第二章 实数 单元培优卷二 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册实数单元培优卷，覆盖无理数识别、二次根式运算等核心知识，通过分层设计与情境化问题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|无理数识别、最简二次根式、平方根|基础概念辨析，如无理数个数判断| |填空题|5/20|实数运算、非负性应用、整数小数部分|含比较大小、代数式求值等中档题| |解答题|10/90|估算（夹逼法）、实际应用（菜地周长）、数学活动（数轴表示√10）|设置阅读理解与跨情境问题，如分母有理化规律探究，融合几何直观与模型意识|

2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 八年级 (上) 第二章 实数（卷二） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1．下列各数：-3.14159，，，，0.1010010001…（相邻两个 1 之间的 0 的个数依次加 1），，其中无理数的个数是（　　） A．2 个　　　B．3 个　　　C．4 个　　　D．5 个 【答案】 B 【解析】 本题考查无理数的识别。无理数的常见类型有：开方开不尽的方根、含 π 的数、无限不循环小数；注意有限小数、循环小数和分数都是有理数，=4 是整数。 【解答】 解：=4 是整数，-3.14159 是有限小数， 是分数（等于循环小数 3.1·4·2·8·5·7·），它们与整数都是有理数； 开方开不尽， 含 π，0.1010010001… 是无限不循环小数，它们都是无理数，共 3 个。 故选：B。 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】 C 【解析】 最简二次根式需同时满足：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数。45=9×5 与 18=9×2 都含平方因数 9， 的被开方数含分母。 【解答】 解：=3，=3，=，都不是最简二次根式；30=2×3×5，不含能开得尽方的因数，且被开方数是整数，所以 是最简二次根式。 故选：C。 3． 的平方根是（　　） A．±3　　　B．3　　　C．±9　　　D．9 【答案】 A 【解析】 先求出 =9，再求 9 的平方根。注意区分平方根与算术平方根：正数的平方根有两个，算术平方根只有一个。 【解答】 解：因为 =9，而 9 的平方根是 ±3，所以 的平方根是 ±3。 故选：A。 4．若式子 + 有意义，则 x 的取值范围是（　　） A．x≥　　　B．x≥ 且 x≠2 C．x≠2　　　　　D．x> 且 x≠2 【答案】 B 【解析】 二次根式有意义需被开方数大于或等于 0；分式有意义需分母不等于 0；两个条件必须同时成立。 【解答】 解：由 有意义，得 2x-1≥0，即 x≥；由 有意义，得 x≠2。综上，x 的取值范围是 x≥ 且 x≠2。 故选：B。 5．估计 的值在（　　） A．5.4 与 5.5 之间　　B．5.5 与 5.6 之间 C．6.4 与 6.5 之间　　D．6.5 与 6.6 之间 【答案】 C 【解析】 用夹逼法估算：把各选项的两个端点分别平方，看 42 落在哪两个相邻的平方值之间。 【解答】 解：因为 6.4²=40.96<42<42.25=6.5²，所以 6.4<<6.5，即 的值在 6.4 与 6.5 之间。 故选：C。 6．已知 x<1，则 +|2-x| 化简的结果是（　　） A．3-2x　　　B．3+2x　　　C．1　　　D．2x-3 【答案】 A 【解析】 先由 =|a| 把根号脱去，再利用条件 x<1 判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值符号后合并。 【解答】 解：因为 x<1，所以 x-1<0，=|x-1|=1-x；又 2-x>1>0，所以 |2-x|=2-x。原式=1-x+2-x=3-2x。 故选：A。 7．下列等式成立的是（　　） A．=-3　　B．=2 C．(+)(-)=1　　D．=±3 【答案】 C 【解析】 逐项利用平方根、立方根的意义与二次根式的性质判断：=|-3|=3；负数的立方根是负数； 表示 9 的算术平方根，只有一个值。 【解答】 解：A 项 =|-3|=3，不等于 -3，错误；B 项 =-2，不等于 2，错误；C 项 (+)(-)=()²-()²=3-2=1，正确；D 项 =3，它表示算术平方根，不能写成 ±3，错误。 故选：C。 8．已知 2a-1 的平方根是 ±5，3b+1 的立方根是 -2，则 a+b 的值为（　　） A．7　　　B．10　　　C．-10　　　D．13 【答案】 B 【解析】 由平方根的意义得 2a-1=25；由立方根的意义得 3b+1=-8；分别解出 a、b 后再求和。 【解答】 解：因为 2a-1 的平方根是 ±5，所以 2a-1=25，解得 a=13；因为 3b+1 的立方根是 -2，所以 3b+1=-8，解得 b=-3。所以 a+b=13+(-3)=10。 故选：B。 9．已知 a<0<b，且 |a|>b，则 -|a+b| 化简的结果是（　　） A．b　　　B．-b　　　C．2a+b　　　D．a+b 【答案】 A 【解析】 由 a<0 得 =|a|=-a；由 |a|>b 且 b>0 得 a+b=-(|a|-b)<0，故 |a+b|=-(a+b)，代入化简即可。 【解答】 解：因为 a<0，所以 =|a|=-a；因为 |a|>b，所以 a+b=-(|a|-b)<0，|a+b|=-(a+b)。原式=-a-[-(a+b)]=-a+a+b=b。 故选：A。 10．设 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数（例如 [3.2]=3，[-3.2]=-4）。给出下列结论，其中正确的结论有（　　）. ① []=2； ② [-]=-2； ③ 若 [x]=3，则 3≤x<4； ④ 对任意实数 a，都有 [a]+[-a]=0。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】 本题考查取整函数（高斯函数）的意义与无理数估算。①②先用夹逼法估算 、 的范围，注意负数的最大整数；③按定义反推 x 的范围；④可举反例排除。 【解答】 解：①因为 4<5<9，所以 2<<3，即 2<<3，[]=2，正确；②因为 1<3<4，所以 1<<2，则 -2<-<-1，不超过 - 的最大整数是 -2，即 [-]=-2，正确；③[x]=3 表示 x 大于或等于 3 且小于 4，即 3≤x<4，正确；④取 a=1.5，则 [a]=1，[-a]=[-1.5]=-2，[a]+[-a]=1+(-2)=-1≠0，错误。综上，正确的结论是 ①②③。 故选：C。 二、填空题（本题共计 5 小题，每题 4 分，共计 20 分） 11．计算：+-|-2|=____-____。 【答案】 - 【解析】 先分别求算术平方根、立方根与绝对值，再按有理数加减法则计算：=，=-3。 【解答】 解：原式=-3-2=-。 故答案为：-。 12．比较大小：____<____（填“>”“<”或“=”）。 【答案】 < 【解析】 两个正数比较大小可用平方法：²=7，()²=，再比较 7 与 的大小即可。 【解答】 解：因为 7=<，即 ²<()²，且两数均为正数，所以 <。 故答案为：<。 13．若 +(y+2)²=0，则 =________。 【答案】 【解析】 算术平方根与平方都是非负数，非负数之和为 0 时各项都为 0，据此求出 x、y 的值后代入计算。 【解答】 解：因为 ≥0，(y+2)²≥0，且 +(y+2)²=0，所以 2x-1=0 且 y+2=0，解得 x=，y=-2。所以 ==。 故答案为：。 14．已知 m、n 分别是 6- 的整数部分和小数部分，且 amn+bn²=1（a、b 为有理数），则 a+b=____1____。 【答案】 1 【解析】 先由 9<13<16 估算出 m、n，再把 amn+bn² 展开整理成“有理数+ 的倍数”的形式，利用等式两边有理部分相等、 的系数为 0，列方程组求出 a、b。 【解答】 解：因为 9<13<16，所以 3<<4，故 6- 的整数部分 m=2，小数部分 n=6--2=4-。于是 mn=2(4-)=8-2，n²=(4-)²=16-8+13=29-8。代入 amn+bn²=1，得 a(8-2)+b(29-8)=1，整理得 (8a+29b)+(-2a-8b)=1。因为 a、b 为有理数，所以 8a+29b=1 且 -2a-8b=0，解得 a=，b=-。所以 a+b=-=1。 故答案为：1。 15．计算：+=____1+2____。 【答案】 1+2 【解析】 这是复合二次根式化简问题。注意到 4-2 恰好可配成 (-1)²，7+4 恰好可配成 (2+)²，配方后再利用根号内是完全平方式开方即可。 【解答】 解：4-2=3-2+1=(-1)²，且 -1>0，所以 =-1；7+4=4+4+3=(2+)²，且 2+>0，所以 =2+。原式=(-1)+(2+)=1+2。 故答案为：1+2。 三、解答题（本题共计 10 小题，共计 90 分） 16．（4分）计算：(-1)⁰+|1-|-+。 【答案】 + 【解析】 依次运用零指数幂、绝对值的意义、立方根与算术平方根的定义化简各项，再作加减运算。注意 -=+2。 【解答】 解：原式=1+(-1)-(-2)+=1+-1+2+=+。 17．（8分）计算： （1）-6+； （2）(+)(-)-(-1)²。 【答案】 （1）3；（2）2-2 【解析】 （1）先把各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式；（2）用平方差公式与完全平方公式展开，其中 (-1)²=()²-2+1=3-2。 【解答】 解：（1）原式=3-6×+2=3-2+2=3； （2）原式=()²-()²-[()²-2+1]=3-2-(2-2+1)=1-3+2=2-2。 18．（8分）【阅读理解】任何无理数都是无限不循环小数，它总可以分成整数部分与小数部分。例如：因为 4<5<9，即 2²<5<3²，所以 2<<3，即 的整数部分是 2，小数部分是 -2。根据以上材料，回答下列问题： （1）求 的整数部分与小数部分； （2）已知 a 是 的小数部分，b 是 的整数部分，求 a+b- 的值，并求这个值的平方根。 【答案】 （1）整数部分是 4，小数部分是 -4；（2）值为 1，平方根是 ±1 【解析】 （1）仿照材料，把 22 夹在两个相邻的完全平方数之间；（2）先由夹逼确定 a=-1、b=2，代入化简求值，再按平方根的意义写出结果。 【解答】 解：（1）因为 4²=16<22<25=5²，所以 4<<5，所以 的整数部分是 4，小数部分是 -4；（2）因为 1<3<4，所以 1<<2，a=-1；因为 4<7<9，所以 2<<3，b=2。a+b-=-1+2-=1。因为 1 的平方根是 ±1，所以这个值的平方根是 ±1。 19．（8分）已知 2x-1 的平方根是 ±3，3x+y-9 的立方根是 2，求 2x-y 的平方根。 【答案】 ±2 【解析】 由平方根的意义得 2x-1=9，解出 x；再由立方根的意义得 3x+y-9=8，代入 x 解出 y；最后求出 2x-y 的值并化简其平方根。 【解答】 解：因为 2x-1 的平方根是 ±3，所以 2x-1=9，解得 x=5；因为 3x+y-9 的立方根是 2，所以 3x+y-9=8，即 3×5+y-9=8，解得 y=2。所以 2x-y=2×5-2=8，8 的平方根是 ±=±2。即 2x-y 的平方根是 ±2。 20．（8分）张爷爷家有两块菜地，形状与相关信息如下表： 地块 形状 相关信息 A 地 长方形 长与宽的比为 5:2，面积为 90 m² B 地 正方形 面积为 28 m² （1）求 A 地（长方形）的周长； （2）张爷爷准备用长 24 m 的篱笆把 B 地（正方形）的四周围一圈（接口处忽略不计），通过计算说明篱笆是否够用。（参考：≈2.65） 【答案】 （1）42 m；（2）篱笆够用 【解析】 （1）设长为 5k、宽为 2k，由长方形的面积列出方程求出 k，再求周长；（2）先求正方形的边长 =2，再求出围一圈所需的篱笆长度，与 24 m 比较大小。 【解答】 解：（1）设 A 地的长为 5k m，宽为 2k m（k>0）。由面积为 90 m²，得 5k·2k=90，即 10k²=90，k²=9，k=3。所以 A 地的长为 15 m，宽为 6 m，周长为 2×(15+6)=42（m）；（2）B 地是面积为 28 m² 的正方形，其边长为 ==2≈2×2.65=5.3（m）。围一圈需要篱笆 4×2=8≈8×2.65=21.2（m）。因为 21.2<24，所以篱笆够用。 21．（10分）已知 x=+1，y=-1，求下列各式的值： （1）x²-y²；（2）x²-3xy+y²。 【答案】 （1）4；（2）2 【解析】 （1）用平方差公式 x²-y²=(x+y)(x-y)，先求 x+y 与 x-y；（2）把 x²-3xy+y² 配成 (x-y)²-xy，整体代入 x-y 与 xy 的值，避免直接平方的繁琐运算。 【解答】 解：x+y=(+1)+(-1)=2，x-y=(+1)-(-1)=2， xy=(+1)(-1)=()²-1²=2。 （1） x²-y²=(x+y)(x-y)=2×2=4； （2）x²-3xy+y²=(x²-2xy+y²)-xy=(x-y)²-xy=2²-2=2。 22．（10分）【数学活动】利用八年级上册第一章所学的勾股定理，可以在数轴上表示无理数。例如：以数轴上表示 1 的点为端点，作垂直于数轴的线段，长度为 1；连接原点 O 与垂线段的另一端点 A，由勾股定理得 OA==。以 O 为圆心、OA 为半径画弧，交数轴正半轴于点 B，则点 B 表示的数就是 。根据以上材料，回答下列问题： （1）仿照上述方法，说明如何在数轴上作出表示 的点（提示：10=1²+3²，可利用两条直角边分别为 1 和 3 的直角三角形），并指出 夹在哪两个相邻整数之间； （2）若数轴上点 M、N 分别表示 与 -，求线段 MN 的长度； （3）上述把无理数“画”到数轴上的过程，主要体现的数学思想是（　　） A．方程思想　　B．数形结合思想　　C．分类讨论思想　　D．统计思想 【答案】 （1）作法见解答， 夹在 3 与 4 之间；（2）2；（3）B 【解析】 （1）两直角边为 3（在数轴上）与 1（垂直数轴）的直角三角形，斜边长为 =，再以原点为圆心、斜边长为半径画弧即可；由 3²=9<10<16=4² 确定范围；（2）线段 MN 的长度等于两数之差；（3）用线段、圆弧等图形表示无理数，体现数与形的结合。 【解答】 解：（1）以数轴上表示 3 的点为端点，作垂直于数轴的线段，长度为 1， 设其另一端点为 C， 连接原点 O 与点 C，则 OC==； 以 O 为圆心、OC 为半径画弧， 交数轴正半轴于点 D，则点 D 表示的数就是 。 因为 3²=9<10<16=4²， 所以 3<<4； （2） MN=-(-)=2； （3） 把无理数用图形（线段长、弧）在数轴上表示出来，体现的是数形结合思想。 故选：B。 23．（11分）【阅读理解】“夹逼法”是估算无理数大小的重要方法。例如：因为 6²=36<39<49=7²，所以 6<<7， 的整数部分是 6。进一步，设 =6+x（0<x<1），则 39=(6+x)²=36+12x+x²。由于 x² 相对较小，可近似地忽略，得 36+12x≈39，解得 x≈=0.25，于是 ≈6.25（与真实值 6.24…很接近）。根据以上材料，回答下列问题： （1）说明 的整数部分是多少； （2）仿照材料中“设 =6+x”的方法，估算 的值（保留一位小数）； （3）比较 + 与 18 的大小，并说明理由。 【答案】 （1）11；（2）≈7.2；（3）大于 18 【解析】 （1）把 130 夹在两个相邻的完全平方数之间；（2）设 =7+x，由 52≈49+14x 求出 x 的近似值；（3）由（1）（2）的估算结果分别得到 >7.2、>11.4，再相加与 18 比较。 【解答】 解：（1）因为 11²=121<130<144=12²， 所以 11<<12， 的整数部分是 11； （2） 设 =7+x（0<x<1）， 则 52=(7+x)²=49+14x+x²。 忽略较小的 x²，得 49+14x≈52，x≈≈0.21， 所以 ≈7+0.21=7.21≈7.2； （3） 由（2）知 >7.2；仿照（2），设 =11+y（0<y<1）， 则 130≈121+22y，y≈≈0.4， 故 >11.4。 所以 +>7.2+11.4=18.6>18。 24．（11分）【阅读理解】把分母中的根号化去，叫做分母有理化。例如： ====-1，其中 +1 与 -1 互为有理化因式。根据以上材料，回答下列问题： （1）分母有理化：① ；② ；③ ； （2）观察（1）中各式的结果，直接写出 =________（n 为正整数）； （3）利用（2）中的规律计算：+++…+。 【答案】 （1）①-1；②-；③-2；（2）-；（3）-1 【解析】 （1）分子、分母同乘分母的有理化因式，利用平方差公式把分母化成整数；（2）类比（1）中各式的结果归纳出一般规律；（3）把每一项都按（2）拆开后，中间的项两两相消（裂项相消），只剩下首项的减数与末项的被减数。 【解答】 解：（1）①===-1； ②===-； ③===-2； （2） ===-； （3） 原式=(-1)+(-)+(-)+…+(-)。 从第二个括号起，每个括号中被减去的数都与前一个括号减去后剩下的数相同， 两两相消，最后只剩下第一个括号中的 -1 与最后一个括号中的 。 所以原式=-1。 25．（12分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴ ，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】 , 1, 12或28 【解析】 （1）先将 展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出 、 关于 、 的表达式。 （2）对于 , 结合第一步得到的 的表达式，先确定 的值，再找出满足条件的正整数 、，验证对应的 是否为13即可。 （3）已知 , 先根据 的表达式得到 ，即 ，找出所有满足条件的正整数 、 组合，再分别代入 的表达式计算 的值。 【解答】 （1）解：将等式右边完全平方展开： ， 等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， , 。 （2）解：对比第 (1) 问的结论，这里 , ，即满足： , ， 也就是 。 、 是正整数， 、 的取值有两种情况： 当 , 时， , 不符合。 当 , 时， , 完全符合。 因此两个空依次填1、。 （3）解：根据第 (1) 问的结论，这里 ， , 即 。 、 都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：, ， 代入 , 得 ； 情况2：, ， 代入 , 得 。 符合条件的正整数 为12或28。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 八年级 (上) 第二章 实数（卷一）   一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1．下列各数：-3.14159，，，，0.1010010001…（相邻两个 1 之间的 0 的个数依次加 1），，其中无理数的个数是（　　） A．2 个　　　B．3 个　　　C．4 个　　　D．5 个 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3． 的平方根是（　　） A．±3　　　B．3　　　C．±9　　　D．9 4．若式子 + 有意义，则 x 的取值范围是（　　） A．x≥　　　B．x≥ 且 x≠2 C．x≠2　　　　　D．x> 且 x≠2 5．估计 的值在（　　） A．5.4 与 5.5 之间　　B．5.5 与 5.6 之间 C．6.4 与 6.5 之间　　D．6.5 与 6.6 之间 6．已知 x<1，则 +|2-x| 化简的结果是（　　）A．3-2x　　　B．3+2x　　　C．1　　　D．2x-3 7．下列等式成立的是（　　） A．=-3　　B．=2 C．(+)(-)=1　　D．=±3 8．已知 2a-1 的平方根是 ±5，3b+1 的立方根是 -2，则 a+b 的值为（　　） A．7　　　B．10　　　C．-10　　　D．13 9．已知 a<0<b，且 |a|>b，则 -|a+b| 化简的结果是（　　） A．b　　　B．-b　　　C．2a+b　　　D．a+b 10．设 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数（例如 [3.2]=3，[-3.2]=-4）。给出下列结论，其中正确的结论有（　　）. ① []=2； ② [-]=-2； ③ 若 [x]=3，则 3≤x<4； ④ 对任意实数 a，都有 [a]+[-a]=0。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本题共计 5 小题，每题 4 分，共计 20 分） 11．计算：+-|-2|=________。 12．比较大小：_______（填“>”“<”或“=”）。 13．若 +(y+2)²=0，则 =________。 14．已知 m、n 分别是 6- 的整数部分和小数部分，且 amn+bn²=1（a、b 为有理数），则 a+b=________。 15．计算：+=________。 三、解答题（本题共计 10 小题，共计 90 分） 16．（4分）计算：(-1)⁰+|1-|-+。 17．（8分）计算： （1）-6+； （2）(+)(-)-(-1)²。 18．（8分）【阅读理解】任何无理数都是无限不循环小数，它总可以分成整数部分与小数部分。例如：因为 4<5<9，即 2²<5<3²，所以 2<<3，即 的整数部分是 2，小数部分是 -2。根据以上材料，回答下列问题： （1）求 的整数部分与小数部分； （2）已知 a 是 的小数部分，b 是 的整数部分，求 a+b- 的值，并求这个值的平方根。 19．（8分）已知 2x-1 的平方根是 ±3，3x+y-9 的立方根是 2，求 2x-y 的平方根。 20．（8分）张爷爷家有两块菜地，形状与相关信息如下表： 地块 形状 相关信息 A 地 长方形 长与宽的比为 5:2，面积为 90 m² B 地 正方形 面积为 28 m² （1）求 A 地（长方形）的周长； （2）张爷爷准备用长 24 m 的篱笆把 B 地（正方形）的四周围一圈（接口处忽略不计），通过计算说明篱笆是否够用。（参考：≈2.65） 21．（10分）已知 x=+1，y=-1，求下列各式的值： （1）x²-y²； （2）x²-3xy+y²。 22．（10分）【数学活动】利用八年级上册第一章所学的勾股定理，可以在数轴上表示无理数。例如：以数轴上表示 1 的点为端点，作垂直于数轴的线段，长度为 1；连接原点 O 与垂线段的另一端点 A，由勾股定理得 OA==。以 O 为圆心、OA 为半径画弧，交数轴正半轴于点 B，则点 B 表示的数就是 。根据以上材料，回答下列问题： （1）仿照上述方法，说明如何在数轴上作出表示 的点（提示：10=1²+3²，可利用两条直角边分别为 1 和 3 的直角三角形），并指出 夹在哪两个相邻整数之间； （2）若数轴上点 M、N 分别表示 与 -，求线段 MN 的长度； （3）上述把无理数“画”到数轴上的过程，主要体现的数学思想是（　　） A．方程思想　　B．数形结合思想　　C．分类讨论思想　　D．统计思想 23．（11分）【阅读理解】“夹逼法”是估算无理数大小的重要方法。例如：因为 6²=36<39<49=7²，所以 6<<7， 的整数部分是 6。进一步，设 =6+x（0<x<1），则 39=(6+x)²=36+12x+x²。由于 x² 相对较小，可近似地忽略，得 36+12x≈39，解得 x≈=0.25，于是 ≈6.25（与真实值 6.24…很接近）。根据以上材料，回答下列问题： （1）说明 的整数部分是多少； （2）仿照材料中“设 =6+x”的方法，估算 的值（保留一位小数）； （3）比较 + 与 18 的大小，并说明理由。 24．（11分）【阅读理解】把分母中的根号化去，叫做分母有理化。例如： ====-1，其中 +1 与 -1 互为有理化因式。根据以上材料，回答下列问题： （1）分母有理化：① ；② ；③ ； （2）观察（1）中各式的结果，直接写出 =________（n 为正整数）； （3）利用（2）中的规律计算：+++…+。 25．（12分）25．（12分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴ ，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 八年级 (上) 第二章 实数（卷二） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1．下列各数：-3.14159，，，，0.1010010001…（相邻两个 1 之间的 0 的个数依次加 1），，其中无理数的个数是（　　） A．2 个　　　B．3 个　　　C．4 个　　　D．5 个 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3． 的平方根是（　　） A．±3　　　B．3　　　C．±9　　　D．9 4．若式子 + 有意义，则 x 的取值范围是（　　） A．x≥　　　B．x≥ 且 x≠2 C．x≠2　　　　　D．x> 且 x≠2 5．估计 的值在（　　） A．5.4 与 5.5 之间　　B．5.5 与 5.6 之间 C．6.4 与 6.5 之间　　D．6.5 与 6.6 之间 6．已知 x<1，则 +|2-x| 化简的结果是（　　） A．3-2x　　　B．3+2x　　　C．1　　　D．2x-3 7．下列等式成立的是（　　） A．=-3　　B．=2 C．(+)(-)=1　　D．=±3 8．已知 2a-1 的平方根是 ±5，3b+1 的立方根是 -2，则 a+b 的值为（　　） A．7　　　B．10　　　C．-10　　　D．13 9．已知 a<0<b，且 |a|>b，则 -|a+b| 化简的结果是（　　） A．b　　　B．-b　　　C．2a+b　　　D．a+b 10．设 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数（例如 [3.2]=3，[-3.2]=-4）。给出下列结论，其中正确的结论有（　　）. ① []=2； ② [-]=-2； ③ 若 [x]=3，则 3≤x<4； ④ 对任意实数 a，都有 [a]+[-a]=0。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本题共计 5 小题，每题 4 分，共计 20 分） 11．计算：+-|-2|=________。 12．比较大小：_______（填“>”“<”或“=”）。 13．若 +(y+2)²=0，则 =________。 14．已知 m、n 分别是 6- 的整数部分和小数部分，且 amn+bn²=1（a、b 为有理数），则 a+b=________。 15．计算：+=________。 三、解答题（本题共计 10 小题，共计 90 分） 16．（4分）计算：(-1)⁰+|1-|-+。 17．（8分）计算： （1）-6+； （2）(+)(-)-(-1)²。 18．（8分）【阅读理解】任何无理数都是无限不循环小数，它总可以分成整数部分与小数部分。例如：因为 4<5<9，即 2²<5<3²，所以 2<<3，即 的整数部分是 2，小数部分是 -2。根据以上材料，回答下列问题： （1）求 的整数部分与小数部分； （2）已知 a 是 的小数部分，b 是 的整数部分，求 a+b- 的值，并求这个值的平方根。 19．（8分）已知 2x-1 的平方根是 ±3，3x+y-9 的立方根是 2，求 2x-y 的平方根。 20．（8分）张爷爷家有两块菜地，形状与相关信息如下表： 地块 形状 相关信息 A 地 长方形 长与宽的比为 5:2，面积为 90 m² B 地 正方形 面积为 28 m² （1）求 A 地（长方形）的周长； （2）张爷爷准备用长 24 m 的篱笆把 B 地（正方形）的四周围一圈（接口处忽略不计），通过计算说明篱笆是否够用。（参考：≈2.65） 21．（10分）已知 x=+1，y=-1，求下列各式的值： （1）x²-y²； （2）x²-3xy+y²。 22．（10分）【数学活动】利用八年级上册第一章所学的勾股定理，可以在数轴上表示无理数。例如：以数轴上表示 1 的点为端点，作垂直于数轴的线段，长度为 1；连接原点 O 与垂线段的另一端点 A，由勾股定理得 OA==。以 O 为圆心、OA 为半径画弧，交数轴正半轴于点 B，则点 B 表示的数就是 。根据以上材料，回答下列问题： （1）仿照上述方法，说明如何在数轴上作出表示 的点（提示：10=1²+3²，可利用两条直角边分别为 1 和 3 的直角三角形），并指出 夹在哪两个相邻整数之间； （2）若数轴上点 M、N 分别表示 与 -，求线段 MN 的长度； （3）上述把无理数“画”到数轴上的过程，主要体现的数学思想是（　　） A．方程思想　　B．数形结合思想　　C．分类讨论思想　　D．统计思想 23．（11分）【阅读理解】“夹逼法”是估算无理数大小的重要方法。例如：因为 6²=36<39<49=7²，所以 6<<7， 的整数部分是 6。进一步，设 =6+x（0<x<1），则 39=(6+x)²=36+12x+x²。由于 x² 相对较小，可近似地忽略，得 36+12x≈39，解得 x≈=0.25，于是 ≈6.25（与真实值 6.24…很接近）。根据以上材料，回答下列问题： （1）说明 的整数部分是多少； （2）仿照材料中“设 =6+x”的方法，估算 的值（保留一位小数）； （3）比较 + 与 18 的大小，并说明理由。 24．（11分）【阅读理解】把分母中的根号化去，叫做分母有理化。例如： ====-1，其中 +1 与 -1 互为有理化因式。根据以上材料，回答下列问题： （1）分母有理化：① ；② ；③ ； （2）观察（1）中各式的结果，直接写出 =________（n 为正整数）； （3）利用（2）中的规律计算：+++…+。 25．（12分）25．（12分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴ ，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 第 页 学科网（北京）股份有限公司 编者说明 1．材料标签：本卷为草稿/待教师核对。版式与题型结构参照用户提供的《2026—2027学年初中北师大版数学八年级培优卷〈第二章 实数〉（卷一）（A3版）》：A3 横向双栏排版；选择第 10 题为取整函数多项选择压轴题，填空第 15 题为复合二次根式化简压轴题，解答第 24 题为分母有理化与裂项相消次压轴题、第 25 题为“亲密数”新定义压轴题；第 20 题为表格信息类应用题。题型方向取自全国各地期中、期末试卷中的常见典型题型（无理数识别、二次根式有意义条件、非负性、夹逼估算、数轴表示无理数、分母有理化、新定义、规律探究等），题目均为原创改编，未标注具体地区与年份，以免虚构来源。 2．结构闭合：选择 10×4=40 分，填空 5×4=20 分，解答 4+8+8+8+8+10+10+11+11+12=90 分，全卷 150 分；逐题预计用时合计约 106 分钟，预留检查约 14 分钟，合计 120 分钟。 3．程序复核：全部 25 题的参考答案均经独立求解，并编写程序（Python + sympy 精确符号计算）复核，共 86 项检查全部通过，包括第 14 题待定系数法、第 15 题配方开方、第 24 题裂项相消、第 25 题亲密数判定与周期求和等关键结果。 4．知识范围：北师大版八年级上册第二章《实数》（平方根、立方根、无理数与实数、二次根式的化简与运算、估算等）。解题仅使用七年级已学的整式乘法公式（完全平方公式、平方差公式）、零指数幂与一元一次方程作为工具，未使用一元二次方程等后续知识；第 22 题借助八上第一章《勾股定理》作图，属本册已学内容。 5．难度与预计用时为设计估计，未经真实作答数据验证，请教师结合学情取舍；正式使用前建议通读全卷核对。 $