】 【解析】解：解方程得： ∴ ∵的周长,的周长 又∵ ∴；∴ 【举一反三6】如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60 cm和40 cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝x cm） 【答案】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC， ∴BD＝CD， 设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x， ∵AC＞AB， ∴AC+CD＝60，AB+BD＝40， 即4x+x＝60，x+y＝40， 解得：x＝12，y＝28， 即AC＝4x＝48 cm，AB＝28 cm． 【题型13】三角形中线均分三角形面积 【典例】在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（　　） A.中线 B.高线 C.角平分线 D.某一边的垂直平分线 【答案】A 【解析】根据同底等高的两个三角形面积相等可知，在三角形中，三角形的中线一定能将其面积分成相等两部分， 故选：A． 【举一反三1】有一块三角形土地．现在要在这块地上一半种粮食，一半种蔬菜，则下列各线段中，可以把这块地分成面积相等的两部分的是（　　） A.一边上的中线 B.一边上的高 C.一条角平分线 D.以上都不对 【答案】A 【解析】根据题意可知，一边上的中线将这个边分成相等的两段，然后根据等底同高可知两三角形的面积相等． 故选：A． 【举一反三2】如图，在△ABC的中线AD、CE相交于点F，若四边形BDFE的面积是2，则△ACF的面积是　　． 【答案】2 【解析】∵AD和CE为△ABC的中线， ∴AE＝BE，BD＝CD， ∴S△CBES△ABC，S△ACDS△ABC， ∴S△CBE＝S△ACD， 即S△ACF＝S四边形BDFE＝2． 故答案为2． 【举一反三3】如图，△ABC的三条中线AD、BE、CF交于点O，请找出图中所有面积相等的三角形． 【答案】解：△ABD、△ACD、△BCE、△BAE、△CAF、△CBF的面积相等，都是△ABC面积的； △OBD、△OCD、△OCE、△OAE、△OAF、△OBF的面积相等，都是△ABC面积的； △OAB、△OBC、△OAC的面积相等，都是△ABC面积的． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6 cm，AC＝4 cm，则等于多少？ 【答案】解：∵△ABC中，AD为中线， ∴BD＝DC． ∴S△ABD＝S△ADC． ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝6，AC＝4． ∴•AB•ED•AC•DF， ∴6×ED4×DF， ∴． 故答案为：． 【题型14】三角形面积计算与等面积法 【典例】如图，在中，，是三角形的高，若，，，则线段的长为（   ） A. B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】解：∵，， ∴，即 x6x4 = x5xCE；解得： ， 故选：A． 【举一反三1】如图，已知△ABC的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，连接、、； ，， ，， ， 同理可得，， ， ； 故选：B 【举一反三2】如图，三角形内的线段相交于点,已知,.若的面积=2，则四边形的面积等于（       ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】D 【解析】解：连接OA， ∵OB=OD，∴S△BOC=S△COD=2， ∵OC=2OE； ∴S△BOE=S△BOC=1， ∵OB=OD，∴S△AOB=S△AOD，∴S△BOE+S△AOE=S△AOD，即：1+S△AOE=S△AOD①， ∵OC=2OE，∴S△AOC=2S△AOE，∴S△AOD+S△COD=2S△AOE，即：S△AOD+2=2S△AOE②， 联立①和②：解得：S△AOE=3，S△AOD=4， S四边形AEOD=S△AOE+S△AOD=7， 故选D． 【举一反三3】在下列方格纸中标出△ABC的高AD，如果小正方形的边长为1，则△ABC的面积是　　． 【答案】解：如图所示，AD是△ABC的BC边上的高， S△ABCBC×AD2×3＝3． 故答案为：3． 【举一反三4】如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为           【答案】 【解析】解：过点作于点，交于点，过点作于， 平分，于点，于， ， 当点与重合，点与 重合时，的最小值． 三角形的面积为，， ，．即的最小值为． 故答案为：． 【举一反三5】如图，△ABC中，AB、AC边上的高分别是CE、BD．已知AB＝10 cm，CE＝4 cm，AC＝5 cm，求BD的长度． 【答案】解：∵△ABC中，AB、AC边上的高分别是CE、BD．AB＝10 cm，CE＝4 cm，AC＝5 cm， ∴△ABC的面积， 即 cm． 【题型15】综合 【典例】下列说法：（1）三角形的角平分线、中线、高都是线段；（2）直角三角形只有一条高；（3）三角形的中线可能在三角形外部；（4）三角形的高都在三角形内部且交于一点．其中说法正确的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】（1）三角形的角平分线、中线、高都是线段，正确； （2）直角三角形有三条高，故本小题错误； （3）三角形的中线一定在三角形的内部，一定不在三角形外部，故本小题错误； （4）锐角三角形的高都在三角形内部且交于一点，直角三角形的三条高有两条是直角边，相交于一点，钝角三角形有两条在三角形的外部，相交于一点，错误． 说法正确的有（1）共1个． 故选：A． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积＝△BCE的面积； ②∠AFG＝∠AGF； ③∠FAG＝2∠ACF； ④AF＝FB． A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.③④ 【答案】C 【解析】∵BE是△ABC的中线， ∴AE＝CE， ∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确； ∵AD是△ABC的高线， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ABC+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， ∵CF为△ABC的角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF∠ACB， ∵∠AFC＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD， ∴∠AFC＝∠AGF＝∠AFG， 故②正确； ∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°， ∴∠BAD＝∠ACD， ∴∠BAD＝2∠ACF， 即∠FAG＝2∠ACF，故③正确； 过点F作FM⊥BC于点M， ∵CF平分∠ACB， ∴FA＝FM， 在Rt△BFM中，FB＞FM， ∴FB＞AF， 故④错误， 故选：C． 【举一反三2】①△ABC的顶点就是；②三角形一边的对角也是另外两边的夹角；③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段；④三角形的角平分线就是三角形内角的平分线．以上说法中，正确的是（    ） A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 【答案】C 【解析】解：①△ABC中，顶点A处对应的角可表示为，故原说法错误； ②三角形一边的对角也是另外两边的夹角，说法正确； ③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段，说法正确； ④三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，故原说法错误；则正确的是②③， 故选C． 【举一反三3】如图，△ABC中，是的角平分线，是△ABC的高．若，，则        度． 【答案】10 【解析】解：∵，∴， ∵是△ABC的角平分线，∴， ∵是△ABC的高线，∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 【举一反三4】如图，在△中，为边上的高，点为边上的中点，连接．若，△的面积为20，求的长． 【答案】 【解析】解：，△的面积为20， ， ，， 点为边上的中点， ． 【举一反三5】如图，在△ABC中，是高，是角平分线．若，，求的度数． 【答案】 【解析】解：∵， ， 是角平分线，， 是高，， ，， ； 【题型16】三角形内角和定理 【典例】△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C等于（　　） A.30° B.67°30′ C.60° D.77°30′ 【答案】B 【解析】∵∠A＝2∠B＝75°， ∴∠B＝37°30′． ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝67°30′． 故选：B． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列说法不正确的是（　　） A.与∠1互余的角只有∠2 B.∠A与∠B互余 C.∠1＝∠B D.若∠A＝2∠1，则∠B＝30° 【答案】A 【解析】解：A、∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝90°， ∵CD⊥AB，∴∠1+∠A＝90°，∴与∠1互余的角有∠2与∠A两个角，故本选项错误； B、∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A与∠B互余，故本选项正确； C、∠1+∠2＝90°，∠2+∠B＝90°，∴∠1＝∠B，故本选项正确； D、∵∠A＝2∠1＝2∠B，∴∠A+∠B＝3∠B＝90°，解得∠B＝30°，故本选项正确． 故选A． 【举一反三2】在△ABC中，若∠A＝2∠B＝50°，则∠C＝　　． 【答案】105° 【解析】∵∠A＝2∠B＝50°， ∴∠B＝25°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣25°＝105°， 故答案为：105°． 【举一反三3】如图，已知交于点，且，则     ． 【答案】64° 【解析】解：：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB ∴∠A+∠D=∠C+∠B， ∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°； 故答案为：64°； 【举一反三4】如图，中，，是上一点，是上一点，，相交于点，，，求和的度数． 【答案】=，=20 【解析】解：在△BEC中，∵， ∴= 在△AEF中，=， ∴==20． 【题型17】三角形按角分类 【典例】现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（　　） A.3 B.4或5 C.6或7 D.8 【答案】A 【解析】由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时， ∴共有33÷3＝11个三角形； 又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三角形； 故还有11﹣5﹣3＝3个锐角三角形． 故选：A． 【举一反三1】在△ABC中．若，则△ABC是（   ） A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】D 【解析】解：∵，和无法确定， ∴△ABC可能是锐角三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形， 故选：． 【举一反三2】若三角形的三个内角∠A、∠B、∠C满足∠A＞3∠B，∠C＜2∠B，则这个三角形是（　　） A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【答案】C 【解析】根据题意∠A＞3∠B，即有∠B∠A， 又∠C＜2∠B∠A， 所以∠A+∠B+∠C＜∠A∠A∠A＝2∠A， 故有180°＜2∠A， 得∠A＞90°， 即得△ABC为钝角三角形． 故选：C． 【举一反三3】△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是　　三角形． 【答案】直角 【解析】∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴可设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴6x＝180°， ∴x＝30°， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角． 【举一反三4】说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．          【答案】锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有： 【解析】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有： 【题型18】利用三角形内角和定理求角的度数 【典例】如图，在中，．且．则的度数为（    ）         A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：设∠B=α， ∴∠A+∠C=180°-α， ∵∠AFE=∠AEF，∠CFD=∠CDF， ∴∠A+2∠AFE=180°①，∠C+2∠CFD=180°②， 由①+②得：∠A+∠C+2∠AFE+2∠CFD=360°， ∴2∠AFE+2∠CFD=180°+α， ∴∠AFE+∠CFD=90°+α， ∴∠EFD=180°-（∠AFE+∠CFD）=180°-（90°+α）， ∵∠EFD=30°， ∴180°-（90°+α）=30°，∴α=120°，∴∠B的度数为120°， 故选：D． 【举一反三1】将一副三角板如图摆放，则图中的度数是（   ）              A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图：      ， ， 故选：A． 【举一反三2】如图，（   ）            A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：根据三角形内角和可知，， 故选：B． 【举一反三3】如图，在中，于点，        °． 【答案】 【解析】解：； ； 故答案为：． 【举一反三4】如图所示，在△ABC中，． 求证：是直角三角形．       【答案】见解析 【解析】证明：， ， ， ， 是直角三角形． 【题型19】三角形高线、角平分线的夹角 【典例】如图，在△ABC中，，，分别是△ABC的中线和角平分线．若，则的度数为（   ）              A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵是△ABC的中线，，， ∴，， ∵是△ABC的角平分线， ∴， 故选：D． 【举一反三1】如图，在中，，的角平分线与交于点，过点作边上的高，交于点，若，则的度数为（   ）                A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵，的角平分线与交于点， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴． 故选：A． 【举一反三2】如图，在△ABC中，，平分，若，则         ． 【答案】 【解析】解：∵平分，， ∴， ∵，∴， ∵，∴，则 故答案为：。 【举一反三3】在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B． （1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B＝40°，∠C＝60°，则∠EAD的度数为　　；（只写答案，不写解答过程） （2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系且说明理由； （3）小明继续探究，如图2在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请直接写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系． 【答案】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°， ∴∠CAB＝180°﹣（∠B+∠C）＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC80°＝40°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°， 故答案为：10°； （2）∠EAD（∠ACB﹣∠ABC）． 理由：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝90°（∠ABC+∠ACB）， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠ACB， ∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝90°（∠ABC+∠ACB）﹣（90°﹣∠ACB）（∠ACB﹣∠ABC）， 即∠EAD（∠ACB﹣∠ABC）； （3）∠EPD∠ACB∠ABC， 理由是：如图2，过A作AG⊥BC于G， ∵PD⊥BC， ∴AG∥PD， ∴∠GAE＝∠DPE， ∵∠CAB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝90°∠ABC∠ACB， ∵AG⊥BC， ∴∠AGC＝90°， ∴∠GAC＝90°﹣∠ACB， ∴∠GAE＝∠CAE﹣∠CAG＝90°∠ABC∠ACB﹣（90°﹣∠ACB）∠ACB∠ABC， ∴∠EPD∠ACB∠ABC． 【题型20】三角形内角和与平行线 【典例】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）                  A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：如图，延长交于点，   ，，， ，， ，， 故选：A． 【举一反三1】如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ）                 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图， 由题意得：， ∴，∴， ∴； 故选D． 【举一反三2】将一副三角板如图放置，使点A在DE上，∠D＝60°，∠B=45°，BC∥DE，则∠ACF的度数为            【答案】 【解析】解：由题意可得， ∠D=60°，∠ECD=90°， 故∠E=30°，  ∵DE∥BC， ∴∠E=∠ECB， ∴∠ECB=30°， ∵∠B=45°，∠BAC=90°， ∴∠BCA=45°， ∴∠ACF=15°， 故答案为：15°． 【举一反三3】将一副三角板如图放置，∠ABE＝30°，∠DAC＝45°，若DA∥BC，则∠EBC的度数为      .       【答案】15° 【解析】解：∵AD∥BC， ∴∠ABE+∠EBC+∠BAE+∠CAD＝180°， ∵∠ABE＝30°，∠BAE＝90°，∠CAD＝45°， ∴∠EBC＝180°﹣30°﹣90°﹣45°＝15°， 故答案为15° 【举一反三4】如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝40°，∠C＝57°． （1）分别求∠DAB、∠EAC及∠BAC的度数； （2）通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？ 【答案】解：（1）∵DE∥BC， ∴∠DAB＝∠B＝40°， ∵DE∥BC， ∴∠EAC＝∠C＝57°， ∵直线DE过点A， ∴∠DAE＝180°， ∴∠DAB+∠EAC+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣57°＝83°； （2）∵DE∥BC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∵∠DAB+∠EAC+∠BAC＝180°， ∴∠B+∠C+∠BAC＝180°， 即三角形内角和为180°. 【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠B＝80°，求∠BEA的度数． 【答案】解：∵AD∥BC，∠B＝80°， ∴∠BAD＝180°﹣80°＝100°， ∵AE平分∠BAD交BC于点E， ∴∠BAE∠BAD＝50°， ∴∠BEA＝180°﹣80°﹣50°＝50°． 【题型21】三角形内角和与翻折 【典例】如图，将纸片△ABC沿折叠，使点落在点处，若，，则为（）               A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由折叠可知，,, ∵，， ∴， ， ∴, 故选：B． 【举一反三1】如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝100°，则∠C的度数为（　　） A.40° B.41° C.42° D.43° 【答案】A 【解析】如图，连接AO、BO． 由题意EA＝EB＝EO， ∴∠AOB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°， ∵DO＝DA，FO＝FB， ∴∠DAO＝∠DOA，∠FOB＝∠FBO， ∴∠CDO＝2∠DAO，∠CFO＝2∠FBO， ∵∠CDO+∠CFO＝100°， ∴2∠DAO+2∠FBO＝100°， ∴∠DAO+∠FBO＝50°， ∴∠CAB+∠CBA＝∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO＝140°， ∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣140°＝40°， 故选：A． 【举一反三2】如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ）                   A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵，∴， 由折叠得：，， ∵，∴， ∴，∴， 故选：A． 【举一反三3】如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕．若，则        ．      【答案】 【解析】解：,， 由折叠的性质得：, , ， 故答案为：． 【举一反三4】如图，△ABC中，平分，将△ABC沿折叠，点B的对应点刚好落在边上，点在点E左侧，若，，则      ．       【答案】70 【解析】解：根据折叠的性质得，， ，，， 平分，， ，， ， ， ， ，， 故答案为：． 【举一反三5】把△ABC纸片沿折叠，点落在四边形的外部，已知，求的度数．      【答案】 【解析】解：如图：是翻折变换而成， ， 是的外角，， ，， ，， ，解得：． 【题型22】三角形外角的概念 【典例】图中，∠1是△ABC的外角的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∠1是△ABC的外角的是： 故选：D． 【举一反三1】如图，下列角中是△ACD 的外角的是（ ）          A.∠EAD B.∠BAC C.∠ACB D.∠CAE 【答案】C 【解析】解：由题意得：△ACD 的外角有和 故答案为：C． 【举一反三2】三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的       ．        【答案】外角 【解析】略 【举一反三3】如图，是   和   的外角；以为一边长的三角形有     个．        【答案】 4 【解析】解：根据图形可得：是和的外角； 以为一边长的三角形有：，，，，共4个； 故答案为：；；4． 【题型23】利用三角形外角的性质，求角的度数 【典例】将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ）           A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵是等腰直角三角形，∴， ∵是的外角，∴， ∴， 故选：B． 【举一反三1】如图，已知∠AGB＝7°，一条光线从点A出发后射向GB边，若光线与GB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°﹣7°＝83°，当∠A＜83°时，光线射到GB边上的点A1后，经GB反射到线段AG上的点A2，易知∠1＝∠2．若A1A2⊥AG，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝76°；若光线从点A出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小角＝（　　） A.5° B.6° C.7° D.8° 【答案】B 【解析】如图，当MN⊥AG时，光线沿原路返回， ∴∠4＝∠3＝90°﹣7°＝83°， ∴∠6＝∠5＝∠4﹣∠AGB＝83°﹣7°＝76°＝90°﹣2×7°， ∴∠8＝∠7＝∠9﹣∠AGB＝76°﹣7°＝90°﹣3×7°， ∴∠9＝∠8﹣∠AGB＝69°﹣7°＝62°＝90°﹣4×7°， 由以上规律可知，∠A＝90°﹣2n•7°， 当n＝6时，∠A取得最小值，最小度数为6°， 故选：B． 【举一反三2】如图，与的大小关系是（   ）         A. B. C. D.不能确定 【答案】C 【解析】解：∵是的一个外角，∴， 故选：C． 【举一反三3】如图，已知△ABC的一个外角等于，则的度数是       ． 【答案】/80度 【解析】解：∵△ABC的一个外角等于， ∴； 故答案为：． 【举一反三4】如图，点D是△ABC边BC延长线上一点，∠ACD＝120°，∠B＝20°，求∠A的度数． 【答案】解：∵点D是△ABC边BC延长线上一点， ∴∠ACD＝∠B+∠A， 即120°＝20°+∠A， ∴∠A＝100°． 【举一反三5】如图是一个零件的形状，按要求∠A＝30°，∠B＝45°，∠C＝90°，一个工人师傅测得∠AOB＝161°，根据你的经验判定这个零件是否合格？并说明理由． 【答案】解：这个零件不合格． 理由：作射线CO． ∵∠1是△AOC的一个外角， ∴∠1＝∠A+∠3， ∵∠2是△BOC的一个外角， ∴∠2＝∠B+∠4， ∴∠1+∠2＝∠A+∠3+∠B+∠4＝30°+45°+90°＝165°， 即∠AOB＝165°， ∵工人师傅测得∠AOB＝161°， ∴这个零件不合格． 【题型24】三角形内外角的角平分线夹角 【典例】如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为（   ）                A. B. C. D.随点，的移动而变化 【答案】A 【解析】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，∴， ∵，∴． 故选：A． 【举一反三1】如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ）                A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，延长，交于点． ∵是的外角，，∴． ∵是的外角，，， ，， ∵的角平分线交于点，， ，， ， 故选：B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，的平分线与的平分线交于点，与△ABC的外角的平分线交于点，则           ．             【答案】160 【解析】解：在△ABC中，， 平分平分， ， 则， 平分平分， ，， 故答案为：160． 【举一反三3】如图，在△ABC中，，的平分线与的平分线交于点E，与的平分线交于点F，则      （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【解析】解：平分，平分， ，， ， ， 平分，， ， ，， 故答案为：． 【举一反三4】如图①，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的平分线，已知∠B＝20°，∠C＝50°． （1）求∠EAD的度数； （2）你发现∠EAD与∠B，∠C之间有何关系？ （3）若将“题中的条件∠B＝20°”改为“∠ABC＝100°”，如图②，其他条件不变，则∠EAD与∠ABC，∠C之间又有何关系？请说明理由； （4）若将“题目中的条件∠B＝20°，∠C＝50°”改为“∠EAD＝35°，∠BAC＝50°”，其它条件不变，求∠ABC，∠C的度数． 【答案】解：（1）∵∠B＝20°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180﹣∠B﹣∠C＝110°． 又∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠EAC∠BAC＝55°． ∵AD为BC边上的高， ∴∠ADC＝90°，∠DAC＝90°﹣∠C＝40°， ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝15°． （2）由图知，∠DAE＝∠BAE﹣∠CAD∠BAC﹣∠CAD （180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C） ＝90°∠B∠C﹣90°+∠C （∠C﹣∠B）． （3）∠EAD（∠ABC﹣∠C）． 理由如下：由三角形内角和知∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C， ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠BAE∠BAC（180°﹣∠ABC﹣∠C）． ∵AD为BC边上的高， ∴∠ADC＝90°＝∠DAB+∠ABD． 又∵∠ABD＝180°﹣∠ABC， ∴∠DAB＝90°﹣（180°﹣∠ABC）＝∠ABC﹣90°， ∴∠EAD＝∠DAB+∠BAE＝∠ABC﹣90°（180°﹣∠ABC﹣∠C）（∠ABC﹣∠C）． （4）由（1）（2）（3）可知： ①当∠ABC＜∠C时， 解得 ②当∠ABC＞∠C时，解得 综上所述，∠C＝100°，∠ABC＝30°；或∠C＝30°，∠ABC＝100°． 【题型25】综合应用 【典例】如图，沿折叠使点落在点处，分别是平分线，若，则为（　　）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图，设与交于点，     ∵分别是平分线， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， 故选：． 【举一反三1】若等腰三角形一个底角的平分线将它分割成两个等腰三角形，则原等腰三角形顶角的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：如图，等腰，，是的平分线， ∵； ∴ ∵是的平分线，∴ 设； ∴ ∵和， ∴， ∴，， ∴ ∵ ∴； 解得： ∴ 故选：A． 【举一反三2】如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时           ．          【答案】 【解析】解：延长交于点，如图，   ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【举一反三3】如图，将绕点顺时针旋转，得到，若，，求的度数．       【答案】 【解析】解：∵绕点顺时针旋转某个角度得到， ，， 又∵， ∴． 【举一反三4】如图，已知：DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝80°，∠A＝50°，求：∠EDC与∠BDC的度数． 【答案】解：∵∠B＝80°，∠A＝50°， ∴∠ACB＝50°， ∵CD是∠ACB的角平分线， ∴∠BCD∠ACB＝25°， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝25°， ∵∠B＝80°， ∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝75°． ∴∠EDC与∠BDC的度数分别为25°、75°． 学科网（北京）股份有限公司 $