26.3《二次函数与一元二次方程》教学课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，通过知识回顾（一元二次方程判别式、抛物线对称轴顶点、一次函数与方程联系）和情境引入（类比提问）搭建学习支架，引导学生从已有认知过渡到新知探究。 其亮点是以数形结合为主线，通过三个具体函数案例和表格归纳，直观呈现抛物线与x轴交点和方程根的对应关系，培养数学眼光中的几何直观。结合小球飞行高度的实际应用发展模型意识，用函数图象求近似根的练习提升运算能力。学生能深化知识联系，教师可借助清晰逻辑和丰富案例提高教学效率。

第二十六章 二次函数 26.3 二次函数与一元二次方程 数形结合 北师版·九年级上册 明确本课目标：一是"由形判根"，看公共点个数判断根的情况；二是"横坐标即根"这一对应关系；三是用图象和逼近的方法求近似根，这是本课难点。整节课贯穿数形结合思想。 学 习 目 标 1.理解二次函数与一元二次方程的联系，能根据抛物线与轴公共点的个数，判断相应一元二次方程根的情况.（重点） 2.知道抛物线与轴公共点的横坐标就是相应一元二次方程的根.（重点） 3.会利用函数图象及"取平均数、缩小范围"的方法求一元二次方程根的近似值，体会数形结合思想.（难点） 明确本课目标：一是"由形判根"，看公共点个数判断根的情况；二是"横坐标即根"这一对应关系；三是用图象和逼近的方法求近似根，这是本课难点。整节课贯穿数形结合思想。 知识回顾 1.一元二次方程的根由判别式 决定：时有 ；时有 ；时 . 2.抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 . 3.一次函数的图象与轴交点的横坐标，就是一元一次方程 . 想一想：类比一次函数与一元一次方程的联系，二次函数与一元二次方程会有怎样的联系？ 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 复习提问：判别式与根的情况、对称轴与顶点公式、一次函数与一元一次方程的联系，请学生齐答填空。第3条是本课的类比源头——一次函数看方程的经验，今天推广到二次函数。板书"类比"二字。 情境引入 以前，我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了它们的联系.类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程. 问题：抛物线与轴的公共点，和方程 的根有什么关系？ 思路：观察图象与轴的公共点 → 求公共点的横坐标 → 对照方程的根 → 归纳一般结论.（数形结合） 研究路径：方程的根 ⇄ 图象与轴公共点的横坐标（一一对应） 情境引入：从一次函数的旧经验出发，提出"二次函数怎么看方程"的问题。明确研究路径——观察、求横坐标、对照、归纳四步。预告接下来用三个具体函数做实验。 新知探究 思考：抛物线与 轴有公共点吗？ 如图 ，下列二次函数的图象与轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ 当 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ ① ； ② ； ③ 思考题开场：三个函数都开口向上，但与x轴的位置关系不同。让学生先看图猜结论，再动笔验证。追问顺序：有没有公共点？横坐标是多少？代入后函数值是多少？把三个问题的答案填进表格。观察发现：函数值都是0——这正是与方程根的连接点。 新知探究 探究①： 解方程：由，得，解得 看图象：抛物线与轴有 两个 公共点，坐标是 和. 当代入公共点的横坐标 或 时，函数值都是0. 结论：当时，方程有两个不相等的实数根 函数与轴有两个交点。 注意："不相等实根"在图象上表现为与轴有两个公共点. 探究①拆解：先用因式分解解方程，再回到图象数公共点，最后对照发现"根=横坐标"。让学生把方程的根与公共点横坐标并排写在黑板上，直观看到完全一致。强调"函数值为0"是连接两个对象的桥梁。 新知探究 探究②： 解方程：，得，解得 . 配方：，顶点是，恰好落在轴上. 看图象：抛物线与轴只有一个 公共点 ；当 时，函数值是 0. 结论：当时，方程有两个相等的实数根 函数 . 注意："相等实根"在图象上表现为与轴只有一个公共点. 探究②：配方后顶点(4,0)恰在x轴上，是"相切"情形。强调代数上仍是"两个相等的实根"，但图象上只呈现一个公共点，这个对应关系最易考。可提问：Δ等于多少？学生算Δ=0，与上册判别式结论呼应。 新知探究 探究③： 解方程：中 ，没有实数根. 配方：，顶点是 (0.5, 0.75)，在轴上方. 看图象：抛物线开口向上，最低点的纵坐标 0.75 > 0，整条曲线都在轴上方，与轴没有公共点. 结论：当时，方程没有实数根，函数 没有实数根与 轴没有交点. 注意："没有实根"在图象上表现为与轴没有公共点. 探究③：配方看顶点，最低点纵坐标0.75大于0，曲线悬在x轴上方，无公共点。代数侧用Δ<0互相印证。追问c的范围供学有余力的学生思考：x²-x+1中把常数项降到1/4以下即相切。至此三种情形齐全，为归纳做准备。 新知探究 归纳：一般结论 如果抛物线与轴有公共点，公共点的横坐标是， 那么当 时函数值为 0，因此 就是一元二次方程 的一个根. 核心关系：公共点的横坐标 ⇄ 方程的根； 公共点个数 ⇄ 根的情况（个数）. 本课核心结论页：横坐标即根。带学生逐句读结论，圈出"x₀""函数值为0""一个根"三个关键词。强调双向性——既能由形判根，也能由根定形。板书双向箭头图示。 新知探究 归纳：一般结论 当时，方程有两个不相等的实数根 函数 . 反之也成立. 本课核心结论页：横坐标即根。带学生逐句读结论，圈出"x₀""函数值为0""一个根"三个关键词。强调双向性——既能由形判根，也能由根定形。板书双向箭头图示。 新知探究 归纳：一般结论 当时，方程有两个相等的实数根 函数 . 反之也成立. 本课核心结论页：横坐标即根。带学生逐句读结论，圈出"x₀""函数值为0""一个根"三个关键词。强调双向性——既能由形判根，也能由根定形。板书双向箭头图示。 新知探究 归纳：一般结论 当时，方程实数根函数 . 反之也成立. 本课核心结论页：横坐标即根。带学生逐句读结论，圈出"x₀""函数值为0""一个根"三个关键词。强调双向性——既能由形判根，也能由根定形。板书双向箭头图示。 新知探究 三种情况：一张表看全 情形一 情形二 情形三 与轴公共点个数 2 个 1 个 0 个 判别式 方程的根的情况 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数图象与 轴公共点的情况. 归纳总表：横着读是一组对应，竖着读是三种情形。请学生盖住表格复述三种对应关系。特别强调中间列——两个相等实根对应唯一的公共点（相切）。表格左右两个方向都可以用，为后面例2"由方程回到图象"做铺垫。 新知探究 例1 二次函数的实际应用 例1 以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出，小球的飞行高度 h（m）与飞行时间 t（s）的关系近似为：， 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多长时间？ 分析："高度能否达到 20 m"，即"函数 h=20t-5t² 的函数值能否取 20"，可转化为求一元二次方程的根的问题. 例1是归纳结论的正向应用：函数值问题转化为方程问题。先请学生翻译题意——"达到20米"就是"h=20"。结合图象看：h=20这条水平线与抛物线有没有公共点、有几个。设问后留半分钟让学生列方程，再翻页看解答。 新知探究 例1：解答 解：当时，得方程 整理，得 解得 ∴ 当时，函数的值为 20，即小球飞行 2 s 时，飞行高度为 20 m. 从图象看： 解答规范：先依题意列方程，再整理成一般式，最后解方程并用函数语言回答实际问题。注意答案要回到"飞行2秒时高度20米"，不能只写t=2。结合右图指出相切——水平线h=20恰好在顶点高度掠过抛物线。 新知探究 练习：关于例1 的三个问题 1. 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多长时间？ 2. 小球的飞行高度能否达到 20.5 m？如果能，需要多长时间？ 3. 小球从飞出到落地，需要多长时间？ 提示：分别令 ， 转化为解一元二次方程. 课本练习：三个递进问题。第1问15米会得到两个时刻——上升和下降各一次，最考查理解。第2问20.5米超过最大高度20米，方程无实根，"不能达到"。第3问落地即h=0。给学生3分钟独立完成，鼓励先画草图再算。 新知探究 练习：解答 解：（1）令 ：，整理得，解得 即小球飞行 1 s 和 3 s 时高度都是 15 m（上升、下降各经过一次）. 对照讲评：第1问两解对应图象上h=15水平线与抛物线的两个交点(1,15)和(3,15)。第2问用Δ<0说明无解，与"最大高度20米"吻合——图象最高点就是顶点(2,20)。第3问t=0舍去取t=4，提醒学生检验根的实际意义。 新知探究 练习：解答 （2）：，整理得 ， ，方程没有实数根，所以不能达到 20.5 m（最大高度只有 20 m）. （3）落地即：，即，解得（飞出时），，所以小球从飞出到落地需要 4 s. 对照讲评：第1问两解对应图象上h=15水平线与抛物线的两个交点(1,15)和(3,15)。第2问用Δ<0说明无解，与"最大高度20米"吻合——图象最高点就是顶点(2,20)。第3问t=0舍去取t=4，提醒学生检验根的实际意义。 新知探究 例2 用函数图象求方程的近似根 根据二次函数与一元二次方程的联系，也可以把一元二次方程问题转化为二次函数问题. 例2 利用函数图象求方程的根的近似值（结果保留小数点后一位）. 思路：① 画出函数的图象； ② 找出图象与轴公共点，读出横坐标； ③ 横坐标即方程根的近似值. 例2是反向应用：由方程回到图象。先让学生发现x²-2x-2不能用十字相乘快速分解，从而体会"画图估根"的必要性。提问：图象法得到的根为什么是近似的？——画图和读图都有误差，为后面更精确的逼近方法埋伏笔。 新知探究 例2：解答 解：画出函数的图象（如右图），它与轴的两个公共点的横坐标大约是 和. 所以方程的实数根为 提示：由于画图或观察可能存在误差，由函数图象求得的根一般是近似的. 例2解答：描点画图后直接读公共点横坐标。带学生在图上比划读数过程，体会"估读"。强调结论的写法——用约等号，保留一位小数。顺势提问：想要更精确怎么办？翻页引出缩小范围的方法。 新知探究 练习：用函数图象求近似根 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： （1）； （2） 步骤：① 画出相应函数的图象；② 找与轴公共点；③ 估读横坐标.提示：先配方找顶点，再利用对称性取点，画图要尽量准确. 课本练习两小题：一个开口向上、一个开口向下，都无整数根，只能靠图象估读。学生独立画图，教师巡视关注取点是否对称、读数是否到位。给4分钟，画完与同桌交流各自的读数，允许±0.1的差异。 新知探究 练习：解答 （1）； （2）（允许 ±0.1 的读数误差） = 对照讲评：左图y=x²-3x+1开口向上，公共点横坐标约0.4和2.6；右图y=-x²-x+1开口向下，横坐标约-1.6和0.6。强调第2题开口向下，顶点在x轴上方，两根分布在顶点两侧。读数在±0.1内都算对，体会"近似"的含义。 巩固练习 课堂检测 1. 抛物线 与轴的公共点坐标是________. 2. 抛物线与轴的公共点个数是________. 3. 二次函数，当________时，函数值为 0. 4. 若方程有两个相等的实数根，则________， 此时抛物线与轴有________个公共点. 课堂检测四题：第1题求公共点坐标，第2题判断个数，第3题由函数值零求自变量，第4题相等实根与相切的对应。限时4分钟，口令统一收卷后同桌互批。第4题最容易错——相等实根时图象上只有一个公共点，学生常填2。 巩固练习 课堂检测：答案与易错点 1. (-1, 0) 和 (3, 0)（方程，根为） 2. 0 个（，方程没有实数根） 3. （函数值） 4. ；抛物线与轴有 1 个公共点（，有一个交点） 逐题核对并统计正确率，重点讲第4题：Δ=0即m=4，此时抛物线顶点恰好落在x轴上。把"相等实根↔相切"这个对应关系再强调一遍。易错点小结口诀：根的个数看公共点，根的数值看横坐标。 课堂小结 1. 核心联系：抛物线 轴公共点的横坐标，就是一元二次方程的根. 2. 三种对应：2 个公共点↔两个不相等实根；1 个↔两个相等实根；0 个↔没有实数根. 3. 双向转化：二次函数问题 ⇄ 一元二次方程问题. 4. 求近似根：画图象估读；或"取平均数"逐步缩小根所在的范围，适用于更高次的一元方程. 思想方法：数形结合——"数"的问题用"形"来看，"形"的问题用"数"来算. 课堂小结由学生先说、教师补全。四条主线：横坐标即根、三种对应、双向转化、近似根两法。落脚到数形结合思想——这是本章一以贯之的方法。布置下节课预告：二次函数的实际应用与本章小结。 作业布置 1.必做题：课本习题 26.3 第 1、2 题（在坐标纸上画图，保留作图痕迹）. 2.探究性作业：用"取平均数"的方法求方程 x²-2x-2=0 另一个根的近似值（与准确值的差的绝对值小于 0.1），并完成习题 26.3 第 3、4 题. 作业分层：必做题巩固画图与读根基本功；探究性作业体验完整二分法过程，另一根参考区间：-1~0，逐次取平均数最终约-0.7，下节课开头抽查讲评。 北师版·九年级上册 感谢聆听! 二次函数——数学之美 作业分层：必做题巩固画图与读根基本功；探究性作业体验完整二分法过程，另一根参考区间：-1~0，逐次取平均数最终约-0.7，下节课开头抽查讲评。 $