3.2.3 用因式分解法解方程（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法及解法选择，通过复习因式分解概念、方法及方程实例导入，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到新课学习。 其亮点在于以问题驱动探究，通过对比因式分解法与公式法、归纳解法适用条件，培养学生的推理意识和运算能力。典型例题与方法总结结合，帮助学生形成解题策略，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第3章 一元二次方程 3.2 一元二次方程的解法 3.2.3 因式分解法 第1课时 用因式分解法解方程 复习回顾已学内容，回答下列问题： 1.因式分解的概念是什么？ 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解. 2.因式分解有哪些方法？ (1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). (2)公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 导入新课 2 3.说出方程(x＋3)(x－5)＝0的解. x1＝－3，x2＝5. 这节课来学习用因式分解法解一元二次方程. 导入新课 3 任务一：探究因式分解法 高效课堂 问题：能探究一种更简洁的方法解方程x2－3x＝0吗？ 这个方程和之前学过的一元一次方程有什么不同？ 这是一元二次方程，且左边的多项式容易因式分解. 能不能把左边的多项式变成两个一次整式相乘的形式？ 方程的左边提取公因式x，得x(x－3)＝0. 由此得x＝0或x－3＝0，即x1＝0，x2＝3. 因式分解过程：x2－3x＝x(x－3). 4 高效课堂 强调：若ab＝0，则a＝0或b＝0，将方程转化为x＝0或x－3＝0.从而得到方程的根. 像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的基本步骤： (1)将方程化为左边是含未知数的代数式，右边是0的形式； (2)将方程左边分解成两个一次因式乘积的形式； (3)令每个因式等于0； (4)求解. 高效课堂 议一议：请用公式法解方程x2－3x＝0，并与上面的因式分解法进行比较， 用哪种方法更简单？ 这里a＝1，b＝－3，c＝0. 因而b2－4ac＝(－3)2－4×1×0＝9，所以 . 因此，原方程的根为x1＝3，x2＝0. 因式分解法比公式法更简单. 任务二：典型例题，巩固新知 高效课堂 例1 用因式分解法解下列方程： (1)x(x－5)＝3x；(2)2x(5x－1)＝3(5x－1)；(3)(35－2x)2－900＝0. 之前已经学习了用因式分解法解一元二次方程的核心思路是什么？ 因式分解法的核心思想：降次、化归； 观察这三个方程，它们分别适合用哪种因式分解方法？ 观察方程结构，初步判断解法方向：方程(1)可整理后提取公因式；方程(2)含相同因式；方程(3)是平方差形式. 7 高效课堂 强调：因式分解法的核心是先整理方程，再观察结构选择合适的分解方法，但要注意不能直接约去含未知数的因式，否则会丢失根. 解 (1)原方程可化为x2－8x＝0. 把方程左边的多项式因式分解，得x(x－8)＝0. 由此得x＝0或x－8＝0.解得x1＝0，x2＝8. (2)原方程可化为2x(5x－1)－3(5x－1)＝0. 把方程左边的多项式因式分解，得(5x－1)(2x－3)＝0. 由此得5x－1＝0或2x－3＝0.解得 ， . 高效课堂 (3)原方程可化为(35－2x)2－302＝0. 把方程左边的多项式因式分解，得(35－2x＋30)(35－2x－30)＝0. 由此得65－2x＝0或5－2x＝0.解得 ， . 任务三：探究因式分解与方程根的关系 高效课堂 例2 用因式分解法解方程：x2－10x＋24＝0. 已经学过的因式分解方法有哪些？ 配方法结合平方差公式的因式分解； 第一步将方程配方，第二步将配方后的式子整理为平方差形式，第三步用平方差公式因式分解，第四步根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，列出两个一元一次方程并求解； 强调“配方＋平方差公式”是因式分解的一种重要思路. 10 高效课堂 解：配方，得x2－10x＋52－52＋24＝0，因而(x－5)2－12＝0. 把方程左边的多项式因式分解，得(x－5＋1)(x－5－1)＝0， 即(x－4)(x－6)＝0.由此得x－4＝0或x－6＝0.解得x1＝4，x2＝6. 归纳总结：用公式法进行因式分解时，要注意根据问题需要有时将一个单项式或一个多项式当成一个整体来看待，进行拼凑完全平方公式. 高效课堂 通过以上例子，方程的根与因式分解的结果有什么必然的联系吗？ 若能把方程x2＋bx＋c＝0左边的多项式因式分解为x2＋bx＋c＝(x－d)(x－h)，则d和h就是方程x2＋bx＋c＝0的根. 反过来，可以证明：若d和h是方程x2＋bx＋c＝0的根，则方程左边的多项式能够分解成x2＋bx＋c＝(x－d)(x－h). 梳理本节课所学内容，谈谈你有哪些收获，还应注意哪些问题？ 课堂总结 13 基础性作业：教材练习第1，2题. 提高性作业：教材习题3.2第5题. 作业设计 14 第3章 一元二次方程 3.2 一元二次方程的解法 3.2.3 因式分解法 第2课时 选择合适的方法解方程 回顾以下知识： 1.一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 2.一元二次方程的解法：配方法(包括直接开平方法)、公式法、因式分解法. 3.因式分解法的基本步骤：移项—化积—转化—求解. 导入新课 16 任务一：巩固旧知，选择解法 高效课堂 做一做：下列方程用哪种方法求解较简便？请用合适的方法求解. (1)x2－4x＝0；(2)2x2＋4x－3＝0；(3)x2＋6x＋9＝16. (1)题适合因式分解法. 原方程可写为x(x－4)＝0.由此得x＝0或x－4＝0.即x1＝0，x2＝4. 17 高效课堂 做一做：下列方程用哪种方法求解较简便？请用合适的方法求解. (1)x2－4x＝0；(2)2x2＋4x－3＝0；(3)x2＋6x＋9＝16. (2)题适合公式法. 这里a＝2，b＝4，c＝－3.因而b2－4ac＝42－4×2×(－3)＝40， 所以 . 因此，原方程的根为 ， . 18 高效课堂 做一做：下列方程用哪种方法求解较简便？请用合适的方法求解. (1)x2－4x＝0；(2)2x2＋4x－3＝0；(3)x2＋6x＋9＝16. (3)题适合配方法(或直接开平方法). 原方程可化为(x＋3)2＝16. 由此得x＋3＝4或x＋3＝－4，解得x1＝1，x2＝－7. 19 任务二：典型例题，巩固解法 高效课堂 例 选择合适的方法解下列方程： (1)x2＋3x＝0；(2)5x2－4x－1＝0；(3)x2＋4x＝3. 解：(1)将方程左边的多项式因式分解，得x(x＋3)＝0， 由此得x＝0或x＋3＝0.解得x1＝0，x2＝－3. 20 高效课堂 例 选择合适的方法解下列方程： (1)x2＋3x＝0；(2)5x2－4x－1＝0；(3)x2＋4x＝3. 解：(2)这里a＝5，b＝－4，c＝－1. 因而b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36， 所以 . 因此，原方程的根为 ， . 21 高效课堂 例 选择合适的方法解下列方程： (1)x2＋3x＝0；(2)5x2－4x－1＝0；(3)x2＋4x＝3. 解：(3)原方程可化为x2＋4x＋4＝3＋4，即(x＋2)2＝7， 由此得x＋2＝ 或x＋2＝－ . 解得x1＝－2＋ ，x2＝－2－ . 通过以上问题的解决，能总结三种解法的适用条件及优缺点吗？ 如何选择合适的方法解一元二次方程？ 22 高效课堂 (1)因式分解法适用条件：方程容易写成(x＋m)(x＋n)＝0的形式；系数简单、整数根明显，能快速分解；缺一次项或常数项时尤其好用. 优点是最快、计算量最小；缺点是不是所有方程都能因式分解. 配方法适用条件：二次项系数为1，一次项系数为偶数时最方便；题目明确要求用配方法求解或配方变形. 优点是通用性强，能推导求根公式；缺点是计算步骤多，容易算错. 高效课堂 公式法适用条件：所有一元二次方程通用；因式分解困难、系数复杂时用此. 优点是不用试错，直接套公式；缺点是计算稍繁，要记公式. (2)如何快速选择合适解法：先看能不能因式分解；不能分解再看是否适合配方；以上都不适合，系数复杂直接用公式法，最稳妥、万能. 任务三：小组交流，归纳总结 高效课堂 议一议：用自己的语言总结解一元二次方程的基本思路. 解一元二次方程的基本思路：将一元二次方程转化为两个一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2＋bx＋c＝a(x－d)(x－h)，于是原方程可写成a(x－d)(x－h)＝0.由此得出x－d＝0或x－h＝0.于是d和h是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根. 25 梳理本节课所学内容，谈谈你有哪些收获？ 还应注意哪些问题？ 课堂总结 26 基础性作业：教材练习. 提高性作业：教材习题3.2第7~10题. 拓展性作业：归纳解一元二次方程的常用方法，并与同学分享. 作业设计 27 $