第二章 一元二次方程 单元培优测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元核心，融合赵爽几何法、无人机营销等文化与科技情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，培养抽象能力、模型意识与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、参数取值、解法条件|第5题以贺卡互赠考实际应用，体现应用意识| |填空题|5/15|根与系数、规律探究|第15题线段比例规律，培养抽象能力| |解答题|8/75|解法、转化思想、实际建模|22题赵爽几何法解方程传承文化，23题无人机营销建模提升模型意识|

一元二次方程单元培优测试卷 （北师大版） 考试范围：九年级上册第2章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 3．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 5．某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 【答案】B 【分析】根据互赠贺卡的总张数与人数的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该合唱小组人数为人，根据题意，得 ． 整理得， 解得或（舍去）， ∴该合唱小组人数为6． 6．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 7．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【答案】B 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 8．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 【答案】B 【分析】先求解一元二次方程，得到实根，确定直角三角形已知两边的长度，分情况进行讨论即可 【详解】解：∵， ∴ ∴或， ①若两边分别是方程的两根，且两边为直角边时，该直角三角形的面积是； ②若两边分别是方程的两根，且当长是8的边是斜边时，第三边是， ∴该直角三角形的面积是． 10．若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】将方程的解代入方程得到，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系，得两根之和为：， ∵已知一个根为， ∴， 解得：． 12．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 【答案】或 【分析】根据题意列出一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 因式分解得，， ∴，或， 解得：，， ∴输出的的值为或． 13．若，则的值为___________． 【答案】5或 【分析】将看作整体，换元后转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 14．关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 【答案】 【分析】先利用韦达定理得到两根和与两根积，代入已知等式求解k，再结合该一元二次方程有两个实数根的条件，令判别式大于等于0，求出k的范围进行取舍． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴、， 代入，得 ， 解得、， 又∵，解得， ∴不符合题意，舍去， 故． 15．如图所示，线段的长为1．线段上的点C满足关系式；线段上的点D满足关系式；…．如果线段上的点E也满足上述规律，那么线段的长度等于___________． 【答案】 【分析】由题意得出线段的长度，同理得到线段的长度，据此求解即可． 【详解】解：设线段的长度为x， ∵， ∴， 解得：(负值舍去)， ∴； 同理：， 同理：． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用一元二次方程求根公式求解，先计算判别式再代入计算； （2）移项后提取公因式因式分解，转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 得 即 （2）解：整理方程 移项得 提取公因式得 得或 解得 17．（8分）有m（m是正整数）个方程：；；…；．小明用配方法解方程，过程为： 移项，得……①， 配方，得……②， 即……③， 直接开平方，得……④， 所以……⑤， ，……⑥． (1)小明的解法是从过程_______________开始出现错误； (2)请你帮助小明写出正确的解法； (3)用配方法解第m个方程（用含m的式子表示方程的根）． 【答案】(1)③ (2)解：移项，得， 配方，得，即， 直接开平方，得， 所以，； (3)解：， ， ， ， ， ∴，． 【分析】（1）过程③应该是，出现错误； （2）根据配方法的步骤进行作答即可； （3）根据配方法的步骤进行作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．（6分）在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 【答案】(1)5，3 (2) 【分析】（1）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果. 【详解】（1）解：∵方程的两根为与， ∴，； （2）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ . 19．（9分）设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据根与系数的关系求出和的值即可； （2）根据根与系数的关系进行证明即可. 【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）略 20．（10分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 21．（10分）转化思想 阅读材料： 各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似地，解三元一次方程组时，把它转化为二元一次方程组求解；解一元二次方程时，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程时，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解为，，． (1)问题：方程的解是，______，______； (2)拓展：解方程组． 【答案】(1)；1 (2)， 【分析】（1）根据题意得到和，解方程即可； （2）把方程组变形为，解得，求出，即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为， 解方程和，其中， 可得方程的解为，，． （2）解： 由②得，③， 把③代入①得，， 整理得，， 解得， 把分别代入得到，， ∴， 22．（12分）阅读下列材料，并解答问题： 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是_______；（从序号①②③中选择） (2)请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程的构图（类比图1标明相关数据），并写出解答过程； (3)构图序号①对应的方程是_____________________． 【答案】(1)③ (2)解：如图， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，解得． (3)或 【分析】（1）通过方程变形找到两个正数的积与差，验证构图结构，选出正确答案即可； （2）模仿材料的几何法，构造大正方形，利用面积和差列方程求解，再画图并标注； （3）分析构图的边长关系，大正方形由四个全等小矩形和中间小正方形组成，先从图中提取边长关系，再进一步推导对应的二次方程． 【详解】（1）解：方程可变形为，即每个小矩形面积为21，观察图形①②③，三个图形中小矩形面积分别为12，12，21，再进一步进行验证，可得方程的正确构图为③； （2）略； （3）解：由图①可设对应的方程为或，其中， ∴图①对应的方程为或． 23．（12分）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 【答案】(1) (2)20元 【分析】（1）设月平均增长率为未知数，因为月平均增长率相同，所以根据初始销量、增长次数、最终销量的关系，可列一元二次方程求解． （2）设售价降低的金额为未知数，用降价金额表示出每架的利润和实际销售量，因为总利润=单架利润×销售量，所以结合总获利为1200元列一元二次方程，再根据尽量减少库存的条件选取符合要求的解． 【详解】（1）解：设该款迷你无人机的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）解：设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架， 由题意得， 解得，． 需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程单元培优测试卷 （北师大版） 考试范围：九年级上册第2章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 3．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 5．某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 6．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 7．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 8．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 9．若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 10．若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 12．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 13．若，则的值为___________． 14．关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 15．如图所示，线段的长为1．线段上的点C满足关系式；线段上的点D满足关系式；…．如果线段上的点E也满足上述规律，那么线段的长度等于___________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解方程： (1)． (2)． 17．（8分）有m（m是正整数）个方程：；；…；．小明用配方法解方程，过程为： 移项，得……①， 配方，得……②， 即……③， 直接开平方，得……④， 所以……⑤， ，……⑥． (1)小明的解法是从过程_______________开始出现错误； (2)请你帮助小明写出正确的解法； (3)用配方法解第m个方程（用含m的式子表示方程的根）． 18．（6分）在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 19．（9分）设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 20．（10分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 21．（10分）转化思想 阅读材料： 各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似地，解三元一次方程组时，把它转化为二元一次方程组求解；解一元二次方程时，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程时，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解为，，． (1)问题：方程的解是，______，______； (2)拓展：解方程组． 22．（12分）阅读下列材料，并解答问题： 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是_______；（从序号①②③中选择） (2)请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程的构图（类比图1标明相关数据），并写出解答过程； (3)构图序号①对应的方程是_____________________． 23．（12分）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $