26.3 二次函数与一元二次方程（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系及用函数图象求根的近似值，课堂导入从一次函数与一元一次方程的联系切入，通过问题链引导学生类比，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于采用类比探究与数形结合，通过“数”与“形”分析联系培养推理意识与几何直观，如小球飞行高度问题用函数模型解决体现模型意识，分层作业设计助力学生深化理解提升思维，教师可高效开展教学。

第二十六章 二次函数 26.3 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程的联系 1 导入新课 问题 1: 关于 x 的一元一次方程 kx + b = 0 的解为 x = 1, 则当 x =_____时, 一次函数 y = kx + b 的函数值为 0. 1 问题 2: 一次函数 y = kx + b 的图象如图所示, 则关于 x 的一元一次方程 kx + b = 0 的解为______. 4 y 3 2 1 -1 3 x O 2 1 4 5 6 -1 -2 -2 x = 4 2 导入新课 问题 3: 从“数”和“形”两个方面分析一次函数 y = kx + b 与一元一次方程 kx + b = 0 的联系. 从数的角度看 令函数值为 0 时的自变量的值就是对应的一元一次方程的解; 从形的角度看 求一元一次方程的解就可以看作是确定其对应的一次函数图象与 x 轴的公共点的横坐标. 一次函数图象与 x 轴有一个公共点, 其对应的一元一次方程有一个根. 3 导入新课 问题 4: 猜想二次函数 y = ax2 + bx + c 与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 之间是否也有类似的联系? 4 任务一：类比探究，归纳新知 问题 1: 如图, 下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗? 如果有, 公共点的横坐标是多少? 当 x 取公共点的横坐标时, 函数值是多少? 高效课堂 (1) y = x2 + x - 2; (2) y = x2 - 8x + 16; (3) y = x2 - x + 1. 1 y 2 3 4 5 6 -3 3 x O -2 -1 2 1 4 5 6 -1 -2 y=x2+x-2 1 y 2 3 4 5 6 -3 3 x O -2 -1 2 1 4 5 6 -1 -2 y=x2-8x+16 1 y 2 3 4 5 6 -3 3 x O -2 -1 2 1 4 5 6 -1 -2 y=x2-x+1 类比一次函数与一元一次方程的关系, 你能说说方程 x2 + x - 2 = 0, x2 - 8x + 16 = 0, x2 - x + 1 = 0 的根的情况吗? 5 高效课堂 (1) y = x2 + x - 2; 1 y 2 3 4 5 6 -3 3 x O -2 -1 2 1 4 5 6 -1 -2 y=x2+x-2 抛物线 y = x2 + x - 2 与 x 轴有两个公共点, 它们的横坐标分别是 -2, 1. 当 x 取公共点的横坐标时, 函数值是 0. 由此可知, 方程 x2 + x - 2 = 0 有两个不相等的实数根 -2, 1. 6 抛物线 y = x2 - 8x + 16 与 x 轴有一个公共点,这个点的横坐标是 4. 当 x = 4 时, 函数值是 0. 高效课堂 (2) y = x2 - 8x + 16; 1 y 2 3 4 5 6 -3 3 x O -2 -1 2 1 4 5 6 -1 -2 y=x2-8x+16 由此可知, 方程 x2 - 8x + 16 = 0 有两个相等的实数根 4. 7 抛物线 y = x2 - x + 1 与 x 轴没有公共点. 高效课堂 (3) y = x2 - x + 1. 由此可知, 方程 x2 - x + 1 = 0 没有实数根. 1 y 2 3 4 5 6 -3 3 x O -2 -1 2 1 4 5 6 -1 -2 y=x2-x+1 8 问题 2: 将问题 1 反过来, 由一元二次方程的根的情况, 可以确定二次函数的图象与 x 轴的公共点情况吗? 高效课堂 可以, 一元二次方程 x2 + x - 2 = 0 有两个不相等的实数根, 则二次函数 y = x2 + x - 2 的图象与 x 轴有两个交点. 一元二次方程 x2 - 8x + 16 = 0 有两个相等的实数根, 则二次函数 y = x2 - 8x + 16 的图象与 x 轴有一个交点. 一元二次方程 x2 - x + 1 = 0 没有实数根, 则二次函数 y = x2 - x + 1 的图象与 x 轴没有交点. 9 可以从 “数” 和 “形” 两个方面分析二次函数 y = ax2 + bx + c 与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的联系. 高效课堂 一般地, 从二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象, 可得如下结论: (1)如果抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴有公共点, 公共点的横坐标是 x0, 那么当 x = x0 时, 函数值是 0, 因此 x = x0 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的一个根. (2)二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的公共点的情况有三种: 没有公共点 它们分别对应着一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的三种情况: 没有实数根 有一个公共点 有两个公共点 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 10 可用表格总结得出二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系, 如下: 高效课堂 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点 关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 Δ = b2 - 4ac 有两个交点 有一个交点 没有交点 Δ = b2 - 4ac > 0 Δ = b2 - 4ac = 0 Δ = b2 - 4ac < 0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 11 任务二：情景探究，类比应用 高效课堂 问题“小球的飞行高度能否达到 20 m”即 “二次函数 h = 20t - 5t2 的函数值能否取 20”, 由二次函数与一元二次方程的关系, 可转化为讨论一元二次方程 20 = 20t - 5t2 的根的问题. 例 如图, 以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时, 小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度 h (单位: m) 与飞行时间 t (单位: s) 的关系近似为 h = 20t - 5t2. 小球的飞行高度能否达到 20 m? 如果能, 需多长时间? 分析: 12 高效课堂 解: 当 h = 20 时, 由函数关系 h = 20t - 5t2, 列得方程 20 = 20t - 5t2, 即 t2 - 4t + 4 = 0. 解方程, 得 t1 = t2 = 2. 这说明, 当自变量 t = 2 时, 二次函数 h = 20t - 5t2 的函数值为 20, 即当小球飞行 2 s 时, 它的飞行高度为 20 m. 追问 1: 小球的飞行高度什么时候是 15 m? 可得方程 15 = 20t - 5t2, t2 - 4t + 3 = 0, 解得 t1 = 1, t2 = 3. 当小球飞行 1 s 和 3 s 时, 它的飞行高度为 15 m. 13 高效课堂 追问 2: 小球的飞行高度能否达到 20.5 m? 为什么? 可得方程 20.5 = 20t - 5t2, t2 - 4t + 4.1 = 0. 因为 (-4)2 - 4×1×4.1 < 0, 所以方程无实数根. 这就是说, 小球的飞行高度达不到 20.5 m. 追问 3: 小球从飞出到落地, 要用多长时间? 小球飞出时和落地时的高度都为 0 m, 可得方程 0 = 20t - 5t2, 即 t2 - 4t = 0. 解得 t1 = 0, t2 = 4. 当小球飞行 0 s 和 4 s 时, 它的高度为 0 m. 这表明小球从飞出到落地要用 4 s. 从图来看, 0 s 时小球从地面飞出, 4 s 时小球落回地面. 14 课堂评价 1. 抛物线 y = x2 + 4x + 5 与坐标轴的交点个数为 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 C 点拨 与 y 轴交点: 令 x = 0,得 y = 5, 即(0, 5), 1 个交点. 与 x 轴交点: 令 y = 0, 方程 x2 + 4x + 5 = 0 的判别式 Δ= 42 - 4×1×5 = -4 < 0, 无交点. 所以交点个数为 1 + 0 = 1. 15 课堂评价 2.二次函数 y = ax2 + bx (a ≠ 0) 的图象如图所示, 则关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx = 0 的根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 B y = ax2+bx y x O 16 课堂评价 3. 二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示, 根据图象回答下列问题: (1)写出关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0 的根. (2) x 取什么值时, 函数值大于 0? (3) x 取什么值时, 函数值小于 0? y x O 2 2 -1 1 1 -1 答案 (1)观察图象可知, 关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0 的根, 即为抛物线与 x 轴交点的横坐标, 所以 x1 = 0, x2 = 2. (2) 0 < x < 2 时, 函数值大于 0. (3) x < 0 或 x > 2 时, 函数值小于 0. 17 课堂总结 1.本节课你学习了哪些内容? 你是如何学习这些内容的呢? 2.这节课运用了哪些数学思想和方法? 18 作业设计 基础性作业: 教材习题 26.3 第 1 题. 提高性作业: 教材习题 26.3 第 5, 6 题. 拓展性作业: 一元二次方程 x2 - 6x + 4 = 1 的根与二次函数 y = x2 - 6x + 4 的图象有什么关系? 19 第二十六章 二次函数 26.3 二次函数与一元二次方程 第2课时 用函数图象求相应方程根的近似值 20 导入新课 问题 1: 我们学习了二次函数与一元二次方程的关系, 谁能说说抛物线 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 与 x 轴的交点和方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根有什么联系? 抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根. 写出对应的二次函数, 画出其图象, 观察图象与 x 轴的交点位置, 可估计方程根的近似值. 问题 2: 不用计算, 只通过画图和观察, 是否能求出方程 x2 - 2x - 2 = 0 的根(结果保留小数点后一位)? 21 任务一：画函数图象，初步估算根的近似值 问题 1: 要通过图象求方程 x2 - 2x - 2 = 0 的近似根, 首先请画出二次函数 y = x2 - 2x - 2 的图象, 画函数图象的步骤有哪些? 高效课堂 y=x2-2x-2 列表 描点 连线 x … -1 0 1 2 3 … y=x2-2x-2 … 1 -2 -3 -2 1 … 问题 2: 当 x 在什么范围时, 函数值由负变正或由正变负? 这说明方程的根在哪个范围内? 问题 3: 观察函数图象, 求方程 x2 - 2x - 2 = 0 的根的近似值(结果保留小数点后一位). 由图象可得方程 x2 - 2x - 2 = 0 的实数根为 x1 ≈ -0.7, x2 ≈ 2.7. 一个根在 -1, 0 之间, 另一个根在 2, 3 之间 y 2 -3 3 x O -2 -1 2 1 4 5 -1 1 22 任务二：缩小范围，精准估算近似值 高效课堂 问题 1: 我们已经知道方程 x2 - 2x - 2 = 0 的一个根在 -1 和 0 之间, 另一个根在 2 和3 之间, 你能先求根在 2 和 3 之间的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1)? 取 2, 3 的平均数 2.5 自变量为 2.5 时 函数值为 -0.75 自变量为 3 时的函数值异号 根在 2.5, 3 之间 y=x2-2x-2 y 2 -3 3 x O -2 -1 2 1 4 5 -1 1 23 任务二：缩小范围，精准估算近似值 高效课堂 问题 1: 我们已经知道方程 x2 - 2x - 2 = 0 的一个根在 -1 和 0 之间, 另一个根在 2 和3 之间, 你能先求根在 2 和 3 之间的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1)? 自变量为 2.75 时 函数值为 0.062 5 自变量为 2.5 时的函数值异号 根在 2.5, 2.75 之间 再取 2.5, 3 的平均数 2.75 y=x2-2x-2 y 2 -3 3 x O -2 -1 2 1 4 5 -1 1 24 任务二：缩小范围，精准估算近似值 高效课堂 问题 1: 我们已经知道方程 x2 - 2x - 2 = 0 的一个根在 -1 和 0 之间, 另一个根在 2 和3 之间, 你能先求根在 2 和 3 之间的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1)? 根在 2.62 5, 2.75 之间 y=x2-2x-2 y 2 -3 3 x O -2 -1 2 1 4 5 -1 1 重复上述步骤, 可逐步得到: , 在 2.687 5, 2.75 之间 …… 根所在的范围越来越小, 根所在范围的两端的值越来越接近根的值, 因而可以作为根的近似值. 当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1 时, 由于 |2.687 5 - 2.75| = 0.062 5 < 0.1, 可以将 2.687 5 作为根的近似值. 25 高效课堂 问题 2: 你能用这种方法得出方程 x2 - 2x - 2 = 0 的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)? 方程 x2 - 2x - 2 = 0 的另一个根的近似值为 -0.687 5. 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程. 26 任务三：归纳总结，形成方法 高效课堂 问题: 结合刚才的探究过程, 用二次函数图象求一元二次方程根的近似值的一般步骤是什么? 一般步骤如下: ①写出对应的二次函数; ②画函数图象; ③确定根的初始范围(使函数值异号的自变量 x 的范围); ④缩小范围; ⑤按精度要求确定近似值. 27 课堂评价 1. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示, 则关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的一个根的范围是 ( ) A. -4 < x < -3 B. -3 < x < -2 C. -2 < x < -1 D. -1 < x < 0 B 点拨 先估计出对称轴右侧图象与 x 轴交点的横坐标,再利用对称轴是 x = -1,可以估算出左侧交点横坐标的范围. y x O 1 1 -1 28 课堂评价 2.已知二次函数 y = ax2 - 2ax + c (a ≠ 0, a, c 为常数), 下表给出了自变量 x 与函数值 y 的部分对应值. D 根据表格, 可以估计关于x 的方程 ax2 - 2ax + c = 5 根的近似值是 ( ) A. -0.55 和 2.55 B. 1.45 和 2.55 C. 1.25 和 2.75 D. -0.75 和 2.75 x … 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 … y = ax2 - 2ax + c … 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 … 点拨 根据二次函数 y = ax2 - 2ax + c, 可判断该二次函数图象的对称轴为 1, 观察表格数据可以发现 y = 5 时, x 在 2.7 和 2.8 之间. 根据二次函数图象的对称性可知另一个根在 -0.8 和 -0.7 之间. 29 课堂评价 3. 已知二次函数 y = -x2 - 2x + 2. (1)填表, 并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象. 答案 (1)将 x 的值代入函数解析式可得: 当 x = -3 时, y = -(-3)2 - 2×(-3) + 2 = -1, 当 x = -2 时, y = -(-2)2 - 2×(-2) + 2 = 2, 当 x = -1 时, y = -(-1)2 - 2×(-1) + 2 = 3, 当 x = 0 时, y = -02 - 2×0 + 2 = 2, 当 x = 1 时, y = -12 - 2×1 + 2 = -1. x … -3 -2 -1 0 1 … y … … (2)结合函数图象, 直接写出方程 -x2 - 2x + 2 = 0 的近似解(结果保留小数点后一位). (2) x1 ≈ 0.7, x2 ≈ -2.7. y x O -1 1 1 -1 -1 2 3 -1 2 描点、连线得图象, 如图所示. 30 课堂总结 1.本节课你学会了什么方法? 核心思路是什么? 2.用函数图象求方程根的近似值时,需要注意什么? 3.你对“数形结合”思想有了哪些新的认识? 31 作业设计 基础性作业: 教材习题 26.3 第 2 题. 提高性作业: 不用画图, 通过分析函数值的符号判断方程 x2 - 5x + 3 = 0 的根所在的整数范围(提示: 计算 x 取 0, 1, 2, 3, 4, 5 时的函数值, 根据 “异号则根在其间” 判断). 32 $